FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

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1 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo y R dato da y = a x. Quindi, per esempio, f(x) = x è la relazione che associa ad x = 0 il valore y = a 0 =, ad x = il valore y = a =, ad x = il valore y = a =, ad x = il valore y = a = 8, ad x = il valore y = a =, ad x = il valore y = a =... Data la definizione si può osservare che. ara > 0 a il valore di y = a x è sempre strettamente maggiore di zero perché se anche diamo alla x valori negativi molto grandi [ come -000 ] avremo y = a 000 = a 000 > 0. ara > la funzione f(x) = a x è crescente, ossia se aumenta il valore dell esponente, aumenta anche il valore della potenza: x > x a x > a x. ar0 < a < la funzione f(x) = a x è decrescente, ossia se aumenta il valore dell esponente, diminuisce il valore della potenza: x > x a x < a x [ per esempio a = ( ) se > allora = ( ) ] < = queste ultime due osservazioni sono fondamentali nella soluzione delle disequazioni esponenziali e logaritmiche Facciamo le opportune tabelline per tracciare i grafici degli esponenziali crescenti e di quelli decrescenti : Per affrontare qualsiasi esercizio sugli esponenziali E FONDAMENTALE RICORDARE, oltre alle PROPRIETA DELLE POTENZE, che a 0 = e che, se h > 0, a h = a h ) a n a k = a n+k ) a n a k = a n k ) (a n ) k = a n k ) a n b n = (a b) n 5) a n b n = (a b) n

2 DEFINIZIONE: Dato un numero reale a, che sia a > 0 e a, si definisce logaritmo in base a di x la relazione f(x) = log a x che ad ogni valore di x > 0 associa uno e un solo numero reale y = log a x che rappresenta l esponente da dare ad a per ottenere x, cioè y = log a x a y = x PROPRIETA :. log a (b c) = log a b + log a c. log a (b c) = log a b log a c. log a (b) c = c log a b. Teorema del cambiamento di base: k > 0ek log a b = log k b log k a dimostrazioni: tutte le dimostrazioni si basano sul chiamare con una lettera diversa ciascuno dei logaritmi e applicare la definizione di logaritmo e l opportuna proprietà delle potenze. chiamiamo log a (b c) = x log a b = y e log a c = z avremo che log a (b c) = log a b + log a c x = y + z Per definizione sappiamo: log a (b c) = x a x = b c log a b = y a y = b log a c = z a z = c adesso facciamo le sostituzioni di b e di c nella prima definizione x e otteniamo: a x = b c a x = a y a z per la prima proprietà delle potenze avremo a x = a y+z x = y + z come si voleva dimostrare. chiamiamo come sopra log a (b c) = x log a b = y e log a c = z avremo che log a (b c) = log a b log a c x = y z Per definizione sappiamo: log a (b c) = x a x = b c log a b = y a y = b log a c = z a z = c adesso facciamo le sostituzioni di b e di c nella prima definizione x e otteniamo: a x = b c a x = a y a z per la seconda proprietà delle potenze avremo a x = a y z x = y z come si voleva dimostrare. chiamiamo log a (b) c = x e log a b = y avremo che log a (b) c = c log a b x = c y Per definizione sappiamo: log a (b) c = x a x = (b) c log a b = y a y = b adesso facciamo la sostituzione di b nella prima definizione x e otteniamo: a x = (b) c a x = (a y ) c per la terza proprietà delle potenze avremo a x = a c y x = c y come si voleva dimostrare. chiamiamo log a b = x log k b = y e log k a = z avremo che log a b = log k b x = y log k a z ovvero z x = y

