I numeri complessi 1. Claudio CANCELLI (

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1 I numeri complessi Claudio CANCELLI ( Ed..0 April 0

2 I numeri complessi INDICE DEI CONTENUTI. l numero complesso, forma algebrica...3. Il piano complesso, rappresentaione geometrica...5 NUMERO COMPLESSO OPPOSTO E COMPLESSO CONIUGATO Parte reale e parte immaginaria L unità immaginaria come operatore di rotaione Forma trigonometrica o polare... Dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari... Dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane Forma esponeniale Operaioni con i numeri complessi...6 SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica... 6 SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica... 6 PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica... 7 PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica... 7 QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica... 8 QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica... 8 CONSIDERAZIONI (. le mie e le v ostre..) Esercii... Ed..0 April 0

3 I numeri complessi 3. l numero complesso, forma algebrica Un numero complesso si scrive nella forma algebrica: Dove a, b sono numeri reali: a + ib (ma anche a + jb) a è la parte reale b è il coefficiente della parte immaginaria ib è la parte immaginaria; i, o j è detta unità immaginaria. Dal punto di vista matematico l unità immaginaria è un oggetto che elevato al quadrato dà come risultato, e quindi il nuovo amico immaginario è uguale alla radice di -. Figura - L'unità immaginaria Figura - i al quadrato Con l introduione dell unità immaginaria i, è così possibile calcolare la radice quadrata di Esempio: Calcolare la radice quadrata di -64. qualunque numero negativo. INTERROGATICO: esiste nell ambito dei numeri reali n numero che elevato al quadrato da come risultato - 64? RISPOSTA: NO!!!! Per tutti noi è ben chiaro che non c è soluione: non si riuscirà mai a trovare un numero che elevato al quadrato dia 64. Per definiione il quadrato di qualsiasi numero, positivo o negativo, sarà sempre positivo. Quindi la radice quadrata di un numero negativo non ha alcun significato. MA ORA, AVENDO INTRODOTTO UNO SPAZIO IMMAGINARIO, LA RISPOSTA SARA SI!!!! DEFINITA L UNITA IMMAGINARIA, i, COME: Avremo: ( ) 64 * 8i Figura 3 - Radice quadrata di -64 Ed..0 April 0

4 I numeri complessi 4 Esempio Calcolare le potene dell unità immaginaria fino all indice 4: i i i * i * ( ) i 3 i * i * i i 4 i * i ( )*( ) Ed..0 April 0

5 I numeri complessi 5. Il piano complesso, rappresentaione geometrica Dopo aver introdotto l unità immaginaria allarghiamo la nostra visione sui numeri e pensiamo ad un nuovo piano: il piano complesso. Il piano complesso è un modo per rappresentare e visualiare lo spaio dei numeri complessi, ossia dei numeri che hanno una parte reale ed una parte immaginaria. Il piano complesso è il piano cartesiano con la parte reale del numero complesso riportata sull'asse delle ascisse, x e la parte immaginaria riportata sull'asse delle ordinate, y (vedi figura 4). Tale piano prende il nome di Piano di Gauss. L'asse x pertanto è l'asse reale e l'asse y è l asse immaginario. Se pensiamo al nostro numero complesso composto a + jb, individueremo il segmento a sull asse reale ed il segmento b sull asse immaginario. Figura 4 - Piano complesso NUMERO COMPLESSO OPPOSTO E COMPLESSO CONIUGATO Dato il numero complesso, : a + jb il numero complesso opposto si ottiene cambiando il segno sia della parte reale sia della parte immaginaria: a jb mentre il numero complesso coniugato si ottiene cambiano solo il segno della parte immaginaria: Figura 5 Numero complesso opposto e complesso coniugato a jb Esempio: Dato il numero complesso, 3 + 4i calcolare l opposto ed il complesso coniugato. Il numero complesso opposto a risulta: 3 4i Il numero complesso coinugato di risulta: 3 4i Fig. 6 Espressione di un numero opposto e del complesso coniugato Ed..0 April 0

