DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia"

Transcript

1 DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

2 Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti immagini, allora è detto incremento della variabile, e è detto incremento della funzione. Il rapporto è detto rapporto incrementale della funzione. y y y f ) f) f + ) f) y Si chiama derivata della funzione f) rispetto alla variabile, e si indica con rapporto incrementale al tendere a zero dell incremento della variabile, cioè y lim 0 dy d, il limite, se esiste, del La grandezza algebrica della derivata esprime il coefficiente angolare della tangente nel punto del grafico della funzione f). La derivata esprime la velocità di variazione della funzione nel punto considerato. Eample. Trovare la derivata della funzione y Calcoliamo il rapporto incrementale y f + ) f) + ) + ) Calcoliamo il limite di tale rapporto lim 0 y + ) Eercise. Trovare l incremento della funzione y corrispondente alla variazione dell argomento: da a : calcoliamo y y 4 Eercise. Calcolare y per la funzione y, se a e h Soluzione: sappiamo che y y y, dove y e y sono le immagini di e. Troviamo + a + h pertanto y a + h y a y a + h a

3 RAPPORTO INCREMENTALE Rapporto incrementale Eercise. Calcolare l incremento y ed il rapporto incrementale per le funzioni: y ) per e 0, 4: calcoliamo + 0, 4, per cui il rapporto incrementale sarà y y Eercise 4. Determinare y e il rapporto incrementale corrispondenti alle variazioni dell argomento da a + per le funzioni: y a + b: il rapporto incrementale sarà y y y a + ) + b a + b a y a a y : il rapporto incrementale sarà y y y + ) + ) + ) y + ) + ) + + ) y : il rapporto incrementale sarà y y y + ) y + ) razionalizzando il numeratore, si ottiene infine y + ) ) + ) + + ) + y ln : il rapporto incrementale sarà y y y ln + ) ln y ln + ) ln applicando la proprietà dei logaritmi ln a ln b ln ) a b, si ottiene ) ) y ln + ln + Eercise 5. Determinare il coefficiente angolare della secante alla parabola y se le ascisse dei punti di intersezione sono: e : osserviamo la figura

4 LIMITE DEL RAPPORTO INCREMENTALE 4 e y y y 4 4) ) ; il coefficiente angolare è uguale alla tangente dell angolo indicato in figura come α, per cui m tan α Eercise 6. La legge di moto di un punto è s t + t + 5, con s in cm e t in s. Qual è la velocità media nell intervallo di tempo compreso tra gli istanti t e t 5? Soluzione: la velocità media per definizione è data dal rapporto s t, cioè il rapporto incrementale della legge oraria, vista come s ft). Calcoliamo i due incrementi { s s 5 s m t t 5 t 5 4 s il rapporto incrementale, e quindi la velocità media, sarà s t 60 m 4 s 5m s [il calcolo della velocità media corrisponde alla individuazione del coefficiente angolare della retta secante nei due punti assegnati, la curva che esprime la legge oraria. Eercise 7. Determinare il rapporto y per la funzione y Soluzione: Da 0.0 e, si può ottenere +.0 y y , Limite del rapporto incrementale Eercise 8. Calcolare la derivata della funzione y tan nel punto per 0, 0. Soluzione: la derivata è il limite del rapporto incrementale per 0. Calcoliamo prima il rapporto incrementale y tan + ) tan sin+ ) cos+ ) sin cos sin cos +cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin + sin sin cos cos cos sin sin ) sin cos cos cos sin sin )

5 ESERCIZI DI DERIVAZIONE 5 calcoliamo il limite di tale rapporto Tabella riassuntiva lim 0 sin cos cos cos sin sin ) sin lim 0 cos cos + ) cos Regole principali di calcolo delle derivate Se c è una costante e f) e g) sono le funzioni derivabili, allora c) 0 cf )) cf ) ) f ) g )) f ) g ) + f ) g ) f ) ± g )) f ) ± g ) Tavola delle derivate delle funzioni principali f) g) ) f )g) g )f) g)) n ) n n arccos ) ) arctan ) + sin ) cos a ) a ln a cos ) sin e ) e tan ) cos ln ) > 0 cot ) sin log a ) log a e arcsin ) per < Regola di derivazione per le funzioni composte per < Se y fz) ed z g), cioè y f[g)], dove le funzioni f, g sono derivabili, allora Esempio: dy d dy dz dz d y + ) 5 poniamo y z 5, dove z + ). Si ha quindi z 5) + ) 5z 4 ) 0 ) + ) 4 z Esercizi di derivazione Funzioni algebriche. Eercise 9. Calcola le derivate delle funzioni assegnate: y : applichiamo la regola delle derivate di una potenza n ) n n ai singoli termini del polinomio e la derivazione di una costante per il termine noto c) y : per le funzioni polinomiali utilizziamo sempre la regola di derivazione delle potenze n ) n n +

