LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

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1 LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale di A ( x ) uno e un solo numero reale di B ( y ). f : A B e si legge f è una funzione da A a B Sia x A e y B ; se f x a y :, cioè se ( x) y y si chiama IMMAGINE di x mediante f f =, A è il DOMINIO della funzione e si indica con D. Il CODOMINIO della funzione è invece l insieme delle immagini degli elementi di A. C B N. B. Se parlo della funzione come relazione tra insiemi uso nella simbologia matematica un freccia semplice: f : A B ; se invece parlo di una funzione come relazione tra elementi di un insieme allora uso una freccia diversa: f : x a y x si chiama VARIABILE INDIPENDENTE y si chiama VARIABILE DIPENDENTE (dipende dalla x scelta) La funzione può essere assegnata con un espressione analitica, ovvero con una formula matematica, per es. 3 = x + 3 analoga a 3 y = x + 3 analoga a 3 x a x + 3 Una funzione si può esprimere in due modi:. forma IMPLICITA se f ( x; y) = 0 per es. 3 x + y 6 = 0. forma ESPLICITA se 3 y = per es. y = x + 3 /3

2 Esistono funzioni, dette FUNZIONI DEFINITE PER CASI, date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente. Esempi significativi:. funzione VALORE ASSOLUTO x x 0 y = x = x x < 0. funzione SEGNO x 0 y = sign( x) = x < 0 3. funzione PARTE INTERA n n x n + y = [ x] = ( n + ) ( n + ) x n tradotto: la funzione parte intera associa ad ogni numero reale x il più grande numero intero minore o uguale a x. /3

3 Come abbiamo visto nella pagina precedente, di una funzione si può anche disegnare il GRAFICO, cioè l insieme dei punti del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f. Possiamo inoltre cercare l intersezione della funzione con gli assi cartesiani (ponendo a sistema la funzione una volta con x = 0 e una volta con y = 0 ). FUNZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI Le funzioni possono essere classificate in ALGEBRICHE e TRASCENDENTI. Una funzione si dice ALGEBRICA se contiene, nella variabile x, solo addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, elevamento a potenza, estrazione di radice. Tra le funzioni algebriche troviamo le razionali intere (funzioni espresse mediante polinomio), che a loro volta possono essere lineari (se di primo grado rispetto alla x ) o quadratiche (se di secondo grado rispetto alla x ). le razionali fratte (funzioni espresse mediante quoziente di polinomi) le irrazionali (funzioni in cui la x compare sotto il segno di radice) Tutte le altre funzioni sono TRASCENDENTI. Riassumendo: FUNZIONE ALGEBRICA TRASCENDENTE y = senx x y = e RAZIONALE INTERA RAZIONALE FRATTA x y = 3 x + IRRAZIONALE y = x + LINEARE y = 5 x + 7 QUADRATICA y = x 3x + Per una funzione algebrica, il GRADO della funzione è il grado del polinomio. CAMPO DI ESISTENZA E SEGNO DI UNA FUNZIONE Il CAMPO DI ESISTENZA (C.E.) di una funzione è il sottoinsieme più ampio di R in cui la funzione può essere definita. Spesso lo si fa coincidere con il dominio. Di seguito, una tabella riassuntiva delle principali funzioni e dei relativi campi di esistenza: 3/3

4 Funzioni razionali intere Funzioni razionali fratte Funzioni irrazionali Funzione Campo di esistenza Esempio y = a x + a x a P( x) y = Q( x) n n 3 0 n R y 3x 4x 7 (P e Q polinomi) y n = con n pari { x x } R, 0,... x k con Q x ) Q( x ) =... = Q( x ) ( 0 = k = { x R 0} 0 = + x D = R x y = 3 x + 5 3x x 3 5 D = R 3 6 y = 3x 6 3x 6 0 x [ ) D = ;+ Funzioni goniometriche = con n dispari Campo di esistenza di f (x) y n [ f (x)] α y = con α > 0 e irrazionale { x R 0} g ( x) y = [ ] { x R > 0} C. E. g( x) y = log a a > 0 a y = a > 0 { x R > 0} a a Campo di esistenza di f (x) y = senx, y = cos x R y = tgx π R + kπ 4/3 3x = 3 x y x 0 x D = R { } ( +) 3 y = x x + 0 x D = ; + x+ y = (x) [ 0,+ ) R D = [ 0;+ ) y = Log( 3x 4) 4 3 x 4 > 0 x > 3 4 D = ;+ ) 3 y D = R x 4 = 3 + ) y = sen( 4x + ) D = R y = tg( 3x) π D = R + kπ

5 y = ctgx R { kπ} y = arcsenx, y = arccos x [, ] y = arctgx, y = arcctgx R y = ctgx D = R { kπ} y = arcsen( x ) D = [, ] y = arctg( x 4) D = R Di una funzione si può studiare anche il SEGNO, ossia si può cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il valore di y è positivo, nullo o negativo. y = x 6 è positiva per x > 3 è nulla per x = 3 è negativa per x < 3 Quindi il grafico sarà nella parte non colorata del piano cartesiano. 5/3

