Prova in itinere di Metodi di Ottimizzazione AA 2007/2008: compito A

Transcript

1 Nome... Cognome... 1 Prova in itinere di Metodi di Ottimizzazione AA 2007/2008: compito A Un rinomato biscottificio italiano dispone di tre stabilimenti, ubicati nelle città di Ancona, Belluno e Catanzaro e produce quattro tipologie di biscotti: gli Amarestri, i Biscozzi, i Cuordipaglia e le Deluzie. In Tabella 1 sono riportati i costi di produzione (per quintale) di ognuno dei tipi di prodotto a seconda dello stabilimento di produzione, ed il costo di attivazione della produzione nei vari stabilimenti. Sono riportati inoltre la massima quantità mensile che ogni stabilimento può produrre, e le produzioni minime richieste di ogni tipologia di prodotto per soddisfare le richieste di mercato (ripettivamente nell ultima colonna e nell ultima riga). Per vincoli tecnologici ogni stabilimento non può produrre più di tre tipi diversi di biscotti. In generale, biscotti di un dato tipo possono essere prodotti in diversi impianti. Formulare il problema di pianificare la produzione per il prossimo mese come PLI, per minimizzare i costi totali e soddisfare le richieste di mercato. Amarestri Biscozzi Cuordipaglia Deluzie Costo Att. Capacità Prod. Ancona 200 euro 170 euro 200 euro 170 euro 2000 euro 40 qt. Belluno 250 euro 210 euro 120 euro 150 euro 3000 euro 30 qt. Catanzaro 300 euro 220 euro 110 euro 280 euro 1400 euro 45 qt. Prod. min.: 20 qt. 30 qt. 25 qt. 20 qt. Table 1: Dati 2 Si consideri la rete in Figura 3. I due valori k ij, x ij associati ad ogni arco del grafo sono, rispettivamente, la capacità dell arco e il valore di un flusso. Verificare che il flusso dato sia ammissibile. Applicare un opportuno algoritmo per trovare il flusso massimo dal nodo 1 al nodo 10. Determinare inoltre la sezione di capacità minima della rete. 3 max x 1 + 3x 2 1

2 Figura 1: 13x x x 1 1 x 1 6 x 1, x 2 Z + Si trovi la soluzione ottima: con il metodo dei tagli di Gomory. Si arresti comunque il metodo dopo la generazione di due tagli. con il metodo del Branch&Bound. 4 Si consideri il seguente problema di PLI max 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 2x 4 + 3x 5 + 2x 6 + 4x 7 4x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 + 4x 5 + 2x 6 + 5x 7 13 x i {0, 1} i = 1,..., 7 Si calcoli il rilassamento lineare del problema. Stabilire inoltre se il problema intero può avere una soluzione con valore almeno Si consideri il problema della copertura degli archi ( Node cover ). Formulare il problema in termini di PLI. Cosa si può dire sulla complessità computazionale del problema? 2

3 Nome... Cognome... Prova in itinere di Metodi di Ottimizzazione AA 2007/2008: compito B 6 Il pirata Jack Sparrow vuole masterizzare illegalmente su DVD alcuni film che ha scaricato da internet. In Tabella 6 sono indicati, per ognuno di tali film, la lunghezza in MegaByte del file corrispondente ed il genere. Formulare come PLI il problema di utilizzare il minor numero possibile di DVD (aventi capacità di 4700 MB) e facendo in modo che su uno stesso DVD non siano registrati più di tre generi differenti. # Titolo MB Genere # Titolo MB Genere 01 Odissea nello strazio 730 SF 07 Rambo XV 650 AVV 02 Gli Intaccabili 830 DRAM 08 Indiana Stones 750 AVV 03 Esame Mortale 630 HORR 09 NightMore 770 HORR 04 Vacanze in Armenia 660 COMM 10 Tutti Pazzi per Lory 620 COMM 05 Mars Riattacks 860 SF 11 Mambo & Slash 720 COMM 06 Se mi lasci ti scotenno 760 COMM 12 Il silenzio degli studenti 640 DRAM Table 2: I film del pirata 7 Si consideri la rete in Figura 3. I due valori k ij, x ij associati ad ogni arco del grafo sono, rispettivamente, la capacità dell arco e il valore di un flusso. Verificare che il flusso dato sia ammissibile. Applicare un opportuno algoritmo per trovare il flusso massimo dal nodo 1 al nodo 10. Determinare inoltre la sezione di capacità minima della rete. 8 max 9x 1 + 3x 2 60x x x 2 1 x 2 6 x 1, x 2 Z + 3