6 I numeri complessi 6 Eserciio da svolgere: Rappresenta sul piano di Gauss i seguenti numeri complessi facendo uso dello spaio sottostante, dopo aver rappresentato e quotato i due assi cartesiani: 3 + 4i i 3-4 i 4-4i Ed..0 April 0

7 I numeri complessi 7 3. Parte reale e parte immaginaria Se si effettua la somma tra il numero complesso ed il suo complesso coniugato (cambia il segno solo della parte immaginaria) ed il risultato si divide per due (figura 7) si risale facilmente, come riportato nel grafico di figura 8, alla parte reale del numero complesso Analogamente per la parte immaginaria, il risultato si ottiene effettuando la differena tra il numero complesso ed il numero complesso coniugato e dividendo il risultato per i (figure 7/8). a + b a Re( ) + b Im( ) i Figura 7 Parte reale e parte immaginaria Figura 8 Piano complesso: parte reale e parte immaginaria Esempio: dato il numero complesso 6 +i, verificare sulla base delle indicaioni fornite in figura 7, la parte reale e la parte immaginaria. 6 i i + 6 i a i (6 i) 4i b i i i Ed..0 April 0

8 I numeri complessi 8 4. L unità immaginaria come operatore di rotaione Casa vuol dire moltiplicare per -? Pensiamo ad un numero reale positivo +a posiionato sull asse dei numeri reali. Moltiplicare tale numero per - vuol dire ottenere come risultato a, e ciò corrisponde ad una rotaione di a intorno all origine di 80, o di π (vedi fig. 9) Figura 9 - Rotaione di 80 o Perché (-)(-)? Moltiplicare il numero +a due volte vuol dire effettuare una rotaione di 360, o π, come dire non effettuare alcuna rotaione. Quindi moltiplicare per + equivale ad una rotaione pari a 0 o (vedi fig. 0) Figura 0 - Rotaione di 360 o Cos e i? Moltiplicare il numero a per i, l unità immaginaria vuol dire ruotare il numero di π/ in senso antiorario (vedi fig. ). Figura - Rotaione di 90 o Perché i*i -? Moltiplicare il numero a per i vuol dire ruotare il numero di π/ + π/ π in senso antiorario e ciò, come già visto, equivale a moltiplicare il numero a per - (vedi fig. ). Figura - Rotaione di 80 o Ed..0 April 0

9 I numeri complessi 9 Ecco il numero complesso Se l unità immaginaria i è associata ad un angolo di 90, il numero complesso è l operatore che consente di ruotare il numero a di un angolo θ, variabile a piacere (vedi fig. 3). Figura 3- Rotaione di un angolo q Sul piano complesso il numero reale a è individuabile sull asse reale, mentre il numero immaginario ia, è individuabile sull asse immaginario; per estensione si può quindi affermare la seguente: CONCLUSIONE: moltiplicare un numero complesso, composto da una parte reale ed una immaginaria, per l unità immaginaria i vuole dire ruotare di 90 in senso antiorario il numero complesso. IL RISULTATO è quindi un nuovo vettore ruotato in anticipo di 90 rispetto a. Esempio: moltiplicare per l unità immaginaria i il numero complesso +i3 e giustificare il risultato. Posto w i p *w i( + i3) i + i 3 i -3 p rispetto a risulta ruotato di 90 in senso antiorario, come si può osservare dalla figura 4. Figura 4 - Prodotto di un numero complesso per l'unità immaginaria Per estensione, moltiplicare un numero complesso a + ib: per i, vuol dire ruotarlo di 90 in senso antiorario, ossia 90 -b + ia. per i, vuol dire ruotarlo di 80 in senso antiorario, ossia 80 -a -ib. per i 3 -i, vuol dire ruotarlo di 70 in senso antiorario, ossia 70 b -ia. per i 4, vuol dire ruotarlo di 360 in senso antiorario ed ottenere ancora lo stesso numero complesso a + ib. Ed..0 April 0

