Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM )

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1 Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) 1. Scrivere l'equazione della retta passante per i punti P1(-3,1), P2(2,-2). Dobbiamo applicare l'equazione di una retta passante per due punti dati. In generale, dati due punti di coordinate (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), la retta che passa per tali punti ha equazione: Applicandola al nostro caso specifico si ha: x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 x = y x = y 1 3 x 3 5 = y 1 3 Riduco a denominatore comune i due membri dell'equazione e poi elimino questo denominatore: 3 x 3 = 5 y x 3 15 = 5 y x 3 =5 y 1 15 Eseguo i prodotti e aggiusto i termini e ottengo così l'equazione richiesta: 3x 9=5y 5 3x 9 5y 5=0 3x 5y 4=0 3x 5y 4=0 2. Determinare le coordinate del punto di intersezione delle rette r ed s di equazioni: r) x y 2=0 ; s) 3y 5x=0 Il punto di intersezione delle due rette è quel punto che deve soddisfare entrambe le equazioni di r ed s; dunque per trovarlo devo mettere a sistema le due equazioni: 3y 5x=0 Possiamo risolvere il sistema col metodo di sostituzione, di riduzione e di Cramer. Risolviamolo con tutti e tre i metodi. Metodo di sostituzione. 3y 5x=0 3y 5 y 2 =0 3y 5y 10=0 2y 10=0 2y= 10 1

2 {x=y 2 { x=5 2=3 y = 10 2 =5 y=5 x, y = 3,5 Metodo di riduzione. Questo metodo consiste nel sostituire ogni equazione del sistema con un'altra equazioni ottenuta sommando le equazioni inziali moltiplicate per un opportuno fattore numerico in modo tale che le nuove equazioni contengano soltanto una variabile. Una volta fatto ciò e facile ricavare il valore delle variabili da ogni equazione. Nell'ultimo passaggio: 3y 5x=0 5x 3y=0 { 3 x y 2 5x 3y =0 5x 3y 5 x y 2 =0 ho sostituito la 1 a equazione con un'altra equazione ottenuta moltiplicando la 1 a per 3 e sommandola alla 2 a (in tal modo i due termini contenenti la y sono opposti e si cancellano); ho sostituito la 2 a equazione con un'altra ottenuta sommando la 2 a con la 1 a moltiplicata per 5 (in tal modo i due termini contenenti la x sono opposti e si cancellano). Continuando a svolgere i calcoli si ricavano le due incognite dalle 2 nuove equazioni: { 3x 3y 6 5x 3y=0 5x 3y 5x 5y 10=0 { 2x 6=0 2y 10=0 {x= 6 2 =3 y= 10 2 =5 x, y = 3,5 Metodo di Cramer. Per poter applicare il metodo di Cramer occorre scrivere il sistema in forma normale (cioè con gli eventuali termini noti a secondo membro delle equazioni): { x y= 2 5x 3y=0 Consideriamo il seguente oggetto formato disponendo ordinatamente in colonna i coefficienti delle variabili x e y delle due equazioni del sistema: 2

3 Autore: Francesco Scano Una tale disposizione ordinata di numeri prende in generale il nome di matrice; nel caso specifico viene chiamata matrice dei coefficienti del sistema, perchè è stata ottenuta disponendo oppurtunamente i coefficienti delle variabili x e y delle equazioni del sistema. Precisamente, la prima colonna (letta dall'alto verso il basso) è formata dai coefficienti della x della prima e della seconda equazione del sistema mentre la seconda colonna è formata dai coefficienti della y della prima e della seconda equazione. Consideriamo ora un'altra quantità che si può ricavare a partire da questa matrice; tale quantità viene detta determinante della matrice e si indica nel modo seguente: = Per calcolare un determinante come questo, formato da due righe e due colonne (quindi da 4 numeri), si procede come indicato di seguito: = = =3 5= 2 cioé, si fa la diffenza tra il prodotto dei numeri sulla cosidetta diagonale principale (in questo caso 1, 3) e il prodotto dei numeri sulla diagonale secondaria (in questo caso -1, -5). Oltre al determinante della matrice dei coefficienti Δ occorre calcolare altri due determinanti che indichiamo con Δ x, Δ y : il primo è il determinante della matrice ottenuta a partire dalla matrice dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti della x con la colonna formata dai termini noti del sistema; analogamente, il secondo è il determinante della matrice ottenuta a partire dalla matrice dei coefficienti sostituendo la colonna dei coefficienti della y con la colonna formata dai termini noti. x = = = 6, y= 1 2 A questo punto le soluzioni del sistema si ottengono nel modo seguente: 5 0 = = 10 ; x= x = 6 2 =3, y= y = 10 2 =5. 3