6 ESERCIZI DI DERIVAZIONE 6 y 5 a : 5 a y at m + bt m+n : la stessa regola di derivazione in un caso tutto algebrico amt m + b m + n) t m+n y a6 + b : la derivata è rispetto alla variabile, tutte le altre lettere sono considerate come a + b costanti 6a5 a + b y π + ln : anche qui π e ln rappresentano dei valori numerici costanti, mentre π y 5 + : potenze con esponente negativo e razionale, cioè radici cubiche e quadrate; tutti questi termini possono sempre essere trattati secondo la regola della derivazione di una potenza y : questa funzione può essere riscritta sotto forma di un unica potenza: y y a b : trasformiamo le radici al denominatore come potenze con esponente frazionario negativo: y a b 4 a b 7 y + : questa è una funzione polinomiale fratta; la sua derivata viene calcolata applicando la derivazione delle singole potenze al numeratore e al denominatore e la regola di derivazione di un rapporto y f) g) ) f )g) g )f) g)) ) 5) 5 + 5) ) : possiamo prima sommare le due frazioni e poi derivare la frazione risultante: y ; in questo caso la derivata del numeratore è nulla + ) 4 + ) y + : applichiamo la regola di derivazione di un rapporto di funzione e la derivata elementare relativa ad una radice quadrata + + ) ) )

7 FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE 7 Funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse y 5 sin + cos : ricordiamo le derivate delle funzioni goniometriche, sin ) cos e cos ) sin 5 cos sin y tan cot : ricordiamo le derivate delle due funzioni, tan ) cos e cot ) sin cos + sin sin cos y f) g) sin + cos : derivo applicando le derivate fondamentali e la regola di derivazione del rapporto sin cos ) f )g) g )f) g)) cos sin ) sin cos ) cos + sin ) sin + cos ) sin cos ) cos sin ) cos + sin ) sin cos ) cos + sin ) sin cos ) sin cos ) y sin ) cos : oltre alle derivate fondamentali delle potenze e delle funzioni goniometriche, utilizzeremo anche la regola per la derivata di un prodotto: f ) g )) f ) g ) + f ) g ), [le parentesi non sono necessarie, ma servono per mostrare le varie parti in cui suddividiamo la derivazione] [) sin + cos )] [ ) cos + ) sin ) ] sin + cos cos + ) sin sin y cot : basta applicare la regola della derivata di un prodotto ) cot + ) sin cos sin sin y arcsin : come sopra ) ) arcsin + arcsin + ) + arctan y : anche in questo caso applichiamo le regole del prodotto e della somma; questa non è una funzione fratta e non richiede la regola del quoziente) [ ) arctan + + ) ) ] + arctan Funzioni esponenziali e logaritmiche y 7 e : ricordiamo che la derivata di e ) e e applicando la regola del prodotto, si ha 7 6) e + 7 e 6 e 7 + ) y ) e : deriviamo applicando la regola del prodotto, sapendo che ) e + ) e e

8 FUNZIONI COMPOSTE 8 y e : deriviamo applicando la regola del quoziente, f) g) ) ) f )g) g )f), sapendo che g)) e e 4 e ) 4 e ) y e cos : applichiamo la regola del prodotto, ricordando che cos ) sin e cos + e sin ) e cos sin ) y + ) e : applichiamo la regola del prodotto ) e + + ) e e y e arcsin : ricordiamo che arcsin ) e arcsin + e y : applichiamo la regola del prodotto, ricordando che ln ) ln ) ln ln ln ) ln y ln : regole del prodotto e della somma ) ln + ln y ln + ln : regola della quoziente e della somma + ln + + ln + ln y ln log ln a log a : regola del prodotto e della somma, ricordando che log a ) rappresenta log a con a 0, mentre ln a è una costante e log + ln log ln alog a e ) ln ln e + ln ln 0 ln 0 ln e log a e ; log Funzioni Composte y + 5 ) 0 : il polinomio + 5 ) rappresenta la base della potenza con esponente 0. Deriveremo pertanto come una potenza; essendo però la base una funzione di, dovremo moltiplicare anche per la derivata di tale polinomio ) 9 0) ) a + b y : una funzione polinomiale come base di una potenza, si procede come nel precedente c esercizio ) a + b a ) c c

9 FUNZIONI COMPOSTE 9 y + ) 4 : come i due esercizi precedenti 4 + ) 4) 6 + ) y 7 : in questo caso il polinomio base di una potenza è il denominatore della frazione e 56 ) ) ciò richiede l utilizzo anche della regola del quoziente f) g) f )g) g )f) g)) 56 7 )6 ) ) 4 4 ) 8 y : radice con radicando funzione di ) y a + b : riscriviamo prima la radice cubica come potenza ad esponente frazionario y a + b ) e deriviamo secondo la regola delle potenze a + b ) b ) b a + b ) b a + b ) y sin ) 5 : sempre come potenza per la derivata del polinomio base 5 sin ) 4 cos ) 0 cos sin ) 4 y tan tan + 5 tan5 : si può considerare come un polinomio in tan e derivare secondo le modalità delle funzioni polinomiali, tenendo conto che tan è appunto a sua volta una funzione di, e che la sua derivata è data da tan ) cos cos tan cos tan4 cos tan cos + tan 4 ) y cot cot α: qui si tratta di ricordare le due derivate fondamentali della cotangente della radice quadrata ; la cot α si deve considerare come una costante cot ) sin sin e y + 5 cos : + 5 cos ) sin ) 5 sin cos y 6 cos ) : può essere riscritta come y 6 cos ) e quindi derivata come una potenza la cui base contiene la funzione coseno [ 6 cos ) ] sin ) sin cos ) sin cos ) y cos ) cos : si può derivare come una funzione quoziente f) g) f )g) g )f) g)) 9 cos ) sin ) 9 cos 6 sin cos 4 + sin cos sin cos sin cos cos + )

