APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

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1 APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

2 Indice 1 Le funzioni nel discreto Le funzioni nel discreto La rappresentazione grafica Esercizi Le funzioni reali Introduzione (dai numeri Naturali ai numeri Reali) Le funzioni numeriche La rappresentazione grafica di una funzione reale La classificazione delle funzioni Il grafico di alcune funzioni La funzione costante f(x) = numero La funzione f(x) = mx + q La funzione f(x) = ax 2 + bx + c Funzioni continue Alcune funzioni discontinue Le funzioni definite per casi La funzione parte intera di x I iti Definizione e verifica di un ite Il calcolo di un ite Il calcolo del ite in un punto non appartenente al dominio I iti per x tendente a più o meno infinito Le potenze con esponente frazionario Le forme indeterminate Lo Studio di Funzione (prima parte) Le sei fasi dello Studio di Funzione Gli asintoti

3 2.9.3 Gli asintoti verticali Gli asintoti orizzontali Gli asintoti obliqui I primi 4 punti dello studio di funzione La derivata di una funzione Il problema delle tangenti Ripasso di geometria analitica della retta: il coefficiente angolare Ripasso di geometria analitica della retta: equazione delle infinite rette passanti per un punto Dalla retta secante alla retta tangente Definizione di derivata in un punto. Significato geometrico della derivata Funzioni derivabili. Relazione fra funzioni continue e derivabili La funzione derivata Tavole di derivazione Regole di derivazione Le funzioni composte Crescenza, decrescenza, massimi e minimi di una funzione La derivata seconda e la concavità e convessità delle funzioni (solo per funzioni razionali intere) Studio completo di alcune funzioni Esercizi

4 Capitolo 1 Le funzioni nel discreto 1.1 Le funzioni nel discreto Si può osservare che nei testi di analisi la parola più ricorrente è senz altro funzione. Essa rappresenta un concetto che riveste un importanza fondamentale nello studio della matematica. Proviamo ad introdurla dando una definizione certamente imperfetta ma che per il momento è sufficiente per i nostri scopi: Definizione di funzione. Dati 2 insiemi A e B si definisce funzione da A a B (e si indica con f : A B) una regola che associa ogni elemento di A ad al più un elemento di B. Osservazione. Capiamo subito perchè la definizione è imperfetta: abbiamo spostato il problema di definire la funzione, nel problema di definire cos è una regola. Per ora accontentiamoci del significato intuitivo che diamo a questa parola. Osservazione. L espressione al più all interno della definizione di funzione significa che possono esserci elementi di A a cui non è associato nessun elemento di B e altri elementi di A a cui è associato un elemento di B. L importante è che nessun elemento di A sia associato a più di un elemento di B. Esempio Si considerino gli insiemi A = {Spagna, Portogallo, Germania, Italia, Gran Bretagna, Norvegia} e B = {Firenze, Berlino, Atene, Lisbona, Oslo } e f la regola che associa alla nazione le città in essa contenute. Ci chiediamo se f è una funzione: per esserlo, nessun elemento di A deve essere associato a più di un elemento di B. Osservando la figura 1.1 notiamo che qualche elemento di A (Portogallo, Germania, Italia e Norvegia) è associato ad un elemento di B, mentre gli elementi di A, Spagna e Gran Bretagna, non sono associati a nessun elemento di B. Quindi nessun elemento di A è associato a più di un elemento di B. Pertanto f risponde alla definizione di funzione.

5 Alessandro Bocconi 4 A B Spagna Norvegia Germania Italia Berlino Atene Oslo Lisbona Gran Bretagna Portogallo Firenze Figura 1.1: Le frecce indicano le associazioni fra elementi di A e B secondo la regola f Possiamo ora dare la seguente: Definizione di dominio. Il dominio di una funzione f : A B è l insieme degli elementi di A che sono associati, tramite f, ad un elemento di B. Il dominio si indica con la lettera D. Nell esempio precedente il dominio risulta quindi: D = {P ortogallo, Germania, Italia, N orvegia} Ovviamente il dominio di f è un sottoinsieme di A (in simboli D A). Generalmente indichiamo con la lettera x un generico elemento di A e con la lettera y un generico elemento di B. Definizione di immagine. Se x appartiene al dominio di f, con l espressione y = f(x) si intende un elemento y appartenente a B associato a x tramite la regola f. In questo caso si dice che y è l immagine di x tramite f. Considerando l esempio precedente, scegliendo ad esempio x =Germania, abbiamo che y = f(germania) = Berlino Pertanto Berlino (che appartiene a B) è l immagine dell elemento Germania che appartiene ad A.

6 Alessandro Bocconi 5 A B cane topo gatto l g leone p giraffa Figura 1.2: Il fatto che a 2 elementi di A corrisponda lo stesso elemento di B non contraddice la definizione di funzione Definizione di codominio. Il sottoinsieme di B costituito da tutte le immagini di f si dice codominio. Nell esempio precedente il codominio è costituito da: Esempi {Lisbona, Firenze, Oslo, Berlino} Si consideri nuovamente la regola f che associa alla nazione le città in essa contenute, applicata agli insiemi A = {Spagna, Portogallo} e B = {Madrid, Lisbona, Barcellona}. f è una funzione? Osserviamo che all elemento Spagna appartenente ad A, f associa due elementi di B (Madrid e Barcellona). Pertanto f non è una funzione. Siano A = {cane, gatto, topo, leone, giraffa} e B = {g, l, p} ed f : A B la regola che associa ad ogni parola la sua iniziale. Dire se f è una funzione e, in caso affermativo, determinare dominio e codominio. Rappresentiamo graficamente la situazione (figura 1.2). Osserviamo che f è una funzione (nessun elemento di A è associato a più di un elemento di B). Il dominio risulta: D = {gatto, leone, giraffa} ed il codominio: {g, l}

7 Alessandro Bocconi 6 Definizione di funzione suriettiva. Una funzione f : A B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Definizione di funzione iniettiva. Una funzione f : A B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A. Definizione di funzione biiettiva. Una funzione f : A B si dice biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva Osservazione. Una funzione per essere iniettiva o suriettiva deve essere, prima di tutto, una funzione. Quindi nel caso che f non sia una funzione non ha senso verificare se è iniettiva o suriettiva. Osservazione. Se una funzione è suriettiva, il codominio coincide con B. Esempi Stabilire se la funzione dell ultimo esempio (quello delle iniziali) è suriettiva e se è iniettiva. Per essere suriettiva ogni elemento di B deve essere immagine di almeno un elemento di A. Si osserva che l elemento p non è immagine di nessun elemento di A pertanto f non è suriettiva. Per essere iniettiva ogni elemento di B deve essere immagine di al più un elemento di A. Si osserva che l elemento g di B è immagine sia dell elemento gatto che dell elemento giraffa di A. Pertanto f non è iniettiva. Si considerino gli insiemi A = {2, 3, 7, 5} e B = {25, 6} e f : A B la regola che associa ad un numero i suoi multipli. Osserviamo che f : A B è una funzione (nessun elemento di A ha più di un immagine in B). Il dominio risulta: D = {2, 3, 5} e il codominio: {25, 6} Per essere suriettiva ogni elemento di B deve essere immagine di almeno un elemento di A. E cosi è, infatti il codominio della funzione coincide con B. Pertanto f è suriettiva. Per essere iniettiva ogni elemento di B deve essere immagine di al più un elemento di A. Si osserva che l elemento 6 di B è immagine sia dell elemento 2 che dell elemento 3 di A. Pertanto f non è iniettiva.

8 Alessandro Bocconi 7 A B Figura 1.3: Dal grafico si possono dedurre varie proprietà della funzione La rappresentazione grafica Estremamente utile, come abbiamo visto, è usare una rappresentazione grafica per descrivere la funzione e tramite essa dedurre alcune proprietà. In particolare, una volta rappresentati gli insiemi A e B e effettuate con le frecce le associazioni, si ricava che: f è una funzione se da nessun elemento di A parte più di una freccia. Il dominio di f è costituito da tutti gli elementi di A da cui parte una freccia. Il codominio di f è costituito da tutti gli elementi di B a cui arriva una freccia. f è suriettiva se a tutti gli elementi di B arriva almeno una freccia. f è iniettiva se a tutti gli elementi di B arriva al più una freccia. Esempio Rappresentiamo graficamente l ultimo esempio (figura 1.3) e osserviamo che: f è una funzione perché da nessun elemento di A parte più di una freccia. Il dominio di f è costituito da tutti gli elementi di A da cui parte una freccia, quindi D = {2, 3, 5}. Il codominio di f è costituito da tutti gli elementi di B a cui arriva una freccia, quindi {6, 25}. f è suriettiva perché a tutti gli elementi di B arriva almeno una freccia. f non è iniettiva perché all elemento 6 di B arriva più di una freccia.

9 Alessandro Bocconi Esercizi Parafrafo Si considerino gli insiemi A = {a; b; c; d} e B = {cuore; diamante; attore; arena}, e la legge f che associa ad ogni lettera dell insieme A una parola che comincia con tale lettera dell insieme B. (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo). 2. Si considerino gli insiemi A = {Mosca; Barcellona; Londra; Madrid; P arigi; Roma} e B = {F rancia; Spagna; Inghilterra; Russia} e la legge f che associa ad ogni città dell insieme A una nazione dell insieme B. (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo). 3. Si considerino gli insiemi A = {3; 5; 6; 2} e B = {no; colore; mela; parte} e la legge f che associa ad ogni numero dell insieme A una parola con quel numero di lettere dell insieme B. (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo). 4. Si considerino gli insiemi A = {20; 19; 7} e B = {2; 7; 4} e la legge f che associa ad ogni numero dell insieme A un suo divisore nell insieme B. (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo). 5. Si considerino gli insiemi A = {x 2 5x + 6; x 2 1; x 2 + 4x + 4} e B = {(x + 2) 2 ; (x 1)(x + 1); (x 2)(x 3)} e la legge f che associa ad ogni polinomio di A la sua scomposizione nell insieme B.

10 Alessandro Bocconi 9 (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo). 6. Si considerino gli insiemi A = {9; 25; 7; 3} e B = {1; 5; 7} e la legge f che associa ad ogni numero di A la sua radice quadrata nell insieme B. (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo). 7. Si considerino gli insiemi A = {calcio; tennis; ciclismo; basket} e B = {F ederer; Nadal; Roncaglia; Armstrong; Jordan} e la legge f che associa ad ogni sport di A degli atleti che hanno praticato o praticano quello sport nell insieme B. (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo). 8. Si considerino gli insiemi A = {P DL; UDC; P D} e B = {Bersani; Alfano; Casini} e la legge f che associa ad ogni partito politico di A dei politici che fanno parte di quel partito nell insieme B. (a) Si rappresenti graficamente (con i sacchetti e le frecce), la legge sopra descritta. (b) Si dica se tale legge è una funzione (se non lo è si spieghi il motivo). Rispondere alle successive 3 domande solo se la legge è una funzione (c) Si determini il dominio di f. (d) Si dica se f è iniettiva (se non lo è si spieghi il motivo). (e) Si dica se f è suriettiva (se non lo è si spieghi il motivo).

11 Capitolo 2 Le funzioni reali 2.1 Introduzione (dai numeri Naturali ai numeri Reali) Rispetto al capitolo precedente, considereremo funzioni numeriche in cui sia l insieme di partenza (quello che abbiamo chiamato A) che l insieme di arrivo (quello che abbiamo chiamato B) è costituito dall insieme dei numeri reali R (o da suoi sottoinsiemi). Per proseguire è quindi necessario riprendere alcune caratteristiche dei numeri reali. Il primo insieme numerico che abbiamo studiato è stato l insieme N dei numeri naturali. insieme ben si rappresentava su una semiretta orientata con l origine nello 0 (figura 2.1). Purtroppo tale insieme non era del tutto soddisfacente in quanto le operazioni della sottrazione e della divisione non sempre erano eseguibili nei numeri naturali. Si considerino ad esempio le seguenti operazioni: : 3 né questa sottrazione né questa divisione ammettono un risultato nei numeri Naturali. Per sopperire a tale problema, dopo molti secoli e molti sforzi, sono stati definiti i numeri con il segno, detti i numeri interi Z. Nei numeri interi un numero è dotato di segno e di un valore assoluto: quindi abbiamo +5 (segno + e valore assoluto 5), 4, 0 (che è l unico numero senza segno). Per una semplificazione di notazioni si è identificato l insieme degli interi positivi con i numeri naturali, e quindi il numero 5 ed il numero +5 hanno assunto lo stesso significato, col risultato che, in un espressione con i numeri interi, si può sottintendere il segno + per i numeri positivi. Tale Figura 2.1: La semiretta dei numeri Naturali 10

12 Alessandro Bocconi Figura 2.2: La retta dei numeri interi Tornando alla sottrazione precedente, 3 7 che, senza la semplificazione apena descritta, avrebbe dovuto scriversi (+3) (+7), nei numeri interi ha risultato 4. Anche l insieme Z ammette una relazione d ordine, cioé un criterio che ci permette di stabilire, presa una qualunque coppia di elementi, quale elemento è minore dell altro: 1. Ogni numero negativo è minore di 0, che a sua volta è minore di ogni numero positivo. 2. presi due numeri negativi è minore quello che ha il valore assoluto maggiore (ad esempio 7 è minore di 3). 3. presi due numeri positivi è minore quello che ha il valore assoluto minore. Possiamo quindi rappresentare i numeri interi su una retta orientata (figura 2.2) Osservazione. Per molti autori è quantomeno improprio considerare l insieme dei numeri interi un ampliamento dei numeri naturali. Per loro è un errore sottintendere il segno + e quindi se in un espressione i numeri sono sprovvisti di segno significa che è un espressione nei numeri naturali, in caso contrario, se tutti i numeri hanno il segno, l espressione è con i numeri interi. Non deve succedere che alcuni numeri hanno segno e altri no! Pur condividendo le perplessità di tali autori, in questa trattazione si usa la semplificazione citata in precedenza. Resta il problema della divisione: anche nei numeri interi non ha risultato la divisione 10 : 3. Per risolvere questo problema nasce l insieme dei numeri razionali Q, costituito da tutte le frazioni a b ridotte ai minimi termini con b 0. Anche le frazioni possono avere segno e, se non lo hanno, è sottinteso che siano positive. La divisione precedente acquista quindi risultato: 10 : 3 = 10 3 Anche presa una qualunque coppia di numeri razionali possiamo stabilire quale è minore dell altro: a b < c d se a d < b c Possiamo quindi rappresentare anche i numeri razionali su una retta orientata, con la sostanziale differenza, rispetto ai precedenti insiemi numerici, che i numeri razionali sono estremamente fitti (il termine corretto sarebbe densi ) all interno della retta. Basti pensare che, preso sulla retta un qualunque intervallo piccolo a piacere, tale intervallo contiene infiniti numeri razionali.

