Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali del primo ordine semilineari

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1 Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali el primo orine semilineari Analisi Matematica III C. Lattanzio B. Rubino 1 Teoria Per equazione ifferenziale alle erivate parziali el primo orine semilineare nelle variabili inipenenti (x, t) R 2 si intene un equazione ella forma: a(x, t)u t + b(x, t)u x = f(x, t, u), (1.1) ove la funzione incognita u = u(x, t) è una funzione a valori reali. Le funzioni a, b, f sono funzioni regolari, a esempio a, b C 1 (Ω) e f C 1 (Ω R), ove Ω R 2 è un aperto el piano (x, t). Una funzione u è soluzione ell equazione (1.1) in un aperto U Ω se verifica tale equazione puntualmente in U. Definiamo ora il problema i Cauchy per l equazione (1.1). Sia C una curva regolare contenuta in Ω i equazioni parametriche x = x 0 (σ), t = t 0 (σ). Definiamo problema i Cauchy il seguente sistema: a(x, t)u t + b(x, t)u x = f(x, t, u) (1.2) u(x 0 (σ), t 0 (σ)) = u 0 (σ) e u è soluzione i (1.2) in un aperto U Ω se verifica l equazione ifferenziale puntualmente in U e il ato iniziale in ogni punto ella curva C contenuto in U. Prima i iscutere l esistenza e l unicità elle soluzioni i (1.2), veiamo come eterminare tale soluzione in un esempio concreto. Esempio 1.1 Consieriamo l equazione ifferenziale alle erivate parziali u t + vu x = 0, (1.3) ove v > 0 è una costante, a cui aggiungiamo una conizione iniziale u(x, 0) = u 0 (x), (1.4) con u 0 funzione regolare. Associamo all equazione ifferenziale (1.3) il seguente sistema i equazioni ifferenziali orinarie: ẋ(s) = v (1.5) ṫ(s) = 1, 1

2 t x 0 x Figura 1: caratteristiche per l equazione (1.3) ove con inichiamo la erivata rispetto al parametro s. Le curve soluzioni i (1.5) sono ette curve caratteristiche per (1.3). Tale soluzione è fornita chiaramente a: x(s) = vs + x 0 + t 0, che, sceglieno per comoità (rispetto alla curva t = 0} in cui è assegnato il ato iniziale (1.4)) t 0 = 0, si può riscrivere, eliminano il parametro s, come x(t) = vt + x 0. (1.6) La (1.6) rappresenta pertanto la curva caratteristica che interseca in x 0 la curva t = 0} el ato iniziale. Tale curva risulta essere nel piano (x, t) una retta i penenza 1 o, equivalentemente, i velocità v (veere Figura 1). Sia v ora φ(t) = u(x(t), t) la soluzione i (1.3) calcolata lungo le caratteristiche (1.6). Dalla efinizie i caratteristica (sistema (1.5)), si ha: φ(t) = ẋ(t)u x (x(t), t) + u t (x(t), t) = vu x (x(t), t) + u t (x(t), t) = 0, vale a ire, la soluzione i (1.3) è costante lungo le caratteristiche (1.6). Quini, si può risolvere l equazione ifferenziale orinaria per φ e si ha: φ(t) = φ(0), 2

