Algoritmi di visita di un grafo

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1 Algoritmi di isita di n grafo Ilaria Castelli Uniersità degli Stdi di Siena Dipartimento di Ingegneria dell Informazione A.A. 2009/2010 I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 1/44

2 Grafi Visita in ampiezza Visita in profondità Ordinamento topologico I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 2/44

3 Scopo e tipi di isita di n grafo Visita Una isita (o attraersamento) di n grafo G permette di esaminare i nodi e gli archi di G in modo sistematico. Esistono arie tipologie di isita, con dierse proprietà. In particolare: 1 Visita in ampiezza (BFS = Breadth First Search) 2 Visita in profondità (DFS = Depth First Search) I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 3/44

4 Breadth First Search Visita in ampiezza Dato n grafo G = (V, E) e n nodo s chiamato sorgente, la isita in ampiezza esplora gli archi di G per scoprire ttti i nodi raggingibili a partire da s La isita BFS calcola la distanza (nmero minimo di archi) tra s e ogni ertice da esso raggingibile La isita consente di definire n albero BFS, con radice s, contenente ttti i nodi raggingibili Nell albero BFS il cammino da s a n nodo corrisponde a n cammino minimo (contenente il nmero minimo di archi) La isita BFS si pò applicare sia ai grafi diretti che a qelli non diretti I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 4/44

5 Breadth First Search La isita in ampiezza esplora i nodi del grafo partendo da qelli a distanza 1 da s. Poi isita qelli a distanza 2, e così ia. L algoritmo isita ttti i ertici ad n liello k prima di isitare qelli a liello k + 1. distanza = 3 distanza = 2 r distanza = 1 h s i t Si genera n albero Si isitano nodi ia ia più distanti dalla sorgente x y I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 5/44

6 Breadth First Search Per tenere traccia del progresso della isita, l algoritmo BFS associa delle flag ai nodi. Spponiamo di poter colorare i nodi di bianco, grigio o nero. All inizio ttti i nodi sono bianchi e, sccessiamente, possono dientare grigi e, infine, neri. Un nodo iene scoperto la prima olta che iene incontrato drante la isita e, in tale istante, cessa di essere bianco. La distinzione tra nodi grigi e neri esiste affinché la isita proceda in ampiezza. In sostanza, la distinzione è la segente: Bianchi: non ancora scoperti Grigi: appena scoperti; sono la frontiera tra nodi scoperti e non. I nodi adiacenti ad n nodo grigio possono essere bianchi. Neri: scoperti. Ttti i nodi adiacenti ad n nodo nero sono stati scoperti. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 6/44

7 Algoritmo BFS - Strttre dati Le strttre dati sate dall algoritmo sono le segenti: Liste di adiacenza Adj Adj[] è la lista dei nodi adiacenti a. Array color color[] contiene il colore del nodo Array d d[] contiene la distanza di dal nodo sorgente s. Viene inizializzata a infinito. Array p p[] contiene il predecessore del nodo nell albero BFS Coda Q contiene i nodi grigi I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 7/44

8 Algoritmo BFS 1 BFS(G, s ) 2 f o r o g n i nodo i n V[G] { s } / i n i z i a l i z z a z i o n e / 3 c o l o r [ ] = WHITE 4 d [ ] = i n f i n i t y 5 p [ ] = NIL 6 7 c o l o r [ s ] = GRAY / i s i t o l a s o r g e n t e / 8 d [ s ] = 0 9 p [ s ] = NIL 0 Q = { s } 1 h i l e Q!= empty 2 = head [Q] / nodo da e s p a n d e r e / 3 f o r o g n i nodo i n Adj [ ] / i s i t o i n o d i a d i a c e n t i / 4 i f c o l o r [ ] = WHITE / s e e b i a n c o i e n e s c o p e r t o / 5 then c o l o r [ ] = GRAY 6 d [ ] = d [ ] p [ ] = 8 ENQUEUE(Q, ) / i n s e r i t o n e l l a coda Q / 9 DEQUEUE(Q) / t o l t o d a l l a coda : e g i a s t a t o e spanso / 0 c o l o r [ ] = BLACK I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 8/44

