CALCOLO FRAZIONARIO & VISCOELASTICITÀ

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1 CALCOLO FRAZIONARIO & VISCOELASTICITÀ Mario Di Paola, Francesco Paolo Pinnola Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e Aerospaziale Università degli Studi di Palermo Viale delle Scienze Palermo

2 Dipartimento di Ingegneria Civile Ambientale e Aerospaziale Università degli Studi di Palermo Viale delle Scienze Palermo, ITALIA Prof. Mario Di Paola Francesco Paolo Pinnola Composto in L A TEX Esempi e grafici eseguiti in Wolfram Mathematica

3 Thus it follows that d 1/2 x will be equal to x dx : x, an apparent paradox, from which one day useful consequences will be drawn. 1 1 G. W. Leibniz, lettera da Hannover, Germania, 30 Settembre 1695, inviata a G.A. l Hôpital.

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5 Indice Prefazione Simboli Adottati xi xv 1 Funzioni Speciali e Trasformate Funzioni Speciali La Funzione Gamma di Eulero La Beta di Eulero La Funzione di Mittag-Leffler La Funzione di Wright Le Funzioni di Bessel La Funzioni di Prima e Seconda Specie Le Funzioni di Hankel Le Funzioni di Bessel Modificate La Trasformata di Laplace Proprietà della Trasformata di Laplace Applicazione alle Equazioni Differenziali La Trasformata di Fourier Proprietà della Trasformata di Fourier Applicazione alle Equazioni Differenziali La Trasformata di Mellin La Striscia Fondamentale Proprietà della Trasformata di Mellin Il Calcolo Frazionario Cenni Storici Derivate e Integrali Frazionari Il Differintegrale di Grünwald-Letnikov v

6 vi INDICE La Formulazione di Riemann-Liouville Gli Integrali Frazionari di Riesz L Approccio di Caputo Proprietà degli Operatori Frazionari La Linerarità La Regola di Leibniz La Regola dei Semigruppi Trasformata di Laplace degli Operatori Frazionari Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Riemann-Liouville Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Caputo Trasformata di Laplace della Derivata Frazionaria di Grünwald-Letnikov Trasformata di Fourier degli Operatori Frazionari Trasformata di Fourier dell Integrale Frazionario Trasformata di Fourier della Derivata Frazionaria Trasformata di Mellin degli Operatori Frazionari Trasformata di Mellin dell Integrale Frazionario di Riemann-Liouville Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Riemann-Liouville Trasformata di Mellin della Derivata Frazionaria di Caputo Alcuni Esempi di Derivate Frazionarie Gradino di Heaviside Funzione Potenza La Viscoelasticità Lineare Il Modello Elastico (Hooke) Il Modello Viscoso (Newton-Petroff ) I Modelli Viscoelastici Il Modello di Maxwell Il Modello di Kelvin-Voigt Gli Altri Modelli Classici La Funzione di Creep e di Rilassamento Il Principio di Sovrapposizione di Boltzmann La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modello di Maxwell

7 INDICE vii La Funzione di Creep e di Rilassamento per il Modello di Kelvin-Voigt I Modelli di Ordine Frazionario L esperienza di Nutting Lo Spring-pot La Formulazione Integrale del Modello Frazionario I Modelli Generalizzati A Tabelle sulle Trasformate 73 A.1 Trasformate di Laplace A.2 Trasformate di Fourier A.3 Trasformate di Mellin B Tabelle sulle Derivate Frazionarie 77 B.1 Derivate di Riemann-Liouville con a = B.2 Derivate di Riemann-Liouville con a = C Comandi in Mathematica 79 C.1 Funzioni Speciali C.2 Funzioni di Bessel C.3 Trasformate Integrali C.4 Differintegrali Bibliografia 83

8 viii INDICE

9 Elenco delle figure 1.1 Funzione Gamma Abs Funzione Gamma Funzione di Bessel di prima specie Funzione di Bessel di seconda specie Funzioni di Hankel Funzioni di Bessel modificate Funzione Rettangolo Funzione Dispari Funzione f(t) = sin(t)e t H(t) Trasformata di Fourier di f(t) = sin(t)e t H(t) Derivata frazionaria della funzione gradino di Heaviside Modello di Hooke Modello di Newton-Petroff Modello di Maxwell Modello di Kelvin Voigt Modelli SLS o di Zener Modelli classici discreti Funzione di Creep Funzione di Rilassamento Programma di Carico e Risposta Programma di Carico Generico Funzione di Rilassamento e Creep Maxwell Funzione di Rilassamento e Creep Kelvin Voigt Spring-Pot ix