3 vale a ire u(vt + x 0, t) = u(x(t), t) = u(x(0), 0) = u 0 (x 0 ), utilizzano la (1.6) e la conizione iniziale (1.4). Per eterminare ora il valore ella soluzione u in un punto generico (x, t) el piano, basta eterminare il punto x 0 i intersezione tra la caratteristica passante per (x, t) e l asse t = 0}, cioè basta invertire la relazione x = vt + x 0 otteneno x 0 = x vt. In efinitiva, la soluzione i (1.3) (1.4) è ata a u(x, t) = u 0 (x vt), come è a questo punto facile convincersi anche per verifica iretta. La soluzione al tempo t è pertanto ottenuta traslano il grafico ella conizione iniziale u 0 ella quantità vt: questa proprietà giustifica la efinizione i velocità ata alla quantità v. In altre parole, le caratteristiche trasportano le informazioni al ato iniziale e le fanno viaggiare con velocità v (veere Figura 2). Nell Esempio 1.1 abbiamo visto come è utile introurre una opportuna famiglia i curve (le curve caratteristiche), che nel caso specifico risultano essere rette, lungo le quali l equazione ifferenziale ha una formulazione più semplice, formulazione che permette i risolvere esplicitamente il problema i Cauchy (1.3) (1.4) (nel caso esaminato, la soluzione risultava costante lungo le caratteristiche!!). In realtà, l utilizzo elle curve caratteristiche permette, anche nel caso generale (1.2), i arrivare a un teorema i esistenza e unicità elle soluzioni per tale problema i Cauchy. Definiamo allora curve caratteristiche per l equazione a(x, t)u t + b(x, t)u x = f(x, t, u) (1.7) le soluzioni el seguente sistema i equazioni ifferenziali orinarie: ẋ(s) = b(x(s), t(s)) ṫ(s) = a(x(s), t(s)). (1.8) Se calcoliamo la soluzione u i (1.7) lungo le soluzioni i (1.8), ossia consieriamo la funzione φ(s) = u(x(s), t(s)), si ha: φ(s) = ẋ(s)u x (x(s), t(s)) + ṫ(s)u t (x(s), t(s)) = a(x(s), t(s))u t (x(s), t(s)) + b(x(s), t(s))u x (x(s), t(s)) = f(x(s), t(s), u(x(s), t(s))) = ψ(s, φ(s)). 3

4 t x grafico ella soluzione per t=0 t v v x grafico ella soluzione per t=1 Figura 2: la soluzione i (1.3) (1.4) viaggia con velocità v Pertanto, lungo le caratteristiche, l equazione alle erivate parziali (1.7) si riscrive come un equazione ifferenziale orinaria: le caratteristiche sono efinite proprio in moo che il termine a sinistra in (1.7) iventi una erivata totale rispetto al parametro che escrive le caratteristiche stesse. Abbiamo quini riotto lo stuio un equazione alle erivate parziali allo stuio i equazioni ifferenziali orinarie e, meiante questo metoo, siamo in grao i eterminare la soluzione ell equazione (1.7), con ato iniziale u(x 0 (σ), t 0 (σ)) = u 0 (σ) (1.9) assegnato lungo una curva C (i equazioni parametriche (x 0 (σ), t 0 (σ))) regolare contenuta nel ominio Ω R 2 i efinizione el problema i Cauchy preso in consierazione. Come già osservato nell Esempio 1.1, per far sì che questo metoo sia efficace, le caratteristiche evono poter pescare informazioni alla curva el ato iniziale C e trasportarle in un aperto U Ω, nel quale otterremo la soluzione cercata. Pertanto, nel teorema i esistenza e unicità locali per (1.7) (1.9), ci aspettiamo una conizione i compatibi- 4