9 Algoritmo BFS - Esempio r s x y t y s t t x r t x y x r s r s x y t r s x y t Adj p d r s t x y NIL 0 0 s 1 1 s r 2 t x Q = {} 2 I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/2010 9/44

10 Algoritmo BFS - Albero BFS La isita BFS consente di definire n albero BFS. all inizio contiene solo s qando n nodo bianco iene scoperto, scorrendo la lista di adiacenza di n nodo, allora l arco (, ) e stesso engono agginti all albero p(r) = s p(s) = NIL p(t) = p() = t r s t r s x y p() = r p() = s p(x) = p(y) = x 2 x 2 t 2 y 3 3 I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

11 Breadth First Search - Analisi Analisi del tempo di eseczione s n grafo G = (V, E) Il tempo necessario per l inizializzazione è O( V ) Ogni nodo raggingibile iene isitato na olta Le operazioni di inserimento e rimozione dalla coda costano O(1), qindi il tempo totale necessario per le operazioni slla coda è O( V ) La lista di adiacenza di n nodo iene scorsa na sola olta, qindi in totale il tempo è O( E ) Il tempo totale richiesto dall algoritmo BFS si ottiene sommando il tempo per l inizializzazione e qello necessario per isitare i nodi: O( V + E ) I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

12 Breadth First Search - Cammini minimi Distanza minima Si definisce distanza minima δ(s, ) da s a, il nmero minimo di archi di n cammino dal nodo s al nodo δ(s, ) 0 δ(s, ) = se non è raggingibile partendo da s Cammino minimo Un cammino di lnghezza δ(s, ) da s a si dice cammino minimo. Nota: possono esistere più cammini minimi tra de nodi BFS La isita BFS calcola la distanza minima δ(s, ) di ogni nodo raggingibile da s Nell albero BFS il cammino da s ad n nodo è n cammino minimo I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

13 Breadth First Search - Proprietà Lemma Dato n grafo G = (V, E) diretto o non diretto e n nodo s V qalsiasi, allora per ogni arco (, ) E si ha δ(s, ) δ(s, ) + 1 Dimostrazione Se non è raggingibile da s, allora δ(s, ) = Se è raggingibile da s, allora anche è raggingibile. Il cammino minimo da s a non pò essere più lngo del cammino minimo da s a, più l arco (, ) I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

14 Breadth First Search - Proprietà Lemma Sia G = (V, E) n grafo diretto o non diretto e s V n nodo sorgente qalsiasi, a partire dal qale è stato esegito l algoritmo BFS. Allora per ogni nodo V si ha d[] δ(s, ) Dimostrazione Per indzione: d[s] = 0 = δ(s, s) e, per qalsiasi nodo V {s}, ale d[] = δ(s, ) Dato n nodo scoperto drante l esplorazione di n nodo, per ipotesi indttia ale d[] δ(s, ). d[] }{{} = d[] + 1 }{{} algoritmo ipotesi indttia δ(s, ) + 1 δ(s, ) }{{} lemma precedente I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

15 Breadth First Search - Proprietà Lemma Spponendo che drante l eseczione della ricerca BFS s n grafo G = (V, E), la coda Q contenga i nodi < 1,..., r >, doe 1 = head[q] e r = tail[q], allora d[ r ] d[ 1 ] + 1 e d[ i ] d[ i+1 ], i = 1,..., r 1 La differenza tra le distanze da s dei nodi presenti nella coda in n certo momento è al più 1 Un nodo iene inserito nella coda (dientando r+1 ) qando il nodo in testa, 1, iene esplorato d[ r+1 ] = d[] = d[ 1 ] + 1 d[ r ] d[ 1 ] + 1 = d[] = d[ r+1 ] I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