10 FUNZIONI COMPOSTE 0 sin cos y : richiede la derivazione del radicale, moltiplicata per la derivata del radicando 5 polinomio composto da funzioni goniometriche), cioè f) f ) f) ) cos + sin sin cos 5 5 y sin + cos : applichiamo la derivata di una somma che è uguale alla somma delle derivate; il primo addendo si può derivare trasformandolo come sin, e il secondo come cos y sin sin cos ) cos 4 sin ) arctan : basta riscriverla come arctan arctan + sin + sin cos 4 y e + : deriviamo il radicale quadrato e lo moltiplichiamo per la derivata del radicando, che contiene un prodotto di funzioni e ), f ) ± g )) f ) ± g ) e + e + e + ) y e + + ln 5 : deriviamo separatamente i due addendi; in questo caso ricordiamo le derivate dei due esponenziali, cioè ln ), mentre ) ln e + e ln ) + 5 ln 4 y sin + cos 5 + tan : basta applicare le derivate delle funzioni logaritmiche cos sin cos y sin 5 + ) + tan a : si derivano le funzioni goniometriche moltiplicando poi per la derivata dei rispettivi argomenti, che sono funzioni dell incognita cos 5 + ) 5) + cos a a ) y arcsin : come per l esercizio precedente, ricordando che la derivata dell arcoseno è arcsin ), per cui ) 4 y 5e : derivata della funzione esponenziale moltiplicata per la derivata dell esponente 5e ) 0e y ln + 7): + 7 ) + 7

11 FUNZIONI COMPOSTE y ln sin : l argomento del logaritmo è una funzione goniometrica di ; deriviamo prima il logaritmo moltiplicando poi la derivata del seno cos ) cot sin 8 y 8 4 : la funzione è fratta e quindi va applicata la regola del quoziente, all interno della ) quale, la derivata del denominatore richiede la derivazione di una funzione composta ) ) 4 [ ) ] ) 8 64 ) ) ) ) 64 ) [ + ] 64 ) 8 7 ) ) 8 7 ) 5 + y : il secondo membro presenta una frazione con numeratore irrazionale; si deriva la frazione, secondo la regola del quoziente ) f) g) data dalla derivata della radice f) per la derivata del radicando, f ) + 4 ) + f )g) g )f) ; la derivata del numeratore sarà g)) y a + ) a : la derivata di un prodotto, f ) g )) f ) g ) + f ) g ), il secondo fattore andrà derivata come i radicali di indice due: ) a + a + ) a a ) a a a a y + : scriviamo la radice cubica sotto forma di potenza, + ), deriviamo la potenza moltiplicando per la derivata della base che contiene anche un radicale ) + + ) y ln + e ) : dobbiamo derivare la funzione logaritmica e moltiplicare per la derivata del suo argomento + e + e e ) e + e + e ) y tan 5 5: deriviamo la potenza, moltiplicando per la derivata della tangente e per la derivata del suo argomento 5 tan 4 5 cos sec 5 tan 4 5 y sin ) : deriviamo la potenza, moltiplicando poi per la derivata della funzione goniometrica per la derivata del suo argomento sin ) cos ) ) sin )

12 FUNZIONI COMPOSTE y arcsin : deriviamo prima la funzione arcoseno, moltiplicando poi per la derivata dell argomento, una funzione polinomiale fratta ) ) ) ) 4 4 ) y arccos : applichiamo la regola di derivazione del quoziente di due funzioni; il denominatore è a sua volta funzione di ) ) arccos + arccos + arccos ) y ln arcsin 5): deriviamo la funzione logaritmo, moltiplicando per la derivata del suo argomento e per la derivata dell argomento dell arcoseno arcsin y arcsin ln ): deriviamo la funzione arcoseno, moltiplicando per la derivata del suo argomento ln ln sin α y arctan : deriviamo la funzione arcotangente, moltiplicando poi per la derivata del suo cos α argomento la variabile è, e quindi la derivata è rispetto ad ) + sin α cos α ) sin α cos α) + cos α sin α) cos α) sin α sin α cos α + sin α cos α sin α ) cos α) + cos α cos α+ sin α + cos α cos α) y cos a cos : applichiamo la regola della derivata del prodotto di due funzioni un radicale e un esponenziale) tenendo conto che tali funzioni sono a loro volta funzioni della variabile sin a ) cos + cos a ) ) cos sin ln a cos sin cos cos a cos + ln a cos ) y ln cos : deriviamo prima la funzione logaritmo, moltiplicando poi per la derivata del suo argomento e per la derivata dell argomento della funzione coseno, che è una funzione polinomiale fratta cos sin ) ) + tan )5 y ln + ) : applichiamo prima le proprietà dei logaritmi, ln a b ln a ln b, e ln an n ln a, ottenendo, derivando le funzioni logaritmo, si ha y 5 ln ) ln + ) ) + ) + ) + )