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11 Prefazione La teoria sulla derivazione di ordine non intero risale al 1695, quando nelle note che Leibniz scrisse a l Hôpital, si discuteva del significato della derivata di ordine 1 2. Questo evento diede il via allo studio delle derivate e degli integrali di ordine arbitrario, continuato verso la fine del XIX secolo da Liouville, Grünwald, Letnikov e Riemann. Nasce così il Calcolo Frazionario che, per circa 200 anni trova sviluppo solo dal punto di vista teorico rimanendo di uso prettamente matematico. Intorno agli anni 50 del secolo scorso alcuni studiosi cominciano ad usare gli integrali e le derivate di ordine non intero per descrivere le proprietà di vari materiali, come ad esempio le proprietà viscoelastiche dei polimeri. Iniziano così a manifestarsi le potenzialità del calcolo frazionario che oggi trova applicazione in diverse branche della Fisica e della Chimica, in quanto permette una raffinata modellazione delle proprietà meccaniche ed elettriche dei materiali reali. Nell ingegneria, recenti applicazioni delle derivate frazionarie per la modellazione geotecnica, hanno permesso una accurata descrizione delle proprietà reologiche di alcune famiglie di rocce. Il testo di M. Caputo [10], pubblicato nel 1969, fornisce una particolare definizione di differenziazione frazionaria per la formulazione e la risoluzione di problemi di viscoelasticità. Un altro campo dove trova impiego la derivata di ordine non intero è la recente Teoria dei Frattali, infatti lo sviluppo di tale teoria ha fornito ulteriori prospettive per l applicazione della derivazione frazionaria, specialmente per la modellazione dei processi dinamici di autosimilarità e per lo studio delle strutture porose. Gli integrali e le derivate frazionarie sono anche utilizzate nella teoria di controllo dei sistemi dinamici, governati da equazioni differenziali frazionarie. Il calcolo frazionario rappresenta l argomento base del presente testo, esso infatti verrà applicato alla viscoelasticità, proprietà che caratterizza il legame costitutivo della maggior parte dei materiali impiegati nell ingegneria civile. Il xi

12 xii Prefazione comportamento viscoelastico, intermedio tra il perfettamente elastico (con legame costitutivo governato dalla Legge di Hooke) e il perfettamente viscoso (con legame costitutivo governato dalla Legge di Newton), è stato oggetto di diversi studi fin dal XIX secolo, pionieri della viscoelasticità furono i fisici James Clerk Maxwell, Ludwig Eduard Boltzmann e William Thomson Kelvin, i quali studiarono il fenomeno su diversi materiali, tra cui vetro, metalli e gomme. Sia il comportamento perfettamente elastico che il perfettamente viscoso rappresentano una comoda idealizzazione che permette di risolvere con buona approssimazione diversi problemi rilevanti nell ambito ingegneristico. In natura però non esistono degli elementi il cui comportamento appartiene all uno o all altro campo. Si è osservato sperimentalmente che diversi materiali se sottoposti ad un carico costante che permane nel tempo fluiscono plasticamente, distinguendosi dai solidi perfettamente elastici; inoltre, una volta rimosso il carico, essi recuperano una parte della deformazione, distinguendosi anche dai liquidi perfettamente viscosi. Per tale motivo, in certi casi, nasce la necessità di caratterizzare determinati materiali con un comportamento che manifesti al contempo proprietà elastiche e proprietà viscose. In definitiva il perfettamente elastico e il perfettamente viscoso devono essere visti come fenomeni limite, che circoscrivono un ampio campo di comportamento che è appunto quello viscoelastico. Per simulare il comportamento viscoelastico si è spesso fatto ricorso a dei modelli discreti composti da elementi elastici perfetti (molle caratterizzate dal modulo elastico E) e da elementi perfettamente viscosi (pistoncini in bagno d olio caratterizzati dalla viscosità µ) opportunamente accoppiati, ma tali modelli riescono a simulare il reale comportamento dei materiali reali solo diventando delle complicate successioni di numerosi elementi. George William Scott Blair, intorno agli anni 50 del secolo scorso, introdusse un modello basato sulla derivate frazionarie che si dimostrò più efficace nell interpretazione dei risultati sperimentali rispetto ai modelli discreti. Quest ultima tipologia di modello, chiamato modello viscoelastico di ordine frazionario, rappresenta l argomento centrale del presente testo, il quale è organizzato in sei capitoli. Nel Capitolo 1 verranno introdotte alcune funzioni speciali, la cui conoscenza è necessaria per una piena comprensione del calcolo frazionario. Inoltre saranno richiamate le definizioni delle trasformate integrali di Laplace, di Fourier e di Mellin e verranno mostrate alcune delle loro proprietà fondamentali, la cui comprensione servirà a estenderne l applicabilità alle derivate e agli integrali di ordine frazionario. Nel Capitolo 2 si affronterà lo studio dei concetti base del Calcolo Fraziona-

