Capitolo 8 Le funzioni e le successioni

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1 Capitolo 8 Le fuzioi e le successioi Prof. A. Fasao Fuzioe, domiio e codomiio Defiizioe Si chiama fuzioe o applicazioe dall isieme A all isieme B ua relazioe che fa corrispodere ad ogi elemeto di A u solo elemeto di B. Spesso per idicare ua geerica fuzioe useremo la lettera f o lettere miuscole. Per specificare che f è ua fuzioe dall isieme A all isieme B si usa la otazioe f: A B. Se f è ua fuzioe, è u elemeto qualuque dell isieme A, il corrispodete elemeto dell isieme B lo idicheremo col simbolo f() e lo chiameremo immagie di mediate la fuzioe f. L isieme A è detto domiio della fuzioe f e il sottoisieme C di B formato da tutte le immagii è detto codomiio di f. Per visualizzare graficamete ua fuzioe e le sue proprietà i seguito useremo spesso la otazioe sagittale, come ella figura che segue. I questa rappresetazioe le frecce uiscoo ogi elemeto di A alla sua immagie i B. A f B Cotroimmagie di y f (y) y = f() C Immagie di Domiio Codomiio Altri modi usati per idicare ua fuzioe f soo f() o y = f(), dove la idica u geerico elemeto dell isieme A ed è detta variabile idipedete e y è l immagie corrispodete, detta variabile dipedete. Esempio f() = ( ) è ua fuzioe dall isieme dei umeri aturali N all isieme dei umeri iteri Z. L espressioe matematica al secodo membro cosete di calcolare l immagie di u geerico umero aturale. Ad esempio l immagie di 5 è f(5) = ( ) 5 5 = ( ) 5 = 5. g() = + 5 è ua fuzioe dall isieme dei umeri reali R all isieme R stesso. 7

2 Dati gli isiemi A = {,,, 4} e B = {a, b, c}, ua fuzioe dall isieme A all isieme B può essere defiita o specificado l immagie di ogi elemeto dell isieme A, ad esempio poedo f() = b, f() = c, f() = a, f(4) = b o co la rappresetazioe sagittale, come ella seguete figura. No è ua fuzioe ad esempio la relazioe h() = ± dall isieme ( ; ] [; + ) all isieme R perché ad ogi ( ; ) (; + ) corrispodoo due valori reali distiti. Defiizioe Se y è u elemeto qualuque dell isieme B, l isieme di tutti gli elemeti dell isieme A che hao come immagie y si chiama cotroimmagie di y mediate la fuzioe f e si idica col simbolo f (y). Usado i simboli di isieme f (y) = { A f() = y }, i altri termii le cotroimmagii di u elemeto y B si ottegoo risolvedo rispetto all icogita A l equazioe f() = y. Cosiderado la fuzioe f() = + da R i R, le immagii di, 0, soo: f( ) = ( ) + = =, f(0) = 0 + =, f() = + = 6. le cotroimmagii di soo le soluzioi reali dell equazioe + =, elevado al quadrato etrambi i membri + = = 7 = ± 7, pertato f () = { 7, 7 }. A 4 f a b c B Esempio Dati gli isiemi A = {,, } e B = {a, b} determia tutte le fuzioi di A i B. Comiciamo a determiare le fuzioi che hao il codomiio formato da u solo elemeto. Esse soo due: f () = f () = f () = a f () = f () = f () = b 8

3 A f a B A f a B b b Passiamo alle fuzioi di codomiio C = B f () = f () = a e f () = b f 4 () = f 4 () = a e f 4 () = b f 5 () = f 5 () = a e f 5 () = b A f a B A f 4 a B A f 5 a B b b b f 6 () = f 6 () = b e f 6 () = a f 7 () = f 7 () = b e f 7 () = a f 8 () = f 8 () = b e f 8 () = a A f 6 a B A f 7 a B A f 8 a B b b b Cocludiamo che le fuzioi tra i due isiemi A = {,, } e B = {a, b} soo i tutto 8. Fuzioi suriettive, iiettive e biuivoche Defiizioe Ua fuzioe da u isieme A ad u isieme B si dice suriettiva se il suo codomiio coicide co B, ovvero se ogi elemeto di B è immagie di almeo u elemeto dell isieme A. A B 9

4 La figura forisce u esempio di fuzioe suriettiva. Ogi elemeto dell isieme B è l immagie di uo o più elemeti di A perché i ogi elemeto di B arriva almeo ua freccia. I simboli: se f è ua fuzioe suriettiva allora y B A f() = y. Osservazioe Notiamo che il codomiio C di ua fuzioe suriettiva f: A B, coicide co B. Esempio Quali delle fuzioi dell esempio soo suriettive? Soo suriettive tutte le fuzioi che hao come codomiio C = B, quidi f, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8. Esempio 4 I u test gli alui di ua classe hao preso voti iteri dall al 0, e ogi voto è stato preso da qualche aluo, el seso che c è qualche aluo che ha preso 0, qualche aluo che ha preso 9,, qualche aluo che ha preso. La fuzioe f: Classe Voti che associa ad ogi aluo della classe il voto preso, è rappresetata dalla prima figura che segue ed è suriettiva. Classe Voti Classe Voti Se el test i voti riportati fossero stati solo quelli compresi tra il 4 e il 9, la fuzioe, che è rappresetata ella secoda figura, o sarebbe suriettiva. Defiizioe Ua fuzioe da u isieme A ad u isieme B si dice iiettiva se ad elemeti distiti di A corrispodoo immagii distite i B, ovvero se ogi elemeto di B è immagie di al più u elemeto di A. A B C La figura forisce u esempio di fuzioe iiettiva. Ogi elemeto dell isieme B è l immagie di u solo elemeto di A o di essuo perché i ogi elemeto di B o arriva ua sola freccia o essua. 0