13 FUNZIONI COMPOSTE y sin ) ln π 4 : applichiamo la regola di derivazione del prodotto di due funzioni sin ln π ) + cos ln π ) ) sin ln π ) + cos ln π ) ricordando le formule della goniometria può essere riscritta sin ln ) Eercise 0. Calcolare se y o se y caso y : ricordando il significato del valore assoluto, se y > 0 y se y < 0 y y se y 0 y 0 non esiste caso y se y > 0 y se y < 0 y se y 0 y 0 non esiste Eercise. Calcolare f ) se Soluzione: f) f) { per 0 e per > 0 { per 0 e per > 0 Eercise. Calcolare f 0) se f) e cos Soluzione: Si chiede di calcolare la derivata della funzione nel punto indicato; ciò si ottiene calcolando la derivata e operando la sostituzione 0 sostituendo 0, si ha f ) e cos + e sin ) e cos + sin ) f 0) e 0 cos 0 + sin 0) + 0) Eercise. Per la funzione data f) e calcolare l espressione f0) + f 0). Soluzione: calcoliamo f0) e 0 ; calcoliamo poi la derivata nel punto 0 f 0) e e 0 pertanto f 0) + f 0) Eercise 4. Per le funzioni date f) e g) sin π, calcolare l espressione g ) f )

14 FUNZIONI COMPOSTE 4 Soluzione: Calcoliamo le derivate delle due funzioni calcoliamo ora le derivate nel punto f ) g ) π f ) g ) 0 cos π il loro rapporto sarà g ) f ) 0 Eercise 5. Dimostrare che la derivata di una funzione pari è una funzione dispari e che la derivata di una funzione dispari è una funzione pari. Soluzione: Una funzione è pari se f ) f ) calcoliamo la derivata [f )] f ) [f )] f ) dando quindi una funzione dispari. Analogamente, una funzione è detta dispari se f ) f ) derivando si ha [f )] f ) [ f )] f ) cioè la stessa derivata, con la conseguenza richiesta. Eercise 6. Mostrare che la funzione soddisfa l equazione y e ) y Soluzione: deriviamo la funzione y e + e ) e sostituiamo ) e e ) e svolgendo le moltiplicazioni in entrambi i membri, si ha e e e e

15 DERIVATE DI FUNZIONI NON ESPLICITE 5 Derivate di Funzioni non esplicite Derivata di una funzione inversa. Se la funzione y f ) ha una derivata 0, allora la derivata della funzione inversa f y) è data da y ) Eample 7. Calcolare la derivata y della funzione Calcoliamo la derivata di y rispetto ad y + ln + + Pertanto, la derivata di, rispetto ad y, sarà + + Eercise 8. Calcolare la derivata y, nei seguenti casi y + : calcoliamo la derivata +, y sin : e y + e : y + cos y cos + e e quindi y + e Derivata di una funzione implicita. Se la dipendenza tra le due variabili è espressa da una relazione del tipo F, y) 0 allora, per calcolare la derivata di y rispetto ad, basta, nei casi semplici, calcolare la derivata rispetto ad del primo membro dell equazione, dove si considera y una funzione di calcolare d d [F, y)] 0 risolvere rispetto alla derivata di y,. Eample 9. + y ay 0: Calcoliamo la derivata + y a y + ) 0 risolvendo rispetto a si ottiene ay a y

16 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 6 Applicazioni della derivata alla geometria e alla fisica Equazione della tangente a una curva. Ricordando l interpretazione geometrica della derivata, segue che, assegnata una curva y f), l equazione della tangente alla curva in un punto P 0; y 0)è y y 0 0 0) che, come si vede, è l equazione della retta passante per un punto il cui coefficiente angolare è uguale alla derivata della funzione calcolata nel punto P ; cioè m 0 dy d 0 Angolo tra due curve. Date due curve, le cui equazioni sono y f ) e y f ), si definisce come angolo, α, in un loro punto comune, P 0; y 0) quello formato dalle rispettive tangenti in questo punto. La relazione si ricava dalla trigonometria, ricordando quanto sopra detto, m 0 tan α tan α f 0) f 0) + f 0) f 0) Eercise 0. Trovare l angolo ϕ formato dall asse e dalla tangente alla curva y nel punto di ascissa. Soluzione: La funzione assegnata è l equazione di una parabola passante per l origine termine noto uguale a zero); Il punto considerato avrà coordinate y 0 una intersezione della parabola con l asse. Per ottenere l equazione della tangente in questo punto, calcoliamo la derivata della funzione y se, la derivata sarà. L equazione della tangente sarà L angolo formato sarà e quindi y 0 ) y + tan α 0 α arctan ) 5 Eercise. Determinare gli angoli formati dalle sinusoidi y sin e y sin e dall asse delle ascisse nell origine del piano cartesiano. Soluzione: calcoliamo le derivate delle due funzioni cos cos il loro valore nell origine è y 0) y 0) la derivata nel punto indica il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto, per cui tan α tan β cioè α 45 β arctan Eercise. Determinare l angolo sotto il quale la curva y e 0.5 interseca la retta.

