Alcuni appunti per il corso di FINANZA MATEMATICA Giovanna Nappo A.A. 2008/2009

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1 Uiversità degli Studi di Roma La Sapieza Ao Accademico Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali Master Calcolo Scietifico Alcui apputi per il corso di FINANZA MATEMATICA Giovaa Nappo A.A. 28/29 versioe del 5 giugo-29

2 Idice 1 Cei sul fuzioameto e sulla storia dei mercati fiaziari Mercati Fiaziari Appedice: tasso di iteresse a tempo cotiuo Appedice: Richiami sulle equazioi differeziali lieari U esempio cocreto di derivato fiaziario Teorema dell arbitraggio Applicazioi Il modello biomiale uiperiodale Modello biomiale uiperiodale co cotiget claim Il modello biomiale multiperiodale Appedice: Alberi biomiali e modello CRR*** Appedice: Approccio soggettivista alla probabilità Il modello di Black e Scholes come limite del modello biomiale multiperiodale Il Modello Biomiale Multiperiodale Ipotesi e otazioi Approssimazioe del Modello Biomiale Multiperiodale Il modello approssimato, a tempo cotiuo Dimostrazioe della formula di Black e Scholes Il moto Browiao Approssimazioe del moto browiao per t fissato Idipedeza ed omogeeità degli icremeti Defiizioe del moto browiao e del modello di Black e Scholes Processi aleatori a tempo cotiuo Processi aleatori, defiizioi ed esempi Le traiettorie del processo di Wieer o soo a variazioe limitata Appedice: variabili Gaussiae Processi a icremeti idipedeti e martigale Processi ad icremeti idipedeti ed omogeei Esempi di martigale a tempo cotiuo APPENDICE: Proprietà del valore atteso codizioale e qualche esempio Itegrale stocastico: cei Itegrale stocastico per processi itegrabili, a partire dai processi elemetari Esempi di calcolo di itegrali stocastici Itegrale stocastico per processi localmete di quadrato itegrabile Osservazioi su alcue proprietà degli itegrali stocastici Calcolo stocastico e formula di Itô Moto browiao geometrico e il suo differeziale stocastico Equazioi differeziali stocastiche Il processo di Cox-Igersoll-Ross Il modello di Black e Scholes Copertura perfetta e o arbitraggio L equazioe di Black e Scholes Bibliografia 116

3 Capitolo 1 Cei sul fuzioameto e sulla storia dei mercati fiaziari Prima di tutto proviamo a defiire di cosa si occupa quella che viee chiamata la teoria matematica della fiaza o matematica fiaziaria 1. I quattro protagoisti soo gli idividui, la cui attività viee descritta i termii del dilemma cosumo-ivestimeto: cosumare di più ora o ivestire per otteere di più dopo? L ambivaleza del loro comportameto sia come cosumatore che come ivestitore porta a problemi di ottimizzazioe formulati i termii di ecoomia matematica come problemi di cosumo-risparmio e di decisioe sulla composizioe del portafoglio 2. Nell ambito della teoria dell utilità il primo problema è trattato i base al postulato del comportameto razioale Vo Neuma-Morgester degli idividui i stato di icertezza. Questa teoria porta a determiare strategie preferibili i termii di aalisi qualitativa, ad esempio co il valore atteso delle fuzioi di utilità. Il problema della composizioe del portafoglio porta a problemi di miglior allocazioe dei fodi, teedo coto del rischio, tra i diversi bei possibili, quali proprietà, oro, titoli o securities: buoi, azioi, opzioi, future... le corporazioi compagie, ditte,... che posseggoo bei di valore terra, fabbriche, macchiari, tecologie,... orgaizzao affari, mategoo relazioi commerciali. Per aumetare il loro capitale a volte le corporazioi emettoo azioi stocks o buoi bods. I buoi soo emessi ache dai goveri. Lo scopo delle corporazioi è quello di adare icotro agli iteressi dei possessori delle azioi shareholders e dei buoi bodholders. gli itermediari o meglio le strutture fiaziare itermediatrici bache, compagie di ivestimeti, fodi pesioi, compagie di assicurazioi... Tra queste si possoo mettere ache i mercati fiaziari, che scambiao azioi opzioi, future, etc..., Tra i mercati fiaziari, quelli degli Stati Uiti soo tra i più famosi: NYSE: New York Stock Exchage AMEX: America Stock Exchage NASDAQ: NASDAQ Stock Exchage NYFE: New York Future Exchage CBOT: Chicago Board of Trade i mercati fiaziari di dearo, di metalli preziosi, di strumeti fiaziari. strumeti fiaziari, di solito si distigue tra I particolare ei mercati di strumeti sottostati o primari come coti bacari buoi 1 Questa prima parte è basata pricipalmete sul testo di Shiryaev [17]. 2 Il termie portafoglio portfolio sigifica ei modelli base la suddivisioe tra ivestimeti e risparmio, co evetuali altre restrizioi, come ad esempio limiti superiori od iferiori delle quatità ivestite. I modelli più complessi può riguardare ache le quatità utilizzate i cosumo. 1