13 Alessandro Bocconi 12 Però, a differenza di quanto si potrebbe pensare, i numeri razionali non esauriscono tutti i punti della retta. In altre parole se la retta contenesse solo numeri razionali presenterebbe dei buchi. I buchi sono costituiti dai cosiddetti numeri irrazionali (cioè non razionali). Ad esempio si potrebbe dimostrare che la radice quadrata di qualunque numero che non è un quadrato perfetto (come 1, 4, 9, 16, 25, 36...) è un numero irrazionale, cioè non esiste una frazione di numeri interi uguale a quel numero. Il lettore si ricorderà che per i numeri con un numero finito di cifre decimali, oppure con un numero infinito di cifre decimali in cui un gruppo di cifre decimali si ripete infinitamente (numeri periodici), si può determinare una frazione equivalente a tale numero. Invece per i numeri con infinite cifre decimali, ma non periodici, non esiste nessuna frazione ad essi equivalente. Questi numeri costituiscono l insieme dei numeri irrazionali. Ad esempio 2 = 1, dove i puntini significano che le cifre decimali continuano infinitamente. Si osservi che tale numero decimale non è periodico e quindi siamo di fronte ad un numero irrazionale. Possiamo quindi ribadire la: Definizione di insieme dei numeri reali. L insieme dei razionali, unito all insieme degli irrazionali, costituisce l insieme dei numeri reali (che si indica con R). Per i numeri reali vale la seguente importantissima proprietà: Proprietà di continuità dei numeri reali. Se disegnamo una retta, è possibile stabilire la seguente corrispondenza fra tale retta e i numeri reali: ad ogni punto della retta corrisponde un numero reale; ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta ; per questo motivo, essendo la retta continua (cioè priva di buchi ), questa proprietà si dice di continuità dei numeri reali. 2.2 Le funzioni numeriche Il paragrafo precedente è servito, oltre che per evidenziare alcune caratteristiche degli insiemi numerici, anche per capire che, per le funzioni numeriche reali, non è possibile usare la rappresentazione usata per le funzioni discrete. In quel caso infatti era possibile isolare un elemento dall altro, cosa che, come si è visto, non è possibile fare per i numeri reali. Ci occuperemo successivamente della rappresentazione grafica di tali funzioni. Adesso vediamo come le definizioni date nel caso di funzioni discrete possono essere riadattate per le funzioni numeriche reali (che d ora in poi chiameremo semplicemente funzioni reali). Definizione di funzione reale. Si definisce funzione reale (e si indica con f : R R) una regola che associa ogni numero reale ad al più un altro numero reale.

14 Alessandro Bocconi 13 Definizione di dominio. Il dominio di una funzione reale è l insieme dei numeri reali che sono associati, tramite f, ad un altro numero reale. Il dominio si indica con la lettera D. Definizione di immagine. Se x appartiene al dominio di f, con l espressione y = f(x) si intende un numero reale y associato a x tramite la regola f. In questo caso si dice che y è l immagine di x tramite f. Osservazione. Le definizioni appena date si accordano con quelle del discreto sostituendo A e B con l insieme dei numeri reali. Nelle funzioni reali la regola che associa gli elementi è un espressione contenente la variabile x. Sono ad esempio funzioni: Esempio f(x) = 3x 5; f(x) = 4x 3 13x + 4; f(x) = x 2 5x + 6; f(x) = x + 3 2x 2 5 Data la funzione reale f(x) = 3x 5 determinare l immagine dei numeri 2; 1; 3 2. L immagine y si determina ponendo y = f(x), quindi, in questo caso y = 3x 5. Per trovare l immagine del numero 2, che si indica con f(2) basta sostituire il numero 2 alla x nell espressione 3x 5. Pertanto: f(2) = = 1 Quindi l immagine di x = 2 è y = 1. Analogamente si determinano le immagini degli altri numeri trovando: se x = 1, f( 1) = 3 ( 1) 5 = 8 quindi y = 8. se x = 3 2, f(3 2 ) = 3 ( 3 2 ) 5 = 1 2 quindi y = 1 2. Osservazione. Non tutte le espressioni contenenti la x sono funzioni. Si consideri ad esempio: f(x) = ±x essa non rapresenta una funzione in quanto ogni numero ha due immagini (ad esempio se x = 3, f(3) è uguale sia a 3 che a 3) contraddicendo la definizione di funzione. D ora in poi comunque le espressioni che considereremo saranno sempre funzioni. 2.3 La rappresentazione grafica di una funzione reale Abbiamo già sottolineato che il metodo di rappresentazione grafica usata per le funzioni discrete, non è applicabile per le funzioni reali. Nel primo paragrafo di questo capitolo abbiamo inoltre evidenziato che l insieme dei numeri reali è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, pertanto la retta orientata è il miglior modo di rappresentare l insieme dei numeri reali. Consideriamo adesso la funzione f(x) = 2x 1. Prendiamo 3 numeri qualunque, ad esempio 2; 1; 3 2 e facilmente ricaviamo le rispettive immagini: 3; 3; 2 e adottiamo la seguente rappresentazione (figura 2.3):

15 Alessandro Bocconi /2 R R Figura 2.3: Le frecce stabiliscono le associazioni fra l insieme dei numeri reali di partenza e l insieme dei numeri reali di arrivo y /2-1 2 x. -3 Figura 2.4: Ogni punto rappresenta un associazione fra il numero e la sua immagine. È immediato osservare che se avessimo considerato più associazioni (e quindi più frecce) il grafico di figura 2.3 sarebbe molto meno leggibile, fino a diventare assolutamente inutile per numeri elevati di associazioni. La rappresentazione grafica più efficace e universalmente adottata è quella sul piano cartesiano: l asse delle ascisse (asse x) rappresenta l insieme dei numeri reali di partenza, e l asse delle ordinate (asse y) rappresenta l insieme dei numeri reali di arrivo. Nella funzione precedente (f(x) = 2x 1) l immagine del punto 2 è 3, pertanto l associazione è rappresentata tramite il punto (2; 3) (figura 2.4) se avessimo considerato più punti la rappresentazione sarebbe stata ugualmente chiara. Possiamo adesso dare la fondamentale: Definizione di grafico di una funzione. Il grafico di una funzione è l insieme degli infiniti punti (x; y = f(x)) con x appartenente al dominio della funzione. L obiettivo dello studio di una funzione è quello, partendo dalla sua espressione, di disegnare il suo grafico sul piano cartesiano. Nei prossimi paragrafi capiremo come.

16 Alessandro Bocconi 15 Funzioni reali Funzioni razionali Funzioni irrazionali Funzioni razionali intere Funzioni razionali fratte Funzioni irrazionali algebriche Funzioni irrazionali trascendenti Figura 2.5: La classificazione delle funzioni. 2.4 La classificazione delle funzioni Nel paragrafo 2.1, abbiamo ricordato come i numeri reali fossero composti da numeri razionali e numeri irrazionali. Tramite queste categorie possiamo classificare le funzioni secondo lo schema di figura 2.5. Le funzioni razionali (dette così perché ogni valore intero di x ha come immagine un numero razionale) si dividono in funzioni razionali intere e funzioni razionali fratte. Una funzione razionale intera è un polinomio nell incognita x; sono funzioni razionali intere, ad esempio, f(x) = x 3 5x ; f(x) = 3x 5 12x x + 1; f(x) = 5x Una funzione razionale fratta è un rapporto fra due polinomi (quindi è una frazione algebrica); sono funzioni razionali fratte, ad esempio, f(x) = x3 5x ; f(x) = x x + 1 3x 10 Per comprendere la distinzione fra funzioni irrazionali algebriche e trascendenti, bisogna sapere che i numeri irrazionali si dividono in 2 categorie: gli irrazionali algebrici e gli irrazionali trascendenti. Valgono le seguenti 2 definizioni: Definizione di numero irrazionale algebrico. Un numero irrazionale si dice algebrico se può essere soluzione di un equazione a coefficienti interi. Risulta quindi che il numero 2 è irrazionale algebrico in quanto è soluzione dell equazione x 2 = 2 Definizione di numero irrazionale trascendente. Un numero irrazionale si dice trascendente se non è algebrico. I due numeri trascendenti più famosi sono pi grego π, e il numero di nepero e. Quindi le funzioni irrazionali algebriche sono quelle in cui un espressione contenente la x è sotto una radice. Sono ad esempio funzioni irrazionali algebriche le seguenti: f(x) = x 3 5x ; f(x) = 5 5x + 10

17 Alessandro Bocconi 16 Le funzioni irrazionali trascendenti che considereremo sono le esponenziali (quelle in cui la x si trova all esponente) e logaritmiche. 2.5 Il grafico di alcune funzioni La funzione costante f(x) = numero Disegnare il grafico della funzione f(x) = 3 Dobbiamo disegnare il grafico della funzione y = f(x) con f(x) = 3 quindi y = 3. Tale funzione si dice costante perchè, essendo indipendente da x, i punti del grafico hanno tutti ordinata 3 a prescindere da x. Dalla geometria analitica sappiamo che y = 3 rappresenta una retta parallela all asse y figura 2.6 (Grafico A) La funzione f(x) = mx + q Disegnare il grafico della funzione f(x) = 2x + 1 Dobbiamo disegnare il grafico della funzione y = f(x) con f(x) = 2x + 1 quindi y = 2x + 1. Dalla geometria analitica sappiamo che y = 2x + 1 rappresenta una retta: quindi per disegnarla è sufficiente conoscere 2 punti appartenenti a tale retta. Per determinarli si attribuiscono a x due valori qualunque e si determinano i rispettivi valori di y sostituendo nella f(x), ad x, i valori scelti: x y Quindi i due punti hanno coordinate (0; 1) e (1; 3) e la retta è quella rappresentata in figura 2.6 (Grafico B) La funzione f(x) = ax 2 + bx + c Disegnare il grafico della funzione f(x) = x 2 2x 3 Dobbiamo disegnare il grafico della funzione y = f(x) con f(x) = x 2 2x 3 quindi y = x 2 2x 3. Dalla geometria analitica sappiamo che y = x 2 2x 3 rappresenta una parabola e, dato che il coefficente di x 2 è positivo, si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso l alto. Per disegnarla, come sappiamo, si determinano le coordinate delle eventuali intersezioni con l asse delle x, le coordinate del vertice e l intersezione con l asse y e poi si uniscono i punti. Intersezioni con l asse x: { y = x 2 2x 3 y = 0 quindi sostituendo a y della prima equazione il valore 0 otteniamo l equazione di secondo grado: Risolviamola: = b 2 4ac = ( 2) ( 3) = 16 x = b± 2a = 2±4 2 x 1 = 1 x 2 = 3 x 2 2x 3 = 0 Da cui le intersezioni con l asse x hanno coordinate ( 1; 0) e (3; 0).

18 Alessandro Bocconi 17 y 3 o x Grafico A y 3 1 o.. 1 x Grafico B Figura 2.6: La funzione costante (grafico A), e la funzione lineare (grafico B). L ascissa del vertice è il valor medio fra le ascisse delle intersezioni con l asse x, quindi: x v = L ordinata del vertice si trova sostituendo x v ad x nell equazione della parabola, quindi: quindi il vertice ha coordinate V (1; 4) Intersezione con l asse y: = 1 y v = = 4 { y = x 2 2x 3 x = 0 quindi sostituendo a x della prima equazione il valore 0 otteniamo y = 3 L intersezione con l asse y risulta quindi nel punto (0; 3). Il grafico della parabola, e quindi della funzione, è riportata in figura 2.7: Osservazione. Si noti che nel disegnare il grafico di queste 3 funzioni, ci ha aiutato il fatto di sapere, dalla geometria analitica, che tipo di figure erano (rette nei primi due casi, parabola nel terzo). Nella maggior parte delle funzioni che studieremo in seguito non potremo contare su questa conoscenza.

19 Alessandro Bocconi 18 y o x Funzioni continue Figura 2.7: La funzione è una parabola. Si osservino i seguenti tre grafici di funzioni di figura 2.8. Si nota immediatamente che mentre il grafico della prima funzione è una linea continua, i grafici delle altre due presentano un salto in corrispondenza del punto di ascissa x 0. Più precisamente: il grafico della seconda funzione passa per il punto (x 0 ; y 1 ) (ce lo dice il pallino nero posto in quel punto), ha un salto e riprende, immediatamente dopo x 0, dal valore y 1 (quando studieremo i iti capiremo meglio cosa si intende per immediatamente dopo ). il grafico della terza funzione avvicinandosi a x 0 cresce indefinitamente, ma in x 0 la funzione vale y 1 (ce lo dice il pallino nero posto nel punto (x 0 ; y 1 )) (quando studieremo i iti capiremo meglio cosa si intende per la funzione cresce indefinitamente avvicinandosi ad x 0 ). Possiamo adesso dare una definizione di funzione continua: Definizione di funzione continua. Una funzione si dice continua in x = x 0 se in tale punto il grafico della funzione non ha salti. Alcuni autori classificano le due discontinuità appena viste in maniera diversa (aggiungendone addirittura una terza). Per noi saranno semplicemente funzioni discontinue.