5 lità tra le caratteristiche ell equazione (1.7) e la scelta ella curva el ato iniziale C. Più precisamente, è naturale richieere che, in ogni punto ella curva C nel quale vogliamo costruire la soluzione locale el problema i Cauchy, la curva caratteristica e la curva C siano trasversali, cioè non abbiano la stessa tangente. Questo risultato è stabilito al teorema seguente. Teorema 1.2 Sia ato il problema i Cauchy (1.7) (1.9) per (x, t) Ω R 2, ove la curva iniziale C Ω è regolare e le funzioni a, b, f sono funzioni regolari elle loro variabili e tali che a(x, t) 2 +b(x, t) 2 0 per ogni (x, t) Ω. Sia (x 0, t 0 ) = (x 0 (σ 0 ), t 0 (σ 0 )) C un punto ella curva iniziale tale che C non sia caratteristica in (x 0, t 0 ) rispetto all equazione, vale a ire: a(x 0, t 0 ) x 0 σ b(x 0, t 0 ) t 0 σ=σ0 σ 0. (1.10) σ=σ0 Allora esiste un aperto U Ω, con (x 0, t 0 ) U, e un unica soluzione u = u(x, t) i (1.7) (1.9), che verifica (1.7) in ogni (x, t) U e (1.9) in ogni punto i C contenuto in U. Osservazione 1.3 Come abbiamo anticipato, per poter avere un risultato i esistenza e unicità per (1.7) (1.9), è necessario avere una conizione i trasversalità tra le caratteristiche stesse e la curva el ato iniziale C. Tale trasversalità è garantita alla conizione (1.10) el Teorema 1.2. Infatti, il vettore τ = (b(x 0, t 0 ), a(x 0, t 0 )) rappresenta il vettore tangente alla caratteristica nel punto (x 0, t 0 ) (si vea la efinizione ( elle caratteristiche tramite il sistema (1.8)), mentre il vettore ν 0 = t 0 σ, x ) 0 σ=σ0 σ è il vettore σ=σ0 normale alla curva iniziale C nel punto (x 0, t 0 ), esseno ( ortogonale al vetto- x 0 re tangente a tale curva, vale a ire il vettore T 0 = σ, t ) 0 σ=σ0 σ. σ=σ0 Pertanto, la conizione (1.10) in termini i tali vettori iventa τ, ν 0 = 0. In altre parole, il vettore tangente alla caratteristica non è ortogonale alla normale alla curva el ato iniziale C in (x 0, t 0 ), cioè la caratteristica e la curva el ato iniziale C non hanno la stessa tangente in (x 0, t 0 ) (veere la Figura 3). Esempio 1.4 Una classe i esempi fisicamente importanti è fornito al seguente problema i Cauchy: u t + b(x, t)u x = f(x, t, u) (1.11) u(x, 0) = u 0 (x), cioè problemi i Cauchy con ato assegnato lungo la curva t = 0} per equazioni ella forma (1.7) con a(x, t) = 1. In questo caso, l asse elle x 5

6 ν 0 τ T 0 curva iniziale C caratteristica Figura 3: interpretazione geometrica ella conizione (1.10) non è caratteristico rispetto all equazione consierata in ogni punto (x 0, 0). Infatti, il vettore normale a tale curva è ato, in ogni punto, a (0, 1) e pertanto la conizione (1.10) iventa: b(x 0, 0) 0 = 1 0. Osserviamo che lo stesso risultato si ottiene per equazioni con coefficiente a(x, t) 0 (e non necessariamente uguale a 1), in quanto in questo caso (1.10) iventa: a(x 0, 0) 1 + b(x 0, 0) 0 = a(x 0, 0) 0, ma, altra parte, tali equazioni si possono riconurre alla forma (1.11) semplicemente iviento per a(x, t). 2 Esercizi Esercizio 2.1 Determinare la soluzione el problema i Cauchy u t + tu x = u u(x, 0) = x 2. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Ne cerchiamo la soluzione u = u(x, t) con il metoo elle curve caratteristiche. 6

7 Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = t, ẋ(t) = t, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = t2 2 + x 0, x 0 R. (2.1) Si osservi (Figura 4) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 4: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.1 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi u(x(t), t) = u(x(t), t), t a cui ( ) t 2 u 2 + x 0, t = u(x 0, 0)e t = x 2 0e t e visto che alla (2.1) si ha x 0 = x 0 (x, t) = x t2 2, si ottiene ( ) 2 u(x, t) = x t2 e t. 2 7