10 I numeri complessi 0 Esempio: dividere per l unità immaginaria il numero complesso a +ib e giustificare il risultato. a + ib a ib a ai + + b + b b ai i i i i i Il risultato è un numero complesso che ha lo stesso modulo di ma ruotato di 90 in senso orario. Dividere un numero complesso per i, equivale a moltiplicare il numero per i. CONCLUSIONE: dividere un numero complesso per l unità immaginaria i vuol dire ruotare di 90 in senso orario il numero complesso. IL RISULTATO è quindi un nuovo vettore ruotato in ritardo di 90 rispetto a. Si può pensare all unità immaginaria quindi come ad un operatore di rotaione di 90 o π/ radianti. In virtù di tale proprietà l unità immaginaria viene utiliata nelle applicaioni che richiedono di giustificare analiticamente il ritardo o l anticipo di una grandea vettoriale rispetto ad un altra di 90. Esempio : per un induttore in regime sinusoidale la tensione è in anticipo rispetto alla corrente di 90, ossia: V iωli Figura 5 - Induttore Figura 6 - Induttore, V in anticipo su I In un condensatore la tensione è in ritardo rispetto alla corrente di 90, ossia: V i ωc I Figura 7 - Condensatore Figura - Condensatore, V in ritardo sulla I Si può completare il paragrafo sostenendo che un numero complesso viene utiliato nelle applicaioni che richiedono di giustificare analiticamente il ritardo o l anticipo di una grandea vettoriale rispetto ad un altra di un angolo compreso tra 0 e 360 (vedi l esempio e il punto b delle consideraioni di paragrafo 7). Per gentile concessione da parte dei lettori ad un docente di elettronica Ed..0 April 0

11 I numeri complessi 5. Forma trigonometrica o polare Il numero complesso si può rappresentare nella forma trigonometrica (o polare) nel seguente modo: Dove: e θ ρ ρ(cosθ + i sinθ) (cosθ + isinθ ) è il modulo del numero complesso (lunghea del vettore ),, rappresenta l argomento del numero complesso (angolo che il vettore forma con l asse reale), arg Figura 9 - Modulo e argomento Con la rappresentaione polare di un numero complesso, ρ e θ rappresentano le coordinate polari del numero complesso. Dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari Tra le coordinate cartesiane del numero complesso (a,b) e le coordinate polari ρ e θ, esistono le seguenti relaioni: ρ a + b tag θ b a Im b a +b a θ a + ib tag θ Figura 0 - Relaione trigonometrica - polare b a Re Poiché ci deve essere corrispondena tra le coordinate polari e le coordinate cartesiane, vale: (cosθ + isin θ ) a + ib poiché risulta che il coseno di un angolo è uguale al cateto dell angolo opposto fratto l ipotenusa, ed il seno di un angolo è uguale al cateto dell angolo adiacente fratto l ipotenusa, vale: cosθ a a a + b senθ a + b Ed..0 April 0 b b

12 I numeri complessi Esempio: dato il numero complesso nella forma algebrica 3 +4i, calcolare il modulo, dopo averlo rappresentato sul piano di Gauss. Quanto vale l angolo che l ipotenusa forma con l asse reale? θ arctg 4/3 53 o θ Eserciio da svolgere: dato il numero complesso nella forma trigonometrica 6 +i, calcolare modulo ed argomento. Calcolare inoltre il seno ed il coseno dell argomento. ρ ,3 θ arctg(/6)arctg0,333 8,4 o cosθ cos 8,4 6/6,3 0,949 senθ sen8,4 /6,3 0,36 6 Dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane Tra le coordinate polari del numero complesso ρ e θ e le coordinate cartesiane (a,b), esistono le seguenti relaioni: a ρ cosθ a è la proieione del modulo ρ a + b sull asse reale b ρ sin θ b è la proieione del modulo ρ immaginario a + b sull asse ρsinθ ρcosθ Im b ρ a θ Re Figura - Relaione polare - trigonometrica ρ a + b b tag θ a Ed..0 April 0