5 I simboli se f è ua fuzioe iiettiva allora, A f( ) f( ). oppure y B f (y) ha u solo elemeto o è. Esempio 5 Costruisci ua fuzioe iiettiva dall isieme A = {,, } all isieme B = {a, b, c, d}. Per l immagie di, possiamo scegliere uo qualuque degli elemeti di B, ad esempio f() = c. Per l immagie di possiamo scegliere u qualuque elemeto di B purché sia diverso da f(), ad esempio poiamo f() = a. Ifie per l immagie di possiamo scegliere u qualuque elemeto di B purché sia diverso da f() e da f(), ad esempio poiamo f() = d. La fuzioe è completamete defiita e, per come è stata costruita fa corrispodere ad elemeti distiti di A elemeti distiti di B, pertato è iiettiva. Esempio 6 Quali fuzioi dell esempio soo iiettive? L isieme A = {,, } ha tre elemeti metre l isieme B = {a, b} ha due elemeti, poiché B < A essua fuzioe da A i B può essere iiettiva. Esempio 7 Nel registro di classe è prestampato u eleco di 0 righe dove riportare i cogomi e i omi degli alui, e ogi riga è distita da u umero d ordie che va da a 0. Suppoiamo che ua classe sia costituita da 5 alui; la fuzioe g: Classe {,,, 0} che associa ad ogi allievo il umero d ordie ell eleco è iiettiva. Ifatti due alui diversi hao umero d ordie diversi. La fuzioe g o è suriettiva. Esempio 8 iiettiva. Verifica se la fuzioe f() = + dall isieme dei umeri aturali N ad N è Siao ed due qualuque umeri aturali co. Moltiplicado etrambi i membri della diseguagliaza per otteiamo che, sommado ad etrambi i membri otteiamo che + + ovvero f( ) f( ). Cocludiamo che la fuzioe è iiettiva. U modo equivalete per verificare se ua fuzioe è iiettiva è dato dal seguete A c f B N. Cogome e ome. Biaco Emauele. Colella Aa. Dau Valetia 5. Villai Roberto a b d Teorema Ua fuzioe f da u isieme A ad u isieme B è iiettiva se e solo se per ogi, A f( ) = f( ) =. Dimostrazioe Suppoiamo che f sia ua fuzioe iiettiva dall isieme A all isieme B. Se, A e f( ) = f( ) allora o può risultare altrimeti, essedo f iiettiva, ache f( ) f( ) che è ua cotraddizioe, quidi =. Viceversa suppoiamo che per ogi, A f( ) = f( ) =. Se, A e allora o può risultare f( ) = f( ), altrimeti ache = che è ua cotraddizioe, quidi f( ) f( ) e la fuzioe f è iiettiva Defiizioe Ua fuzioe da u isieme A ad u isieme B si dice biuivoca o biiettiva se è sia iiettiva che suriettiva, ovvero se ogi elemeto di B è immagie di u solo elemeto di A ovvero ha ua sola cotroimmagie.

6 A f B y = f() La figura forisce u esempio di fuzioe biuivoca. Ogi elemeto dell isieme B è l immagie di u solo elemeto di A, perché i ogi elemeto di B arriva ua sola freccia. I simboli se f è ua fuzioe biuivoca allora y B f (y) ha u solo elemeto. Esempio 9 Se ell esempio 7 la classe fosse costituita da 0 alui, la fuzioe g che associa ad ogi aluo il umero d ordie corrispodete ell eleco, sarebbe ache suriettiva e quidi biuivoca. N. Cogome e ome. Biaco Emauele. Colella Aa. Dau Valetia 0. Zaardi Marco Osservazioe Se ua fuzioe f: A B è iiettiva, idicato co C il suo codomiio, la fuzioe f: A C è biuivoca, cioè restrigedo l isieme B al codomiio ua fuzioe iiettiva diveta biuivoca. Per ua fuzioe biuivoca possiamo allora defiire la fuzioe iversa. Defiizioe Se f è ua fuzioe biuivoca dall isieme A all isieme B, si defiisce fuzioe iversa di f, e si idica col simbolo f, la fuzioe dall isieme B all isieme A che fa corrispodere ad ogi elemeto y di B l uica cotroimmagie f (y) di A. Riferedoci alla figura precedete A f B = f (y) y Dalla defiizioe segue che la fuzioe iversa f f e per codomiio il domiio A della fuzioe f. ha per domiio il codomiio B della fuzioe Teorema Se f è la fuzioe iversa di ua fuzioe biuivoca allora ache f è biuivoca e (f ) = f,