20 Alessandro Bocconi 19 y o x y y2 y1 o x0 x y y1 o x0 x Figura 2.8: La prima è una funzione continua, le altre due sono discontinue nel punto di ascissa x 0 Osservazione. La definizione di continuità è una definizione puntuale. In altre parole le due funzioni discontinue che abbiamo visto sono discontinue per x = x 0, ma sono continue per tutti gli altri valori di x. Definizione di funzione continua in un intervallo [a, b]. Una funzione si dice continua in un intervallo [a, b], se è continua per tutti i valori di x compresi fra a e b. Convenzione. Quando parleremo di funzione continua, intenderemo una funzione continua per qualunque valore di x appartenente al suo dominio (brevemente: continua in tutto il suo dominio). Osservazione. La definizione di continuità data in precedenza, può essere utilizzata solo se conosciamo il grafico della funzione. Dal momento però che il nostro intento sarà quello di arrivare a disegnare il grafico, partendo dall espressione della funzione, a priori non possiamo conoscere il grafico e quindi non possiamo sapere se la funzione è continua o meno. Per stabilire se una funzione è continua però, ci aiuta un importante teorema: innanzitutto osserviamo che, quando il grafico di una funzione è una retta, come nell esempio di paragrafo 2.5.2, è evidente che la funzione considerata è continua. Quindi una funzione del tipo f(x) = mx + q è sempre continua.

21 Alessandro Bocconi 20 Teorema. Sommando sottraendo o moltiplicando fra loro due funzioni continue, si ottiene una nuova funzione che è anch essa continua. Il rapporto fra due funzioni continue e la radice di una funzione continua sono anch esse funzioni continue nel loro dominio. Una conseguenza della prima parte del teorema è che tutte le funzioni razionali intere sono funzioni continue. Verifichiamolo con il seguente esempio: Dimostriamo che la funzione 3x 3 5x 2 + 7x 1 Sappiamo che una funzione del tipo f(x) = mx + q (una retta) è continua. Quindi sono continue le funzioni f(x) = 3x 5 e f(x) = x. Per il teorema è continua anche la funzione data dalla moltiplicazione di queste due funzioni (3x 5) x cioè 3x 2 5x. Ma allora è continua anche la funzione che si ottiene moltiplicando (3x 2 5x) x cioè 3x 3 5x 2. La funzione 7x 1 è continua (anch essa ha come grafico una retta), quindi anche la somma fra le due funzioni continue 3x 3 5x 2 e 7x 1 è continua, quindi f(x) = 3x 3 5x 2 + 7x 1 è continua. Osservazione. Si poteva arrivare alla conclusione che f(x) = 3x 3 5x 2 + 7x 1 è una funzione continua in vari altri modi. Veniamo alla seconda parte del teorema, che afferma che il rapporto, cioè la frazione, fra due fuzioni continue, è continua nel suo dominio. Questo significa ad esempio che la funzione f(x) = 3x3 4x + 1 x 2 5x + 6 è continua. Per determinare il suo dominio si procede in modo analogo a come si procedeva per la determinazione delle condizioni di esistenza di una frazione algebrica (il dominio e le condizioni di esistenza non sono esattamente la stessa cosa, anche se si assomigliano molto). Quindi si pone: x 2 5x che ha come soluzioni x 2 e x 3. Pertanto il denominatore si annulla per questi valori e quindi il dominio risulta: D = {x R x 2 x 3} Il teorema afferma anche che la radice di una funzione continua è una funzione continua nel suo dominio. Quindi, ad esempio, la funzione f(x) = x 2 + 3x 4 è continua nel suo dominio. Essendo una radice di indice pari il suo radicando deve essere positivo o uguale a zero. Pertanto il dominio si determina risolvendo la disequazione: x 2 + 3x 4 0 che ha come soluzioni x 4 x 1. Quindi il suo dominio è: Possiamo quindi riassumere: D = {x R x 4 x 1}

22 Alessandro Bocconi 21 Una funzione razionale intera è sempre continua e il suo dominio è composto da tutti i numeri reali: D = {x R} Una funzione razionale fratta è sempre continua nel suo dominio che è composto da tutti i valori di x che non annullano il denominatore. Una funzione irrazionale algebrica, cioè la radice di un polinomio, è sempre continua nel suo dominio: se l indice della radice è pari, il suo radicando deve essere maggiore o uguale a zero, e pertanto il dominio è costituito da quei valori di x che rendono il radicando maggiore o uguale a zero. se l indice della radice è dispari, il suo radicando può anche essere negativo, pertanto il dominio è costituito da tutti i valori di x che il radicando può assumere. Esempi Dire se è continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 5x x3 3x+4 La funzione è una funzione razionale intera: è quindi continua e il suo dominio è costituito da qualunque valore di x: D = {x R}. Dire se è continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 3x+1 x 2 +x 6 La funzione è una funzione razionale frazionaria: essendo il rapporto di due funzioni continue è anch essa continua e per determinare li suo dominio risolviamo: x 2 + x 6 = 0 che ha come soluzioni x = 3 e x = 2. Pertanto il dominio risulta: D = {x R x 3 x 2}. Dire se è continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 4 2 2x La funzione è una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua è anch essa continua. Dal momento che la radice è di indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero, pertanto il dominio si ottiene risolvendo: Il dominio risulta quindi: D = {x R x 1}. 2 2x 0 2x 2 x 1 Dire se è continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 4 3x 6 x 4 La funzione è una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua è anch essa continua. Dal momento che la radice è di indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero, pertanto il dominio si ottiene risolvendo: 3x 6 x 4 0 È una disequazione fratta che si risolve ponendo sia numeratore che denominatore maggiore di zero, e disegnando il grafico per studiare il segno. Si ottiene: D = {x R x 2 x > 4}. Dire se è continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 7 x 2 4x 10 La funzione è una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua è anch essa continua. Dal momento che la radice è di indice dispari, il radicando può essere anche minore di zero, pertanto il dominio è: D = {x R}. Dire se è continua la seguente funzione e determinare il suo dominio f(x) = 3 5x+1 x 2 3x+2

23 Alessandro Bocconi 22 La funzione è una funzione irrazionale algebrica: essendo la radice di una funzione continua è anch essa continua. La radice è di indice dispari, ma il radicando è una frazione algebrica, quindi non importa se il radicando è positivo o negativo, ma importa che il denominatore sia diverso da zero. Pertanto il dominio si ottiene risolvendo: x 2 3x + 2 = 0 che ha come risultati x = 1 e x = 2. Il dominio risulta quindi: D = {x R x 1 x 2}. Dagli esempi potrebbe sembrare che la maggior parte delle funzioni è continua. Questa impressione non è certamente vera, anche se è vero che molte funzioni che trattiamo comunemente sono continue. Nel paragrafo successivo descriviamo alcune funzioni discontinue. 2.7 Alcune funzioni discontinue Le funzioni definite per casi Le funzioni definite per casi sono funzioni che cambiano la loro espressione in funzione del valore di x. Vediamole con un esempio: { 5x 3 se x 1 f(x) = 2x + 1 se x > 1 Questa funzione vale 5x 3 per valori di x 1, e vale 2x + 1 se x > 1. Se vogliamo calcolarci, ad esempio, f(0), f(4) e f(1) procediamo nel seguente modo: 0 è minore di 1 pertanto dobbiamo sostituire 0 alla x nell espressione 5x 3. Quindi f(0) = = 3. 4 è maggiore di 1 pertanto dobbiamo sostituire 4 alla x nell espressione x + 1. Quindi f(4) = = 9. 1 è uguale a 1 pertanto dobbiamo sostituire 1 alla x nell espressione 5x 2 (perché tale espressione vale sia per x < 1 sia per x = 1). Quindi f(1) = = 2. Osservazione. Nelle funzioni definite per casi, nei valori in cui la funzione varia espressione, quindi nell esempio precedente in x = 1, deve esserci uno e un solo caso in cui sia compreso l uguale, altrimenti la funzione non è ben definita. Per quanto riguarda la continuità si osserva che sia 5x 3 sia 2x+1 sono funzioni continue. L unico punto in cui questa funzione potrebbe non essere continua è in quel valore di x in cui la funzione cambia aspetto, cioè in x = 1. Per verificarlo bisogna sostituire il valore 1 nelle due espressioni. Se si ottiene lo stesso risultato la funzione è continua, altrimenti non lo è: sostituendo 1 a x nell espressione 5x 3 si ottiene 2. Sostituendo 1 a x nell espressione 2x + 1 si ottiene 3. Quindi la funzione non è continua in x = 1 e quindi non è continua. Tale situazione è ben rappresentata dal grafico della funzione in figura 2.9:

24 Alessandro Bocconi 23 y y=2x o x -3 y=5x-3 x=1 Figura 2.9: Il pallino nero sta a indicare, per x = 1, dove passa il grafico della funzione. In questo esempio è stato facile disegnare il grafico in quanto i due casi della funzione sono equazioni di rette È interessante studiare il dominio delle funzioni definite per casi. Facciamolo tramite i seguenti: Esempi Determinare il dominio della funzione definita per casi: f(x) = { 2x 7 x 10 se x 2 3x + 1 se x > 2 Si osserva che il secondo caso della funzione ha come dominio tutto l insieme dei numeri reali. Il primo caso è una funzione fratta, pertanto il denominatore deve essere diverso da zero. È facile osservare che il denominatore si annulla per x = 10. Però per x = 10 siamo nel secondo caso della funzione, quindi, dato che il denominatore non si annulla per nessun valore di x minore o uguale a 2. Pertanto il dominio risulta: D = {x R} Determinare il dominio della funzione definita per casi: { 2x 7 se x 1 f(x) = x 2 4x 5 se x > 1 Una radice quadrata deve avere radicando maggiore uguale a zero, pertanto si imposta la disequazione x 2 4x 5 0 che ha come soluzioni x 1 x 5. Osserviamo che la radice rappresenta la funzione per x > 1. Se mettiamo a sistema la soluzione della disequazione (x 1 x 5) con quella del caso (x > 1) si ottiene il dominio che risulta: D = {x R x 5}

25 Alessandro Bocconi 24 y o x Figura 2.10: La funzione è discontinua per ogni valore intero di x La funzione parte intera di x La funzione parte intera di x, che si scrive generalmente f(x) = [x], è una funzione che vale la parte intera di x. Chiariamo con degli esempi: f(2, 57) = [2, 57] = 2; f( 3, 21) = [ 3, 21] = 3; f(0, 6142) = [0, 6142] = 0; f(5) = [5] = 5 Quindi, sempre ad esempio, la funzione vale 2 per qualunque valore di x [2; 3) (dove la parentesi quadra significa che 2 appartiene all intervallo, mentre 3 non ci appartiene). Il grafico di tale funzione risulta quindi quello di figura I iti Il concetto di ite riveste un importanza fondamentale nell analisi matematica, e chiarisce cosa si intendeva nel precedente paragrafo quando affermavamo che: la funzione cresce indefinitamente avvicinandosi ad x 0 oppure x si avvicina indefinitamente ad x 0 o altre affermazioni che vedremo in seguito. Necessaria, per il proseguimento della trattazione, la definizione di intorno su una retta, d ora in poi semplicemente intorno: Definizione di intorno di un punto. Preso un punto x 0 su una retta. Si definisce intorno di centro x 0 e raggio l, (e si indica con I(x 0, l)), l intervallo sulla retta (x 0 l, x 0 + l). Esempi L intorno I(5, 1) è l intervallo (5 1; 5 + 1) cioè (4, 6). L intorno I( 2, 1 4 ) è l intervallo ( ; ) cioè ( 9 4, 7 4 ).