13 xiii rio, infatti in esso verranno introdotti gli Operatori Frazionari, in particolare saranno mostrate le principali definizioni, fornite nel tempo da diversi matematici, di derivata e integrale frazionario e le relative proprietà. Inoltre, le trasformate integrali e le loro particolari proprietà verranno applicate al calcolo differenziale frazionario. Nel Capitolo 3 si introdurranno alcuni concetti relativi alla viscoelasticità lineare. In particolare nella prima parte si mostrerà l approccio classico allo studio del fenomeno viscoelastico, basato sulla combinazione di elementi semplici (molle e pistoncini) per la modellazione del materiale e sulla formulazione integrale fornita da Boltzmann. Mentre nella seconda parte del capitolo si introdurrà il modello frazionario (Spring-Pot) che risulterà più accurato rispetto ai modelli classici costituiti da elementi puramente elastici ed elementi puramente viscosi. Ulteriori approfondimenti in merito agli argomenti trattati possono essere trovati nelle Appendici.

14 xiv Prefazione Si fornisce adesso una chiave di lettura della bibliografia inerente gli argomenti trattati nei primi due Capitoli: le funzioni speciali, che verranno introdotte nel Capitolo 1, in particolare la gamma e la beta di Eulero e le relative proprietà possono essere approfondite nei testi [33], [12], [25], [27] e [29], mentre ulteriori informazioni sulle funzioni di Mittag-Leffler e di Wright sono contenute rispettivamente in [22] e in [20]; per l approfondimento delle trasformate integrali di Fourier e di Laplace e delle loro proprietà si rimanda ai testi [1], [7] e [12], invece per la trasformata integrale di Mellin oltre al [12] si consigliano il [31] e il Capitolo 9 del [45]; il calcolo frazionario, il cui studio verrà affrontato nel Capitolo 2, è ampiamente trattato nei testi [9], [24], [25], [27], [29], [33] e [36]; alcune dimostrazioni sull applicazione delle trasformate integrali agli operatori frazionari omesse nel presente lavoro sono contenute nei testi [25] e [33]; diverse informazioni in merito agli argomenti trattati sono contenute nei link del portale Wolfram MathWorld richiamati in [46], [47], [48], [49], [50], [51] e [52].

15 Simboli Adottati In matematica spesso vi sono diverse notazioni per indicare lo stesso elemento, sia esso un operatore differenziale, una variabile reale, una trasformata integrale, ecc.; anche gli operatori di derivazione e di integrazione frazionaria non sempre si trovano indicati allo stesso modo. Nel seguito verrà utilizzata la seguente notazione. Notazione f(t) ad α t ai α t C a D α t α o β a t z o s j o i N R C Descrizione Funzione di variabile reale t Simbolo di operatore differintegrale frazionario Simbolo di operatore integrale frazionario Simbolo di operatore differintegrale di Caputo Ordine di differintegrazione Estremo inferiore Variabile temporale e/o estremo superiore Variabile complessa Unità immaginaria j = i = 1 Insieme dei numeri Naturali Insieme dei numeri Reali Insieme dei numeri Complessi Prodotto di convoluzione xv