7 cioè l iversa della fuzioe iversa di ua fuzioe f è la fuzioe f. Dimostrazioe Per ogi A la cotroimmagie rispetto alla fuzioe iversa f (f ) () = { y B f (y) = }, dato che, per defiizioe di cotroimmagie, f (y) = f() = y, è l isieme e l immagie di mediate la fuzioe f è uica, risulta che per ogi A (f ) () = { y B y = f() } = f(), da ciò segue che la fuzioe iversa f è biuivoca e che (f ) = f Esempio 0 Cosideriamo uovamete la fuzioe biuivoca g dell esempio 9 che associa ad ogi aluo il umero d ordie che gli corrispode el registro di classe. La fuzioe iversa g associa ad ogi umero d ordie l aluo che si torva ella riga corrispodete, come ella figura al lato. N. Cogome e ome. Biaco Emauele. Colella Aa. Dau Valetia 0. Zaardi Marco Esempio Data la fuzioe f() = + da R i R, determia il codomiio, verifica se essa è biuivoca e, i caso affermativo, determia la fuzioe iversa f. Sia y u qualuque umero reale e determiiamo le sue evetuali cotroimmagii f (y). Per defiizioe esse soo tutti i umeri reali soluzioi dell equazioe f() = y + = y; risolvedo questa equazioe rispetto alla otteiamo y + = y = y + =, quidi y R f y + (y) =, () cioè ogi umero reale y ha u uica cotroimmagie mediate f pertato il codomiio della fuzioe è R ed essa è biuivoca. Ioltre la () defiisce ache la fuzioe f iversa di f. Le fuzioi composte La maggior parte delle fuzioi matematiche che si icotrao elle scieze sperimetali soo fuzioi composte otteute a partire dalle fuzioi elemetari. Itroduciamo questo cocetto co la seguete Defiizioe Sia g ua fuzioe di domiio A e codomiio B ed f ua fuzioe di domiio B e codomiio C, si dice fuzioe composta di f e di g, e si idica co la scrittura f ) g, la fuzioe che associa ad ogi elemeto A l elemeto f(g()) C.

8 Schematizziamo la defiizioe co la seguete figura: A g B f C g() (f ) g) () = f(g()) f ) g Osservazioe I altri termii A (f ) g) () = f(g()). L espressioe f(g()) si ottiee dall espressioe della secoda fuzioe f() sostituedo al posto di ogi occorreza della, l espressioe g() della prima fuzioe. Esempio Date le fuzioi: f () = + e g() = determia le fuzioi composte f ) g e g ) f. Comiciamo col determiare f ) g. Per defiizioe: Similmete si trova la fuzioe composta g ) f. (f ) g) () = f(g()) = ( ) + ( ) = + (g) f) () = g(f()) = +. Osservazioe Dall esempio si vede che le due fuzioi trovate f ) g e g ) f soo diverse! Ciò sigifica che cota l ordie co cui si compogoo due fuzioi, ovvero che l operazioe di composizioe di due fuzioi o è commutativa. Esempio Determia due fuzioi f e g che composte dao luogo alla fuzioe ( ) +. La fuzioe assegata si ottiee elevado al cubo l espressioe racchiusa tra paretesi, quidi possiamo predere come fuzioe g() = + e come fuzioe f() =. Dal seguete schema si vede che f(g()) = ( + ). ( + ) f Esempio 4 Le fuzioi poteza co espoete egativo y = α = possoo essere cosiderate α come fuzioi composte dalle fuzioi g() = α poteza ad espoete positivo e della fuzioe reciproco f() =. g() p Le fuzioi poteza co espoete razioale y = = possoo essere cosiderate come fuzioi composte dalle fuzioi g() = p poteza ad espoete itero e della fuzioe radice f() = q. p q q 4

9 Teorema Se f: A B e g: B C soo due fuzioi biuivoche, allora ache la fuzioe composta g f: A C è biuivoca e la sua iversa è f g. Dimostrazioe Per dimostrare la tesi occorre provare che per ogi c C, la cotroimmagie è uica, e che (g f) (c) = (f g ) (c). (g f) (c) esiste ed Poiché g è biuivoca, per ogi c C la cotroimmagie b = g (c) B è uica, e, poiché f è biuivoca, ache la cotroimmagie a = f (b) A è uica e risulta a = f (g (c)) = (f g ) (c). Per defiizioe di fuzioe composta, (g f) (a) = g(f(a)) = g(b) = c, quidi a (g f) (c). () Suppoiamo ora che a (g f) (c), allora poiché g è biuivoca, (g f) (a ) = c g(f(a )) = c f(a ) = g (c), f(a ) = b a = f (b), ed essedo f biuivoca, a = a. () Dalle (), () deduciamo che c C la cotroimmagie (g f) (c) è a = (f g ) (c), quidi g f è biuivoca e (g f) (c) = (f g ) (c) Defiizioe Dato u isieme o vuoto A idicheremo co i la fuzioe idetità i : A A defiita da i() = A, che associa ad ogi elemeto di A l elemeto stesso. Teorema 4 Se f: A B è ua fuzioe biuivoca, allora la fuzioe composta f f = i. Dato che f è biuivoca, per ogi A, (f f) () = f (f()) = = i() quidi f f = i. Cardialità di u isieme fiito Defiizioe Diremo che u isieme I è fiito se ha u umero fiito di elemeti, altrimeti diremo che l isieme è ifiito. Se I è u isieme fiito, idicheremo co I il umero di elemeti di u isieme I e lo chiameremo cardialità dell isieme. Co riferimeto all esempio precedete A =, B =. L isieme degli alui di ua classe è u isieme fiito, l isieme dei umeri iteri è ifiito. A rigore per verificare che u isieme I sia fiito occorre avere u criterio per cotare i suoi elemeti ovvero ua fuzioe biuivoca g: {,,, } I. Affiché le defiizioi precedeti siao be poste occorrerebbe dimostrare che la cardialità di u isieme I o dipede dal criterio scelto per cotare i suoi elemeti, ovvero che: se g : {,,, } I, e g : {,,, m} I soo due fuzioi biuivoche allora m =. Tale risultato segue da ua proprietà più geerale, espressa dal seguete Teorema 5 Se h: {,,, } {,,, m} è ua fuzioe biuivoca, allora m =. 5