4 Figura 2: Si trovi la soluzione ottima: con il metodo dei tagli di Gomory. Si arresti comunque il metodo dopo la generazione di due tagli. con il metodo del Branch&Bound. 9 Si consideri il seguente problema di PLI max 4x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 + 4x 5 + 2x 6 + 5x 7 5x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 2x 4 + 3x 5 + 2x 6 + 4x 7 13 x i {0, 1} i = 1,..., 7 Si calcoli il rilassamento lineare del problema. Stabilire inoltre se il problema intero può avere una soluzione ammissibile con valore almeno Si consideri il problema dello zaino. Descrivere l algoritmo di soluzione basato sulla programmazione dinamica. Cosa si può dire sulla complessità computazionale dell algoritmo? 4

5 Nome... Cognome Appello d esame di Metodi di Ottimizzazione del 06/12/2007 Un pattinatore artistico deve decidere quali salti inserire nel suo programma libero per le Olimpiadi. Il programma è composto da due parti (A e B), e può contenere al massimo 8 salti per parte. I tipi di salto sono indicati con S = {1,..., n}. Ogni tipo di salto può essere ripetuto, ma un tipo di salto può essere effettuato solo in una delle due parti. Ogni tipo di salto è caratterizzato da un coefficiente di difficoltá, d i. Il coefficiente di difficoltà aumenta del 10% se un salto viene eseguito nella parte B del programma. Il pattinatore conosce i suoi limiti e sa quali salti gli riescono con maggior difficoltá: ha assegnato a ciascun salto un coefficiente di rischio r i. Il pattinatore vuole massimizzare il coefficiente di difficoltà del suo programma mantenendo il rischio complessivo al di sotto di una soglia R. Formulare il problema utilizzando un modello di Programmazione Lineare Intera. 5

6 12 min 8x 1 7x 2 4x 1 + 3x x 1 + 3x 2 26 x i Z + 1. Si risolva il problema attraverso il metodo dei tagli di Gomory (si generino al massimo due tagli). 2. Si risolva il problema attraverso il metodo del Branch&Bound. 13 min 4x 1 3x 2 5x 3 2x 4 5x 5 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 + 4x 5 8 x i {0, 1} Si risolva il problema applicando la programmazione dinamica. Si discuta la complessità del metodo utilizzato. 6

7 Nome... Cognome Appello d esame di Metodi di Ottimizzazione del 10/1/2008 Il centro di gestione delle emergenze sanitarie di Roma deve decidere dove allocare k autoambulanze, in modo tale che gli interventi di emergenza siano il più rapidi possibile. Nell area metropolitana sono stati individuati un insieme di punti C = {1,..., n} da cui, con più probabilità, partiranno le chiamate di emergenza dei cittadini. Inoltre, è stato individuato un insieme di potenziali siti P = {1,..., m} in cui posizionare le autoambulanze. Può essere posizionata al più una autoambulanza per ogni sito. Si suppongono noti i tempi di spostamento t(i, j) che un autoambulanza, se allocata nel generico sito i P, impiegherebbe per arrivare al generico punto di emergenza j C. Usando la Programmazione Lineare Intera, si formuli il problema di determinare in quali siti allocare le autoambulanze in modo tale che sia minimo il massimo tempo di spostamento. 7

8 15 Si consideri la rete in Figura 3. I due valori k ij, x ij associati ad ogni arco del grafo sono, rispettivamente, la capacità dell arco e il valore di un flusso. Verificare che il flusso dato sia ammissibile. Applicare un opportuno algoritmo per trovare il flusso massimo dal nodo 1 al nodo 9. Determinare inoltre la sezione di capacità minima della rete. Figura 3: 16 min 8x 1 7x 2 4x 1 + 3x x 1 + 3x 2 26 x i Z + 1. Si risolva il problema attraverso il metodo dei tagli di Gomory (si generino al massimo due tagli). 2. Si risolva il problema attraverso il metodo del Branch&Bound. 8