13 I numeri complessi 3 Esempio: dato il numero reale positivo + 3, esprimerlo nella forma trigonometrica poiché deve risultare 3 ρ(cosθ + i sinθ ) (cosθ + isinθ ) risulta che la parte immaginaria deve essere uguale a ero, quindi senθ 0, ossia θ 0. Di conseguena cosθ, quindi ρ 3. Esempio: data l unità immaginaria + i esprimerla nella forma trigonometrica poiché deve risultare i ρ(cosθ + isinθ ) (cosθ + isinθ ) risulta che la parte reale deve essere uguale a ero, quindi cosθ 0, ossia θ 90 o. Di conseguena senθ, quindi ρ. Esempio: dato il numero 3i, esprimerlo nella forma trigonometrica poiché deve risultare risulta che la parte reale deve essere uguale a ero, quindi cosθ 0, ossia θ 90 o. Di conseguena senθ, quindi 3i ρi, ρ 3. 3i ρ(cosθ + isinθ) (cosθ + isinθ) Si comprende dalla figura sottostante la rotaione di 90 che si ottiene moltiplicando il numero 3 per l unità immaginaria i. Esempio: dato il numero complesso espresso in forma polare: 6,3(cos6,56 + isen6,56), calcolare le coordinate cartesiane a,b. Poiché il numero è nella forma ρ (cosθ + isin θ) Risulta: a 6,3*cos8,4 6,3*0,948 5,99 6,0 b 6,3*sen8,4 6,3*0,35,99,0 quindi il numero complesso in forma algebrica: 6 + i Ed..0 April 0

14 I numeri complessi 4 6. Forma esponeniale Il numero complesso si può rappresentare in forma esponeniale nel seguente modo: Dove e indica il numero di Nepero ed è la base dei numeri naturali, ρ rappresenta il modulo del numero complesso e θ l argomento del numero complesso. Le operaioni tra numeri complessi espressi in forma esponeniale seguono le proprietà delle potene. Regola del prodotto Regola del quoiente e e e ( α β ) iα iβ i + i α e : e i β e i iα n ( nα ) Regola della potena di potena ( ) i Tenendo conto delle formule di Eulero: iθ ρe e e ( α β ) e iθ Prima formula Seconda formula Tera formula Quarta formula θ e i cosθ + isinθ θ e i cosθ i sinθ e cosθ sin θ e iθ iθ + e e i iθ iθ Importante è anche la formula di De Moivre: n (ρ e iθ ) n ρ n (cos θ + i sin θ) n ρ n (cos nθ + i sin nθ) Tenendo conto della prima formula di Eulero risulta che per la rappresentaione di un numero complesso vale l identità: ρe iθ e iθ (cosθ + isinθ ) Esempio: esprimere il numero complesso π π 3 cos + isen + i 6 6 iπ 6 e in forma algebrica. Esempio: esprimere il numero complesso i in forma trigonometrica ed esponeniale. ρ + ( ) tgθ θ arctg 45 La forma trigonometrica risulta: π 4 (cos( π 4 ) + isen( π 4 ),4(cos 45 + ìsen 45) Ed..0 April 0 o

15 I numeri complessi 5 La forma esponeniale risulta: e π i 4 i 45 e Esempio: calcolare 6 + i Risulta per la formula di De Moivre: [ (cosπ isen )] ( + i) (cos + isen ) π π π π π (cos 6 + isen6 ) (cos 3 + isen3 ) 8i Esempio: calcolare i Poiché i e risulta ( i) () ( i) () e con k 0,, le soluioni risultano 3π i 3π i( + kπ ) 3π i 4 ( ) e (cos35+ isen35) ( + i ) + i ( + i ) i Ed..0 April 0