10 Dimostrazioe Poiché h è suriettiva, tutti gli elemeti di {,,, m} soo immagii di elemeti di {,,, }, e poiché h è iiettiva, ad elemeti distiti di {,,, } corrispodoo immagii distite di {,,, m}, quidi gli elemeti di {,,, m} soo tati quati quelli dell isieme {,,, m} Torado all isieme I, se cosideriamo la fuzioe h = (g ) g : {,,, } {,,, m} essa è biuivoca e, per il teorema precedete m =. Teorema 6 Se A, B soo due isiemi fiiti e f: A B è ua fuzioe co codomiio l isieme C, allora C A. Dimostrazioe Ad ogi y C associamo u uico elemeto f (y) scelto a caso ella cotroimmagie di y. Se y y gli elemeti e corrispodeti soo distiti e, per come soo scelti, risulta f( ) = y e f( ) = y ; ifatti se o fossero distiti, cioè se =, ache f( ) = f( ) ovvero y = y il che è assurdo. Deduciamo che il umero di elemeti distiti dell isieme A deve essere uguale o maggiore del umero di elemeti distiti dell isieme C, ma ciò equivale a dire che C A Corollario 6. Se A, B soo due isiemi fiiti e f: A B è ua fuzioe suriettiva allora B A ovvero il umero di elemeti di B è miore o uguale a quello di A. Ifatti dato che B = C, risulta B = C ; d altra parte, per il teorema precedete, C A, pertato B A. Teorema 7 Se A, B soo due isiemi fiiti e f: A B è ua fuzioe iiettiva il umero di elemeti distiti di B è maggiore o uguale a quello dell isieme A, cioè B A. Ifatti dato che, A f( ) f( ), l isieme B avrà u umero di elemeti distiti uguale o maggiore di quello dell isieme A. Corollario 7. Se A, B soo due isiemi fiiti e f: A B è ua fuzioe biuivoca allora B = A Ifatti deve risultare sia B A, perché f è suriettiva, che A B, perché la fuzioe è iiettiva, quidi B = A. ua dimostrazioe più rigorosa richiederebbe il pricipio di iduzioe che euceremo più avati. 6

11 Le fuzioi reali di variabile reale Le fuzioi reali di variabile reale soo le fuzioi che hao per domiio D e codomiio C dei sottoisiemi dell isieme dei umeri reali R. I seguito prederemo i esame le fuzioi reali di variabile reale tali che per ogi D l immagie f() è il risultato di u espressioe matematica ella sola variabile ; tali fuzioi soo dette matematiche. U esempio di fuzioe di questo tipo è y = +. Il domiio di defiizioe Il domiio di defiizioe o campo di esisteza di ua fuzioe è il più grade sottoisieme D R el quale l espressioe f() si può calcolare. Esempio Determia il domiio di defiizioe della fuzioe y = +. L espressioe + si può calcolare solo per i valori della per i quali il radicado + 0 ovvero quado. Cocludiamo che il domiio di defiizioe della fuzioe è l itervallo D = [ ; + ). Quado o si specifica quale sia il domiio di ua fuzioe reale di variabile reale si sottitede che esso sia quello di defiizioe. Esempio Determia il domiio di defiizioe della fuzioe y = a 0 + a + + a co a 0, a,, a R e a 0 Le fuzioi defiite attraverso u poliomio si dicoo fuzioi razioali itere. Dato che u poliomio si può calcolare per qualuque umero reale, deduciamo che il domiio di defiizioe delle fuzioi razioali itere è l isieme R dei umeri reali. Esempio Determia il domiio di defiizioe della fuzioe y = 4. + La fuzioe si preseta come ua frazioe di poliomi. Il umeratore e il deomiatore, essedo dei poliomi, si possoo calcolare per qualuque umero reale, ma la frazioe ha sigificato solo quado il deomiatore è diverso da 0 ovvero quado: + 0. () ± + = ± ; pertato il domiio della fuzioe è l isieme R {, }. 7