6 I GRAFICI Le traslazioni a. Grafico di ( x a) f : traslo il grafico a destra di a unità di misura (udm); se avessi dovuto disegnare f ( x + a) avrei traslato il grafico a sinistra di a udm. b. Grafico di y + b = : traslo il grafico verso l alto di b udm; se avessi avuto = avrei traslato y f ( x) b il grafico verso il basso di b udm. Le simmetrie a. Grafico di y = f (x). Simmetria rispetto all asse x b. Grafico di y = f ( x). Simmetria rispetto all asse y 6/3

7 c. Grafico di y = f ( x). Simmetria rispetto ad O d. Grafico di y = f (x). Simmetria rispetto all asse delle x della parte negativa del grafico. e. Grafico di f ( x ) y =. Per 0 x il grafico rimane uguale; mentre per x negativo il grafico è il simmetrico rispetto all asse y di, x > 0. Le dilatazioni x f, > m a. Grafico di = m. Dilatazione orizzontale. y 7/3

8 x y = f, m < m b. Grafico di. Contrazione orizzontale. c. Grafico di y = n, n >. Dilatazione verticale. d. Grafico di y = n, n <. Contrazione verticale. 8/3

9 LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE Una funzione da A a B si dice: INIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A SURIETTIVA se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A BIIETTIVA se è sia iniettiva che suriettiva (si dice anche biunivoca o bijettiva) y = x- è sia iniettiva che suriettiva perché a ogni valore scelto sull asse y corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull asse x. La funzione è quindi biiettiva. y = x + 4 è suriettiva se si considera come insieme B quello degli y tali che y 4, ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un y diverso da 4, esso è immagine di due valori distinti di x. LE FUNZIONI CRESCENTI, DECRESCENTI, MONOTÒNE Una funzione da A a B si dice: CRESCENTE se x < x f ( x) < f ( x ) (si dice anche crescente in senso stretto) CRESCENTE in senso lato se x < x f x ) f ( ) ( x 9/3

10 x = x se se se x < x < 3 x 3 Crescente in senso lato in R Una funzione da A a B si dice: DECRESCENTE se x < x f ( x) > f ( x ) (si dice anche decrescente in senso stretto) DECRESCENTE in senso lato se x < x f x ) f ( ) ( x y = x + Una funzione da A a B si dice MONOTÒNA se è sempre crescente o sempre decrescente. Una funzione monotòna in senso stretto è sempre iniettiva. LE FUNZIONI PERIODICHE Una funzione y = f (x) si dice PERIODICA di periodo T, con T>0, se k Z si ha = f ( x + kt ). In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo. 0/3

11 y = tg(x) LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI Una funzione y = f (x) si dice PARI se x D si ha = f ( x). Se una funzione è espressa analiticamente e contiene soltanto potenze della x con esponente pari, allora è pari. x' = x y' = y Quindi le funzioni pari sono simmetriche rispetto all asse delle y. y = x è pari perché sostituendo a x il suo opposto x si ottiene ancora y. /3

12 Una funzione y = f (x) si dice DISPARI se x D si ha = f ( x). Se una funzione è espressa analiticamente e contiene soltanto potenze della x con esponente dispari, allora è dispari. x' = x y' = y Quindi le funzioni dispari sono simmetriche rispetto all origine degli assi. 3 y = 3x è dispari perché sostituendo a x il suo opposto x si ottiene -y. ATTENZIONE: una funzione che non è pari non è necessariamente dispari. y = x + x non è né pari né dispari; lo possiamo vedere graficamente non essendoci né simmetria rispetto all asse y né rispetto ad O. Infatti: f ( x) = ( x) + ( x) = x x /3

13 LA FUNZIONE INVERSA Data una funzione f biiettiva da A a B, la funzione INVERSA di f è la funzione biiettiva f da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che f (x) y =. Se una funzione ammette l inversa allora è invertibile. Graficamente la funzione inversa è simmetrica a f rispetto alla bisettrice del /3 quadrante. LE FUNZIONI COMPOSTE Data due funzioni f : A B e g : B C indichiamo con go f o y = g( ) la funzione COMPOSTA da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l immagine mediante g dell immagine di x mediante f. Nella composizione di funzioni non vale la proprietà commutativa: go f f o g. A go f B C x f(x) y g(f(x)) f g = x e g ( x) = x + g o f si legge g composto f. g f si legge g di f di x ( ( x)) go f = g( ) = g( x ) = x + ( ) f o g = f ( g( x)) = f ( x + ) = x + ATTENZIONE: Se si compone la funzione f con la sua inversa f, si ottiene la FUNZIONE IDENTITÀ che associa ad ogni elementi di un insieme se stesso: f f x = f ( ( )) ( f ( x )) = x. 3/3

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