16 xvi Simboli Adottati Notazione L{} L 1 {} F{} F 1 {} M{} M 1 {} F L (s) F F (ω) F M (s) R() I() Γ(z) β(z, ω) E α, β (z) W (z, α, β) Descrizione Operatore trasformata e antitrasformata di Laplace Operatore trasformata e antitrasformata di Fourier Operatore trasformata e antitrasformata di Mellin Funzione trasformata di Laplace Funzione trasformata di Fourier Funzione trasformata di Mellin Parte reale di un numero complesso Parte immaginaria di un numero complesso Funzione gamma di Eulero Funzione beta di Eulero Funzione di Mittag-Leffler Funzione di Wright J ν (z) e Y ν (z) H (1) ν (z) e H (2) ν (z) Funzioni di Hankel Funzioni di Bessel di prima e seconda specie I ν (z) e K ν (z) δ(t) H(t) Rect(t) Funzioni di Bessel modificate Funzione generalizzata delta di Dirac Funzione gradino di Heaviside Funzione rettangolo Si osservi che in genere un Operatore Frazionario è definito dall ordine di differintegrazione, dall estremo inferiore e dall estremo superiore. L ordine di differintegrazione (positivo nel caso di derivazione e negativo nel caso di integrazione) è indicato con n se intero, con α se reale o complesso.

17 Capitolo 1 Funzioni Speciali e Trasformate In questo capitolo vengono introdotte alcune funzioni speciali, la cui conoscenza è necessaria per comprendere appieno il calcolo frazionario e gli argomenti trattati nei successivi capitoli. Inoltre verranno richiamati alcuni concetti generali inerenti le trasformate integrali di Laplace, di Fourier e di Mellin. Si porrà attenzione su alcune proprietà delle trasformate usate nel calcolo differenziale ordinario. La conoscenza di tali proprietà renderà più agevole l applicazione delle trasformate al calcolo frazionario, trattata nel capitolo successivo. 1.1 Funzioni Speciali Si riportano di seguito alcune funzioni che stanno alla base del calcolo frazionario e ne vengono descritte sinteticamente le principali proprietà, rimandando, per l eventuale approfondimento, ad altri testi specifici citati in Bibliografia. In particolare verranno trattate la Funzione Gamma e Beta di Eulero, la Funzione di Mittag-Leffler e la Funzione di Wright La Funzione Gamma di Eulero Una delle funzioni fondamentali del calcolo frazionario è la Funzione Gamma di Eulero Γ(z), che generalizza il concetto di fattoriale n! estendendo il calcolo a valori non interi e/o complessi di n. Infatti tale funzione nasce da un 1

18 2 1. Funzioni Speciali e Trasformate problema di interpolazione posto in una lettera da Christian Goldbach ( ) all allora ventiduenne Leonardo Eulero ( ): trovare una formula semplice per il calcolo dei fattoriali che sia estendibile anche a numeri non interi. La funzione Gamma è definita nel semipiano delle z positive dal seguente integrale: Γ(z) = 0 e t t z 1 dt (1.1) che converge nella metà destra del piano complesso (ovvero con R(z) > 0); infatti se z = x + jy si ottiene: Γ(x + jy) = = 0 0 e t t x 1+jy dt = 0 e t t x 1 e jy log (t) dt e t t x 1 [cos (y log (t)) + j sin (y log (t))] dt (1.2) l espressione contenuta nelle parentesi quadre della (1.2) è limitata t, la convergenza a infinito è data da e t, e per la convergenza a t = 0 si deve avere x = R(z) > 1. La gamma di Eulero è una funzione meromorfa, ha dei poli 1 Im z Re Figura 1.1: Valore Assoluto della Funzione Gamma di Eulero sul Piano di Gauss ( Γ(z) per valori di z C). semplici per x = n (con n = 1, 2, 3 ) ed è continua e positiva sui reali