17 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 7 Soluzione: Determiniamo prima il punto di intersezione tra la retta e l esponenziale: { { y e 0.5 y e ricordando che tale angolo è quello formato tra la tangente all esponenziale e la retta nel punto assegnato, è necessario calcolare la derivata m tan α ) e questo angolo è quello formato dalla curva con l asse, cioè complementare a quello richiesto, ω, che sarà ω π α quindi tan ω cot α e ω arctan e Eercise. Determinare il punto della parabola y 7 + nel quale la tangente è parallela alla retta 5 + y 0 Soluzione: se la tangente è parallela alla retta data, il suo coefficiente angolare è lo stesso della retta, cioè, m a b 5 5. Ora il coefficiente angolare è uguale alla derivata della curva nel punto assegnato; quindi 7 5 cioè il punto sarà quindi P { y Eercise 4. Determinare il punto della curva y nel quale la tangente è perpendicolare alla retta 4 y + 0. Soluzione: determiniamo il coefficiente della retta assegnata m a b 4 la retta perpendicolare avrà coefficiente angolare antireciproco, cioè m perp 4 calcoliamo la derivata della funzione implicita y 0, y 6 0 y ± tale derivata deve essere uguale a /4; pertanto ± 4 cioè, con > 0 moltiplicando per il mcm elevando al quadrato ± 4 ± 8

18 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 8 8 le ordinate dei punti si ottengono sostituendo il valore trovato nella funzione y ± 8 ± 6 Eercise 5. Determinare l angolo di intersezione delle due parabole y ) y Soluzione: l angolo richiesto è quello formato dalle tangenti alle due curve nel punto di intersezione; calcoliamo pertanto la loro intersezione { y ) risolvendo la seconda equazione, si ha che dà i punti saranno quindi A4; 4) e B; ). Determiniamo ora le derivate delle due funzioni calcoliamo tali derivate nei due punti trovati ) 4 e ) 4) e ) 4 le rette tangenti sono tra loro parallele e quindi l angolo formato sarà lo stesso; applicando la formula per la determinazione di tale angolo tan α f 0) f 0) +f 0) f 0), si ottiene tan α l angolo sarà pertanto α arctan 6 ) Eercise 6. Mostrare che le iperboli y a y b si intersecano sotto un angolo retto. Soluzione: calcoliamo le funzioni che esprimono tutti i coefficienti angolari delle tangenti alle due curve in ogni punto mediante la derivata delle rispettive funzioni ed eguagliamole a zero y a ) y + y 0 y b ) yy 0 y y i due coefficienti angolari sono antireciproci, y e quindi le tangenti saranno sempre tra loro perpendicolari. Eercise 7. La legge di moto di un punto sull asse OX è t t Determinare la velocità di questo punto negli istanti t 0 0, t e t

19 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 9 d Soluzione: la velocità istantanea è definita come la derivata di derivate puntuali per i tempi indicati: 0) t ) t 0 ) t 9 dt. Si tratta quindi di calcolare le Eercise 8. La legge di moto di un punto materiale lanciato in alto nel piano verticale OXY con un angolo α con l orizzonte e con velocità iniziale v 0 è data dalle formule trascurando la resistenza dell aria) v 0 t cos α y v 0 t sin α gt dove t è il tempo, g l accelerazione della forza di gravità terrestre. Determinare la traiettoria del moto e la gittata. Determinare anche la grandezza della velocità del volo e la sua direzione. Soluzione: Questo esercizio è la classica determinazione del moto parabolico; infatti si osserva che la componente orizzontale della velocità descrive un moto rettilineo uniforme, mentre quella verticale un moto accelerato. Ricavando infatti il tempo t dalla prima relazione e sostituendola nell altra si ha t v 0 cos α y v 0 sin α v 0 cos α g v0 cos α tan α g v0 cos α : tale equazione, di secondo grado, è descritta da una curva parabolica e rappresenta la traiettoria del punto materiale. La gittata è rappresentata in figura dalla distanza OA; gli estremi di tali segmento sono i punti di intersezione della parabola con l asse delle, di cui uno, O, è scelto quale origine; quindi tan α g v 0 cos α 0 raccogliendo la e calcolando la soluzione diversa da zero, si ha g tan α v0 cos α A sin α cos α v 0 cos α v 0 sin α g g La componente orizzontale e verticale della velocità sono v d dt v 0 cos α v y dy dt v 0 sin α gt Eercise 9. Un punto si muove sull iperbole y 0 in modo tale che la sua ascissa cresce uniformemente alla velocità di un unità per secondo. Qual è la velocità di variazione della sua ordinata quando il punto considerato coincide con il punto P 5; )? Soluzione: Le coordinate del punto mobile sono quelle che soddisfano l equazione dell iperbole riferita ai propri assi. La sua velocità si può esprimere come v u sec ; ma v y, per cui dy d 0 calcoliamo 5), cioè la velocità nel punto 5 5) v y 0.4 m s