8 Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.2 Determinare la soluzione el problema i Cauchy u t + tu x = x u(x, 0) = x 2. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Ne cerchiamo la soluzione u = u(x, t) con il metoo elle curve caratteristiche. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = t, ẋ(t) = t, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = t2 2 + x 0, c R. (2.2) Si osservi (Figura 5) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi t u(x(t), t) = x(t) = t2 2 + x 0, a cui ( ) t 2 u 2 + x 0, t = t3 6 + ct + u(x 0, 0) = t3 6 + ct + x2 0 e visto che alla (2.2) si ha x 0 = x 0 (x, t) = x t2 2, si ottiene ( ) ( ) 2 u(x, t) = t3 6 + x t2 t + x t2, 2 2 u(x, t) = x 2 + xt xt 2 t3 3 + t4 4. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. 8

9 x 0 t Figura 5: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.2 Esercizio 2.3 Determinare la soluzione el problema i Cauchy u t + 2xtu x = u u(x, 0) = x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Ne cerchiamo la soluzione u = u(x, t) con il metoo elle curve caratteristiche. Le curve caratteristiche i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 2xt, ẋ(t) = 2xt, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t2, x 0 R. (2.3) Si osservi (Figura 6) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi u(x(t), t) = u(x(t), t), t 9

10 x 0 t Figura 6: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.3 a cui u ( ) x 0 e t2, t = u(x 0, 0)e t = x 0 e t e visto che alla (2.3) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t2, si ottiene ( u(x, t) = xe t2) e t = xe t t2. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.4 Determinare la soluzione el problema i Cauchy u t xu x = u + 1 u(x, 0) = x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Ne cerchiamo la soluzione u = u(x, t) con il metoo elle curve caratteristiche. Le curve caratteristiche i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = x, 10

11 ẋ(t) = x, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t, x 0 R. (2.4) Si osservi (Figura 7) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 7: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.4 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi a cui u(x(t), t) = u(x(t), t) + 1, t u ( x 0 e t, t ) = (u(x 0, 0) + 1)e t 1 = (x 0 + 1)e t 1 e visto che alla (2.4) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t, si ottiene u(x, t) = ( xe t + 1 ) e t 1 = xe 2t + e t 1. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. 11

12 Esercizio 2.5 Determinare la soluzione el problema i Cauchy u t + xu x = 0 1 per 0 x 1 u(x, 0) = 0 altrimenti. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy iscontinuo. Ne cerchiamo la soluzione u = u(x, t) con il metoo elle curve caratteristiche. Le curve caratteristiche i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = x, ẋ(t) = x, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t, x 0 R. (2.5) Si osservi (Figura 8) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 8: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio

13 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi a cui u(x(t), t) = 0, t u ( x 0 e t, t ) = u(x 0, 0) = 1 per 0 x altrimenti. e visto che alla (2.5) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t, si ottiene 1 per 0 xe t 1 1 per 0 x e t u(x, t) = = 0 altrimenti 0 altrimenti. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. È qui chiaro il meccanismo elle curve caratteristiche: il ato ell intervallo 0 x 1 viene propagato in tutti i punti in cui arrivano le curve caratteristiche che pescano in tale intervallo: poiché l equazione è omogenea e il ato costante, tale valore ella costante si propaga inalterata in tutta la regione i ipenenza. Esercizio 2.6 Determinare le curve caratteristiche per l equazione u t + xt 2 u x = xt 2 u e isegnarle sul piano (x, t). Successivamente, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + xt 2 u x = xt 2 u u(x, 0) = x 3. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve caratteristiche i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = xt 2, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t3 /3, x 0 R. (2.6) Si osservi (Figura 9) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini 13

14 x 0 t Figura 9: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.6 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi t u(x(t), t) = x(t)t2 u(x(t), t) = x 0 t 2 e t3 /3 u(x(t), t), a cui proceeno per separazioni i variabili, ( ) u x 0 e t3 /3, t = u(x 0, 0)e x 0 e x 0e t3 /3 = x 3 0e x 0 e x 0e t3 /3 e visto che alla (2.6) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t3 /3, si ottiene u(x, t) = ( xe t3 /3 ) 3 e xe t3 /3 e x u(x, t) = x 3 e x 1 e t3 /3 t 3. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.7 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + (2x 2t 3 )u x = x u(x, 0) = 2x. 14