12 Esempio 4 Determia il domiio di defiizioe della fuzioe y = a b m m + L+ a + a + L+ b + b 0 0. Le fuzioi defiite attraverso u quoziete di poliomi si dicoo fuzioi razioali fratte. Geeralizzado quato visto ell esempio precedete, queste fuzioi soo defiite quado è verificata la codizioe: b m m + + b + b 0 0; ovvero per tutti i umeri reali che o soo le soluzioi dell equazioe b m m + + b + b 0 = 0, quidi il domiio di defiizioe della fuzioe si ottiee togliedo dall isieme dei umeri reali le evetuali soluzioi di questa equazioe, i simboli D = R { b m m + + b + b 0 = 0 }. Grafico Ad ogi fuzioe reale f di variabile reale si può associare el piao cartesiao ua curva detta grafico formata da tutti i puti (; f()) che hao per ascissa u valore del domiio D e per ordiata la corrispodete immagie f() mediate la fuzioe. I altri termii il grafico di ua fuzioe f è l isieme di tutti i puti P(; y) che soo soluzioi dell equazioe y = f(). y = f() grafico C codomiio f() (; f()) Come si comprede dalla figura, se è oto il grafico di ua fuzioe, il domiio D si ottiee proiettado il grafico sull asse delle ascisse metre il codomiio C si ottiee proiettado il grafico sull asse delle ordiate. Molto spesso, data ua fuzioe reale di variabile reale f() il grafico può essere tracciato per puti : si assegao alla variabile alcui valori el domiio e si calcolao le immagii f() mediate la fuzioe; si riportao i puti (; f()) el piao cartesiao e si uiscoo co ua liea. Se la curva che rappreseta la fuzioe è ua retta o ua parabola la procedura è già ota e bastao pochi puti per tracciarla. Esempio 5 Traccia il grafico della fuzioe f() = +. Il grafico della fuzioe è la retta di equazioe y = +. Dato che per tracciare ua retta soo sufficieti due puti, basta assegare alla variabile due valori distiti, come ella tabella che segue. Ne deduciamo che la retta passa per i puti (0; ), (; ). 8 D domiio

13 y = = (0; ) + = (; ) Esempio 6 Traccia il grafico della fuzioe f() =. y O Il grafico della fuzioe è la parabola di equazioe y =. La parabola ha vertice V ( b b 4ac ; a 4a ) ( ; 4 ) 9 ( ; 4 ), asse di equazioe = e passa per l origie O degli assi. Per tracciarla basta calcolare le coordiate di due o tre puti dalla stessa parte rispetto all asse di simmetria. y = = (; ) + = 4 ( ; 4) y 4 = Per simmetria la parabola passerà ache per i puti (; ), (; 0), (4; 4) V Osservazioe Il procedimeto descritto cosete di tracciare ua curva che approssima il grafico della fuzioe. Ifatti per tracciare co esattezza il grafico occorrerebbe determiare tati puti quati soo gli elemeti del domiio che, ei casi iteressati, soo ifiiti! L approssimazioe che otteiamo co questo procedimeto sarà quidi tato migliore quato maggiore è il umero dei valori assegati alla. Tuttavia tracciado per puti u grafico difficilmete si idividuio gli elemeti sigificativi (puti di massimo, di miimo, asitoti, flessi, cocavità ) che possoo essere determiati solo mediate il cosiddetto studio della fuzioe che sarà affrotato al quito ao. Osservazioe I base alla defiizioe di fuzioe, ad ogi valore della corrispode u solo puto del grafico, quello di coordiate (; y = f()). Tale osservazioe forisce u criterio per stabile se ua determiata curva el piao cartesiao sia o meo il grafico di ua fuzioe. Esempio 7 Quale delle segueti curve è u grafico di ua fuzioe? a b c d 9

14 Le curve a e c o soo grafici di fuzioe perché esistoo dei valori della ai quali corrispodoo più puti di queste curve. a c b emmeo è u grafico perché al valore corrispodoo ifiiti puti della retta. d d è u grafico di fuzioe perché comuque si scelga u valore della, ad esso corrispode u solo puto del grafico. Esempio 8 Data la fuzioe y = : determia il domiio e il codomiio traccia il suo grafico. La fuzioe è defiita per tutti i valori della per i quali il deomiatore è diverso da 0, cioè dalla codizioe: 0, dato che il valore assoluto di u umero è diverso da 0 quado il umero è diverso da 0, la precedete codizioe è equivalete a 0 pertato il domiio della fuzioe è l isieme D = R {}. Per trovare il codomiio e tracciare il grafico, osserviamo iazitutto che: ( + )( ) se > 0 ovvero se > : =, y = = = = + ( + )( ) se < 0 ovvero se < : = ( ), y = = = = ( + ) ( ) ( ) quidi + se > y = =. se < Il grafico di questa fuzioe è formato dalla retta di equazioe y = + el semipiao > e dalla retta di equazioe y = el semipiao <. La retta y = + è parallela alla bisettrice del e del quadrate ed icotra l asse y el puto (Fig. ), la retta y = è parallela alla bisettrice del e del 4 quadrate ed icotra l asse y el puto (Fig. ). 0