20 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 0 Eercise 0. Il raggio di una sfera cresce uniformemente con la velocità di 5 cm/sec. Con quali velocità crescono la superficie ed il volume della sfera nel momento in cui il raggio è uguale a 50 cm? Soluzione: Ricordiamo che la superficie e il volume in funzione del raggio, sono espresse da S 4πr V 4 πr La velocità di espansione può essere intesa come dr dt 5 cm sec. Calcoliamo le velocità di espansione di superficie e volume, mediante la loro derivata rispetto al raggio ds dt dv dt dr 8πr dt dr 4πr dt m m 8π 0.50 m π sec sec 4π 0.50) m 0.05 m m 0.05π sec sec Eercise. Siano date le due funzioni f) + g) + 5 Risolvere l equazione f ) g ) e sia 0 la soluzione nell intervallo [0; 4]. Considerare il punto di ascissa 0 sul grafico delle due funzioni. Che cosa si può dedurre? Soluzione: calcoliamo le derivate delle due funzioni polinomiali di secondo e terzo grado L uguaglianza è vera per cioè f ) g ) 8 0 risolvendo, si ha, applicando la formula ridotta e 4. Troviamo le intersezioni delle funzioni f e g:, ± si nota che è una radice dell equazione infatti: 6 + 0); anche le derivate si incontrano in questo punto e quindi, nel punto le due funzioni hanno la stessa tangente. Eercise. Determinare i punti in cui l iperbole equilatera di equazione ha la tangente inclinata di π 4 sull asse. y + Soluzione: l inclinazione di una retta tangente in un punto è espressa tramite il suo coefficiente angolare, cioè l angolo che la retta forma con l asse delle, m tan α; ma tale coefficiente angolare è pure espresso dal limite del rapporto incrementale, quando l incremento tende a zero, cioè la derivata della funzione, m. Ora se l inclinazione è pari a π 4, vuol dire che la retta forma un angolo di 45, cioè è la bisettrice del e quadrante di equazione y ; tale retta ha coefficiente angolare m e la derivata di y, deve pertanto essere uguale a. Calcoliamo quindi la derivata della funzione + ) ) + ) 4 + )

21 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA moltiplicando per il mcm diverso da zero, si ha I punti sono quindi P 5; 5) e Q ; ) Eercise. Determinare l ampiezza dell angolo compreso dalle tangenti alla parabola nei suoi punti di intersezione con l asse. y Soluzione: Determiniamo prima i punti in cui la parabola interseca l asse, cioè quelli aventi ordinata nulla: Calcoliamo ora la derivata della funzione nei punti di ascissa, : 5 Si ha quindi ) ) tan α α π 4 tan β β 4 π β α π Eercise 4. Data la curva di equazione y + determinare le equazioni delle tangenti nei suoi punti di intersezione con gli assi. Soluzione: Calcoliamo i punti di intersezione con l asse, cioè i punti ad ordinata nulla: con raccoglimento parziale + 0 ) ) 0 ) + ) 0 I punti sono A ; 0), in cui la curva è tangente all asse, e B ; 0). Calcoliamo ora la derivata della funzione nei punti ottenuti ) 0 ) 4 Una tangente avrà m 0, e sarà quindi, come detto, la retta y 0; la seconda tangente avrà equazione conoscendo m e un punto) y ) cioè y Calcoliamo ora l intersezione con l asse y, cioè i punti ad ascissa nulla: y 0) Il punto sarà C 0; ). Calcoliamo la derivata in questo punto 0)

22 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA la retta sarà quindi cioè y y + Eercise 5. Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola y + 4 nei suoi punti di intersezione con la retta y + Soluzione: determiniamo prima i punti di intersezione { { y + y + A ; ) B ; 4) Per trovare le equazioni delle equazioni, calcoliamo prima la derivata della funzione e poi calcoliamo le due derivate puntuali La tangente in A sarà: ) ) y ) y + y 4 ) y 5 Eercise 6. Siano A e B i punti di intersezione della parabola y 4y + con l asse y. Dette t e t le tangenti ad essa nei punti A e B e C il punto di intersezione delle due tangenti, determinare l area del triangolo ABC Soluzione: Le intersezioni della parabola, con asse parallelo all asse, con l asse delle ordinate, cioè ad ascissa nulla, sono y 4y + 0 y y I punti hanno quindi coordinate A 0; ) e B ; ). Calcoliamo la derivata rispetto a y della funzione nei due punti: y 4 ) ) In questo caso i coefficienti angolari rappresentano l angolo rispetto all asse y; per trovare le equazioni delle tangenti è necessario utilizzare l angolo rispetto all asse. I coefficienti angolari delle rette saranno pertanto i reciproci, tenendo anche conto della relazione che esiste per la derivata di una funzione inversa: m m le equazioni saranno allora y y + y y +