15 Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Ne cerchiamo la soluzione u = u(x, t) con il metoo elle curve caratteristiche. Le curve caratteristiche i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 2x 2t 3, ẋ(t) = 2x 2t 3. Si tratta i un equazione ifferenziale lineare el prim orine. La soluzione ell omogenea associata, ẋ(t) = 2x, è ata a x(t) = ce 2t, c R. (2.7) Per risolvere l equazione ifferenziale non omogenea proceiamo con il metoo ella variazione elle costanti: cerchiamo una soluzione el tipo x(t) = c(t)e 2t, a cui sostitueno nell equazione si ha ċe 2t = 2t 3. Perciò c(t) = 2t 3 e 2t t e proceeno ripetutamente con integrazione per parti, si ha c(t) =t 3 e 2t 3t 2 e 2t t = t 3 e 2t t2 e 2t 3te 2t t = (t t ) 3 t e 2t 2 e 2t t = ( t t t ) e 2t + c. (2.8) Sostitueno la (2.8) in (2.7), la soluzione ell equazione ifferenziale, perciò, in forma cartesiana, è ata a ( x(t) = t t t + 3 ) ( + x 0 3 ) e 2t, x 0 R. (2.9) 4 4 Si osservi (Figura 10) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi ( u(x(t), t) = x(t) = t t 2 t t + 3 ) ( + x 0 3 ) e 2t,

16 x 0 t Figura 10: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.7 a cui integrano si ha u (t t t + 34 ( + x 0 3 ) ) e 2t, t 4 = t4 4 + t t t + x e 2t + u(x 0, 0) x = t4 4 + t t t + x e 2t + 2x 0 x e visto che alla (2.9) si ha ( x 0 = x 0 (x, t) = x t t2 3 2 t 3 ) e 2t , si ottiene u(x, t) = 3 ( x t t2 3 2 t 3 ) e 2t t4 4 + t t t + 1 ( x t t2 3 2 t 3 ), 4 u(x, t) = 3 2 ( x t t2 3 2 t 3 ) e 2t x t4. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. 16

17 Esercizio 2.8 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t 2xtu x = u + t u(x, 0) = 2x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 2xt, ẋ(t) = 2xt, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t2, x 0 R. (2.10) Si osservi (Figura 11) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 11: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.8 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi u(x(t), t) = u(x(t), t) + t. (2.11) t 17

18 La (2.11) è un equazione ifferenziale lineare el prim orine el tipo y = y + t L equazione ifferenziale omogenea associata ha soluzione y(t) = αe t. Cerchiamo unque una soluzione ella non omogenea el tipo (metoo ella variazione elle costanti) y(t) = α(t)e t per cui sostitueno nell equazione si ha α = te t, e integrano una volta per parti si ottiene α(t) = te t e t. Sostitueno si ottiene infin y(t) = t 1 + αe t. Abbiamo perciò che le soluzioni i (2.11) sono ate a ( ) u x 0 e t2, t = t 1 + (u(x 0, 0) + 1)e t = t 1 + ( 2x 0 + 1)e t e visto che alla (2.10) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t2, si ottiene ( u(x, t) = t xe t2) e t = t 1 + e t 2xe t+t2. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.9 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + 3t 2 u x = x 2 u(x, 0) = sin x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve caratteristiche i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 3t 2, ẋ(t) = 3t 2, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = t 3 + x 0, x 0 R. (2.12) Si osservi (Figura 12) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini 18

19 x 0 t Figura 12: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.9 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi a cui t u(x(t), t) = x(t)2 = t 6 + 2x 0 t 3 + x 2 0, u ( t 3 + x 0, t ) = t7 7 + x 0 2 t4 + x 2 0t + u(x 0, 0) = t7 7 + x 0 2 t4 + x 2 0t + sin x 0 e visto che alla (2.12) si ha x 0 = x 0 (x, t) = x t 3, si ottiene u(x, t) = 9 14 t7 3 2 xt4 + x 2 t + sin ( x t 3). Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.10 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + 2te x u x = e x u(x, 0) = x. La soluzione così trovata è globalmente efinita? 19