19 1.1 Funzioni Speciali 3 positivi di z (ovvero per R(z) > 0). La Figura 1.1 mostra il grafico del valore assoluto della funzione gamma di Eulero sul piano di Gauss ( Γ(z) per z C), in esso è possibile osservare la presenza di singlarità isolate per x = n. Oltre alla rappresentazione integrale data in (1.1) vi è un espressione alternativa della funzione gamma di Eulero, fornita da Gauss: n!n z Γ(z) = lim n z(z + 1)... (z + n) (1.3) Dalla rappresentazione integrale si deducono immediatamente alcune formule notevoli di calcolo di integrali. La più nota è la seguente: ( ) 1 π = Γ = t 1 2 e t dt (1.4) 2 La tabella seguente mostra alcuni valori notevoli della funzione gamma. 0 Γ ( 3 2) = 4 3 π Γ(1) = 1 Γ( 1) = ± Γ ( ) 3 2 = 1 2 π Γ ( 1 2) = 2 π Γ(2) = 1 Γ(0) = ± Γ ( ) 5 2 = 3 4 π Γ ( 1 2) = π Γ(3) = 2 Tabella 1.1: Γ(x) per 3 2 x 2 Proprietà della Funzione Gamma Una proprietà fondamentale della funzione gamma è la seguente: Γ(z + 1) = zγ(z) (1.5)

20 4 1. Funzioni Speciali e Trasformate che può essere dimostrata integrando per parti: Γ(z + 1) = 0 e t t z dt = [ e t t z] t= t=0 + z e t t z 1 dt = zγ(z) (1.6) tenendo conto della (1.5) e sapendo che Γ(1) = 1 si ottiene che: 0 Γ(2) = 1Γ(1) = 1 = 1! Γ(3) = 2Γ(2) = 2 1! = 2! Γ(4) = 3Γ(3) = 3 2! = 3! Γ(n + 1) = nγ(n) = n (n 1)! = n! (1.7) tale proprietà è evidente in Figura 1.2(a); infatti essa mostra il grafico della 1 x 10 x x x 5 1 (a) Γ(x) 2 (b) Γ(x) 1 Figura 1.2: Funzione Gamma di Eulero e sua reciproca per valori di x R. funzione Γ(x) per x R e vi sono indicati in rosso i punti aventi ascissa x = n (con n N) e ordinata pari a Γ(n) = (n 1)!. Nelle espressioni di operatore frazionario, che verranno introdotte nel capitolo successivo, comparirà la funzione reciproca di gamma, ovvero Γ(x) 1, il cui grafico per x R è riportato in Figura 1.2(b), in esso si osserva che la funzione è oscillante per valori negativi dell argomento x e tende a zero per

21 1.1 Funzioni Speciali 5 x. Inoltre, dai grafici si può osservare che la funzione Γ(z) è una funzione senza zeri al finito, per cui la sua reciproca è una funzione intera. Una particolare proprietà della funzione gamma è data dalla seguente relazione: Γ(z)Γ(1 z) = π (1.8) sin πz l espressione (1.8) è detta Formula di Riflessione di Eulero. Vale inoltre la seguente relazione: ( Γ(z)Γ z + 1 ) = 2 1 2z π Γ(2z); (2z 0, 1, 2,...) (1.9) 2 nota come Formula di Duplicazione. Tale espressione è un caso particolare della Formula di Moltiplicazione: ( Γ(z)Γ z+ 1 ) ( Γ z+ 2 ) (... Γ z+ m 1 ) = (2π) m 1 2 m ( 1 2 mz) Γ(mz) (1.10) m m m La derivata della funzione gamma può essere espressa in funzione di se stessa e di altre funzioni, per esempio: Γ (z) = Γ(z) ψ 0 (z) in cui ψ 0 è la Funzione Poligramma di Ordine 0 ; in particolare: Γ (1) = γ dove γ è la Costante di Eulero-Mascheroni (γ = 0, ) La Beta di Eulero Spesso nel calcolo frazionario si preferisce usare la funzione Beta di Eulero, invece di ricorrere ad una determinata combinazione di funzioni gamma. Tale funzione, detta anche integrale di Eulero del primo tipo, solitamente è espressa dalla seguente equazione: β(z, ω) = 1 0 τ z 1 (1 τ) ω 1 dτ; ( R(z) > 0, R(ω) > 0 ) (1.11) La relazione tra la funzione gamma (1.1) e la funzione beta (1.11) si ottiene ricorrendo alla trasfomata di Laplace. Si definisce il seguente integrale di convoluzione delle funzioni t z 1 e t ω 1 : h z,ω (t) = t 0 τ z 1 (1 τ) ω 1 dτ (1.12)