3 Per definizione sappiamo: log a b = x a x = b log k b = y k y = b log k a = z k z = a adesso confrontiamo le prime due definizioni e otteniamo che: a x = b e k y = b a x = k y sostituiamo la a della terza definizione e abbiamo (k z ) x = k y k z x = k y z x = y come si voleva dimostrare I primi tre teoremi sui logaritmi sono fondamentali per risolvere qualsiasi problema sui logaritmi, il quarto teorema del cambiamento di base è fondamentale per calcolare logaritmi che siano in base diversa da 0 e da e Dalla definizione e indispensabile notare che. prima di risolvere qualsiasi equazione o disequazione logaritmica bisogna considerare le Condizioni di Esistenza, ponendo ogni argomento dei logaritmi maggiore di zero. NB: se ci sono più logaritmi (i cui argomenti devono essere strettamente positivi) la ricerca delle C.E. diventa la soluzione di un sistema di disequazioni!. se la base del logaritmo è a > il logaritmo è una funzione crescente, cioé se x > x anche l esponente y da dare ad a per raggiungere il valore x sarà maggiore dell esponente y da dare ad a per raggiungere il valore x NB: di solito si calcolano i logaritmi in base 0 e in base e =, : poiché entrambe le basi sono maggiori di si è soliti considerare sempre crescente la funzione logaritmica. e la base del logaritmo è 0 < a < il logaritmo è una funzione decrescente, cioé se x > x l esponente y da dare ad a per raggiungere il valore x sarà più piccolo dell esponente y da dare ad a per raggiungere il valore x

4 TIPOLOGIE DI ESERCIZI Equazioni esponenziali: portare tutto nella stessa base e confrontare gli esponenti ) x = ( ) x = x = + [terza e prima proprietà delle potenze; esponenziali, con la stessa base, uguali hanno uguali esponenti] x = + x = = ) (x+) = 9 x + [C.E.: x 0 perché è al denominatore nell esponente del 9] x+ = ( ) +x x x+ = +x x [stessa base, confronto esponenti] x + = + x x + x = + x x + x = 0 x x = ± + = ) x+ x x = 6 x x x x 6 = 6 x = 6 = 6 x( utilizzare il terzo teorema sui logaritmi per tirare giù gli esponenti ) = 6 = 8 x = x = ) x+ + x = 9 x + = 9 (x ) x = 0 x x una frazione è uguale a zero se e solo se è zero il suo numeratore, quindi ( x ) 9 x + 8 = 0 x = 9 ± 9 8 = 9 ± 65 = x = 9 = x = x = x log = log x = log log x = log 0, 69 N.B. allo stesso identico risultato si poteva giungere applicando il logaritmo in base 0 anziché il log : x = x log = log log log x = 0, 69 log ) 9 x x = 0 ( ) x ( x = 0 ( x ) ( x = 0 x = ± + 8 = da ciò si ricava x = che è impossibile perché un esponenziale è sempre positivo x = x log = log x = log log ) x + 5 x+ = x+ x x + 5 x = x x x ( + 5) = x ( ) 7 x = x applichiamo il teorema sul lgaritmo di un prodotto nel termine di sinistra e poi il teorema del logaritmo di una potenza in entrambi i termini: log(7 x ) = log( x ) log 7 + log x = x log log 7 + x log = x log è diventata una equazione di primo grado in x! portando tutte le x da una parte ecc... log 7 = x log x log log 7 = x( log log ) log 7 log log = x x, 889 Quindi si risolve normalmente