16 Breadth First Search - Proprietà Proposizione I nodi che entrano nella coda Q sono ttti e soli i nodi tali che δ(s, ) <, cioè ttti i nodi raggingibili da s Dimostrazione 1 entra in Q = δ(s, ) < Si procede per indzione sll i-esima iterazione dell operazione ENQUEUE se i = 0, solo s è nella coda: δ(s, s) = 0 < se i > 0, spponiamo che l ipotesi indttia sia era per ogni iterazione k < i. Al passo i si isita Adj[], con = head[q], e i nodi bianchi engono inseriti in Q. Per ipotesi indttia δ(s, ) <. Poiché esiste l arco (, ): δ(s, ) δ(s, ) + 1 < I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

17 Breadth First Search - Proprietà 2 entra in Q = δ(s, ) < Si procede per indzione s δ(s, ) = k se δ(s, ) = 0 è ero: = s se δ(s, ) = k > 0, per ipotesi indttia si ha che per ogni tale che δ(s, ) < k, è già entrato in coda. Poiché δ(s, ) <, esiste n cammino < 0,..., i 1, i > da s a, con 0 = s e i =. s 0 (i 1) δ(s, i 1 ) = k 1 e i 1 è nella coda per ipotesi indttia. Qando errà isitata Adj[ i 1 ] errà scoperto e: se è bianco entra in coda non pò essere grigio o nero, altrimenti sarebbe già entrato in coda, perché arrebbe δ(s, ) < k! I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

18 Breadth First Search - Albero BFS Albero BFS L array p definisce n sottografo dei predecessori di G. In particolare, si tratta di n albero, T p : T p = (V p, E p ) V p = { V : p[] NIL} {s} E p = {(p[], ) E : V p {s}} Una olta esegita la ricerca BFS, la segente procedra stampa il cammino minimo da s a 1 PRINT PATH(G, s, ) 2 i f = s 3 then p r i n t s 4 e l s e i f p [ ] = NIL 5 then p r i n t "non esiste n cammino da s a " 6 e l s e PRINT PATH(G, s, p [ ] ) 7 p r i n t I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

19 Depth First search Visita in profondità Dato n grafo G = (V, E) ed n nodo s, detto nodo sorgente, la isita depth first esplora il grafo andando il più possibile in profondità. Dato n nodo appena scoperto, la isita prosege a partire da si soi archi che ancora non sono stati esplorati Qando si sono esplorati ttti gli archi del nodo, si torna al nodo dal qale è stato scoperto, e si esplorano i soi lteriori archi non ancora esplorati (se ce ne sono) Si prosege finchè non engono scoperti ttti i nodi raggingibili da s Se i sono ancora dei nodi non scoperti, no di qesti iene adottato come na noa sorgente, e la isita riprende a partire da esso L algoritmo termina qando ttti i nodi sono stati scoperti I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

20 Depth First Search Per tenere traccia del progresso della isita, anche l algoritmo DFS associa delle flag ai nodi. Di noo, si sppone di colorare i nodi di bianco, grigio o nero. All inizio ttti i nodi sono bianchi e, sccessiamente, possono dientare grigi e, infine, neri. Un nodo iene scoperto la prima olta che iene incontrato drante la isita e, in tale istante, cessa di essere bianco. La distinzione tra nodi grigi e neri è necessaria affinché la isita proceda in profondità. La distinzione è la segente: Bianchi: non ancora scoperti Grigi: sono stati scoperti, ma l esplorazione della loro lista di adiacenza non è ancora terminata. Neri: l esplorazione della loro lista di adiacenza è completata. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

