EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

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1 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equzioni di seondo grdo in un inognit sono uguglinze di due polinomi di ui lmeno uno è di seondo grdo e l ltro è di grdo minore o ugule due. Definizione: un equzione di seondo grdo si die in form normle se è sritt nell form: + b + 0 on 0. Nell form normle, dunque, il polinomio l primo membro deve essere ridotto, ioè i termini simili devono essere sommti, ed ordinto seondo le potenze deresenti dell inognit. Al seondo membro deve esseri 0. Il oeffiiente del termine di seondo grdo, ioè l, deve essere diverso d zero ( 0 ) ltrimenti l equzione si ridue d un equzione di primo grdo, rgomento già trttto. Un equzione di seondo grdo può essere lssifit sull bse dei oeffiienti b e in questo modo (trlsimo l trttzione dell he sppimo dover essere divers d zero):. Forme inomplete:. Form monomi: 0 b 0 0 b. Form pur: + 0 b 0 0. Form spuri: + b 0 b 0 0. Form omplet: + b + 0 b 0 0 Risoluzione delle equzioni di seondo grdo Le equzioni di seondo grdo hnno l mssimo due soluzioni reli. Vedimo ome si risolvono in bse ll lssifizione vist sopr. Equzione in form monomi: 0 In questo so sppimo subito qunte e quli soluzioni h l equzione, poihé, per l legge di nnullmento del prodotto, 0 e quindi le due soluzioni sono entrmbe uguli zero: 0 0 Esempio: dt l equzione 3 0 le soluzioni sono

2 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 Equzione in form pur: + 0 Per risolverl isolimo l on luni pssggi: si port l l seondo membro si divide tutto per si estre l rdie qudrt di entrmbi i membri Esempio: dt l equzione le soluzioni sono 5 5 d 5 5 ui 3 3 Osservzione: Poihé nell formul risolutiv ompre un rdie qudrt, è neessrio he il rdindo si positivo o ugule zero ffinhé il risultto si un numero rele. Questo si ottiene se e sono disordi (ioè hnno segno diverso). Nel so in ui e sino onordi otterremo inftti un rdie qudrt di un numero negtivo. Per esempio provimo risolvere l equzione pur: , bbimo: 4 4 d ui 7 7 In entrmbe le soluzioni non è possibile lolre nell insieme dei numeri reli l rdie qudrt di meno due, quindi l equzione non h soluzioni reli (equzione impossibile). Equzione in form spuri: + b 0 In questo so per risolvere l equzione si dott un teni differente, si fttorizz il primo membro, mettendo in evidenz un : ( + b) 0 Per l legge di nnullmento del prodotto ponimo ugule zero entrmbi i fttori: 0 + b 0 d ui le due soluzioni: 0 b Esempio: dt l equzione le soluzioni sono 0 Osservzione: nell equzione spuri le due soluzioni sono sempre reli ed un è sempre ugule zero

3 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 Equzione in form omplet: + b + 0 E il so generle. Per quest equzione non fremo l dimostrzione, m forniremo direttmente l formul risolutiv: b b 4 b + b 4 In modo improprio le due soluzioni vengono sintetizzte nell formul più omptt:, b ± b 4 Esempio: dt l equzione le soluzioni sono: 4 Svolgendo i loli si h: ( 3) + 4 ( 3) d ui 4 + 4, infine: 3 Osservzione: L form omplet può vere soluzioni reli o non verle: questo rgomento verrà trttto più vnti. Inoltre quest formul può essere pplit nhe lle ltre forme, m non è onveniente, in qunto più lborios. risolutive: Di seguito riportimo uno shem riepilogtivo delle vrie forme on reltive formule Forme inomplete: Formule risolutive Form monomi: Form pur: + 0 Form spuri: + b 0 0 b Form omplet: + b + 0 b b 4 b + b 4 Infine diimo he se un equzione non è in form normle, prim di pplire l formul risolutiv è neessrio portrl ll form normle on le usuli regole lgebrihe