5 quando l esponenziale è al denominatore di solito si può individuare un equazione di secondo grado in un opportuna incognita ) 5 x + 5 x = 6 5 x = 6 5x 5 x+ + 6 x+ 5 5 x+ 5 = x 5 x x+ = 0 5x+ 5 x x+ = x+ 5 5 x+ (5 x+ ) 6 5 x+ + 5 = 0 il numeratore è uguale a zero; se poniamo y = 5 x+ il 5 5 x+ numeratore diventa y 6y + 5 = 0 y = ± 9 5 = 5 allora y = 5 x+ = 5 x + = x = 0 e y = 5 x+ = x + = 0 x = ) 5 x+ 5 x 0 = 5 x 5 x x 5 = 0 x 5 (5 x ) x + 5 = 0 5 (5x ) 0 5 x + 5 = 0 5 x 5 x una frazione è uguale a zero è uguale a zero il numeratore, quindi 5 (5 x ) 0 5 x +5 = 0 5 (5 x ) 6 5 x + = 0 5 x = ± 9 5 = 5 ) da cui si ricava che 5 x = 5 x = e 5 x = x = 0 x + x + = 5 { C.E. denominatori diversi da zero x 0 x x 0 x 0 x + 0 x sempre vero C.E. è allora x 0 ( x + ) + ( x ) ( x )( x + ) = 5(x )( x + ) ( x )( x + ) 7 x + = 5( x ) 5 5( x ) 7 x 6 = 0 possiamo risolverla come un equazione di secondo grado in x x + + x = 5[( x ) ] x = 7 ± = 7 ± 0 = 5 allora x = x = mentre x = esponenziale è sempre positivo. è impossibile perché un Equazioni logaritmiche: E fondamentale ricordare che il logaritmo di un numero (che sia > 0!) è un numero! E questo numero (risultato del logaritmo) può essere positivo, negativo o uguale a zero Guardare i grafici di y = logx: è la x ad essere necessariamente maggiore di zero, mentre la y (ossia il grafico) si trova sia sul semipiano superiore (y > 0) che sul semipiano inferiore (y < 0)che sull asse delle x (y = 0). Inoltre non si può dimenticare di studiare le C.E.! applicare la definizione di logaritmo e i teoremi sui logaritmi x > 0 x > x + > 0 x > ) log(x ) log(x+) = log(x ) log(x ) C.E. x > 0 x > x > 0 x > 5

6 C.E. x > log(x ) log(x+) = log(x ) log(x ) log x x + = log x x x x + = x x perché due logaritmi con la stessa base sono uguali solo se hanno lo stesso argomento! x x + = x (x )(x ) = (x + )(x ) x x x x + = x x + x +x x x x = x = 5 accettabile perché 5 > ) log (x ) = C.E. x > 0 x > log (x ) = log (x ) = per definizione (x ) = x x + 9 = 0 x x 5 = 0 x = ± + 5 x = 5 x = quest ultima non accettabile perché non soddisfa le C.E. ) log(x + 5x ) log(x ) = log( x) x + 5x > 0 fuori dall intervallo delle soluzioni C.E. x > 0 x > x > 0 > x cioè x < le soluzioni della prima disequazione del sistema sono x = 5 ± 5 + = log(x + 5x ) log(x ) = log( x) log x + 5x = log( x) x x + 5x = x x + 5x = x x + x x x x+9 = 0 questa equazione non ha soluzioni reali perché = 9 < 0 se necessario individuare un equazione di secondo grado rispetto ad una incognita opportuna ) log x + log x + = x > 0 C.E. log x 0 log x x log x + 0 log x x C.E. x > 0 x x log x + log x + = (log x + ) + (log x ) (log x ) (log x + ) = (log x ) (log x + ) (log x ) (log x + ) log x + + log x = [(log x) ] 5 log x + = (log x) possiamo vedere quest ultima equazione come una equazione di secondo grado nell incognita y = log x y 5y = 0 y = 5 ± 5 + = da y = log x si ottiene = log x = x x = 8 = log x x = x = 6

7 ) log x = log x C.E. x > 0 (log x) = log x log x log x 0 = (log x) + log x si prende l incognita y = log x e si considera l equazione di secondo grado y + y = 0 y = ± + = log x = x = 0 = 0 log x = x = 0 = 0 ) log x [log (x )] = C.E. x > 0 x > log x [log (x )] = log (x ) [log (x )] = poniamo y = log (x ) e risolviamo l equazione in y: y y = 0 y y = 0 y = ± + 8 = log (x ) = = x x = 6 x = log (x ) = = x + = x x = 5 x = 5 6 entrambe le soluzioni sono accettabili perché maggiori di 7

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