20 Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 2te x, ẋ(t) = 2te x, a cui, proceeno per separazioni i variabili, si trova che la soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = log ( t 2 + c ), c R : t 2 + c > 0. Tenuto conto che è fonamentale che le caratteristiche peschino il ato su t = 0 per propagarlo, siamo perciò interessati solo a quelle caratteristiche efinite per t = 0, 0 < c = e x 0 e quini x(t) = log ( t 2 + e x 0 ), x 0 R. (2.13) È chiaro che tali curve caratteristiche non riempiono tutto il piano ma solo la regione e x t 2 > 0. Si ha poi x 0 t Figura 13: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.10 t u(x(t), t) = ex(t) = t 2 + e x 0, 20

21 a cui u ( log ( t 2 + e x 0 ), t ) = t3 3 + ex 0 t + u(x 0, 0) = t3 3 + ex 0 t + x 0 e visto che alla (2.13) si ha x 0 = x 0 (x, t) = log(e x t 2 ), si ottiene u(x, t) = 2 3 t3 + te x + log(e x t 2 ), efinita nella regione e x/2 < t < e x/2. La soluzione non è pertanto efinita globalmente. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.11 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t log(t + 1)u x = 2ut u(x, 0) = e x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy il cui ominio i efinizione è il semipiano t > 1. Ne cerchiamo la soluzione u = u(x, t) con il metoo elle curve caratteristiche. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = log(1 + t), ẋ(t) = log(1 + t), la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = (1 + t) log(1 + t) + t + x 0, x 0 R. (2.14) Si osservi (Figura 14) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il semipiano t > 1. Si ha poi u(x(t), t) = 2tu(x(t), t), t 21

22 x 1 0 t Figura 14: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.11 a cui u ( (1 + t) log(1 + t) + t + x 0, t) = u(x 0, 0)e t2 = e x 0 e t2 e visto che alla (2.14) si ha x 0 = x 0 (x, t) = x t + (1 + t) log(1 + t), si ottiene u(x, t) = e (x t+(1+t) log(1+t)+t2 ). Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.12 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + e t u x = x 2 u(x, 0) = x 1. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = e t, 22

23 ẋ(t) = e t, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = e t + x 0 1, x 0 R. (2.15) Si osservi (Figura 15) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 15: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.12 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi a cui t u(x(t), t) = x(t)2 = e 2t + 2(x 0 1)e t + (x 0 1) 2, u ( e t + x 0 1, t ) = 1 2 e2t + 2(x 0 1)e t + (x 0 1) 2 t + u(x 0, 0) 1 2 2(x 0 1) = 1 2 e2t + 2(x 0 1)e t + (x 0 1) 2 t x e visto che alla (2.15) si ha x 0 = x 0 (x, t) = x e t + 1, si ottiene u(x, t) = 1 2 ( e 2t 1 ) + ( 2e t 1 ) ( x e t) + ( x e t) 2 t. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. 23

24 Esercizio 2.13 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + (x + t 2 )u x = xu u(x, 0) = 1. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = x + t 2, ẋ(t) = x + t 2. (2.16) La soluzione ell omogenea associata, x = x, è ata a x(t) = αe t ; cerchiamo una soluzione particolare ella non omogenea el tipo p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 e sostitueno nella (2.16) 2 si trova p(t) = t 2 2t 2 a cui la soluzione generale ella (2.16) 2 x(t) = t 2 2t 2 + (x 0 + 2)e t, x 0 R. (2.17) Si osservi (Figura 16) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi t u(x(t), t) = x(t)u(x(t), t) = ( t 2 2t 2 + (x 0 + 2)e t) u(x(t), t), a cui proceeno per separazione i variabili, u ( t 2 2t 2 + (x 0 + 2)e t, t ) = u(x 0, 0)e (x 0+2) e = e (x 0+2) e t3 3 t2 2t+(x 0 +2)e t t3 3 t2 2t+(x 0 +2)e t e visto che alla (2.17) si ha x 0 = x 0 (x, t) = ( x + t 2 + 2t + 2 ) e t 2, si ottiene u(x, t) = e (x+t2 +2t+2)e t e t3 3 t2 2t+x+t 2 +2t+2 per cui la soluzione el problema può essere scritta come u(x, t) = e t3 3 t2 2t+(1 e t )(x+t 2 +2t+2). Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto., 24