21 Algoritmo DFS - Strttre dati Le strttre dati sate dall algoritmo sono le segenti: Liste di adiacenza Adj Adj[] è la lista dei nodi adiacenti a. Array color color[] contiene il colore del nodo Array p p[] contiene il predecessore del nodo nella foresta DFS Array d d[] è n timestamp che contiene il momento in ci è stato scoperto. Array f f[] è n timestamp che contiene il momento in ci si è conclsa la isita di, cioè si è finito di esaminare al sa lista di adiacenza Adj[]. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

22 Algoritmo DFS - Strttre dati Nota: Il nodo è bianco prima di d[] grigio tra d[] e f[] nero dopo f[] Oiamente si ha d[] < f[], V I timestamp sono nmeri interi compresi tra 1 e 2 V, poiché ogni nodo iene scoperto esattamente na olta, e si finisce di esplorarlo esattamente na olta. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

23 Algoritmo DFS 1 DFS(G, s ) 2 f o r o g n i e r t i c e i n V[G] / i n i z i a l i z z a z i o n e / 3 c o l o r [ ] = WHITE 4 p [ ] = NIL 5 time = 0 6 f o r o g n i e r t i c e i n V[G] 7 i f c o l o r [ ] = WHITE 8 then DFS VISIT ( ) / i s i t a o g n i nodo non s c o p e r t o / 1 DFS VISIT ( ) 2 c o l o r [ ] = GRAY 3 d [ ] = time / tempo d i i n i z i o i s i t a l i s t a d i a d i a c e n z a / 4 time = time f o r o g n i e r t i c e i n Adj [ ] 6 i f c o l o r [ ] = WHITE 7 then p [ ] = 8 DFS VISIT ( ) / i s i t a s b i t o n o d i non s c o p e r t i / 9 c o l o r [ ] = BLACK / f i n i t o d i i s i t a r e i n o d i a d i a c e n t i / 0 f [ ] = time 1 time = time + 1 I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

24 Algoritmo DFS - Esempio Adj x y y z x x y z y x z z I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

25 Algoritmo DFS - Esempio 1/ 1/ 2/ 1/ 2/ 3/ x y z x y z x y z 1/ 2/ 1/ 2/ 1/ 2/ B B 4/ 3/ x y z 4/ 3/ x y z 4/5 3/ x y z 1/ 2/ 1/ 2/7 1/ 2/7 B B F B 4/5 3/6 4/5 3/6 4/5 3/6 x y z x y z x y z I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

26 Algoritmo DFS - Esempio 1/8 2/7 1/8 2/7 9/ 1/8 2/7 9/ F B F B F B C 4/5 3/6 4/5 3/6 4/5 3/6 x y z x y z x y z 1/8 2/7 9/ 1/8 2/7 9/ 1/8 2/7 9/ F B C F B C F B C 4/5 3/6 10/ x y z 4/5 3/6 10/ x y z B 4/5 3/6 10/11 x y z B 1/8 2/7 9/12 F B C 4/5 3/6 10/11 x y z B I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

27 Foresta DFS Allo stesso modo della ricerca BFS, nella ricerca DFS, n nodo iene scoperto esplorando la lista di adiacenza di n nodo già scoperto. L array p tiene traccia del predecessore di ogni nodo scoperto: p[] = Foresta DFS L array p definisce n sottografo dei predecessori di G. In particolare, si tratta di na foresta, F p : F p = (V, E p ) E p = {(p[], ) : V e p[] NIL} Il sottografo dei predecessori è na foresta depth first, costitita da più alberi depth first. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

28 Foresta DFS - Classificazione degli archi Gli archi del grafo originario engono classificati in: Tree-edge. Archi della foresta DFS. Forard-edge. Archi in aanti. Archi non appartenenti alla foresta DFS, che anno da n ertice ad n so sccessore nella foresta DFS. Qando engono percorsi drante l algoritmo DFS, collegano de nodi già scoperti. Backard-edge. Archi all indietro. Archi non appartenenti alla foresta DFS, che anno da n ertice ad n so antenato nella foresta DFS. Archi del grafo che, qando engono percorsi drante l algoritmo DFS, collegano de nodi già scoperti. Cross-edge Archi di attraersamento. Ttti gli altri archi. Collegano de nodi che non hanno na relazione di discendenza l no dall altro. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