16 I numeri complessi 6 7. Operaioni con i numeri complessi E vero che i numeri complessi sono un estensione dei numeri reali: infatti il numero 5 può essere visto come un numero complesso con la parte immaginaria uguale a ero, ma è altrettanto vero che per le operaioni tra numeri complessi valgono le regole dei polinomi che tutti noi ben conosciamo! SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica Dati due numeri complessi ( a + ) e a + ) ib la somma e la differena tra i numeri e risultano: ( ib + ( a + a ) + i( b + b ) b ( a a ) + i( b ) Figura - Somma e differena, significato geometrico Esempio: dati i numeri complessi 4-3i e -3+5i, la somma e la differena tra e risultano: s + (4 3i) + ( 3+5i) 4 3i 3 + 5i + i d - (4 3i) - ( 3+5i) 4 3i + 3-5i 7-8i SOMMA e DIFFERENZA TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica Dati due numeri complessi rappresentati in forma trigonometrica: ρ (cosθ + isin θ ) ρ (cosθ + isin θ ) risulta che il numero complesso somma si ottiene + ρ (cosθ + isin θ ) + ρ (cosθ + i sin ) θ ρ cosθ + ρ cosθ + i( ρ sin θ + ρ sin θ ) Per esercitarsi on_line, possono risultare utili gli applet richiamati all indirio: Ed..0 April 0

17 I numeri complessi 7 mentre il numero complesso differena è uguale a: ρ (cosθ + isin θ ) ρ (cosθ + isin ) θ ρ cosθ ρ cosθ + i( ρ sin θ ρ sin θ ) Esempio: dati i numeri complessi in forma trigonometrica: 5(cos37 - i sen37) e -5,83(cos59 - i sen59) calcolare la somma e la differena tra i due numeri complessi Somma s + 5*cos37-5,83*cos59 + i(5*sen37 +5,83*sen59) 5*0,8 5,83*0,5 +i(-5*0,6 + 5,83*0,857) 4-,98 + i(-3+5) + i Differena d - 5*cos37-5,83*cos0 +i(5*sen37-5,83*sen59) 5*0,8 + 5,83*0,5 +i((-5*0,6-5,83*0,857) 4 +,98 +i (-3-5) 7-8i PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica Dati due numeri complessi espressi in forma algebrica: ( a + ib ) ( a + ib ) e applicando la proprietà distributiva e ricordando sempre che i -, il prodotto * risulta uguale a: ( a a b b ) + i( a b + a b ) Esempio: dati i numeri complessi 4-3i e -3+5i, il prodotto * risulta: p * (4 3i) * ( 3+5i) - 5i +i0+i i+9i 3+i9 PRODOTTO TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica Dati due numeri complessi e, rappresentati in forma trigonometrica: (cos + θ ρ θ isin ) e ρ θ + i sin ) il prodotto tra e fornisce ancora una rappresentaione polare del numero complesso con il modulo uguale al prodotto tra i moduli dei numeri complessi e con l argomento uguale alla somma degli argomenti. ρ[cosθ + isin θ ] θ ρ ρ [cos( θ + θ ) + isin( θ + )] (cos θ Ed..0 April 0

18 I numeri complessi 8 Esempio: dati i numeri complessi in forma trigonometrica: 5(cos37 - i sen37) e -5,83(cos59 - i sen59) calcolare il prodotto *. Risulta: p * 5*(-5,83)*[(cos(37+59) + isen(37+59)] -9,5*(-0,04 + i0,99) 3 + i9 QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma algebrica Dati due numeri complessi ( a + ) e a + ) il quoiente si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato di (denominatore) come di seguito riportato: Esempio: dati i numeri complessi calcolare il quoiente tra e. ib ( ib 0,433 + i0,5 e,4 + i,4 Risulta: (0,433+ i0,5) (0,433+ i0,5) (,4 i,4) *,4+ i,4 (,4+ i,4) (,4 i,4) (0,6 i0,606+ i0,35+ 0,35) (0,96 i0,56) 0,4 i0,065 (,4 +,4 ) 3,976 QUOZIENTE TRA NUMERI COMPLESSI in forma trigonometrica Dati due numeri complessi e, rappresentati in forma polare: ρ (cosθ + isin θ ) e ρ (cosθ + i sin θ ) il quoiente tra e (con diverso da ero) fornisce ancora una rappresentaione polare del numero complesso con il modulo uguale al quoiente tra i moduli dei numeri complessi e con l argomento uguale alla differena degli argomenti. Con: ρ[cosθ + isin θ ] risulta: ρ ρ /ρ e θ θ -θ ρ cos( i ρ [ θ θ ) + sin( θ )] θ Ed..0 April 0