23 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA Troviamo il punto C { + + y + C ; ) cioè il punto C sta sull asse del segmento del segmento AB; il triangolo ABC è pertanto isoscele anche per motivi di simmetria); la sua area è A ABC Eercise 7. Determinare i parametri a e b in modo che la curva di equazione y a+b ; ) e abbia ivi per tangente la retta 4 + y 7 0. passi per il punto Soluzione: Se la curva passa per il punto assegnato, allora le coordinate del punto verificano l equazione della curva: a + b Se in questo punto la tangente alla curva ha l equazione assegnata, allora il suo coefficiente angolare, 4, è la derivata della equazione della curva in questo punto: a a b 4 a b Combinando le due relazioni, si ottiene: { a + b a + b 4 risolvendo con il metodo di riduzione 4 b a a b Eercise 8. Data la funzione f definita in R: f : sia C il suo grafico. Determinare i punti di C in cui la tangente è parallela alla retta y 6. Soluzione: I coefficienti angolari delle tangenti alla curva sono espressi dalla derivata della funzione 6 + Tale derivata deve essere uguale al coefficiente angolare della retta assegnata, m 6, per cui le soluzioni di questa equazione sono I punti saranno, sostituendo nella equazione della curva C, ; 44 ) ; 7) 7 Eercise 9. Determinare a, b, c, d in modo che la curva di equazione y a +b c+d abbia come asintoto una retta parallela a y + e abbia nel punto A 0; ) la tangente inclinata di π 4 sull asse.

24 APPLICAZIONI DELLA DERIVATA ALLA GEOMETRIA E ALLA FISICA 4 Soluzione: La curva avrà un asintoto obliquo di equazione y m + q, se a + b m lim c + d a c a + b q lim c + d a ad c c Il punto A appartiene alla curva e le sue coordinate soddisfano quindi l equazione della stessa: La derivata della funzione è: b d a c + d) c a + b ) c + d) ac + ad bc c + d) tale derivata deve valere, m tan π 4 y 0) ) nel punto dato: Componendo tutte le condizioni, si ha:????? bc d a c ad c b d bc d Eercise 40. Determinare i coefficienti a e b in modo che la curva di equazione: y a sin + b cos π abbia nel punto 4 ; + ) tangente parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. Soluzione: Il punto appartiene alla curva; sostituisco quindi le coordinate del punto + a + cioè a la tangente dovrà avere coefficiente angolare m ; calcolo la derivata a cos b sin nel punto indicato, la derivata avrà valore, quindi b si ricava b Eercise 4. La tangente alla curva y tan + sin nel suo punto di ascissa π 6 taglia l asse nel punto T. Trovare la distanza OT. Soluzione: Se il punto di tangenza ha ascissa π 6, avrà ordinata y tan π 6 +sin π 6 la derivata + tan ) + sin ) sin + sin ) calcolo la derivata nel punto di ascissa π 6 + ) 9 4 ) La tangente avrà coefficiente angolare m e passera per il punto y π ) 6 y + π + ; Calcoliamo ) π 6 ; ; la sua equazione sarà

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

4. Funzioni elementari

4. Funzioni elementari ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014. Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L

LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014. Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L LICEO ARTISTICO BOCCIONI A.S. 2013-2014 Programma di MATEMATICA svolto nella Classe Prima L I numeri naturali e i numeri interi Che cosa sono i numeri naturali. L insieme dei numeri naturali N. Le quattro

Dettagli

I.T.G. <> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE

I.T.G. <<G.C.Gloriosi>> Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO RELAZIONE I.T.G. Battipaglia (SA) PROGRAMMAZIONE DI MATEMATICA CORSO SERALE SIRIO Prof. Lucia D Aniello, CLASSI 3 A, 4 A, 5 A GEOMETRI- SIRIO RELAZIONE Premesse La programmazione è stata redatta

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 11 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti scelti nel questionario 1. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni f e g definite, per

Dettagli

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più

Dettagli

4. Funzioni elementari algebriche

4. Funzioni elementari algebriche ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari algebriche A. A. 2013-2014 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2011 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE

ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ESERCIZI CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE ES. 1 - Due treni partono da due stazioni distanti 20 km dirigendosi uno verso l altro rispettivamente alla velocità costante di v! = 50,00 km/h e v 2 = 100,00 km

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA NAPOLI ANNO SCOLASTICO 2014/2015. CLASSE III SEZ. Ae INDIRIZZO LICEO ECONOMICO PROGRAMMA DI FISICA

I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA NAPOLI ANNO SCOLASTICO 2014/2015. CLASSE III SEZ. Ae INDIRIZZO LICEO ECONOMICO PROGRAMMA DI FISICA I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA NAPOLI ANNO SCOLASTICO 2014/2015 CLASSE III SEZ. Ae INDIRIZZO LICEO ECONOMICO PROGRAMMA DI FISICA PROFESSORESSA: REGALBUTO PAOLA LE GRANDEZZE: LE GRANDEZZE FONDAMENTALI E DERIVATE,

Dettagli

Programmazione del dipartimento di MATEMATICA per il quinquennio

Programmazione del dipartimento di MATEMATICA per il quinquennio IPIA C. CORRENTI Programmazione del dipartimento di MATEMATICA per il quinquennio FINALITA DELL INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Promuovere le facoltà intuitive e logiche Educare ai processi di astrazione