26 Alessandro Bocconi Definizione e verifica di un ite. Definizione di ite. Con la notazione: x x 0 f(x) = L che si legge il ite per x tendente a x 0 di f(x) è uguale a L ; si intende che: 1. fissato sull asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio piccolo a piacere (chiamiamo questo numero piccolo a piacere ε lettera greca che si legge epsilon). 2. esiste sull asse x un intorno di x 0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno, f(x) I(L, ε). In parole più semplici, ma anche meno precise, ciò significa che il valore della funzione si avvicina quanto vogliamo a L, a patto che si scelga x sufficientemente vicino a x 0. Per verificare un ite, operazione in molti casi abbastanza complicata, si procede nel modo seguente: si imposta il sistema di disequazioni: { f(x) < L + ε f(x) > L ε In questo modo f(x) appartiene all intorno I(L, ε) si risolve il sistema di disequazioni se la soluzione è un intorno di x 0 abbiamo verificato il ite. Cerchiamo di chiarire col seguente esempio: Verificare il ite: x 3 2x 1 = 5 Osserviamo che tale ite deriva dal caso generale ponendo L = 5, f(x) = 2x 1, x 0 = 3. Impostiamo il sistema di disequazioni: { 2x 1 < 5 + ε 2x 1 > 5 ε { x < 6+ε 2 x > 6 ε 2 { x < 3 + ε 2 x > 3 ε 2 Per determinare la soluzione del sistema usiamo il grafico di figura 2.11 che fornisce la soluzione: S = {x R 3 ε 2 < x < 3 + ε 2 } Essendo la soluzione un intorno di 3 (cioè di x 0 ) il ite è verificato. Verificare il ite: x 1 4x + 3 = 11 Osserviamo che tale ite deriva dal caso generale ponendo L = 11, f(x) = 4x + 3, x 0 = 1. Impostiamo il sistema di disequazioni:

27 Alessandro Bocconi ε/2 3 + ε/2 Figura 2.11: La soluzione di un sistema corrisponde all intervallo in cui sono presenti entrambe le linee del grafico { 4x + 3 < 11 + ε 4x + 3 > 11 ε { x < 8+ε 4 x > 8 ε 4 { x < 2 + ε 4 x > 2 ε 4 La soluzione del sistema è quindi (lasciamo al lettore il compito di disegnare il grafico): S = {x R 2 ε 4 < x < 2 + ε 4 } Non essendo la soluzione un intorno di 1 (cioè di x 0 ) il ite non è verificato (e quindi è sbagliato). Osservazione. Se le funzioni fossero state anche leggermente più complesse, sarebbe stato molto più difficile risolvere i sistemi e di conseguenza verificare i iti Il calcolo di un ite Nel precedente paragrafo abbiamo verificato un ite. In altre parole ci veniva assegnato in anticipo il valore del ite (cioè L) e dovevamo verificare se tale risultato era giusto (nel primo esempio lo era, mentre nel secondo no). Adesso ci occupiamo del calcolo di un ite, cioè di determinare L (e nella maggior parte dei casi è un compito più facile della verifica). Procederemo per casi. Teorema. Se x 0 appartiene al dominio di una funzione e la funzione è continua in x = x 0, allora vale: f(x) = f(x 0 ) x x 0 Il teorema ci dice quindi che se x 0 appartiene al dominio di una funzione e la funzione è continua in x = x 0, per calcolare il ite basta sostituire nella funzione a x il valore x 0. Esempi Calcolare il ite: x 3 2x 1

28 Alessandro Bocconi 27 Sappiamo che tale funzione è continua (vedi paragrafo 2.6) e che il suo dominio è: D = {x R} Quindi 3 appartiene al suo dominio. Sostituiamo nella f(x), in questo caso 2x 1, ad x il valore di x 0, in questo caso 3: = 6 1 = 5 quindi x 3 2x 1 = 5 (si osservi che è il ite che abbiamo verificato nel precedente paragrafo). Calcolare il ite: x 2 x 2 3x + 1 x 5 Sappiamo che tale funzione è continua (vedi paragrafo 2.6) e il suo dominio è: D = {x R x 5} Quindi 2 appartiene al suo dominio. Sostituiamo nella f(x), in questo caso x2 3x+1 x 5, ad x il valore di x 0, in questo caso 2: = = = 1 3 quindi x 2 x 2 3x + 1 x 5 = 1 3 Calcolare il ite: x 5 x 2 3x + 1 x 5 (è la stessa funzione di prima; è cambiato il valore a cui tende x) Dal momento che 5 non appartiene al dominio della funzione, non possiamo applicare il teorema e quindi, per ora, non sappiamo calcolare il ite Il calcolo del ite in un punto non appartenente al dominio Quando diciamo che x tende ad x 0, si intende che x, muovendosi sulla retta, si avvicina sempre di più, al punto fermo x 0. Tale avvicinamento può verificarsi in due modi, o da destra, quindi per valori di x maggiori di x 0, o da sinistra, quindi per valori di x minori di x 0 (figura 2.12). Esempio Se x 0 = 2, la successione di numeri: 2, 1; 2, 01; 2, 001; 2, 0001; 2, 00001; 2, ;... si avvicina al numero 2 con valori maggiori di 2 e quindi da destra; mentre la successione di numeri: 1, 9; 1, 99; 1, 999; 1, 9999; 1, 99999; 1, ;... si avvicina al numero 2 con valori minori di 2 e quindi da sinistra.

29 Alessandro Bocconi 28 x0 Figura 2.12: A destra di x 0 ci sono i valori maggiori di x 0, mentre a sinistra di x 0 ci sono i valori minori di x 0 Può accadere che il ite sia diverso a seconda se x tende a x 0 da destra o da sinistra. Per questo sono stati definiti l intorno destro e intorno sinistro di un punto: Definizione di intorno destro di un punto. Preso un punto x 0 su una retta. Si definisce intorno destro di centro x 0 e raggio l, (e si indica con I D (x 0, l)), l intervallo sulla retta (x 0, x 0 + l). Definizione di intorno sinistro di un punto. Preso un punto x 0 su una retta. Si definisce intorno sinistro di centro x 0 e raggio l, (e si indica con I S (x 0, l)), l intervallo sulla retta (x 0 l, x 0 ). Possiamo quindi definire il ite destro e il ite sinistro di una funzione: Definizione di ite destro. Con la notazione: x x 0 + f(x) = L si intende che: 1. fissato sull asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio epsilon. 2. esiste sull asse x un intorno destro di x 0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno, f(x) I(L, ε). Definizione di ite sinistro. Con la notazione: x x 0 f(x) = L si intende che: 1. fissato sull asse y un intorno I(L, ε) di centro L e di raggio epsilon. 2. esiste sull asse x un intorno sinistro di x 0 tale che, per qualunque x appartenente a tale intorno, f(x) I(L, ε).

30 Alessandro Bocconi 29 Quindi siamo in presenza di un ite destro se accanto al valore cui tende x c è il segno +, mentre siamo in presenza di un ite sinistro se accanto al valore cui tende x c è il segno -. Nel caso in cui non ci sia nessuno dei due segni, significa che il ite non cambia se x tende a x 0 da destra o da sinistra. Osservazione. Abbiamo titolato il paragrafo Il calcolo del ite in un punto non appartenente al dominio. Come è intuibile il ite ad un punto non appartenente al dominio esiste, se il punto che non appartiene al dominio ha un intorno (anche solo sinistro o destro) appartenente al dominio. In caso contrario non esiste il ite. Pertanto esiste il ite: 1 x 2 x 2 in quanto 2 non appartiene al dominio, ma tutti i punti appartenenti all intorno di 2 (escluso ovviamente 2) appartengono al dominio. Mentre non esiste il ite: x 5 in quanto nessun intorno di 5 appartiene al dominio della funzione. Osservazione. Non si confonda il segno che contraddistingue se il ite è destro o sinistro, con il segno del valore a cui tende il ite. Ad esempio: x x 2 f(x) vuol dire che x tende a 2 da valori minori di 2 (come 1, 9; 1, 99; 1, 999; 1, 9999; 1, 99999;...) e non che tende a 2. Così come x 2 + vuol dire che x tende a 2 da valori maggiori di 2 (come 1, 9; 1, 99; 1, 999; 1, 9999;...). Come abbiamo visto nella prima osservazione questi iti sono generalmente usati per le funzioni razionali fratte. Per capire il comportamento di tali iti, studiamo l andamento di una frazione al variare del suo denominatore. Prendiamo ad esempio la funzione f(x) = 1 x. elevato. Infatti: Se x = 0, 1 cioè x = 1 10 abbiamo che 1 x = 1 0,1 = 10 Se x = 0, 01 cioè x = abbiamo che 1 x = 1 0,01 = 100 f(x) Se x = 0, 001 cioè x = abbiamo che 1 x = 1 0,001 = 1000 Se x = 0, 0001 cioè x = abbiamo che 1 x = 1 0,0001 = Se x è vicino a zero, la frazione è un numero Ovviamente se ripetessimo questo procedimento senza mai interrompersi, la funzione crescerebbe ilitatamente. Nel linguaggio dei iti una funzione che cresce ilitatatamente si dice che tende all infinito. Ripetiamo il procedimento, soltanto che adesso ci avviciniamo a zero, scegliendo per x valori negativi: Se x = 0, 1 cioè x = 1 10 abbiamo che 1 x = 1 0,1 = 10

31 Alessandro Bocconi 30 Se x = 0, 01 cioè x = abbiamo che 1 x = 1 0,01 = 100 Se x = 0, 001 cioè x = abbiamo che 1 x = 1 0,001 = 1000 Se x = 0, 0001 cioè x = abbiamo che 1 x = 1 0,0001 = Anche qui potremmo ripetere il procedimento, e vedremmo che la frazione decrescerebbe ilitatamente. Appare chiaro comunque che, nei due casi, i comportamenti della frazione sono ben diversi (in una cresce ilitatamente e nell altra decresce ilitatamente). Nel primo caso si dice che la frazione tende a più infinito (in simboli + ), mentre nel secondo si dice che la frazione tende a meno infinito (in simboli ). Quindi se x tende a 0 da destra, la frazione 1 x tende a più infinito. Tradotto in simboli significa: 1 x 0 + x = + mentre se x tende a 0 da sinistra, la frazione 1 x tende a meno infinito. Tradotto in simboli significa: 1 x 0 x = Un modo utile per calcolare questi iti è quello di sostituire al denominatore l espressione 0 + se il denominatore si avvicina a zero da valori positivi, e l espressione 0 se si avvicina a zero da valori negativi. In questo modo è facile calcolare il ite: se al denominatore abbiamo 0 + o 0 sappiamo che la funzione tende all infinito. Per stabilire se è più o meno infinito si usa la regola dei segni della divisione. Chiariamo quanto detto con i seguenti: Esempi Calcolare Il dominio della funzione x 5 x 3 x 5 x 3 + x 3 è D = {x R x 3} Quindi siamo nel caso appena affrontato. Se x tende a 3 da valori maggiori di 3, il denominatore tende a 0 da valori maggiori di 0. Pertanto al denominatore scriveremo 0 +. Al numeratore sostituiamo 3 alla x ottenendo 2. Quindi: x 5 x 3 + x 3 = = Il valore viene dalla regola dei segni: infatti numeratore negativo fratto denominatore positivo ( più diviso meno ) rende la frazione negativa. Calcolare il ite Il dominio della funzione è D = {x R x 6} x 2 2x 20 x x Se x tende a 6 da valori maggiori di 6, il denominatore tende a 0 da valori minori di 0 (infatti se x è maggiore di 6, 6 x è minore di 0). Pertanto al denominatore scriveremo 0. Al numeratore sostituiamo 6 alla x ottenendo = = 4 Quindi: x 2 2x 20 = 4 x x 0 =

32 Alessandro Bocconi Figura 2.13: Il grafico mostra che a sinistra del 2, cioè per valori minori di 2, il trinomio x 2 3x+2 è negativo Calcolare il ite x 3 x 2 x 2 3x + 2 Ponendo il denominatore uguale a zero e risolvendo l equazione di secondo grado, si ottiene il dominio: x 2 3x + 2 = 0 x 1 = 1; x 2 = 2 Quindi il dominio risulta: D = {x R x 1 x 2} Quindi siamo nel caso del ite ad un punto non appartenente al dominio. In questo caso per capire se al denominatore abbiamo uno 0 + oppure uno 0, si imposta la disequazione: x 2 3x + 2 > 0 la cui risoluzione è immediata dal momento che già sappiamo le soluzioni dell equazione associata che sono 1 e 2. Rappresentiamo quindi x > 1 e x > 2 sul grafico di figura 2.13 Dal grafico capiamo che, per x che tende a 2 da sinistra, il denominatore x 2 3x + 2 tende a 0 con valori negativi. Pertanto al denominatore abbiamo 0. Quindi, dal momento che al numeratore, sostituendo 2 ad x, otteniamo 1, il ite risulta: x 3 x 2 x 2 3x + 2 = 1 0 = I iti per x tendente a più o meno infinito Quella che stiamo per trattare fa parte della cosiddetta Algebra degli Infiniti. Per comprendere e meglio ricordare le seguenti uguaglianze, si pensi ad un numero positivo enormemente grande quando compare il simbolo +, e ad un numero negativo enormemente grande quando compare il simbolo : + + = + (la somma di due numeri positivi enormemente grandi è ancora un numero positivo enormemente grande). = (la somma di due numeri negativi enormemente grandi è ancora un numero negativo enormemente grande). ± (± ) = ± vuol dire che infinito per infinito ha sempre come risultato infinito ed il segno del prodotto deriva dalla consueta regola dei segni della moltiplicazione.

33 Alessandro Bocconi 32 k (± ) = ± vuol dire che il prodotto di un numero (positivo o negativo) per infinito è sempre infinito ed il segno del prodotto deriva dalla consueta regola dei segni della moltiplicazione. n + = + (la radice di un numero enormemente grande, è ancora un numero enormemente grande) n = solo se n è un numero dispari. Se l indice della radice è un numero pari, n non esiste. k ± = 0 a prescindere dal segno di k e dal segno di infinito. Per capire l ultima uguaglianza si pensi a quando ci hanno spiegato per la prima volta le frazioni: ad esempio la frazione 2 5 significa tagliare una torta in 5 fette e prenderne 2; La frazione 2 25 significa prendere la stessa torta, tagliarla in 25 fette e prenderle 2. Appare chiaro che in questo caso le fette sono più piccole; 2 La frazione solo vuol dire tagliare la torta in un milione di fettine microscopiche e prenderle Se il denominatore cresce ilitatamente la fetta di torta tende a diventare così piccola da scomparire e quindi una frazione col denominatore che tende all infinito è uguale a zero. Per proseguire ci basiamo sull ovvio presupposto che: x = + x = Comprese le precedenti uguaglianze, e questi ultimi 2 iti, possiamo affrontare, tramite i seguenti esempi, il calcolo dei iti per x tendente a più o meno infinito: Esempi x2 = + infatti x 2 = x x quindi siamo nel caso + (+ ) = + x2 = + infatti ( ) = + o anche: elevato a esponente pari risulta + x3 = infatti elevato a esponente dispari risulta x3 + 5x = (+ ) = + + = + x3 + 5x = + 5 ( ) = = 4 x 3 + 5x = (+ ) = = 4 + = + 3 x 3 + 5x = ( ) = 3 = 5 = 10 x 3 + x = 10 + k ( ) = 10 = 10 = Le potenze con esponente frazionario Per proseguire è utile ricordare cosa significa una potenza con esponente frazionario. Innanzitutto sappiamo che una potenza di potenza è equivalente ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti (terza proprietà delle potenze). Quindi, ad esempio, (2 3 ) 5 = 2 15.