15 y y = + y = y y O Fig. Fig. O y = O Fig. Il grafico della fuzioe è quello della Fig.. Il pallio vuoto sta ad idicare che il grafico o cotiee quel puto, quidi é il puto (; ) é il puto (; ) appartegoo al grafico della fuzioe. Proiettado questo grafico sull asse C = ( ; + ). y si trova che il codomiio della fuzioe è l isieme Osservazioe La fuzioe dell esempio precedete è ua fuzioe defiita per casi. Queste fuzioi si icotrao spesso quado ell espressioe della fuzioe figurao valori assoluti coteeti la variabile. Esempio 9 Verifica se la relazioe + y = tra le due variabili ed y è ua fuzioe. Esplicitado la variabile y y = y = ± vediamo che ad ogi ( ; ) corrispodoo due valori della y, quidi la relazioe + y = o è ua fuzioe. Nel piao cartesiao l equazioe + y = rappreseta la circofereza co cetro ell origie e raggio e ache dalla figura costatiamo che ad ogi valore < < corrispodoo due puti del grafico e duque la relazioe o rappreseta ua fuzioe. Y O X Codomiio, biuivocità e fuzioe iversa Il codomiio C di ua fuzioe reale di variabile reale f è l isieme di tutte le immagii f() che si ottegoo al variare della el domiio D o, i termii equivaleti, è l isieme dei umeri reali y che hao ua cotroimmagie rispetto alla fuzioe f. Vediamo, attraverso due esempi, come si determia. Esempio 7 Determia il codomiio della fuzioe f() = +, verifica se essa è biuivoca e, i caso affermativo, determia la fuzioe iversa f. Sia y u qualuque umero reale e calcoliamoe le evetuali cotroimmagii rispetto alla fuzioe assegata. Per defiizioe esse soo i umeri reali per i quali f() = y ovvero + = y;

16 risolvedo questa equazioe rispetto alla variabile, troviamo che = y L espressioe y si può calcolare per qualuque umero reale y quidi il codomiio C è l isieme R dei umeri reali. Per ogi y R la cotroimmagie f (y) = y () è uica quidi la fuzioe è biuivoca e la fuzioe iversa è defiita dalla (). Esempio 8 Determia il codomiio della fuzioe f() =. Il domiio di defiizioe della fuzioe è D = R. Dato u geerico umero reale y, le sue cotroimmagii si ottegoo risolvedo l equazioe f() = y rispetto alla variabile : C y y y = = y = y + = y + = y +. Le cotroimmagii esistoo solo quado y + 0 y, pertato il codomiio della fuzioe è l isieme C = [ ; + ). Ioltre se y > le cotroimmagii soo due, quidi la fuzioe o è iiettiva el domiio R. Osservazioe I geerale per determiare il codomiio di ua fuzioe f: = y + 0 = y + si esplicita rispetto alla variabile l equazioe f() = y, otteedo l equazioe = f (y) che forisce le evetuali cotroimmagii di u geerico umero reale y; il codomiio C della fuzioe è l isieme dei umeri reali y per i quali l espressioe f (y) si può calcolare. Ioltre se per ogi y C la cotroimmagie = f (y) è uica, allora la fuzioe f() dal domiio di defiizioe D al codomiio C è biuivoca e la fuzioe iversa è defiita dall espressioe f (y). Riferedoci all esempio 8 vediamo che la fuzioe f() = dal suo domiio di defiizioe, che è l isieme dei umeri reali R, al suo codomiio C = [ ; + ) o è biuivoca. Se restrigiamo il domiio all isieme D = [0; + ) si ha che y C ua sola cotroimmagie, = y +, appartiee a D. Deduciamo che la fuzioe f() =, ristretta el domiio D = [0; + ), ha come codomiio lo stesso isieme C = [ ; + ) ma è biuivoca e ha come fuzioe iversa f (y) = y +. Nella figura al lato si osserva che restrigedo il domiio della fuzioe f all isieme D = [0; + ), il grafico della fuzioe è ristretto al semipiao delle ascisse positive o uguali a zero. C y 0 = y + y = D

17 Se restrigiamo il domiio della fuzioe f() = all isieme D = ( ; 0] avremo che essa ha ugualmete come codomiio l isieme C = [ ; + ) ed è biuivoca tra questi due isiemi, ma la fuzioe iversa i tal caso è f (y) = y +. Osservazioe I geerale se ua fuzioe reale di variabile reale dal suo domiio di defiizioe D al suo codomiio C o è biuivoca, allora restrigedo opportuamete il domiio ad u sottoisieme D è possibile redere la fuzioe biuivoca da D a C. Osservazioe Sia f() ua fuzioe reale di variabile reale biuivoca. Dato che le equazioi y = f() e = f ( y) hao le stesse soluzioi, i grafici corrispodeti coicidoo. Per la fuzioe iversa f la variabile idipedete è la y e la variabile dipedete è la. Voledo coservare ache per la fuzioe iversa la cosuetudie di idicare co la variabile idipedete e co y la variabile dipedete, si può eseguire la sostituzioe y, scambiare cioè le due variabili, otteedo l espressioe f () per la fuzioe iversa. Nel piao cartesiao, questo scambio fa corrispodere ad ogi puto P(; y) il puto P (y; ) simmetrico del precedete rispetto alla bisettrice del e del quadrate, di cosegueza il grafico della fuzioe iversa y = f () è simmetrico al grafico della fuzioe y = f() rispetto alla bisettrice del e del quadrate. y y = P (y; ) P(; y) y Riferedoci alla fuzioe f() = el domiio D = [0; + ), i base alle cosiderazioi svolte, possiamo dire che la fuzioe iversa è f () = +. Riportiamo ella figura i grafici delle fuzioi f() e f (). y y = y = y = + 0 Esempio 9 Verifica se la fuzioe f() = determia la fuzioe iversa. + è biuivoca el suo domiio di defiizioe, e La fuzioe è defiita per tutti i umeri reali per i quali il deomiatore è diverso da zero, ovvero dalla codizioe + 0 pertato D = R { }.