22 6 1. Funzioni Speciali e Trasformate inoltre risulta che h z,ω (1) = β(z, ω). Operando la trasformata di Laplace della funzione h z,ω (t), denotata con H Lz,ω (s), e tenendo conto del fatto che la trasformata della convoluzione di due funzioni è pari al prodotto delle loro trasformate, si ottiene: H Lz,ω (s) = Γ(z) s z Γ(ω) s ω = Γ(z)Γ(ω) s z+ω. (1.13) Essendo il prodotto Γ(z)Γ(ω) una costante, si può riottenere la funzione data h z,ω (t) a partire dalla sua trasformata H Lz,ω (s) facendo l antitrasformata (o trasformata inversa), ovvero: h z,ω (t) = Γ(z)Γ(ω) Γ(z + ω) tz+ω 1 (1.14) l espressione (1.14) particolarizzata per t = 1 restituisce la funzione beta: β(z, ω) = Γ(z)Γ(ω) Γ(z + ω) (1.15) quest ultima espressione, a differenza della (1.11) definita solo per R(z) > 0 e R(ω) > 0, definisce la funzione beta sull intero piano complesso. Inoltre dalla (1.15) si evince che: β(z, ω) = β(ω, z) (1.16) La Funzione di Mittag-Leffler Il matematico svedese Magnus Gustaf (Götta) Mittag-Leffler ha introdotto nel 1903 la funzione speciale E α (z); tale funzione è definita dalla seguente serie di potenze: z k E α (z) = (1.17) Γ(αk + 1) k=0 la (1.17) rappresenta la funzione di Mittag-Leffler (M-L) nella forma ad un parametro α, ne esiste anche una forma alternativa a due parametri α e β spesso usata nel calcolo frazionario ed espressa dalla seguente equazione: E α,β (z) = k=0 z k ; (α > 0, β > 0) (1.18) Γ(αk + β)

23 1.1 Funzioni Speciali 7 Si riportano di seguito alcuni casi notevoli: E 1,2 (z) = E 1,3 (z) = k=0 k=0 E 1,1 (z) = k=0 z k Γ(k + 2) = z k (k + 1)! = 1 z k=0 z k Γ(k + 3) = z k (k + 2)! = 1 z 2 k=0 e in generale per α = 1 e β qualsiasi si ha: z k Γ(k + 1) = z k k! = ez (1.19) k=0 k=0 k=0 E 1,m (z) = 1 m 2 {e z z k } z m 1 k! k=0 z k+1 (k + 1)! = ez 1 z (1.20) z k+2 (k + 2)! = ez 1 z z 2 (1.21) (1.22) Per β = 1 e α generico si ottiene la funzione ad un parametro espressa dalla (1.17): z k E α,1 (z) = Γ(αk + 1) E α(z) (1.23) k=0 La funzione, al variare dei parametri α e β, risulta legata a diverse funzioni elementari. Il seno e il coseno iperbolico possono essere considerati come casi particolari della funzione M-L, infatti: E 2,1 (z 2 ) = E 2,2 (z 2 ) = k=0 k=0 z 2k Γ(2k + 1) = z 2k = cosh(z) (1.24) (2k)! z 2k Γ(2k + 2) = 1 z k=0 k=0 z 2k+1 (2k + 1)! = sinh(z) z Un altro caso particolare si ottiene per α = 1 2 e β = 1: E 1 2,1(z) = Γ( k k=0 2 z k (1.25) = ez2erfc( z) (1.26) + 1) dove erfc( z) indica la funzione degli errori complementare (o funzione degli errori di Gauss), definita come: erfc(z) = 2 e t2 dt (1.27) π z