34 Alessandro Bocconi 33 Vogliamo adesso rappresentare un radicale, sotto forma di potenza. Prendiamo ad esempio 3 2 e chiediamoci se può essere rappresentato sotto forma di potenza di base 2, in modo che tutte le proprietà delle potenze rimangano valide. Dalla prima proprietà fondamentale dei radicali risulta che: ( 3 2) 3 = 2 quindi se vogliamo individuare un valore x tale che il radicale 3 2 sia equivalente alla potenza 2 x, cioè 3 2 = 2 x, anche 2 x elevato alla terza deve dare risultato 2. In altre parole deve valere l equazione: (2 x ) 3 = 2 usando le proprietà delle potenze, l equazione diventa: 2 3x = 2 Affinché due potenze aventi la stessa base siano uguali, devono necessariamente avere, salvo casi particolari che a noi non interessano, anche lo stesso esponente, quindi deve risultare: 3x = 1 x = 1 3 (l esponente di 2 del secondo termine è 1). Quindi possiamo dare un significato alla potenza di base 2, con esponente frazionario 1 3, ponendo = 2 Consideriamo adesso il radicale 5 a 2 e supponiamo di volerlo scrivere come potenza di base a. Sempre dalla prima proprietà fondamentale risulta che: ( 5 a 2 ) 5 = a 2 pertanto se vogliamo individuare un numero x tale che a x = 5 a 2, x deve essere tale da verificare: (a x ) 5 = a 2 a 5x = a 2 5x = 2 x = 2 5 Quindi a 2 5 = 5 a 2 Possiamo estendere allora tali risultati a qualunque potenza con esponente frazionario, mediante la seguente formula: a m n = n a m che può essere descritta nel seguente modo: un radicale di indice n che ha come radicando una potenza di base a ed esponente m, può essere scritto come una potenza di base a ed esponente una frazione che ha al numeratore, l esponente del radicando (m) e al denominatore, l indice della radice (n). Potremmo verificare, ma non lo facciamo, che le potenze con esponente frazionario, così come le abbiamo definite, soddisfano tutte le proprietà delle potenze. Esempi = = = 7 1 4

35 Alessandro Bocconi Le forme indeterminate Le forme indeterminate che tratteremo sono: Caso + : si differenzia dai casi + + e, in quanto si tratta di una somma di infiniti aventi segno diverso. In quato caso, per calcolare il ite, bisogna capire qual è l infinito più grande (forma impropria per dire l infinito di ordine maggiore). Affrontiamo la questione tramite il seguente: Esempio x2 10x Siamo nel caso +. Consideriamo la seguente tabella: x x 2 10x x 2 10x e osserviamo che x 2 cresce molto più velcemente di 10x, tanto che, al crescere di x, il termine 10x diventa sempre più trascurabile. Vale il seguente: Principio dei iti per x tendente a ±. In una somma di infiniti, l infinito di ordine maggiore è quello che ha il grado (esponente) maggiore. Il ite è equivalente ad un ite in cui compare solo il termine di grado maggiore. Quindi tornando al precedente esempio, x 2 ha grado maggiore e quindi: Esempi x2 10x = x2 = + Calcolare il seguente ite 121x3 11x 3x Il termine di grado maggiore è 3x 4, quindi possiamo trascurare tutti gli altri termini e il ite diventa: che sappiamo calcolare, infatti: 3x4 3x4 = 3 ( ) 4 = 3 (+ ) = Calcolare il seguente ite 15x2 + 8x x 5

36 Alessandro Bocconi 35 Il termine di grado maggiore è x 5 (infatti trasformato in potenza il termine diventa x 5 2 sappiamo che 5 2 > 2). Quindi possiamo trascurare tutti gli altri termini e il ite diventa: e x 5 che sappiamo calcolare, infatti: x 5 = (+ ) 5 = (+ ) = (+ ) = Calcolare il seguente ite 3 2x x x 5 Il termine di grado maggiore è +10x 5. Quindi possiamo trascurare tutti gli altri termini e il ite diventa: 3 +10x 5 che sappiamo calcolare, infatti: 3 +10x 5 = (+ ) 5 = (+ ) = 3 + = + Calcolare il seguente ite 4x3 + 3x 3 Sono due i termini di grado maggiore, ma, naturalmente, essendo simili possiamo sommarli. Quindi 4x3 + 3x 3 = x3 = (+ ) 3 = (+ ) = Caso : bisogna stabilire se l infinito di ordine maggiore è al denominatore, oppure al numeratore. Vediamo come affrontare questi iti tramite degli esempi: Calcolare il seguente ite: 2x x 3 7x + 2 Il termine di grado maggiore del numeratore è 2x 2, mentre quello del denominatore è 5x 3. Per cui il precedente ite è equivalente al seguente: Possiamo semplificare: L ultimo ite lo sappiamo calcolare: 2x 2 5x 3 = 2x 2 5x 3 2 x 2 5x 3 = 2 5x = 2 5 (+ ) = 2 + = 0 2 5x Calcolare il seguente ite: 3 x 2 + x x + 2 Il termine di grado maggiore del numeratore è 3 x 4 (equivalente a 2x 4 3 ), mentre quello del denominatore è 7x. Per cui il precedente ite è equivalente al seguente: x 4 3 7x

37 Alessandro Bocconi 36 Possiamo semplificare: x 3 7 x = x = 3 x 7 L ultimo ite lo sappiamo calcolare: 3 x = = = Calcolare il seguente ite: 2x x 3 5x 3 7x + 2 Il termine di grado maggiore del numeratore è 11x 3, mentre quello del denominatore è 5x 3. Per cui il precedente ite è equivalente al seguente: Possiamo semplificare: 11x 3 5x 3 11x 3 5x 3 = 11 x 3 5 x 3 = 11 5 Dall ultimo ite è scomparsa la x, quindi: 11 5 = 11 5 Caso 0 0 : Il caso 0 0 si manifesta quando abbiamo un ite con x tendente ad un punto x 0 (e quindi non a ± ), che annulla sia il numeratore che il denominatore, come nel seguente: Esempio Calcolare il ite: x 5 x 5 x 2 7x + 10 Determiniamo il dominio, ponendo il denominatore uguale a zero: x 2 7x + 10 = 0 x 1 = 2; x 2 = 5 Quindi il dominio risulta D = {x R x 2 x 5}: da ciò deriva anche che, sostituendo alla x il valore 5 il denominatore diventa uguale a zero. Inoltre, sostituendo alla x il valore 5 anche il numeratore diventa uguale a zero, e quindi siamo nel caso 0 0. Questi casi si affrontano scomponendo chi, fra numeratore, denominatore o tutti e due, ha grado maggiore di uno. Generalmente per scomporre si usa: l equazioni di secondo grado, o la tecnica somma prodotto se il polinomio ha grado 2; Metodo di Ruffini se il polinomio ha grado maggiore di 2 (Per un ripasso sulle scomposizioni si veda, fra le dispense Appunti di Matematica, la numero 2 dal titolo: Il calcolo letterale ).

38 Alessandro Bocconi 37 In questo caso solo il denominatore ha grado maggiore di 1 e quindi va scomposto. Dal momento che abbiamo risolto l equazione di secondo grado sappiamo che: x 2 7x + 10 = (x 2)(x 5) quindi il ite diventa: x 5 x 5 x 2 7x + 10 = x 5 x 5 (x 2) (x 5) = x 5 1 x 2 A questo punto, essendo 1 ottenendo: x 2 funzione continua nel punto x = 5, basta sostituire alla x il valore 5, x 5 1 x 2 = 1 3 Approfondiamo con i seguenti: Esempi Calcolare il ite: x 2 x 3 5x + 2 x 2 5x + 6 Determiniamo il dominio, ponendo il denominatore uguale a zero: x 2 5x + 6 = 0 x 1 = 2; x 2 = 3 Quindi il dominio risulta D = {x R x 2 x 3}: da ciò deriva anche che, sostituendo alla x il valore 2 il denominatore diventa uguale a zero. Sostituiamo adesso il valore 2 al numeratore ottenendo: Quindi siamo nel caso = = 0 Scomponiamo allora il numeratore con il metodo di Ruffini: Quindi il numeratore si scompone: x 3 5x + 2 = (x 2)(x 2 + 2x 1) Il denominatore si scompone tramite l equazione di secondo grado che abbiamo già risolto per determinare il dominio. Quindi: x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) Sostituendo nel ite, ai polinomi le relative scomposizioni, otteniamo: x 2 x 3 5x + 2 x 2 5x + 6 = x 2 (x 2) (x 2 + 2x 1) (x 2) (x 3) = x 2 x 2 + 2x 1 x 3 A questo punto, essendo x2 +2x 1 x 3 funzione continua nel punto x = 2, basta sostituire alla x il valore 2, ottenendo: x 2 + 2x 1 = = 7 x 2 x = 7

39 Alessandro Bocconi 38 Calcolare il ite: x 0 5x x 8x Determiniamo il dominio, ponendo il denominatore uguale a zero: 8x = 0 x = 0 Quindi il dominio risulta D = {x R x 0}: da ciò deriva anche che, sostituendo alla x il valore 0 il denominatore diventa uguale a zero. Sostituiamo adesso il valore 0 al numeratore ottenendo: Quindi siamo nel caso = 0 Scomponiamo allora il numeratore. Osserviamo che in questo caso possiamo adottare la tecnica del raccogento a fattor comune: 5x x = x(5x ) Il denominatore è di primo grado e quindi già scomposto. Pertanto: x 0 5x x 8x x (5x ) 5x = = x 0 8 x x 0 8 A questo punto, essendo 5x funzione continua nel punto x = 0, basta sostituire alla x il valore 0, ottenendo: x 0 5x = = Lo Studio di Funzione (prima parte) Come già detto uno dei nostri principali obiettivi è quello di saper rappresentare su un piano cartesiano il grafico di una funzione partendo dalla conoscenza della sua espressione analitica (per la sua importanza, si riguardi la definizione di grafico di una funzione, nel paragrafo 2.3 di queste dispense). Una strategia, falentare, potrebbe essere quella di dare una serie di valori alla variabile x, sostituirli nell espressione di f(x), determinando così vari punti appartenenti al grafico, come nel seguente: Esempio x 3 4 Scegliamo casualmente dei valori da attribuire ad x, ad esempio: 1; 0; 1; 2; 3 e sostituiamoli nell espressione di f(x) ottenendo: f(1) = 3; f(0) = 4; f( 1) = 5; f(2) = 4; f(3) = 23 Quindi alcuni punti appartenenti al grafico di f sono: (1; 3); (0; 4); ( 1; 5); (2; 4); (3; 23).

40 Alessandro Bocconi 39 Il problema di agire in questo modo è che non possiamo assolutamente sapere come si comporta il grafico in quei valori di x che non abbiamo sostituito. Anche la tattica di determinare tanti punti è piuttosto inutile, in quanto un grafico è formato da un infinità continua di punti! Quello che faremo quindi, è studiare qualitativamente la funzione, cercando di capire il comportamento del suo grafico per qualunque valore di x appartenente al dominio Le sei fasi dello Studio di Funzione Articoleremo lo studio di funzione nelle seguenti sei fasi: 1. L individuazione del dominio. 2. Lo studio della continuità. 3. Le intersezioni con gli assi; positività e negatività della funzione. 4. Il comportamento ai bordi del dominio: gli asintoti 5. Studio dei massimi e dei minimi; crescenza e decrescenza della funzione. 6. Studio della concavità, convessità e punti di flesso di una funzione. Ognuna di queste fasi ci fornisce informazioni sul grafico, che noi annoteremo nel piano cartesiano. Premettiamo che per gli ultimi due punti abbiamo bisogno di introdurre il concetto di derivata che tratteremo nel prossimo capitolo. Per ora ci itiamo quindi ai primi 4 punti. Osserviamo che nel quarto punto compaiono gli asintoti. Affrontiamo quindi il concetto di asintoto Gli asintoti La parola asintoto deriva dal greco e significa che non incontra. L etimologia è rispecchiata nella definizione: Definizione di asintoto di una funzione. L asintoto di una funzione è una retta a cui il grafico della funzione si avvicina infinitamente senza mai toccarla. Tale avvicinamento si verifica per x o y tendenti all infinito. Tramite esempi cercheremo di capire meglio la definizione. Per ora osserviamo che l asintoto, essendo una retta del piano cartesiano, può essere o orizzontale o verticale o obliquo Gli asintoti verticali L asintoto verticale ha, come tutte le rette verticali, equazione x = un numero. Siamo di fronte ad un asintoto verticale, quando, facendo tendere x ad un numero (e quindi calcolando il ite per x tendente ad un numero), si verifica che la funzione tende a più o meno infinito. Osserviamo che ciò può avvenire soltanto se il numero a cui tende x non appartiene al dominio della funzione, ma esiste un intorno del numero, anche solo destro o sinistro, che invece appartiene al dominio delle funzione. Per le funzioni che trattiamo, ciò avviene solo per le funzioni razionali fratte. Esempio