4 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 L verifi delle soluzioni Un volt trovte le soluzioni di un equzione possimo ontrollre se tli soluzioni sono orrette. Lo strumento per eseguire iò si him verifi delle soluzioni. L verifi delle soluzioni è un metodo vlido per ogni equzione, m noi lo vedremo soltnto per quelle di seondo grdo. soluzioni: Riprendimo l equzione risolt sopr: Avevmo trovto le 3. Per verifire se sono orrette bst sostituire isun vlore l posto dell nell equzione e ontrollre he iò he si ottiene è un identità (ioè un tutologi). Verifi dell soluzione 3 : ( 3) + ( 3) 3 0 d ui, svolgendo i loli: d ui 0 0. Abbimo ottenuto un identità e quindi l soluzione 3 è orrett. Verifi dell soluzione : Il proedimento è ugule l preedente e viene lsito ome eserizio. Il disriminnte Nell formul risolutiv generle osservimo il rdindo: b 4. Tle termine viene himto disriminnte e viene indito on l letter delt miusol dell lfbeto greo:. Quindi b 4. Conosendo priori il disriminnte possimo dire qunte soluzioni vrà l equzione. Distinguimo tre si: > 0 0 < 0 due soluzioni reli distinte due soluzioni reli oinidenti nessun soluzione rele Il perhé di quest distinzione è ovvio se si onsider he il disriminnte è il rdindo dell formul risolutiv. Le equzioni di seondo grdo e l prbol Risolvere un equzione di seondo grdo h un orrispettivo geometrio he vedremo in questo prgrfo. Prim però dobbimo prlre, seppur in modo non pprofondito, dell prbol

5 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 L prbol è un oni. Il termine oni deriv dl ftto he si può ottenere tglindo un ono on un pino seondo un ert inlinzione. Vrindo tle inlinzione si ottengono le ltre onihe: ellisse e iperbole (l ironferenz è un prtiolre tipo di ellisse). D un punto di vist lgebrio l prbol h un equzione del tipo y + b +. Si noti l forte somiglinz on le equzioni di seondo grdo. Il oeffiiente i fornise indizione sull onvità dell prbol; si possono vere due si: > 0 l onvità è rivolt verso l lto. Esempio: < 0 l onvità è rivolt verso il bsso. Esempio: - 5 -

6 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 Due elementi rtteristii dell prbol sono il Vertie e l Asse di simmetri (o sempliemente Asse). Dimo di seguito l spiegzione di os sono, senz drne un definizione rigoros. Il Vertie è il punto più bsso dell prbol (se l onvità è rivolt verso l lto, ltrimenti è il punto più lto ). L Asse è l rett he divide l prbol in due prti speulri. L equzione y + b +, ome visto sopr, desrive le prbole on sse prllelo ll sse delle ordinte. Ponimoi desso il problem di intersere un prbol on l sse delle sisse: per fre iò dovremo mettere sistem l equzione dell prbol on l equzione dell sse delle sisse: y y 0 + b + ed operndo l sostituzione bbimo: 0 y 0 + b + L prim equzione del sistem, un volt smbito il primo membro on il seondo: + b + 0 è proprio l equzione di seondo grdo in form normle. Ripitolndo possimo dire he, d un punto di vist geometrio, risolvere un equzione di seondo grdo signifi trovre gli eventuli punti di intersezione dell prbol on l sse delle sisse

7 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 Le vrie equzioni di seondo grdo viste sopr hnno un orrispettivo geometrio nell divers posizione delle prbole nel pino rtesino. Fornimo di seguito un prllelismo tr l situzione lgebri e quell geometri, fendo degli esempi on prbole venti l onvità verso l lto (m le situzioni sono nloghe per prbole on onvità rivolt verso il bsso). Form monomi 0 Il vertie oinide on l origine degli ssi Form pur + 0 L sse oinide on l sse delle ordinte Form spuri + b 0 Un intersezione è l origine degli ssi - 7 -

8 Autore: Enrio Mnfui - 30/04/0 Form omplet + b + 0 on > 0 Le intersezioni sono due punti distinti (prbol sente l sse delle sisse) Form omplet + b + 0 on 0 Le intersezioni sono due punti oinidenti (prbol tngente ll sse delle sisse) Form omplet + b + 0 on < 0 Non esistono punti di intersezione (prbol estern ll sse delle sisse) - 8 -