25 x 0 t Figura 16: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.13 Esercizio 2.14 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + te t u x = 3x u(x, 0) = x + 3. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = te t, ẋ(t) = te t, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = te t e t + x 0 + 1, x 0 R. (2.18) Si osservi (Figura 17) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi t u(x(t), t) = 3x(t) = 3tet 3e t + 3(x 0 + 1), 25

26 x 0 t Figura 17: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.14 a cui u ( te t e t + x 0 + 1, t ) = 3te t 6e t + 3(x 0 + 1)t + u(x 0, 0) + 6 = 3te t 6e t + 3(x 0 + 1)t + x e visto che alla (2.18) si ha x 0 = x 0 (x, t) = x te t + e t 1, si ottiene u(x, t) = 3xt 3t 2 e t + 5te t 5e t + x + 8. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.15 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + 5xt 2 u x = u + 2 u(x, 0) = x + 2. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 5xt 2, 26

27 ẋ(t) = 5xt 2, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e 5 3 t3, x 0 R. (2.19) Si osservi (Figura 18) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 18: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.15 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi u(x(t), t) = u(x(t), t) + 2, t equazione ifferenziale el prim orine la cui soluzione è ata a ( ) u x 0 e 5 3 t3, t = (u(x 0, 0) + 2)e t 2 = (x 0 + 4)e t 2 e visto che alla (2.19) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe 5 3 t3, si ottiene u(x, t) = xe t 5 3 t3 + 4e t 2. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. 27

28 Esercizio 2.16 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + (xt + t)u x = 4 u(x, 0) = 2x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = xt + t, ẋ(t) = xt + t, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = (x 0 + 1)e t2 /2 1, x 0 R. (2.20) Si osservi (Figura 19) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 19: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.16 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi u(x(t), t) = 4, t 28

29 equazione ifferenziale el prim orine la cui soluzione è ata a ( ) u (x 0 + 1)e t2 /2 1, t = 4t + u(x 0, 0) = 4t + 2x 0 e visto che alla (2.20) si ha x 0 = x 0 (x, t) = (x + 1)e t2 /2 1, si ottiene u(x, t) = 4t 2 + 2(x + 1)e t2 /2. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.17 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + 3xt 5 u x = t 5 x + 2t u(x, 0) = x 3. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 3xt 5, ẋ(t) = 3xt 5, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t6 /2, x 0 R. (2.21) Si osservi (Figura 20) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi a cui t u(x(t), t) = t5 x(t) + 2t = x 0 t 5 e t6 /2 + 2t, u ( ) x 0 e t6 /2, t = x 0 /2 3 et6 + t 2 + u(x 0, 0) x 0 3 = x 0 /2 3 et6 + t 2 + x 3 0 x 0 3 e visto che alla (2.21) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t6 /2, si ottiene u(x, t) = x 3 + t2 + x 3 e 3 2 t6 x 3 e t6 /2. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. 29

30 x 0 t Figura 20: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.17 Esercizio 2.18 Utilizzano il metoo elle curve caratteristiche, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + (t + x)e t u x = xt u(x, 0) = x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = t + x, ẋ(t) = t + x, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = (x 0 + 1)e t 1 t, x 0 R. (2.22) Si osservi (Figura 21) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi t u(x(t), t) = tx(t) = t ( (x 0 + 1)e t t 1 ) = (x 0 + 1)te t t t 2, 30

