Ing. Alessandro Pochì

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1 Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01)

2 Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente, la determinazione del graico all interno del suo campo di esistenza. Al giorno d oggi con lo sviluppo delle nuove tecnologie e la potenza sempre maggiore dei calcolatori, è molto acile determinare con metodi numerici, l andamento di una unzione. Se invece vogliamo mettere a rutto le conoscenze acquisite durante lo studio dei principali argomenti dell Analisi matematica, possiamo, passo-passo seguire uno schema che, in conclusione, ci permetterà di tracciare, sia qualitativamente che quantitativamente, il graico richiesto. Dovremo quindi avere, come prerequisiti, perlomeno la conoscenza dell algebra elementare, dei iti, e delle derivate. Ecco quindi lo schema che seguiremo: 1) Determinazione del dominio della unzione ) Presenza di eventuali simmetrie 3) Presenza di eventuali periodicità 4) Determinazione delle intersezioni con gli assi 5) Studio del segno della unzione 6) Determinazione di eventuali asintoti verticali (iti) 7) Determinazione di eventuali asintoti orizzontali (iti) 8) Determinazione di eventuali asintoti obliqui (iti) 9) Calcolo della derivata prima 10) Studio del segno della derivata prima per la determinazione della crescenza, decrescenza e dei punti di massimo e minimo relativo 11) Calcolo della derivata seconda 1) Studio del segno della derivata seconda per la determinazione di concavità, convessità e lessi Questi sono i punti principali, oggetto di altrettanti capitoli che di seguito saranno sviluppati, vi saranno dei richiami alla teoria e, per ognuno di essi avremo ampi esempi esplicativi. 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì

3 1.0 - Determinazione del dominio della unzione (In parecchi testi il dominio di una unzione viene indicato con C.E. che è l abbreviazione di Campo di Esistenza). Per la determinazione del dominio di una unzione possiamo avvalerci di alcune semplici regole: 1) Le unzioni razionali intere hanno come dominio tutto l insieme dei numeri reali; ) Le unzioni razionali ratte hanno come dominio tutti i punti che non annullano il denominatore; 3) Le unzioni con radicali con indice pari hanno come dominio tutti i punti che rendono il radicando positivo o nullo; 4) Le unzioni logaritmiche hanno come dominio tutti i numeri che rendono l argomento positivo; 5) Le unzioni trigonometriche avranno uno studio a parte in quanto alcune di esse sen( ) nascono come rapporto (es. tan( ) )e ricadono nei casi precedenti. cos( ) Ecco alcuni esempi: Esempio 1: unzione razionale intera ( ) 3 1 in questo caso il Dominio è tutto l insieme dei numeri reali, per dare questa indicazione abbiamo vari modi: a) ], [ b) c) Esempio : razione ( ) 1 1 In questo caso la condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da zero: 1 0 da cui 1 C.E.: anche in questo caso abbiamo vari modi per indicare il 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 3

4 a) ],1[ ]1, [ b) \ 1 Esempio 3: radicale ( ) 3 In questo caso la condizione da imporre è che il radicando sia non negativo: 3 0 da cui 3 il C.E. sarà quidi : [ 3, [ Da notare che = 3 a parte del C.E. in quanto è possibile che il radicando sia nullo. Esempio 4: logaritmo ( ) log( 3) In questo caso la condizione da imporre è che l argomento del logaritmo sia positivo: 3 0 da cui 3 il C.E. sarà quidi : ] 3, [ Da notare che = 3 non a parte del C.E. in quanto non è possibile are il logaritmo di zero. Naturalmente capita molto spesso di dover applicare contemporaneamente più condizioni, in quanto possiamo avere una unzione, ad esempio, ratta e con presenza di un radicale: 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 4

5 Esempio 5:contemporaneità di condizioni ( ) log( 3) ( 5) Condizione 1 : Argomento del logaritmo non negativo 3 0 Condizione : Denominatore non nullo 5 0 Avremo quindi che: 3 e 5 Dovendo soddisare contemporaneamente le due condizioni si avrà il seguente C.E.: ] 3,5[ ]5, [ In questo caso sia = 3 che = 5 non aranno parte del C.E. Esempio 6:contemporaneità di 3 condizioni ( ) log( 3) ( 5) Condizione 1 : Argomento del logaritmo non negativo 3 0 Condizione : Denominatore non nullo 5 0 Condizione 3 : Argomento della radice non negativo 5 0 In realtà la seconda e terza condizione potrebbero uniicarsi imponendo: 5 0 Avremo quindi che: 3 e 5 Dovendo soddisare contemporaneamente le due condizioni si avrà il seguente C.E.: ] 5, [ 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 5