4 Gruppo 2 (4A TSS, 4C TSS ) 3. Scrivere l'equazione della retta passante per i punti A(-1,2) e B(3,-1). In generale, la retta che passa per due punti di coordinate (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), ha equazione: x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 Applicando questa formula al nostro caso si ottiene: x = y x 1 4 = y 2 3 Riduco a denominatore comune i due membri dell'equazione e poi elimino questo denominatore: 3 x 1 = 4 y x 1 12 = 4 y x 1 =4 y 2 12 Eseguo i prodotti, aggiusto i termini e ottengo così l'equazione richiesta: 3x 9=5y 5 3x 9 5y 5=0 3x 5y 4=0 3x 5y 4=0 4. Determinare le coordinate del punto di intersezione delle rette r ed s di equazioni: r) 2x y 3=0 ; s) x y 2=0. Il punto di intersezione delle due rette è il punto in comune tra esse; perciò per trovarlo devo risolvere il sistema formato dalle loro equazioni: Utilizziamo il metodo di sostituzione: { 2 y 2 y 3=0 x=y 2 { y=1 { 2x y 3=0 x y 2=0 { 2y 4 y 3=0 x=y 2 x=1 2= 1 { y 1=0 x, y = 1,1. x=y 2 5. Scrivere l'equazione della retta parallela alla retta r di equazione: e passante per il punto P di coordinate (1,1). 2x 3y 4=0 4

5 In generale due rette di equazioni cartesiane a 1 x b 1 y c 1 =0 e a 2 x b 2 y c 2 =0 sono parallele quando hanno i coefficienti della x e della y proporzionali fra loro, cioé: a 1 a 2 = b 1 b 2 (condizione di parallelismo) Il caso più semplice si ha quando il rapporto è uguale a 1 e di conseguenza i coefficienti sono uguali fra loro: a 1 =a 2 e b 1 =b 2 Quindi una generica retta parallela alla nostra retta r deve avere i coefficienti della x e della y uguali a quelli di r, cioé deve avere un'equazione della forma: 2x 3y k=0 dove k è una quantita che può assumere qualsiasi valore reale e individuare cosi una specifica retta parallela a r (ad esempio ponendo k=-4 si ottiene proprio r). In altre parole, al variare di k, l'eqauzione precedente individua tutte le possibili rette parallele a r, ovvero il fascio (improprio) di rette parallele ad r. La retta richiesta dall'esercizio deve passare per il punto P, quindi imponendo nell'equazione precedente il passaggio per P otterremo un preciso valore di k che ci permetterà di individuare la retta cercata: k=0 5 k=0 k = 5 Dunque la retta parallela ad r passante per P ha equazione: 2x 3y 5=0. L'esercizio si può svolgere in modo analogo utilizzando l'equazione esplicita al posto di quella cartesiana. In tal caso la condizione di parallelismo tra due rette si esprime come uguaglianza dei loro coefficienti angolari; cioé, in generale, date due rette di equazioni esplicite y=m 1 x q 1 e y=m 2 x q 2 esse sono parallele quando: m 1 =m 2 Allora, tornando al nostro esercizio, ricavo l'equazione esplicita della retta r: Il coefficiente angolare di r é: 2x 3y 4=0 3y= 2x 4 y= 2 3 x 4 3 m r = 2 3 e quindi qualsiasi retta parallela ad r deve avere questo coefficiente angolare, cioé un'eqauzione 5

6 della forma: y= 2 3 x q dove q può assumere qualsiasi valore reale. Imponendo il passaggio per P troviamo il valore di q della retta richiesta: Allora la retta richiesta ha equazione esplicita: 1= q =q q= = 5 3 y= 2 3 x