29 Foresta DFS p 1/8 9/12 1/8 2/7 9/12 F B C 4/5 3/6 10/11 x y z B x y z NIL NIL y F B 2/7 3/6 4/5 y x C 10/11 z B La strttra degli alberi DFS rispecchia esattamente la strttra delle chiamate ricorsie alla procedra DF S V ISIT : = p[] se e solo se DF S V ISIT () è stata chiamata drante lo scorrimento della lista di adiacenza di. Nota: gli archi scenti ed entranti sllo stesso nodo (self-loop), engono considerati backard-edge. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

30 Algoritmo DFS - Analisi 1 Nella procedra DF S ci sono de cicli, che engono esegiti Θ( V ) 2 La procedra DF S V ISIT iene richiamata esattamente na olta per ogni nodo V 3 Drante l eseczione di DF S V ISIT (), il ciclo nelle linee 5-8 iene esegito Adj[] olte 4 Poiché Adj[] = Θ( E ) V il costo totale per l eseczione del ciclo è Θ( E ) Il tempo totale di eseczione è Θ( V + E ) I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

31 Algoritmo DFS - Proprietà Teorema delle parentesi In na isita in profondità di n grafo (diretto o non diretto) G = (V, E), per ogni coppia di nodi e, definiamo gli interalli A = [d[], f[]] B = [d[], f[]] Allora, na e na sola delle segenti condizioni è era: 1 A B = 2 L interallo A è interamente inclso nell interallo B, e è n discendente di in n albero DFS 3 L interallo B è interamente inclso nell interallo A, e è n discendente di in n albero DFS I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

32 Algoritmo DFS - Proprietà Dimostrazione 1 Caso 1. d[] < d[]. Ci sono de sottocasi: 1 d[] < f[] iene scoperto prima di Qando si scopre la isita di non è stata completata ( è grigio) Ciò ol dire che è discendente di Poiché è stato scoperto più recentemente di, la isita di dee completarsi prima di tornare a : f[] < f[] QUindi l interallo A = [d[], f[]] è completamente contento in B = [d[], f[]] d[] d[] f[] f[] I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

33 Algoritmo DFS - Proprietà 1 2 d[] > f[] dienta nero prima che enga scoperto Qindi, qando iene scoperto la isita di è già stata completata d[] < f[] e d[] < f[] Qindi gli interalli A = [d[], f[]] e B = [d[], f[]] sono disginti d[] f[] d[] f[] 2 Caso 2. d[] > d[]: è simmetrico, basta scambiare il rolo di e Corollario (consege dal teorema delle parentesi) Un nodo è n discendente di n nodo in n albero della foresta DFS per n grafo (diretto o non diretto) G se e solo se d[] < d[] < f[] < f[] I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

34 Algoritmo DFS - Proprietà 1/8 9/12 F B 2/7 3/6 y C 10/11 z B y x z 4/5 x I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

35 Algoritmo DFS - Un altro esempio y z s t 3/6 2/9 1/10 11/16 B F C B 4/5 C 7/8 C 12/13 C 14/15 x B s 1/10 C z F 2/9 C y 3/6 7/8 C t 11/16 B 12/13 14/15 C y x s z t x 4/ I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

36 Algoritmo DFS - Proprietà Teorema del cammino bianco In na foresta DFS, n nodo è discendente di se e solo se al tempo d[] (in ci la isita scopre ), il ertice è raggingibile da con n cammino contenente esclsiamente nodi bianchi. d[]/ I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