6 .0 - Presenza di eventuali simmetrie Se la unzione presenta delle simmetrie, il suo studio diventa più semplice in quanto possiamo restringere lo studio ad una sola parte del campo di esistenza. Caso 1 Funzione pari (La unzione è simmetrica rispetto all asse delle y) In questo caso: ( ) ( ) Un esempio è la unzione: ( ) cos( ) Come ben si vede dal graico, l asse y è un asse di simmetria. Esempio: determinazione di una eventuale simmetria Stabilire se la unzione: ( ) 1 è simmetrica. Applicando la relazione: ( ) ( ) basta sostituire al posto di,e avremo: 1 ( ) 1 che è un identità, quindi la nostra unzione sarà simmetrica rispetto all asse y o, come si dice usualmente unzione pari. 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 6

7 Caso Funzione dispari (La unzione è simmetrica rispetto all origine degli assi) In questo caso: ( ) ( ) Un esempio è la unzione: ( ) 3 Come ben si vede dal graico,il graico è simmetrico rispetto all origine degli assi. 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 7

8 3.0 - Presenza di eventuali periodicità Tale eventualità si veriica di solito nelle unzioni trigonometriche dove la unzione stessa ha periodo T. In questi casi studieremo la unzione solo in un intervallo di ampiezza T. In pratica una unzione è periodica di periodo T quando si veriica che: ( ) ( T) La unzione, quindi ripete i suoi valori. Una unzione periodica è, ad esempio: ( ) sen( ) In questo caso il periodo è T Una unzione trigonometrica di periodo T è: ( ) tan( ) In generale, riuscire a determinare se una unzione più complessa sia o no periodica non è molto semplice. 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 8

9 4.0 - Intersezioni con gli assi I punti in cui la unzione interseca gli assi coordinati, rappresentano un valido punto di rierimento nella costruzione del suo graico. Per deinizione stessa di unzione possiamo avere un solo punto in cui la stessa interseca l asse y, mentre possono essere ininiti i punti di intersezione con l asse y. Le condizioni da utilizzare per determinare le intersezioni sono: 1) intersezione con l asse y: poniamo =0 ) intersezione con l asse : poniamo y=0 La prima condizione non è altro che l equazione dell asse y, la seconda quella dell asse. Esempio 1: determinare le intersezioni con gli assi per la unzione ( ) ( 3) ( 5) Intersezione con l asse y: poniamo =0 nella precedente espressione: (0 3) ( 0) (0 5) 3 5 Il punto di intersezione sarà quindi: I ( 0, y ) Intersezione con l asse : poniamo y=0 nella precedente espressione: 3 5 ( 3) 0 ( 5) e, risolvendo rispetto a : ( 3) 3 0 Il punto di intersezione sarà quindi: I (3,0) 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 9

10 Una importante osservazione da are è la seguente: la ricerca delle intersezioni va atta sempre dopo aver determinato il campo di esistenza in quanto potrebbero risultare dei punti non appartenenti al dominio della unzione. Uno di questi casi è al prossimo esempio: Esempio : determinare le intersezioni con gli assi per la unzione ( ) log( 3) ( 5) Intersezione con l asse y: poniamo =0 nella precedente espressione: (0) log(0 3) (0 5) Come si evince dall espressione, non è possibile calcolare il logaritmo di un numero negativo, quindi, è già errato porre =0 nell espressione precedente. Diciamo quindi che la unzione NON HA INTERSEZIONI CON L ASSE y Intersezione con l asse : poniamo y=0 nella precedente espressione: 0 log( 3) ( 5) 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 10

11 Da cui: log( 3) 0 e, per la deinizione di logaritmo: ( 3) 1 e quindi 4 Il punto di intersezione sarà quindi: I (4,0) Dal graico si nota che vi è solo l intersezione con l asse Studio del segno della unzione Lo studio del segno della unzione rappresenta un importante passo per la determinazione del graico della unzione stessa: poter escludere parti di piano porta ad avere una costruzione guidata acendo così escludere eventuali errori. Un esempio chiarisce molto bene questo concetto: ( ) Il dominio di questa unzione è [ 0, [ e ciò ci permette di escludere tutte le <0 Per quanto riguarda lo studio del segno, in questo caso, molto semplice, diciamo che il codominio della unzione è sempre positivo in quanto l estrazione della radice quadrata da un numero y 0. Queste due considerazioni riducono il piano cartesiano disponibile per disegnare il graico della unzione ad un solo quadrante: 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 11

12 Esempio : studio del segno ( ) 4 Studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore: numeratore: ( 4) 0 4 denominatore: ( ) 0 NUM DEN () Il prodotto dei segni dà come risultato: ( ) 0 per ], [ ]4, [ ( ) 0 per ],4[ 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 1