41 Alessandro Bocconi 40 Determinare eventuali asintoti verticali della funzione f(x) = x2 9 x 2 5x+6 Per prima cosa individuiamo il dominio ponendo il denominatore uguale a 0: x 2 5x + 6 = 0 = 1 x = 2 x = 3 Pertanto il dominio risulta: D = {x R x 2 x 3}. Una volta calcolato il dominio conviene provare a scomporre il numeratore e il denominatore della funzione per vedere se possiamo semplificare qualche fattore: x 2 5x + 6 = (x 2)(x 3) x 2 9 = (x 3)(x + 3) Pertanto la funzione può essere riscritta come: f(x) = x2 9 x 2 5x + 6 = (x 3) (x + 3) (x 2) (x 3) = x + 3 x 2 La frazione si presenta adesso in modo più semplice. Ribadiamo però che tale semplificazione può essere effettuata solo dopo aver determinato il dominio. Per quanto detto le due rette candidate ad essere asintoti verticali per questa funzione sono x = 2 e x = 3. Determiniamo allora i iti, destro e sinistro, per x tendente prima a 2 poi a 3: x + 3 x 2 x 2 = 5 0 = x + 3 x 2 + x 2 = = + Pertanto la retta x = 2 è asintoto verticale. x + 3 x 3 x 2 = 6 1 = 6 x + 3 x 3 + x 2 = 6 1 = 6 Pertanto x = 3 non è asintoto verticale. Dalla figura 2.14 osserviamo come disegnare sul grafico le informazioni ricavate. Dal momento che il ite sinistro per x tendente a 2 è meno infinito, tracciamo alla sinistra e il più vicino possibile alla retta x = 2, un segno in basso (questo sta a significare che per x tendente a 2 da sinistra la funzione tende a meno infinito). Inoltre, dal momento che il ite destro per x tendente a 2 è più infinito, tracciamo alla destra e il più vicino possibile alla retta x = 2, un segno in alto (questo sta a significare che per x tendente a 2 da destra la funzione tende a più infinito). Invece per x tendente a 3, sia da sinistra che a destra, il ite della funzione è 6. Tracciamo quindi un pallino vuoto in corrispondenza del punto di coordinate (3; 6), che sta a significare che il grafico della funzione si avvicina infinitamente al pallino senza mai toccarlo Gli asintoti orizzontali Le rette orizzontali hanno equazione y = un numero. Per vedere quindi se la funzione ha un asintoto orizzontale, considerando anche la definizione di asintoto, bisogna determinare il ite della funzione per x tendente a più infinito: se tale ite è un numero finito, la retta y = a quel numero rappresenta l asintoto orizzontale destro (destro perché x tende a più infinito). Ripetiamo il procedimento per x tendente a meno infinito: se tale ite è un numero finito, la retta y = a

42 Alessandro Bocconi 41 y (3;6) o x x=2 x=3 Figura 2.14: I segni sul piano cartesiano e il pallino vuoto indicano il comportamento del grafico per x tendente a 2 e tendente a 3 y 3/2 o x Figura 2.15: Con le informazioni che ricaveremo in seguito, sapremo quali segni cancellare dal piano cartesiano quel numero rappresenta l asintoto orizzontale sinistro). Nella maggior parte dei casi i due iti coincideranno e quindi l asintoto orizzontale destro coinciderà con quello sinistro. Se i iti precedenti sono infiniti, la funzione non ha asintoti orizzontali. Esempi Determinare eventuali asintoti orizzontali della funzione f(x) = 3x2 5x+7 2x 2 5x+6 Calcoliamo il ite della funzione per x tendente a più e meno infinito: 3x 2 5x + 7 2x 2 5x + 6 = 3x 2 5x + 7 2x 2 5x + 6 = 3 x 2 2 x 2 = x 2 2 x 2 = 3 2 Pertanto y = 3 2 è l equazione dell asintoto orizzontale (sia destro che sinistro). Per riportare questa informazione sul grafico si disegna la retta y = 3 2 e, dal momento che è sia asintoto destro che sinistro, in prossimità della retta, sia a destra che a sinistra, tracciamo un segno molto vicino alla retta. Il problema è che non sappiamo se disegnarlo sopra o sotto la retta: per il momento segniamolo sia sopra che sotto la retta, con le informazioni che ricaveremo dallo studio della funzione, sapremo poi determinare quale dei due segni è giusto e quale va cancellato (figura 2.15).. Determinare eventuali asintoti orizzontali della funzione f(x) = 3x 2 5x + 7 Calcoliamo il ite della funzione per x tendente a più e meno infinito:

43 Alessandro Bocconi 42 3x 2 5x + 7 = 3x 2 = + = + 3x 2 5x + 7 = 3x 2 = + = + Pertanto la funzione non ha asintoti orizzontali Gli asintoti obliqui Premettiamo alla trattazione due evidenti proprietà dei iti: Il ite di una somma di funzioni è uguale alla somma dei iti di ciascuna funzione (ovviamente se tali iti sono finiti). x + 1 x + 1 Esempio: 5x x 5 3x 2 = 5x x 5 x 5 3x 2 Il ite di una funzione costante è uguale alla costante stessa: Esempio: 27 = 27 Torniamo quindi agli asintoti. Nel caso la funzione non abbia asintoti orizzontali, dobbiamo verificare se ha asintoti obliqui. Le rette oblique hanno equazione y = mx + q. Per avere asintoto obliquo la funzione f(x), per x tendente all infinito, deve avere lo stesso comportamento della retta y = mx + q. In formule: f(x) = f(x) = mx + q mx + q Queste equazioni ci suggeriscono come determinare l eventuale asintoto obliquo (destro), dividendo entrambi i termini per x: f(x) = Ma dal momento che: q x = 0 e che, ovviamente: m = m mx + q Otteniamo, scambiando i termini della equazione: f(x) x = m x x + q x m = f(x) x Se il ite è finito, allora esiste l asintoto obliquo (destro) ed ha coefficiente angolare uguale al valore del ite. In tal caso possiamo ricavarci anche il termine noto q partendo dalla solita equaglianza: f(x) = Riepiloghiamo allora il: mx + q q = f(x) mx Metodo per determinare l eventuale asintoto obliquo destro della funzione.

44 Alessandro Bocconi 43 Se la funzione non ha asintoto orizzontale destro, allora potrebbe avere (ma non è sicuro) asintoto obliquo destro. f(x) Si calcola il. Se tale ite è finito l asintoto obliquo esiste ed ha coefficiente x angolare m uguale al risultato del ite. Se il ite è invece infinito, non esiste nemmeno l asintoto obliquo destro. Se l asintoto esiste bisogna calcolare il termine noto q con la formula: q = f(x) mx La retta di equazione y = mx + q è l asintoto obliquo destro cercato. Il procedimento per determinare l eventuale asintoto obliquo sinistro è identico: basta sostituire i iti per x tendente a più infinito con iti per x tendente a meno infinito. Esempi Determinare eventuali asintoti obliqui della funzione f(x) = 6x2 5x+7 2x+5 Verifichiamo prima che la funzione non abbia asintoto orizzontale calcolando il ite della funzione per x tendente a più e meno infinito: 6x 2 5x + 7 2x + 5 6x 2 5x + 7 2x + 5 = = 6x 2 2 x = x = + 6x 2 2 x = x = Pertanto non esistono asintoti orizzontali. Possiamo quindi vedere se esistono asintoti obliqui: 6x 2 5x + 7 2x + 5 6x 2 5x + 7 2x x = 1 x = 6x 2 5x + 7 2x 2 + 5x 6x 2 5x + 7 2x 2 + 5x = = 6 x 2 2 x 2 = 3 6 x 2 2 x 2 = 3 Pertanto esiste sia l asintoto obliquo destro che sinistro ed ha coefficiente angolare m = 3. Determiniamo q: q = = q = = 6x 2 5x + 7 3x = 2x x + 7 2x + 5 6x 2 5x + 7 3x = 2x x + 7 2x x 10 2x 20x 10 2x 6x 2 5x + 7 3x(2x + 5) 2x + 5 = 10 6x 2 5x + 7 3x(2x + 5) 2x + 5 = 10 = = Quindi la retta y = 3x 10 è asintoto obliquo sia destro che sinistro (figura 2.16). Determinare eventuali asintoti obliqui della funzione f(x) = 6x 2 5x + 7 6x 2 5x + 7 6x 2 15x 2x + 5 6x 2 5x + 7 6x 2 15x 2x + 5 Verifichiamo prima che la funzione non abbia asintoto orizzontale calcolando il ite della funzione per x tendente a più e meno infinito: 6x2 5x + 7 = 6x2 = + 6x2 5x + 7 = 6x2 = + Pertanto non esistono asintoti orizzontali. Possiamo quindi vedere se esistono asintoti obliqui: = =

45 Alessandro Bocconi 44 y y=3x-10 o x -10 Figura 2.16: Con le informazioni che ricaveremo in seguito, sapremo quali segni cancellare dal piano cartesiano 6x 2 5x + 7 x 6x 2 5x + 7 x = = 6x 2 x = 6x 2 x = 6x = + 6x = Essendo questi due iti infiniti, non esiste né l asintoto obliquo destro né quello sinistro. Concludiamo il paragrafo sugli asintoti con la seguente: Osservazione sugli asintoti. La presenza di asintoti verticali è indipendente dalla presenza di asintoti orizzontali o obliqui. Viceversa non può esserci contemporaneamente asintoto orizzontale e asintoto obliquo. La presenza dell asintoto obliquo è subordinata alla non presenza dell asintoto orizzontale I primi 4 punti dello studio di funzione Affrontiamo i primi 4 punti dello studio di funzione tramite i seguenti: Esempi Studiare la seguente funzione: f(x) = x 3 4x 2 + x + 6 Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = x 3 4x 2 + x ) Dominio: D = {x R}

46 Alessandro Bocconi 45 2) Continuità: La funzione è continua nel suo dominio (e quindi su tutto l insieme dei reali) 3) Intersezione con gli assi. Positività e negatività. Intersezione asse x: dal momento che l asse delle x ha equazione y = 0, le intersezioni si determinano risolvendo il sistema: { y = f(x) y = 0 quindi in questo caso: { y = x 3 4x 2 + x + 6 y = 0 Da cui, sostituendo 0 alla y nella prima equazione, e scambiando fra loro i termini, si ottiene: x 3 4x 2 + x + 6 = 0 Si tratta di un equazione di terzo grado che non sappiamo risolvere a meno di scomposizioni. Proviamo col metodo di Ruffini: Divisori di 6: {1; 1; 2; 2; 3; 3; 6; 6} P (1) = = 4 P ( 1) = ( 1) 3 4 ( 1) 2 + ( 1) + 6 = = 0 Quindi il polinomio x 3 4x 2 + x + 6 è divisibile per x + 1. Effettuiamo la divisione: Il quoziente della divisione risulta: x 2 5x + 6. Pertanto vale la seguente scomposizione: x 3 4x 2 + x + 6 = (x + 1)(x 2 5x + 6) L equazione di terzo grado precedente può quindi essere riscritta come: (x + 1)(x 2 5x + 6) = 0. Dal momento che un prodotto può essere zero se e solo se almeno uno dei due fattori è zero, le soluzioni dell equazione si trovano ponendo: x + 1 = 0 e x 2 5x + 6 = 0 La prima ha come soluzione x = 1, mentre la seconda ha soluzioni x = 2, x = 3. Pertanto le intersezioni con l asse delle x avvengono nei punti di ascissa x = 1, x = 2, x = 3. Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questi punti. Intersezione asse y: dal momento che l asse delle y ha equazione x = 0, le intersezioni si determinano risolvendo il sistema: { y = f(x) x = 0 quindi in questo caso: { y = x 3 4x 2 + x + 6 x = 0 Che ha come soluzione: { y = 6 x = 0 Pertanto l intersezione con l asse y avviene nel punto di ordinata y = 6 (disegniamo nel piano cartesiano un pallino pieno in corrispondenza di questo punto).