37 Algoritmo DFS - Classificazione degli archi L algoritmo DFS pò essere modificato in modo da effettare na classificazione degli archi. Ogni arco pò essere classificato in fnzione del colore del ertice che ragginge, qando iene percorso per la prima olta: Archi bianchi. Qelli appartenenti a n albero DFS. Archi grigi. Archi backard. Uniscono de nodi grigi drante la isita DFS. Archi neri. Archi forard (se d[] < d[]) oppre crossard (se d[] > d[]). Nota: in n grafo non diretto ci possono essere ambigità perché (, ) e (, ) sono lo stesso arco. In tal caso l arco iene classificato come l arco orientata (, ) oppre (, ), a seconda della direzione in ci iene percorso per la prima olta. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

38 Algoritmo DFS - Classificazione degli archi Teorema Se G è n grafo non orientato, allora ogni arco è n tree-edge oppre n backard-edge. Dimostrazione. Sia (, ) n arco arbitrario Spponiamo d[] < d[] (senza perdita di generalità) Allora si erifica no di qesti de casi: 1 (, ) iene isitato a partire da, con grigio e bianco. In tal caso è n tree-edge. 2 (, ) iene isitato a partire da, con e entrambi grigi. In tal caso è n backard-edge. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

39 Algoritmo DFS - Classificazione degli archi Lemma Un grafo diretto è aciclico se e solo se l algoritmo DFS non determina l esistenza di backard-edge B x y z Dimostrazione. 1 =. Se (, ) è n arco all indietro, allora è n antenato di nella foresta DFS. Qindi, esiste n cammino da a in G, e l arco backard (, ) completa il ciclo. 2 =. Si sppone che G abbia n ciclo c. Sia il primo ertice del ciclo ad essere scoperto, e sia (, ) l arco che lo precede nel ciclo. Al tempo d[] ttti i nodi da a sono bianchi ( grigio). Per il teorema dei cammini bianchi sarà n discendente di. Qindi, (, ) è necessariamente n backard-edge. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

40 Ordinamento topologico L algoritmo DFS pò essere sato per effettare n ordinamento topologoco dei nodi di n grafo diretto aciclico (DAG - Direct Acyclic Graph). Ordinamento topologico Un ordinamento topologico di n DAG G = (V, E) è n ordinamento lineare dei soi ertici tale che, se G contiene n arco (, ), allora compare prima di nell ordinamento. Se il grafo contenesse dei cicli, n ordinamento di qesto tipo non sarebbe possibile. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

41 Ordinamento topologico I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

42 Ordinamento topologico 1 TOPOLOGICAL SORT(G) 2 Chiama DFS(G) p e r c a l c o l a r e i tempi d i f i n e i s i t a f [ ] 3 p e r o g n i e r t i c e 4 Appena l a i s i t a d i n nodo e finita, inseriscilo 5 in testa a na lista concatenata 6 Restitisci la lista concatenata dei nodi Spponendo che s = 2 e Adj[s] = f[2] > f[1] > f[3] > f[4] Nota: l ordinamento topologico ottento aria a seconda della sorgente scelta, e dall ordine dei nodi nelle liste Adj I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

43 Ordinamento topologico Teorema T OP OLOGICAL SORT (G) prodce n ordinamento topologico di n grafo orientato aciclico G Dimostrazione. È sfficiente dimostrare che per ogni coppia di ertici, V, se esiste n arco (, ), allora f[] < f[] Poiché il grafo è aciclico, non esistono backard-edge (archi grigi). Qindi (, ) pò essere: 1 n arco bianco (tree-edge). In tal caso è bianco e dienta discendente di e, per il teorema delle parentesi, f[] < f[] 2 n arco nero (forard-edge oppre cross-edge). In tal caso è nero e f[] < f[] perché è già dientato nero prima di aer conclso la isita di. I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

44 Ordinamento topologico - Analisi DF S(G) richiede tempo Θ( V + E ) L inserimento di ognno dei V nodi nella lista richiede tempo costante. L ordinamento topologico richiede tempo Θ( V + E ) I. Castelli Visita di n grafo, A.A. 2009/ /44

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