24 8 1. Funzioni Speciali e Trasformate La Funzione di Wright La Funzione di Wright è utile per la soluzione delle equazioni differenziali frazionarie. È strettamente correlata alla funzione M-L a due parametri ed ha la seguente espressione: W (z; α, β) = k=0 z k k!γ(αk + β) (1.28) particolarizzata per α = 0 e β = 1 diventa: W (z; 0, 1) = k=0 z k k!γ(1) = z k k! = ez (1.29) k=0 per β = 1 α si ottiene la Funzione di Mainardi M(z; α): W ( z; α, 1 α) = M(z; α) = k=0 ( 1) k z k k!γ[ α(k + 1) + 1] (1.30) 1.2 Le Funzioni di Bessel Le funzioni di Bessel sono una vasta famiglia di funzioni speciali, nel presente paragrafo ci si limiterà ad introdurre solo quelle necessarie per la comprensione di alcuni passaggi che seguiranno nei capitoli successivi, per l eventuale approfondimento dell argomento si rimanda al testo [35] dove sono ampiamente trattate La Funzioni di Prima e Seconda Specie Le prime due funzioni di Bessel rappresentano le soluzioni canoniche dell equazione di Bessel definita di seguito z 2 d2 y ν (z) dz 2 + z dy ν(z) dz + (z 2 ν 2 )y ν (z) = 0, (1.31) si osserva che tale equazione rappresenta un equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, per cui devono esistere almeno due soluzioni linearmente indipendenti. Le altre soluzioni su un determinato intervallo si possono ottenere

25 1.2 Le Funzioni di Bessel 9 come combinazione lineare delle due linearmente indipendenti. Una possibile soluzione all equazione di Bessel avrà la seguente forma J ν (z) = z ν k=0 c k z k (1.32) sostituendo la (1.32) nella (1.31) e ponendo ν non negativo si ottiene ( z ν J ν (z) = 2) ( 1) n ( ) z 2n 2 n!γ(n + ν + 1) n=0 (1.33) l espressione (1.33), prima soluzione della (1.31), è nota in letteratura come funzione di Bessel di prima specie. In Figura 1.3 è riportato il grafico della J ν (z) per alcuni valori di ν J Ν z z Figura 1.3: Funzione di Bessel di prima specie per ν = 0, 1, 2, 3. Se ν assume valori non interi la J ν (z) rappresenta la seconda soluzione della (1.31) linearmente indipendente da J ν (z), ma solitamente si introduce un altra funzione, denotata con Y ν (z) e ottenuta come combinazione lineare di J ν (z) e J ν (z), quindi Y ν (z) = J ν(z) cos(πν) J ν (z) sin(πν) (1.34)

26 10 1. Funzioni Speciali e Trasformate tale espressione prende il nome di funzione di Bessel di seconda specie o funzione di Neumann. Y Ν z z Figura 1.4: Funzione di Bessel di seconda specie per ν = 0, 1, 2, 3. La Figura 1.4 mostra la seconda soluzione all equazione di Bessel per diversi valori di ν. Confrontando i due grafici si osserva che le J ν (z) hanno valore finito in z = 0 mentre le Y ν (z) hanno dei punti di singolarità per z = 0. Si osservi che per il caso particolare in cui ν = 1/2 le soluzioni linearmente indipendenti dell equazione di Bessel (1.31) diventano J 1 (z) = cos(z), 2 z Y 1 (z) = sin(z). 2 z (1.35) Questo fatto lascia intuire che almeno alcune soluzioni dell equazione di Bessel avranno andamento oscillante mostrando una certa parentela con le funzioni trigonometriche Le Funzioni di Hankel Un altra formulazione canonica della coppia soluzioni linearmente indipendenti dell equazione di Bessel sono le seguenti H ν (1) (z) = J ν (z) + jy ν (z) H ν (2) (z) = J ν (z) jy ν (z) (1.36)