13 Come si vede dal graico, le parti colorate di azzurro NON sono interessate dalla unzione, quindi lo studio del segno ci ha aiutato ad escluderle acilitandoci il lavoro. Siamo anche in grado di escludere eventuali possibili errori, in quanto la unzione è vincolata in alcune ben deinite regioni del piano Determinazione di eventuali asintoti verticali Gli asintoti verticali vanno cercati in particolare, nei punti ove la unzione non è deinita. Questa operazione quindi, va sempre eseguita dopo aver determinato il C.E. Prendiamo ad esempio la unzione: Il C.E. è. Dovremo quindi calcolare i due iti: ( ) / 4 4 e 4 L aver studiato, in precedenza, il segno della unzione, garantisce che non siano commessi errori, inatti il segno deve essere concorde con quanto calcolato in precedenza. 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 13

14 7.0 - Determinazione di eventuali asintoti orizzontali Per dare una deinizione molto semplice potremo dire che un asintoto è una retta alla quale la nostra unziona si avvicina sempre di più senza però mai toccarla (Oppure che ciò accade all ininito) Si hanno asintoti orizzontali quando il iti agli estremi della unzione (a come risultato un numero. ) danno Esempio: ( ) e 1 In questi casi avremo un asintoto orizzontale di equazione: y 1 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 14

15 8.0 - Determinazione di eventuali asintoti obliqui La condizione necessaria (ma non suiciente) ainché esistano asintoti obliqui è che: ( ) Se ciò accade possiamo metterci alla ricerca dell asintoto stesso, cioè della retta: Valgono le seguenti relazioni: y m q ( ) m E, solo se m è un numero inito, calcoleremo q con la relazione: ( ( ) m ) q Esempio 1 : Condizione necessaria: ( ) 3 3 Coeiciente angolare: Termine noto: Equazione dell asintoto: ( ) [ ( ) m ] 3 1 m y 3 q 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 15

16 9.0 - Calcolo della derivata prima e studio del suo segno. Il calcolo della derivata prima della unzione sarà il punto di partenza per studiare, crescenza, decrescenza ed eventuali punti di massimo e/o minimo della unzione. Rimandiamo al capitolo relativo allo studio delle derivate, per quanto riguarda la metodologia di calcolo. Ciò che interessa per lo studio della unzione sarà il segno della derivata stessa: per le in cui risulta: '( ) 0 la () sarà crescente per le in cui risulta: '( ) 0 la () sarà decrescente per le in cui risulta: '( ) 0 la () avrà un punto di massimo o di minimo Esempio 1 : Data la unzione: ( ) 3 (E una parabola), determinare crescenza, decrescenza ed eventuali punti di massimo e/o minimo. Calcoliamo la derivata prima: Studiamo adesso il suo segno: '( ) Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 16

17 Questo, quindi, l andamento del segno della derivata prima: Per cui avremo: () crescente per ] 1, [ () decrescente per ],1 [ Decrescente min Crescente Nel punto =1 avremo quindi un punto di minimo. Volendo calcolare, sugli assi cartesiani, la seconda coordinata del punto di mimino, basterà sostituire il valore =1 nella unzione: Quindi: min(1,) (1) In questo primo semplice esempio il punto di minimo coincide con il vertice della parabola. 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 17

18 Calcolo della derivata seconda e studio del suo segno. Il calcolo della derivata seconda della unzione sarà il punto di partenza per studiare, concavità, convessita ed eventuali punti di lesso della unzione. Rimandiamo al capitolo relativo allo studio delle derivate, per quanto riguarda la metodologia di calcolo. Ciò che interessa per lo studio della unzione sarà il segno della derivata stessa: per le in cui risulta: ''( ) 0 la () sarà concava per le in cui risulta: ''( ) 0 la () sarà convessa per le in cui risulta: ''( ) 0 la () avrà un punto di lesso Esempio 1 : Data la unzione: ( ) determinare concavità, convessità ed eventuali punti di lesso. Calcoliamo la derivata prima: '( ) 3 5 Calcoliamo la derivata seconda: Studiamo adesso il suo segno: ''( ) Questo, quindi, l andamento del segno della derivata seconda: Per cui avremo: () concava per ] 0, [ 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 18

19 () convessa per ],0[ Convessa lesso Concava Nel punto =0 avremo quindi un punto di lesso. Volendo calcolare, sugli assi cartesiani, la seconda coordinata del punto dilesso, basterà sostituire il valore =0 nella unzione: Quindi: F(0,-1) ( 0) 1 01 Appunti per matematicamente.it - ing. Alessandro Pochì 19

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