47 Alessandro Bocconi Figura 2.17: Determiniamo i valori di x in cui la funzione è positiva e i valori di x in cui la funzione è negativa Positività e negatività. Studiare la positività significa capire per quali valori di x la funzione è positiva, cioè quando il grafico sta sopra l asse delle x. Per questo si studia la disequazione: x 3 4x 2 + x + 6 > 0 Sapendo già le soluzioni dell equazione associata, ed essendo il coefficiente di x 3 positivo, si pone: x > 1, x > 2, x > 3 e si disegna il grafico (figura 2.17). Risulta quindi che la funzione è positiva per 1 < x < 2 e per x > 3. Nel piano cartesiano cancelliamo quindi la parte sotto l asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questi intervalli il grafico sta sopra l asse delle x). Inoltre risulta che la funzione è negativa per x < 1 e per 2 < x < 3. Nel piano cartesiano cancelliamo quindi la parte sopra l asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questi intervalli il grafico sta sotto l asse delle x). 4) Asintoti. La funzione non ha asintoti verticali in quanto non ci sono valori esclusi dal dominio. Asintoti orizzontali: x3 4x 2 + x + 6 = x3 = + x3 4x 2 + x + 6 = x3 = Pertanto non esistono asintoti orizzontali. Possiamo quindi vedere se esistono asintoti obliqui: x 3 4x 2 + x + 6 x x 3 4x 2 + x + 6 x = = x 3 x = x2 = + x 3 x = x2 = + Essendo questi due iti infiniti, non esiste né l asintoto obliquo destro né quello sinistro. Tutte le informazioni ricavate in questi 4 punti sono riportate in figura 2.18 Osservazione. Per studiare la positività della precedente funzione, punto 3, abbiamo affermato che, dal momento che il coefficiente di x 3 è positivo, possiamo porre x > 1, x > 2 e x > 3. Cosa avremmo dovuto invece fare se il coefficiente della x di grado massimo fosse stato negativo? Un modo di procedere è quello di studiare, per il solo punto 3, la funzione f(x). Spieghiamoci con il seguente esempio: Studiare la seguente funzione: f(x) = x 3 + 4x 2 x 6

48 Alessandro Bocconi 47 y 6 o x x=-1 x=2 x=3 Figura 2.18: Le informazioni ricavate nei 4 punti sono riportate nel grafico Figura 2.19: La linea tratteggiata rappresenta il fattore 1 Osserviamo che è l opposto della funzione precedente (cioè gli stessi termini, ma con i segni cambiati). Per i punti 1, 2 e 4 il fatto che il coefficiente della x di grado massimo sia negativo non porta alcun problema. Neanche con l intersezione con l asse x presenta differenze in quanto le equazioni: x 3 + 4x 2 x 6 = 0 e x 3 4x 2 + x + 6 = 0 sono equivalenti. Conviene comunque scomporre il polinomio con il coefficiente di x 3 positivo, quindi x 3 4x 2 +x+6. La sua scomposizione risulta (l abbiamo già fatta prima): x 3 4x 2 + x + 6 = (x + 1)(x 2 5x + 6). Quindi per trovare la scomposizione di x 3 + 4x 2 x 6 basta mettere un meno prima della parentesi: (x + 1)(x 2 5x + 6) Per rappresentarla sul grafico riportiamo x > 1, x > 2, x > 3. Il lo rappresentiamo con un unica linea tratteggiata. Lo studio del segno è riportato in figura Ricapitolando, per studiare la positività di un polinomio il cui coefficiente della x di grado massimo è negativo, si procede nel seguente modo: Si cambia il segno a tutti i termini del polinomio. Si trovano le soluzioni dell equazione ottenuta ponendo il polinomio (con i segni appena cambiati) uguale a zero Si rappresentano sul grafico tutte le rette x > di ciascuna soluzione trovata al punto precedente. Inoltre nello stesso grafico rappresentiamo una linea sempre tratteggiata (che indica che il polinomio originale ha coefficiente della x di grado massimo negativo)

49 Alessandro Bocconi 48 Il grafico indica la positività e la negatività del polinomio. Studiare la seguente funzione: f(x) = x2 6x+5 x 2 +2x 35 Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = x2 6x+5 x 2 +2x 35. 1) Dominio: è una funzione razionale fratta, quindi bisogna trovare i valori di x per cui si annulla il denominatore. Quindi: x 2 + 2x 35 = 0 che ha come soluzioni x = 7 e x = 5. Pertanto il dominio risulta: D = {x R x 7 x 5} Sul piano cartesiano disegniamo quindi le rette verticali x = 7 e x = 5. Prima di andare avanti scomponiamo sia il denominatore che numeratore per vedere se è possibile effettuare una semplificazione. Risulta: x 2 5x + 6 = (x 1)(x 5) e x 2 + 2x 35 = (x + 7)(x 5) Pertanto: f(x) = x2 6x + 5 x 2 + 2x 35 (x 1) (x = 5) (x + 7) (x 5) = x 1 x 5 Come sempre ricordiamo che eventuali semplificazioni possono essere effettuate solo dopo aver individuato il dominio. 2) Continuità: La funzione è continua nel suo dominio. 3) Intersezione con gli assi. Positività e negatività. Intersezione asse x: dal momento che l asse delle x ha equazione y = 0, le intersezioni si determinano risolvendo il sistema: { y = f(x) quindi in questo caso: y = 0 { y = x 1 x+7 y = 0 Da cui, sostituendo 0 alla y nella prima equazione, e scambiando fra loro i termini, si ottiene: x 1 x+7 = 0 Sappiamo che una frazione, il cui denominatore è diverso da zero, risulta uguale a zero se e solo se il numeratore è uguale a zero. Pertanto, all interno del nostro dominio, l equazione precedente equivale a: x 1 = 0 che ha ovviamente soluzione x = 1. Pertanto l unica intersezione con l asse delle x avviene nel punto di ascissa x = 1. Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questo punto. Intersezione asse y: dal momento che l asse delle y ha equazione x = 0, le intersezioni si determinano risolvendo il sistema: { y = f(x) quindi in questo caso: x = 0 { y = x 1 x+7 x = 0

50 Alessandro Bocconi Figura 2.20: Determiniamo i valori di x in cui la funzione è positiva e i valori di x in cui la funzione è negativa Che ha come soluzione: { y = 1 7 x = 0 Pertanto l intersezione con l asse y avviene nel punto di ordinata y = 1 7 (disegniamo nel piano cartesiano un pallino pieno in corrispondenza di questo punto). Positività e negatività. Studiamo la disequazione: x 1 x+7 > 0 Poniamo maggiori di zero sia il denominatore che il denominatore: x 1 > 0 x > 1 x + 7 > 0 x > 7 e rappresentiamo sul grafico di figura Risulta quindi che la funzione è positiva per x < 7 e per x > 1. Nel piano cartesiano cancelliamo quindi la parte sotto l asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questi intervalli il grafico sta sopra l asse delle x). Inoltre risulta che la funzione è negativa per 7 < x < 1. Nel piano cartesiano cancelliamo quindi la parte sopra l asse x in questo intervallo (visto che sappiamo che in questo intervallo il grafico sta sotto l asse delle x). 4) Asintoti. Asintoti verticali: i valori esclusi dal dominio sono 7 e 5. Pertanto effettueremo i iti, destro e sinistro, per x tendente a questi valori: x 1 x 7 x + 7 = 8 0 = + x 1 x 7 + x + 7 = = Pertanto la retta x = 7 è asintoto verticale. x 1 x 5 x + 7 = = 1 3 x 1 x 5 + x + 7 = = 1 3 Pertanto x = 1 non è asintoto verticale. Dal momento che il ite sinistro per x tendente a 7 è più infinito, tracciamo alla sinistra e il più vicino possibile alla retta x = 7, un segno in alto (questo sta a significare che per x tendente

51 Alessandro Bocconi 50 y y=1 (5;1/3) o -1/7 1 x x=-7 x=5 Figura 2.21: Le informazioni ricavate nei 4 punti sono riportate nel grafico a 7 da sinistra la funzione tende a più infinito). Inoltre, dal momento che il ite destro per x tendente a 7 è meno infinito, tracciamo alla destra e il più vicino possibile alla retta x = 7, un segno in basso (questo sta a significare che per x tendente a 1 da destra la funzione tende a meno infinito). Invece per x tendente a 1, sia da sinistra che a destra, il ite della funzione è 1 3. Tracciamo quindi un pallino vuoto in corrispondenza del punto di coordinate (1; 1 3 ), che sta a significare che il grafico della funzione si avvicina infinitamente al pallino senza mai toccarlo. Asintoti orizzontali: x 1 x + 7 = x 1 x + 7 = x x = 1 x x = 1 Pertanto y = 1 è asintoto orizzontale. Essendoci l asintoto orizzontale non può esserci quello obliquo. Tutte le informazioni ricavate in questi 4 punti sono riportate in figura 2.21 Studiare la seguente funzione: f(x) = 2x2 +x x Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = 2x2 +x x. 1) Dominio: è una funzione razionale fratta, quindi bisogna trovare i valori di x per cui si annulla il denominatore. Quindi: 10 3x = 0 che ha soluzione x = Pertanto il dominio risulta: D = {x R x 10 3 } Sul piano cartesiano disegniamo quindi la retta verticale x = Prima di andare avanti scomponiamo il numeratore (il denominatore non è scomponibile) per vedere se è possibile effettuare una semplificazione. Risulta (usando le equazioni di secondo grado): 2x 2 + x 3 = 2(x 1)(x 3 2 ) Pertanto nessuna semplificazione è fattibile 2) Continuità: La funzione è continua nel suo dominio. 3) Intersezione con gli assi. Positività e negatività.

52 Alessandro Bocconi 51 Intersezione asse x: quindi in questo caso: { { y = f(x) y = 0 y = 2x2 +x x y = 0 Da cui, sostituendo 0 alla y nella prima equazione, e scambiando fra loro i termini, si ottiene: 2x 2 +x x = 0 Sappiamo che una frazione, il cui denominatore è diverso da zero, risulta uguale a zero se e solo se il numeratore è uguale a zero. Pertanto, all interno del nostro dominio, l equazione precedente equivale a: 2x 2 + x 3 = 0 che ha soluzioni x = 1 e x = 3 2. Pertanto le intersezioni con l asse delle x avvengono nei punti di ascissa x = 1 e x = 3 2. Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questi punti. Intersezione asse y: { y = f(x) x = 0 quindi in questo caso: { y = 2x2 +x x x = 0 Che ha come soluzione: { y = 3 10 x = 0 Pertanto l intersezione con l asse y avviene nel punto di ordinata y = 3 cartesiano un pallino pieno in corrispondenza di questo punto). Positività e negatività. Studiamo la disequazione: 2x 2 +x x > 0 Rappresentiamo sul grafico x > 3 2, x > 1, x < 10 3 come soluzione x < 10 3 figura 2.22). 10 (disegniamo nel piano (minore perché risolvendo 10 3x > 0 si ottiene Risulta quindi che la funzione è positiva per x < 3 2 e per 1 < x < Nel piano cartesiano cancelliamo quindi la parte sotto l asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questi intervalli il grafico sta sopra l asse delle x). Inoltre risulta che la funzione è negativa per 3 2 < x < 1 e per x > Nel piano cartesiano cancelliamo quindi la parte sopra l asse x in questi 2 intervalli (visto che sappiamo che in questi intervalli il grafico sta sotto l asse delle x). 4) Asintoti. Asintoti verticali: il valore escluso dal dominio è Pertanto effettueremo i iti, destro e sinistro, per x tendente a questo valore: x x 2 + x x = = +

53 Alessandro Bocconi / /3 - Figura 2.22: Determiniamo i valori di x in cui la funzione è positiva e i valori di x in cui la funzione è negativa x x 2 + x x Pertanto la retta x = 10 3 = = è asintoto verticale. Dal momento che il ite sinistro per x tendente a 10 3 vicino possibile alla retta x = 10 3, un segno in alto. Inoltre, dal momento che il ite destro per x tendente a 10 3 e il più vicino possibile alla retta x = 10 3, un segno in basso. Asintoti orizzontali: 2x 2 + x x 2x 2 + x x = = 2x 2 3 x = 2x 2 3 x = + è più infinito, tracciamo alla sinistra e il più è meno infinito, tracciamo alla destra Pertanto la funzione non ha asintoti orizzontali e di conseguenza potrebbe avere asintoti obliqui. Per verificarlo calcoliamo i due iti: f(x) x ± x Se tale ite è un numero finito, l asintoto obliquo esiste ed è una retta che ha coefficiente angolare uguale a tale numero. Proviamo quindi con l asintoto obliquo destro: 2x 2 + x x 1 x = Adesso l asintoto obliquo sinistro: 2x 2 + x x 1 x = 2x 2 + x 3 10x 3x 2 = 2x 2 + x 3 10x 3x 2 = 2 x 2 3 x 2 = x 2 3 x 2 = 2 3 Quindi l asintoto obliquo (sia destro che sinistro) esiste ed è una retta di coefficiente angolare m = 2 3. Determiniamo allora il termine noto q con la formula: quindi: 2x 2 + x x ( 2 3 x) = 6x 2 +6x x 6x x q = = f(x) mx 3 (2x 2 + 2x 3) + 2x(10 3x) 3(10 3x) 26 x 9 x = 26 9 =

54 Alessandro Bocconi 53 y y=-2/3x-26/9-3/2-3/10 o 1 x x=10/3 Figura 2.23: Le informazioni ricavate nei 4 punti sono riportate nel grafico e 2x 2 + x x ( 2 3 x) = 6x 2 +6x x 6x x Pertanto la retta y = 2 3 x 26 9 = 3 (2x 2 + 2x 3) + 2x(10 3x) 3(10 3x) 26 x 9 x = 26 9 è asintoto obliquo sia destro che sinistro. Tutte le informazioni ricavate in questi 4 punti sono riportate in figura 2.23 Studiare la seguente funzione: f(x) = x 2 + 3x 4 Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi y = x 2 + 3x 4. 1) Dominio: è una funzione irrazionale. Essendo la radice di indice pari, per determinare il dominio bisogna porre il radicando maggiore o uguale a zero: x 2 + 3x 4 0 Le soluzioni dell equazione associata sono x = 4 e x = 1. esercizio) si ricava il dominio: D = {x R x 4 x 1} = Tracciando il grafico (lasciato per Sul piano cartesiano disegniamo quindi le rette verticali x = 4 e x = 1 e tratteggiamo la parte compresa fra le due rette, in quanto fuori dal dominio. 2) Continuità: La funzione è continua nel suo dominio. 3) Intersezione con gli assi. Positività e negatività. Intersezione asse x: { y = f(x) y = 0 quindi in questo caso: { y = x 2 + 3x 4 y = 0 Da cui, sostituendo 0 alla y nella prima equazione, e scambiando fra loro i termini, si ottiene: x 2 + 3x 4 = 0