31 x 0 t Figura 21: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.18 a cui u ( (x 0 + 1)e t t 1, t ) = (x 0 + 1)(te t e t ) + u(x 0, 0) x 0 1 t2 2 t3 3 = (x 0 + 1)(te t e t ) 1 t2 2 t3 3 e visto che alla (2.18) si ha x 0 = x 0 (x, t) = e t (x + t + 1) 1, si ottiene u(x, t) = xt x + t e t (x + t + 1) t2 2 t3 3. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.19 Determinare le curve caratteristiche per l equazione u t + (x + 2)u x = u + 2t e isegnarle sul piano (x, t). Successivamente, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + (x + 2)u x = u + 2t u(x, 0) = x. 31

32 Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = x + 2, ẋ(t) = x + 2, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = (x 0 + 2)e t 2 x 0 R. (2.23) Si osservi (Figura 22) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini x 0 t Figura 22: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.19 pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi che l equazione alle erivate parziali lungo le caratteristiche iviene u(x(t), t) = u(x(t), t) + 2t, (2.24) t un equazione ifferenziale el prim orine non omogenea, y = y + 2t. Una sua soluzione particolare può essere ricercata tra i polinomi el prim orine, p(t) = a + bt, a cui sostitueno si trova p(t) = 2 2t. La 32

33 soluzione ell omogenea associata è invece y(t) = ke t. generale ell equazione (2.24) è ata a Perciò l integrale u ( (x 0 + 2)e t 2, t ) = (u(x 0, 0) + 2)e t 2 2t = (x 0 + 2)e t 2 2t e visto che alla (2.23) si ha x 0 = x 0 (x, t) = e t (x + 2) 2, si ottiene u(x, t) = ( e t (x + 2) ) e t 2 2t = x 2t. Lo stuente iligente può verificare facilmente che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.20 Determinare le curve caratteristiche per l equazione u t + 2tx u x = 0 e isegnarle sul piano (x, t). Successivamente, eterminare la soluzione el problema i Cauchy u t + 2tx u x = 0 u(x, 0) = x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy continuo ma non erivabile. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = 2tx, ẋ(t) = 2tx, la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t2, x 0 R. (2.25) Si osservi (Figura 23) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi a cui u(x(t), t) = 0, t u ( ) x 0 e t2, t = u(x 0, 0) = x 0 33

34 x 0 t Figura 23: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.20 e visto che alla (2.25) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t2, si ottiene u(x, t) = xe t2 = x e t2. Lo stuente iligente può verificare che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. Esercizio 2.21 Determinare la soluzione el problema i Cauchy u t + xu x = 2 + u u(x, 0) = x. Risoluzione. Si tratta i una equazione alle erivate parziali in ue variabili lineare el prim orine con ato i Cauchy. Le curve i tale equazione, una famiglia a un parametro, sono efinite al sistema inamico in (x, t) = (x(s), t(s)) ṫ = 1 ẋ = x, ẋ(t) = x, 34

35 x 0 t Figura 24: Curve caratteristiche ell equazione alle erivate parziali ell Esercizio 2.21 la cui soluzione, in forma cartesiana, è ata a x(t) = x 0 e t, x 0 R. (2.26) Si osservi (Figura 24) che tutte le caratteristiche intersecano t = 0 e quini pescano il ato per propagarlo su tutto il piano. Si ha poi a cui u(x(t), t) = 2 + u(x(t), t) t u ( x 0 e t, t ) = (u(x 0, 0) + 2)e t 2 = (x 0 + 2)e t 2 e visto che alla (2.26) si ha x 0 = x 0 (x, t) = xe t, si ottiene u(x, t) = ( xe t + 2 ) e t 2 = x + 2e t 2. Lo stuente iligente può verificare facilmente che tale u = u(x, t) risolve effettivamente il problema i Cauchy proposto. 35