18 Per verificare se la fuzioe è biuivoca, risolviamo l equazioe y = rispetto alla variabile +. Per o cofodersi ei passaggi, coviee pesare alla variabile y come se fosse u umero: ( + ) y = y + y =, otteiamo i tal caso u equazioe di primo grado rispetto alla variabile. Trasportiamo quidi i termii co la al primo membro e i rimaeti al secodo y = y, raccogliamo la a fattor comue: (y ) = y, da qui ricaviamo: = y y = y +. y L espressioe al secodo membro ha sigificato quado y 0 y, pertato il codomiio della fuzioe è l isieme C = R {}; ioltre ogi y C ha ua sola cotroimmagie f (y) = y + y di cosegueza la fuzioe, dal domiio di defiizioe D al codomiio C, è biuivoca e la fuzioe iversa f (y) è defiita dall espressioe precedete. Scambiado la co la y, l espressioe della fuzioe iversa diveta: f () = +. Riportiamo ella figura sottostate i grafici delle due fuzioi f e f. y y = y = y = 4

19 Riassumedo Per verificare se ua fuzioe reale di variabile reale y = f() è biuivoca e determiare la fuzioe iversa si procede i questo modo: si determia il domiio di defiizioe D; se è possibile si esplicita ell equazioe f() = y la variabile, otteedo, l equazioe = f (y). L isieme dei umeri reali per i quali l espressioe f (y) si può calcolare costituisce il codomiio C della fuzioe f; se per ogi y C la cotroimmagie = f (y) è uica, la fuzioe f è biuivoca el suo domiio D e la fuzioe iversa è defiita dall espressioe y = f (). La fuzioe iversa f ha per domiio il codomiio C della fuzioe f; se esistoo y C per le quali le cotroimmagii = f (y) o soo uiche, si restrige opportuamete il domiio ad u sottoisieme D i modo che il codomiio C rimaga lo stesso e per ogi y C la cotroimmagie = f (y) ell isieme D sia uica. I tal modo la fuzioe f è biuivoca el domiio D e la fuzioe iversa è y = f (); i ogi caso i grafici delle due fuzioi y = f() e y = f () soo simmetrici rispetto alla bisettrice del e del quadrate. Fuzioi cresceti e decresceti Defizioe Ua fuzioe si dice crescete i u itervallo I se per ogi, I co < risulta f( ) < f( ). Defizioe Ua fuzioe si dice decrescete i u itervallo I se per ogi, I co < risulta f( ) > f( ). Defizioe Ua fuzioe si dice mootoa i u itervallo I se è crescete o decrescete ell itervallo. y Fuzioe crescete y Fuzioe decrescete f( ) f( ) f( ) f( ) I I Osservazioe itervallo. Se ua fuzioe è mootoa i u itervallo I allora essa è iiettiva i tale 5

20 Ifatti per ogi, I co deve risultare < o >, i etrambi i casi risulterà f( ) < f( ) o f( ) > f( ) pertato f( ) f( ) e si può cocludere che la fuzioe f è iiettiva ell itervallo I. Per le fuzioi mootoe vale il seguete utile risultato: Teorema se f è ua fuzioe crescete i u itervallo I allora, I f( ) f( ) ovvero tra le immagii di due umeri vi è la stessa relazioe d ordie che vi è tra i due umeri; se f è ua fuzioe decrescete i u itervallo I allora, I f( ) f( ) ovvero tra le immagii di due umeri vi è la relazioe d ordie iversa rispetto a quella che vi è tra i due umeri Dimostrazioe Sia f ua fuzioe crescete i u itervallo I e, due umeri apparteeti ad I. Se < ovviamete f( ) < f( ). Se > allora < e, per la cresceza, f( ) < f( ), che equivale a scrivere f( ) > f( ); brevemete se > allora f( ) > f( ). Se =, per la defiizioe di fuzioe, ache f( ) = f( ). Resta così provata l implicazioe f( ) f( ) () Proviamo ora l implicazioe cotraria. Facciamo vedere che se f( ) > f( ) allora >. Se fosse allora, per quato dimostrato i precedeza, risulterebbe f( ) f( ), il che è assurdo quidi deve ecessariamete essere >. Similmete se f( ) < f( ) allora <. Ifie poiché ua fuzioe crescete è ache iiettiva, se f( ) = f( ) allora =. Resta così provata l implicazioe Dalle () e () segue l equivaleza f( ) f( ). f( ) f( ). () Sia ora f ua fuzioe decrescete i u itervallo I e, due umeri apparteeti ad I. Procededo come el caso precedete si arriva a dimostrare l equivaleza f( ) f( ) Esempio 0 Verifica che la fuzioe f() = è decrescete ell itervallo [0; + ). Per ogi, [0; + ) co < risulta <. Cambiado i segi ad etrambi i membri si ha >. Sommado ad etrambi i membri segue che > e quidi f( ) > f( ). Cocludiamo che la fuzioe assegata è decrescete ell itervallo [0; + ). Nel corso del calcolo differeziale vedremo u metodo rapido per determiare gli itervalli di cresceza e di decresceza di ua fuzioe, pertato o ci soffermiamo oltre sull argometo. 6