27 1.2 Le Funzioni di Bessel 11 tali espressioni sono note come funzioni di Bessel di terza specie o funzioni di Hankel (di prima e seconda specie). Volendo fare un parallelismo con le funzioni trigonometriche e le funzioni di Bessel si può asserire che le funzioni J ν (z) e Y ν (z) stanno a cos(z) e sin(z) come le funzioni H ν (1) (z) e H ν (2) (z) stanno agli esponenziali e jz ed e jz. Si osserva che per ν reale e z reale positivo, si ha H (1) ν (z) = H (2) ν (z) (1.37) mentre se z e ν sono complessi ed arbitrari valgono le seguenti relazioni {J ν (z)} = J ν (z ) {Y ν (z)} = Y ν (z ) {H (1) ν (z)} = H (2) ν (z ). (1.38) H Ν 1 z HΝ 2 z z Figura 1.5: Valore Assoluto delle Funzioni di Hankel per z > 0 e ν = 0, 1, 2, 3. La Figura 1.5 mostra l andamento delle due funzioni valore assoluto di Hankel per vari valori di ν, la H ν (1) (z) e la H ν (2) (z) coincidono nel semipiano delle z > Le Funzioni di Bessel Modificate Solitamente si indicano con tale nome le funzioni di Bessel di argomento immaginario. La loro equazione si ottiene cambiando z con jz nell espressione (1.31),

28 12 1. Funzioni Speciali e Trasformate ottenendo z 2 d2 w ν (z) dz 2 + z dw ν(z) + (z 2 ν 2 )w ν (z) = 0. (1.39) dz Come prima soluzione alla (1.39) si ha I ν (z) = e j π 2 ν J ν (z e j π 2 ) = k=0 ( z 2) ν+2k k!γ(k + ν + 1) (1.40) tale espressione prende il nome di funzione di Bessel modificata di prima specie. Analogamente a quanto accadeva per le funzione di Bessel di prima specie se ν non è un numero intero allora I ν è una soluzione della (1.39) linearmente indipendente da I ν, ma si suole introdurre una seconda soluzione fondamentale denotata con K ν (z) e definita come segue K ν (z) = π [I ν(z) I ν (z)], (1.41) 2 sin(πν) l espressione (1.41) è nota come funzione di Bessel modificata di seconda specie o funzione di Basset. Continuando l analogia tra funzioni di Bessel e funzioni trigonometriche, si può affermare che le funzioni di Bessel modificate risultano il corrispondente delle funzioni iperboliche cosh(z) e sinh(z). I Ν z K Ν z z (a) I ν (z) z (b) K ν (z) Figura 1.6: Funzioni di Bessel modificate per ν = 0, 1, 2, 3. La Figura 1.6 mostra gli andamenti delle funzioni di Bessel modificate per ν = 0, 1, 2, 3. Si osservi che per ν reale e z reale positivo sia la funzione I ν

29 1.3 La Trasformata di Laplace 13 che K ν sono funzioni reali, ma a differenza delle funzioni J ν e Y ν non saranno delle funzioni oscillanti in quanto I ν sarà una funzione monotona crescente, che per ν > 0 si annulla per z = 0, mentre K ν per ν > 0 avrà una singolarità in corrispondenza dell origine e tenderà a zero quando z. 1.3 La Trasformata di Laplace La funzione F L (s) nella variabile complessa s = γ + jη definita come: F L (s) = L{f(t); s} = 0 e st f(t) dt (1.42) è chiamata Trasformata di Laplace della funzione f(t) e permette di passare dallo studio di una variabile reale (temporale nei casi considerati) allo studio di una variabile complessa. Affinché l integrale introdotto in (1.42) esista, la funzione f(t) deve essere di ordine esponenziale α, il che equivale ad ammettere l esistenza di due costanti positive M e T tali che: e αt f(t) M t > T (1.43) ciò significa che la funzione f(t) non deve crescere più velocemente di una certa funzione esponenziale quando t. Dalla funzione trasformata F L (s) è possibile ottenere la funzione originale f(t) tramite l Antitrasformata di Laplace o Trasformata Inversa: f(t) = L 1 {F L (s); t} = 1 2πj c+j c j e st F L (s) ds con c R(s) > c 0 (1.44) con c 0 che si trova nella parte destra della convergenza assoluta dell integrale di Laplace. Si osservi che f(t), ottenuta come trasformata inversa, è data dall integrale effettuato lungo l asse immaginario (la parte reale rimane costante) Proprietà della Trasformata di Laplace La trasformata di Laplace gode della proprietà di additività, secondo la quale la trasformata della somma di due funzioni f(t) e g(t) e pari alla somma delle trasformate delle singole funzioni F L (s) e G L (s): L{f(t) + g(t); s} = F L (s) + G L (s) (1.45)

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