19 I numeri complessi 9 Esempio:: dati i numeri complessi: 0,5(cos30+isen30) e,0(cos45+isen45) calcolare il quoiente tra i due numeri complessi ed esprimerlo in forma algebrica. Risulta ρ ρ /ρ 0,5/,0 0,5 e θ θ -θ -5 o Quindi 0,5(cos( -5)+isen(-5) 0,5(0,965-i0.58) 0,4 i0,065 Ed..0 April 0

20 I numeri complessi 0 CONSIDERAZIONI (. le mie e le vostre..) a. L unità immaginaria i è un operatore che ha modulo unitario e argomento -π/. Ma perché è utile nella descriione di fenomeni fisici? Valutiamo un paio di fenomeni e vediamo se l operatore immaginario ci può aiutare. a. Pensiamo a due punti che si muovono su una circonferena di moto circolare uniforme e distano di 90. Se il fenomeno fisico che li contraddistingue è il medesimo (vπrf), come si può distinguere la differena angolare tra i due punti? a. La differena di fase tra tensione e corrente in due fondamentali componenti elettrici, il condensatore e l induttore, descritti idealmente dalla capacità e dall induttana, è pari a 90 (vedi par. 4). Come può essere messo in evidena tale fenomeno, tenendo presente che la legge che li governa (Ohm) è la stessa? E l operatore j che vi viene in aiuto: in particolare è il metodo simbolico che con una semplice rappresentaione in campo complesso delle grandee reali ci consente di effettuare l analisi di tali fenomeni fisici e di molti altri. Ci si può fermare qui con l intento di aver messo in evidena solo il problema; la trattaione è rimandata alla materia disciplinare. b. Il numero complesso ρe jθ cos θ + i senθ, è un operatore che determina una rotaione intorno all origine di un angolo θ. Effettuare il prodotto tra due numeri complessi cosθ + i senθ e cos ϕ + i senϕ, vuol dire determinare una rotaione complessiva pari alla somma dei singoli argomenti di ciascun numero complesso θ e ϕ, come si può evideniare dalla figura. Figura 3 - Prodotto tra numeri complessi c.... d... Ed..0 April 0

21 I numeri complessi 8. Esercii Riempire gli spai bianchi della seguente tabella. Forma algebrica Forma geometrica Forma esponeniale - -i - - i 5-5i -8-8i 5 5 3i π π cos + i sin π π 0 cos + isin 4 4 π π 6cos isin 3 3 e jπ / j / 6 6 e π π i 3 3 e Ed..0 April 0

22 I numeri complessi Risolvere i seguenti esercii Nr. Eserciio Soluione j8 ( 4 j ) + ( 5 + j6) ( 6 j) + ( 7 j3) 3 ( 3 j) ( j) 4 ( 3 j 4)( + j5) 5 ( 5 j )( 7 j3)( 6 + j4) 6 ( 4 j)( 4 j) + 3 j - j j3 90 j (3 + i) 8 + 6i 3 4 j 8 ( 7 4j) /( 3 4j) 9 ( 4j) /( 3j) 0 ( 3 9j) /( 5 7j) + + j j Ed..0 April 0

23 I numeri complessi 3 Qualsiasi osservaione che possa contribuire a rendere il documento più completo è ben accolta! c.cancelli@tiscali.it e per concludere un bel bicchiere di vino, ma immaginario! Ed..0 April 0