21 Le successioi umeriche Defiizioe Ua successioe umerica a è ua fuzioe che associa ad ogi umero aturale u umero reale a() Per ua successioe a l immagie a() di u umero aturale si idica ache col simbolo a. La variabile idipedete si chiama idice della successioe metre l immagie a si chiama termie -simo della successioe. N R a primo termie a secodo termie a termie simo Il modo più comue per rappresetare ua successioe umerica cosiste ello scrivere la relazioe che lega l idice al termie a. Questo tipo di rappresetazioe si chiama rappresetazioe mediate espressioe aalitica. Esempio La successioe a = + è defiita per N {0}, Sostituedo ad i valori,,, 4,, si ottegoo i segueti termii:, 4 5, 6 7, 8 9, Esercizio. Scrivi i primi quattro termii della successioe a = +. U altro modo per rappresetare ua successioe cosiste ello scrivere il valore del primo (o dei primi) termii della successioe e la relazioe che lega il termie -esimo al termie (o ai termii) che lo precedoo. Nei casi più comui si assega a 0 e la relazioe a = f(a ). Questo tipo di rappresetazioe si chiama rappresetazioe ricorsiva o per ricorreza. Esempi semplici di successioi defiite per ricorreza soo le progressioi, che studieremo ei prossimi paragrafi. Esempio Scrivi i forma ricorsiva la successioe a = ( ). Calcoliamo il primo termie della successioe a 0 = ( ) 0 = = ; scriviamo il termie a + e cerchiamo di esprimerlo i fuzioe di a : a + = ( ) + = a = ( ) ( ) = a ( ) = a, da ciò segue che a = a 0 = a. I forma ricorsiva la successioe è espressa dalle segueti relazioi: 7

22 a = a. Esempio Ua successioe è defiita per ricorreza da: a 0 =, a = a + 6, a) calcola i termii a, a, a della successioe; b) scrivi la successioe i forma aalitica. a) Dalla defiizioe i forma ricorsiva segue che a = 8 a a 0 a = + = + = ( + ), a = + + = = ( + + ) 4 a = = 4 + = = 8 4 ( , quidi + ) = [( ) + ( ) + ( ) + ] Dall espressioe di a si comprede che il termie a geerico della successioe, i forma aalitica, è espresso dalla relazioe a = [( ) + ( ) + + ( ) + ] =, i= 0 Ua dimostrazioe rigorosa di questa uguagliaza si basa sul pricipio di iduzioe che vedremo el prossimo paragrafo. Esempio 4 Il primo esempio coosciuto di successioe defiita per ricorreza, che si icotra i molte situazioi e ella atura, è la successioe di Fiboacci, che fu descritta el 0 dal matematico Leoardo Pisao, detto Fiboacci, el Liber Abaci. Essa forisce la risposta al seguete problema: quot paria coiculorum i uo ao e uo pario germietur? Si suppoe che ua coppia di coigli adulti geeri ogi mese ua coppia di piccoli (u maschio e ua femmia) e che questi si riproducao, geerado ach essi ua coppia di coigli (u maschio e ua femmia), a partire dal secodo mese di vita. Partedo da ua coppia di coiglietti, quate coppie ci sarao el mese? Idichiamo questo umero co a. Per le ipotesi fatte: a = (iizialmete abbiamo ua coppia o adulta) a = (dopo u mese abbiamo acora ua sola coppia che el frattempo è divetata adulta) a = a + a = + = (el mese abbiamo la coppia di parteza, che è divetata adulta, e la coppia di coiglietti da essa geerata) i

23 a 4 = a + a = + = (si hao coppie, quella iiziale e la loro progeie mesile più la coppia del mese precedete divetata adulta) a = a + a (poiché ogi coppia è i grado di procreare dopo due mesi di vita, el mese - simo, >, vi soo tutte le coppie del mese precedete, che soo a, più le coppie dei piccoli che soo ate dalle coppie di due mesi prima, che soo a ). I umeri di Fiboacci soo i valori della successioe descritta: i primi dodici soo,,,, 5, 8,,, 4, 55, 89, 44, I umeri di Fiboacci si ritrovao i molte situazioi e compaioo spesso i atura. Per esempio i molte piate il umero di rami i cui il fusto si ramifica segue uo schema del tipo seguete: Il pricipio di iduzioe Il pricipio di iduzioe è alla base di molte importati dimostrazioi di proposizioi (proprietà o formule) che dipedoo da u umero aturale. Cosideriamo ua proposizioe P che dipede u umero aturale, se a) per u valore iiziale 0 la proposizioe P 0 è vera (base dell iduzioe) b) e per 0 supposta vera P è vera ache P +, (passo iduttivo) allora la proposizioe P è vera 0. I altri termii per dimostrare mediate il pricipio di iduzioe la proprietà P : a) si cosidera il più piccolo umero aturale 0 per cui si dimostra facilmete che la proprietà P 0 è vera (molto spesso capita 0 = 0 o 0 = ); b) si dimostra che se la proprietà è vera per u geerico umero aturale, allora lo è ache per il umero successivo +. Dai puti a) e b) è logico dedurre che essedo la proprietà vera per 0, lo sarà ache per 0 +, essedolo per 0 + lo sarà ache per 0 +, e così a catea per tutti i umeri aturali successivi ad 0. 9

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