Dettagli

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA

Corso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno

Dettagli

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche Disciplina MATEMATICA Secondo biennio e anno conclusivo Liceo Economico sociale Classe terza Finalità Conoscenze Obiettivi minimi Finalità della matematica nel corso del secondo biennio è di proseguire

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula

Dettagli

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE PIANO ANNUALE a.s. 2012/2013 CLASSI PRIME tecnico 4 ORE Settembre Ottobre Novembre dicembre dicembre gennaio- 15 aprile 15 aprile 15 maggio Somministrazione di test di ingresso. Insiemi numerici Operazioni

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali.

la funzione è definita la funzione non è definita Si osservi, infatti, che la radice di un numero negativo non esiste nel campo dei numeri reali. 1 y 4 CAMPO DI ESISTENZA. Poiché data è una irrazionale con indice di radice pari, il cui radicando è un polinomio, essa risulta definita solo per i valori della per i quali il radicando è positivo, ovvero

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al

Dettagli

Programma di MATEMATICA

Programma di MATEMATICA MINISTERO DELL ISTRUZIONE, DELL UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA UFFICIO SCOLASTICO REGIONALE PER IL LAZIO ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Via Silvestri, 301 00164 ROMA - Via Silvestri, 301 Tel. 06/121127660 Fax

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

Siano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire

Siano f e g due funzioni, allora x D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire Operazioni tra funzioni Siano f e g due funzioni, allora D f D g, cioè appartenente all intersezione dei loro domini, possiamo definire f() ± g(), f() g(), f () g() se g() 0 Es. f() = 4, g() = 3 + D f

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA

LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA Anno Scolastico 2014/15 LICEO ARTISTICO PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA : MATEMATICA PRIMO BIENNIO L asse matematico ha l obiettivo di far acquisire allo studente saperi e competenze

Dettagli

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà

Esercizi di Matematica. Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it Esercizi di Matematica Funzioni e loro proprietà www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO ESERCIZIO www.pappalardovincenzo.3.it ESERCIZIO

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

3. Quale affermazione è falsa?

3. Quale affermazione è falsa? 1. Quale affermazione è falsa? Se la funzione f) è continua e monotona crescente su R e se f) = 1 e f4) =, allora ha un unico zero nell intervallo, 4) f) non si annulla mai in R f ) > nell intervallo,

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE PIANO DI LAVORO DOCENTE Carmela Calò MATERIA Matematica DESTINATARI 4Cl ANNO SCOLASTICO 2013-14 COMPETENZE CONCORDATE CON CONSIGLIO DI CLASSE Si veda la programmazione comune del CdC COMPETENZE CONCORDATE

Dettagli

ELETTROMAGNETISMO CARICHE E LEGGE DI COULOMB

ELETTROMAGNETISMO CARICHE E LEGGE DI COULOMB ELETTROMAGNETISMO CARICHE E LEGGE DI COULOMB ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA 1. La Legge di Coulomb Esercizio 1. Durante la scarica a terra di un fulmine scorre una corrente di.5 10 4 A per

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE. Classi prime: Operatore grafico

PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE. Classi prime: Operatore grafico PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE - classi accreditate alla formazione professionale regionale: Classi prime: Operatore grafico Modulo 1: I numeri con particolare riferimento alle

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

COME TROVARE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

COME TROVARE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE COME TROVARE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE Ebook con spiegazioni, esempi, numerosi con risoluzione commentata Mariairene Guagnini Prima edizione: gennaio 014 Sito web: www.mathematice.it Contatti: redazione@mathematice.it

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0

Dettagli

Le nozioni fondamentali

Le nozioni fondamentali Le nozioni fondamentali Il concetto di funzione che abbiamo introdotto nel capitolo 5 di Algebra si è molto arricchito. Lavorando nel piano cartesiano, abbiamo familiarizzato con il passaggio dalla scrittura

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Federico II di Svevia Indirizzi: Liceo Scientifico Classico Linguistico Artistico e Scienze Applicate Via G. Verdi, 1 85025 MELFI (PZ) Tel. 097224434/35 Cod. Min.: PZIS02700B

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

Continuità e derivabilità

Continuità e derivabilità Continuità e derivabilità Indicazioni operative Versione del 17 febbraio 2007 In questa nota propongo alcune indicazioni operative per controllare la continuità e derivabilità di funzioni elementari, o

Dettagli

matematica per le quinte

matematica per le quinte istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le quinte Dipartimento di Matematica Anno scolastico 2015-2016 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun-

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16) Diario del corso di Analisi Matematica (a.a. 205/6) 4 settembre 205 ( ora) Presentazione del corso. 6 settembre 205 (2 ore) Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Introduzione alle

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ I a.s. 2014/15 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane)

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane) 1/7 PRIMO ANNO Testo consigliato: BERGAMINI TRIFONE BAROZZI, Matematica.azzurro, vol. 1, Zanichelli Obiettivi minimi. Acquisire il linguaggio specifico della disciplina; sviluppare espressioni algebriche

Dettagli

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue:

In base alla definizione di limite, la definizione di continuità può essere data come segue: Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo I (itato o ilitato) e sia un punto interno all intervallo I. Si dice che f è continua nel punto se: ( )= ( ) Una funzione f è continua in

Dettagli