55 Alessandro Bocconi 54 Sappiamo che una radice è uguale a zero, se e solo se il radicando è uguale a zero. all interno del nostro dominio, l equazione precedente equivale a: Pertanto, x 2 + 3x 4 = 0 che, come già sappiamo, ha soluzioni x = 1 e x = 4. Pertanto le intersezioni con l asse delle x avvengono nei punti di ascissa x = 1 e x = 4. Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questi punti. Intersezione asse y: { y = f(x) x = 0 quindi in questo caso: { y = x 2 + 3x 4 x = 0 Ma l asse y, cioè la retta di equazione x = 0, è al di fuori del dominio. Quindi non ci possono essere intersezioni con l asse y. Positività e negatività. La radice quadrata è sempre maggiore o uguale a zero nel suo dominio. Nel piano cartesiano cancelliamo quindi tutta la parte sotto l asse x. 4) Asintoti. Osservazione importante. Consideriamo l espressione x 2. Innanzitutto osserviamo che tale radice, anche se di indice pari, esiste per qualunque valore di x: infatti, anche se x è negativa, elevata alla seconda diventa positiva, e di conseguenza il radicando è sempre maggiore o uguale a zero. Inoltre ricordiamo che la radice quadrata di un numero positivo è sempre positiva. Per quanto appena osservato, risulta chiaro che la seconda proprietà fondamentale dei radicali: x 2 = x vale soltanto se x 0. Infatti per x < 0 il primo termine dell uguaglianza risulta positivo, mentre il secondo è negativo. Pertanto l uguaglianza è falsa. Ad esempio, ponendo x = 10, risulta che x 2 = 100 e che 100 = 10. Quindi l uguaglianza si trasformerebbe in: 10 = 10 che è ovviamente falsa. Si osserva però che se cambiassimo il segno al secondo termine l uguaglianza tornerebbe ad essere vera. Possiamo allora ricapitolare affermando che: se x 0 vale l uguaglianza x 2 = x se x < 0 vale l uguaglianza x 2 = x Asintoti verticali: non essendo una frazione fratta non esistono asintoti verticali Asintoti orizzontali: x 2 + 3x 4 = x 2 + 3x 4 = x 2 = + x 2 = +

56 Alessandro Bocconi 55 y Y=-x Y=x -4 o 1 x Figura 2.24: Il tratteggio più fitto indica la zona esclusa dal dominio Pertanto la funzione non ha asintoti orizzontali e di conseguenza potrebbe avere asintoti obliqui. Per verificarlo calcoliamo i due iti: f(x) x ± x Se tale ite è un numero finito, l asintoto obliquo esiste ed è una retta che ha coefficiente angolare uguale a tale numero. Proviamo quindi con l asintoto obliquo destro: x 2 + 3x 4 x 2 = x x = x x = 1 Adesso l asintoto obliquo sinistro: x 2 + 3x 4 x 2 = x x = x x = 1 (nel sostituire a x 2 il termine x abbiamo usato l Osservazione importante precedentemente affrontata. Infatti dal momento che x tende a meno infinito, significa che x è negativa) Quindi esistono sia l asintoto obliquo destro che sinistro. L asintoto obliquo destro è una retta di coefficiente angolare m = 1, mentre quello sinistro è una retta di coefficiente angolare m = 1. Per determinare il termine noto q si usa la formula: q = x ± f(x) mx ma, in questo caso, risulta per noi troppo difficoltoso determinare: x 2 + 3x 4 x x ± Per cui poniamo q = 0 e quindi la retta y = x è asintoto obliquo destro e la retta y = x è asintoto obliquo sinistro. Sottolineiamo che, nella individuazione dell asintoto obliquo, risulta assai più importante determinare la pendenza della retta, e quindi il coefficiente angolare m, piuttosto che il termine noto q. L errore che commettiamo ponendo q = 0, da un punto di vista del comportamento del grafico, è davvero poco significativo. Resta il fatto che, se è possibile determinare q come nel caso delle funzioni razionali fratte, è opportuno calcolarlo. Tutte le informazioni ricavate in questi 4 punti sono riportate in figura 2.24 Studiare la seguente funzione: { 2x + 1 se x 1 f(x) = x+2 se x > 1 x 2 +x 6

57 Alessandro Bocconi 56 Per disegnare il grafico sul piano cartesiano, poniamo y = f(x), quindi { 2x + 1 se x 1 y = x+2 se x > 1 x 2 +x 6 1) Dominio: è una funzione definita per casi. Il primo caso della funzione è razionale intera quindi non ha valori da escludere dal dominio. Il secondo caso è una funzione razionale fratta, pertanto si pone: x 2 + x 6 = 0 che ha soluzioni x = 3 e x = 2. Dal momento che il secondo caso vale per x > 1, l unico valore da escludere dal dominio è 2. Quindi: D = {x R x 2} Sul piano cartesiano disegniamo quindi la retta x = 2. 2) Continuità: L unico punto in cui la funzione può non essere continua è per x = 1 (valore di x in cui si dividono i due casi). Sostituiamo quindi ad x il valore 1 nei due casi della funzione ottenendo: { 3 se x se x > 1 Pertanto la funzione ha un salto e non è continua. Per come è definita la funzione risulta che, se x = 1, siamo nel primo caso. Pertanto risulta che y = f(1) = 3 e nel grafico mettiamo un pallino pieno nel punto di coordinate (1; 3). Mentre se sostituiamo 1 nel secondo caso della funzione otteniamo y = 3 4. Pertanto nel grafico mettiamo un pallino vuoto (il grafico ci si avvicina ma non lo tocca mai) nel punto di coordinate (1; 3 4 ). 3) Intersezione con gli assi. Positività e negatività. Intersezione asse x: quindi, dobbiamo calcolare: { y = f(x) y = 0 2x + 1 = 0 che ha soluzione x = 1 2 che possiamo accettare in quanto minore di uno e quindi rientra nel primo caso. x+2 x 2 +x 6 = 0 x + 2 = 0 x = 2 Questa soluzione non rientra nel secondo caso perchè ovviamente 2 non è maggiore di 1. Pertanto l unica intersezione con l asse delle x avviene nel punto x = 1 2. Nel piano cartesiano mettiamo un pallino pieno in corrispondenza di questi punto. Intersezione asse y: { y = f(x) x = 0 nella funzione che stiamo studiando, x = 0 appartiene al primo caso. Quindi dobbiamo risolvere: { y = 2x + 1 x = 0

58 Alessandro Bocconi /2 + 1 Figura 2.25: A noi interessa soltanto la parte di grafico a sinistra di 1 perchè siamo nel caso x Figura 2.26: A noi interessa soltanto la parte di grafico a destra di 1 perchè siamo nel caso x > 1 Che ha come risultato x = 0; y = 1. Pertanto l intersezione con l asse y avviene nel punto di ordinata y = 1. Disegniamo un pallino pieno in corrispondenza di questo punto. Positività e negatività. Essendo una funzione definita per casi dobbiamo studiare, per x 1 la positività di 2x + 1 e per x > 1, la positività di x+2 x 2 +x 6. Poniamo quindi: 2x + 1 > 0 x > 1 2 e risulta (figura 2.25) che, per x > 1 2 (ma minore uguale di 1) la funzione è positiva e quindi cancelliamo, in questo intervallo, la parte di piano sotto l asse x, mentre per x < 1 2 la funzione è negativa e quindi cancelliamo, in questo intervallo, la parte di piano sopra l asse x Venendo al secondo caso della funzione poniamo: x+2 x 2 +x 6 > 0 Dallo studio del numeratore otteniamo x > 2 mentre da quello del denominatore otteniamo x > 3 e x > 2. Ricordiamoci che siamo nel caso x > 1. Lo studio del segno è evidenziato in figura 2.26 dove risulta che, per 1 < x < 2 la funzione è negativa e quindi cancelliamo, in questo intervallo, la parte di piano sopra l asse x, mentre per x > 2 la funzione è positiva e quindi cancelliamo, in questo intervallo, la parte di piano sotto l asse x. 4) Asintoti. Asintoti verticali: l unico valore escluso dal dominio è 2. Pertanto effettueremo i iti, destro e sinistro, per x tendente a 2: x + 2 x 2 x 2 + x 6 = 4 0 = (Si verifichi per esercizio che il ite per x 2 di x 2 + x 6 tende davvero a 0 )

59 Alessandro Bocconi 58 x + 2 x 2 + x 2 + x 6 = = + (Si verifichi per esercizio che il ite per x 2 + di x 2 + x 6 tende davvero a 0 + ) Pertanto la retta x = 2 è asintoto verticale. Dal momento che il ite sinistro per x tendente a 2 è meno infinito, tracciamo alla sinistra e il più vicino possibile alla retta x = 2, un segno in basso. Inoltre, dal momento che il ite destro per x tendente a 2 è più infinito, tracciamo alla destra e il più vicino possibile alla retta x = 10 3, un segno in alto. Asintoti orizzontali: Bisogna distinguere fra asintoto orizzontale destro e asintoto orizzontale sinistro, in quanto, quando effettuiamo il ite per x tendente a più infinito, la funzione è quella del secondo caso, mentre quando effettuiamo il ite per x tendente a meno infinito, la funzione è quella del primo caso x + 2 x 2 + x 6 = x x 2 = 1 x = 0 Pertanto la funzione ha asintoto orizzontale destro che ha equazione y = 0 (l asse delle x) 2x + 1 = Pertanto la funzione non ha asintoto orizzontale sinistro e di conseguenza potrebbe avere asintoto obliquo sinistro (e non destro perchè l asintoto orizzontale destro esiste). Per verificarlo calcoliamo il ite: 2x + 1 x = 2 x x = 2 Quindi esiste l asintoto obliquo sinistro che è una retta di coefficiente angolare m = 2. Determiniamo allora il termine noto q con la formula: q = f(x) mx quindi: 2x + 1 2x = 1 Pertanto la retta y = 2x + 1 è asintoto obliquo sinistro. Osservazione. Si osservi che l asintoto obliquo coincide con il primo caso della funzione. Questo non deve stupirci, e accade sempre, se la funzione è, come nel primo caso di questa che stiamo studiando, una retta. Inoltre noi sappiamo esattamente disegnare una retta se conosciamo la sua equazione. Quindi noi potevamo disegnare la retta y = 2x + 1 (ovviamente solo per x 1), ed evitare di affrontare i 4 punti che servono per avere informazioni sul grafico che già sappiamo. In questo modo avremmo potuto affrontare i 4 punti solo per il secondo caso della funzione. Tutte le informazioni ricavate in questi 4 punti sono riportate in figura 2.27

60 Alessandro Bocconi 59 y (1;3) 1 Y=2x+1-1/2 o (-3/4;1) x X=1 X=2 Figura 2.27: L asintoto obliquo sinistro coincide con il grafico del primo caso della funzione. y B A o x Figura 2.28: La retta è tangente al grafico nel punto A anche se interseca il grafico anche nel punto B 2.10 La derivata di una funzione Lo studio della derivata di una funzione rientra nel più vasto argomento del calcolo differenziale. Tale argomento è di fondamentale importanza per la matematica e per moltissime sue applicazioni. I padri del calcolo differenziale furono due grandissimi scienziati (chiamarli matematici sarebbe riduttivo, visto i fondamentali contributi che hanno dato anche in altre discipline): Gottfried Leibnitz e Isaac Newton. Il fatto curioso è che questi due uomini, vissuti a cavallo fra il diciassettesimo e diciottesimo secolo, svilupparono contemporaneamente questa teoria, tanto che ancora oggi non possiamo affermare con certezza, se uno dei due si è ispirato (copiato?) al lavoro dell altro, oppure, per una strana coincidenza, siano arrivati alle stesse conclusioni, indipendentemente uno dall altro Il problema delle tangenti Il calcolo differenziale ha fornito risposta a tanti problemi: uno di questi, quello che ci interessa, è il cosiddetto problema delle tangenti, che consiste nell individuare, dato un punto appartenente ad una qualunque curva nel piano cartesiano, l equazione della retta tangente alla curva passante per quel punto. Bisogna premettere però che non è così banale definire la retta tangente ad una curva: finora, per certe particolari curve come ad esempio la circonferenza, la retta tangente è quella retta che interseca la circonferenza in uno e un solo punto. Tale definizione è perfettamente corretta però perde validità se la curva è il grafico di una funzione come quello descritto in figura 2.28, in cui la retta è effettivamente la tangente ma tocca il grafico in più di un punto. Nei prossimi paragrafi spiegheremo cos è la retta tangente al grafico di una funzione e come possiamo

61 Alessandro Bocconi 60 Figura 2.29: 10% significa che la strada sale di 10 metri ogni 100 metri determinare la sua equazione Ripasso di geometria analitica della retta: il coefficiente angolare Prima di procedere dobbiamo ricordare il significato geometrico del coefficiente angolare di una retta (convenzionalmente indicato con la lettera m): il coefficiente angolare misura la pendenza di una retta. Se su una strada incontriamo un cartello come quello in figura 2.29, significa che ci apprestiamo ad affrontare una salita del 10% Ma cosa vuol dire salita del 10%? Significa che ogni 100 metri la strada sale di 10 metri. Tradotto nel linguaggio della geometria analitica la salita di 10 metri rappresenta la variazione delle ordinate (l asse y) e i 100 metri rappresentano la variazione delle ascisse (l asse x).quindi la retta che indica la salita avrebbe coefficiente angolare m = = 1 10, perché la pendenza di una retta è il rapporto fra la variazione delle ordinate e la variazione delle ascisse. Il coefficiente angolare di una retta può quindi essere determinato così: si scelgono su di essa due qualunque punti A e B di coordinate rispettivamente (x A ; y A ) e (x B ; y B ). Il coefficiente angolare è dato dalla formula: m = y B y A x B x A Scegliendo il punto B di ascissa maggiore del punto A risulta che x B x A è una quantità positiva. Quindi il coefficiente angolare m risulterà positivo se la retta sale, negativo se la retta scende e uguale a zero se la retta non sale né scende, cioè è in piano. Tale situazione è rappresentata in figura Ripasso di geometria analitica della retta: equazione delle infinite rette passanti per un punto Sappiamo che per un punto passano infinite rette.

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