4 2 Master-8-giugo-29 azioi strumeti derivati o secodari opzioi cotratti future warrats swaps combiazioi etc. Notiamo che l igegeria fiaziaria è spesso pesata come la maipolazioe dei derivati per aumetare il capitale e ridurre il rischio causato dall icertezza della situazioe del mercato el futuro. 1.1 Mercati Fiaziari 1 Dearo Si tratta di u meccaismo che permette di commerciare cose/bei che si hao i modo da otteere poi cose/bei che si desiderao. Al mometo attuale moete e bacoote soo solo ua piccola parte del dearo esistete. La maggior parte dei pagameti viee effettuata tramite assegi o per via telematica bacomat, carte di credito, web-bakig,... Oltre alla fuzioe di mezzo di circolazioe il dearo ha u ruolo importate ache come mezzo di valutazioe e come mezzo di risparmio. 2 Moeta, Cambio, Numerario Le riserve di moeta di altri paesi, i tassi di cambio, etc. soo u idicatore importate del beessere di ua azioe, del suo sviluppo; ioltre è spesso u mezzo di pagameto per il commercio co l estero. Nell ambito della storia dei cambi di valuta spesso si soo avuti accordi iterazioali e uioi moetarie. Ad esempio a Bretto-Woods New Hampshire, USA el 1944 si svolse ua famosa cofereza durate la quale si decise il sistema di credito e di valuta del modo occidetale, i particolare i tassi di cambio delle valute coivolte potevao variare solo del 1% rispetto a quelli ufficiali. I quella occasioe fu istituito la Fodazioe Moetaria Iterazioale Iteratioal Moetary Foudatio, IMF. L accordo rimase i vigore fio alla crisi petrolifera e alla crisi moetaria del 1973, che coivolse il dollaro statuitese, il marco tedesco e lo ye giappoese. Nel 1979 furoo poste le basi per l Uioe Moetaria Europea il famoso Serpetoe: vee stipulato u patto secodo il quale le variazioi dei tassi di cambio potevao variare i ua fascia del ±2.25%. Per otteere questo risultato le bache cetrali azioali dovevao iterveire per assicurare la stabilità dei tassi di cambio. Successivamete si è arrivati alla moeta uica: a partire dalla fie del 21, ei paesi dell Uioe Europa circola l euro. 3 Metalli Preziosi Si tratta di oro, argeto, platio e altri iridio, palladio, osmio, rodio, ruteio. Hao avuto u ruolo importate el passato, specialmete el 19 simo secolo, ma hao acora u ruolo ai ostri giori el sistema del credito iterazioale e del cambio di valute. U po di storia: si può cosiderare che l età dell oro sia iiziata el 1821, ao i cui il govero britaico proclamò la covertibilità i oro della sterlia. Poco dopo ache gli Stati Uiti fecero lo stesso co il dollaro as good as gold. Lo stadard dell oro ebbe il suo apice tra il 188 e il 1914, ma dopo la prima guerra modiale o recuperò più il suo status. Le sue tracce si persero defiitivamete quado Nixo ell agosto del 1971 dichiarò formalmete la fie della covertibilità i oro del dollaro 3. 3 I realtà dopo la crisi del 1929, e precisamete el 1934, il govero degli USA dichiarò che u ocia 28, 35 grammi d oro valeva 35 dollari. Così rimase formalmete fio al 1971, ache se già da tempo era chiaro che i dollari i circolazioe erao molti di più di quelli che si sarebbero potuti covertire i oro co le riserve di questo metallo prezioso i possesso degli USA. La dichiarazioe di Nixo, che va ricordato ache come il presidete che gestì la fie della guerra i Vietam, ebbe forti ripercussioi su tutta l ecoomia modiale, e portò ad ua svalutazioe del dollaro e ad ua coseguete impeata dei prezzi del petrolio, forse ache maggiore di quella che stiamo vivedo i questo periodo autuo 24. La svalutazioe del dollaro comportò la svalutazioe delle altre moete, i particolare della lira, legata al dollaro dopo che il piao Roosevelt aveva permesso all Italia di ripredersi dopo la secoda guerra modiale. Ache l iflazioe era impressioate: dell ordie del 17% auo. La crisi fu tale che furoo ivetate le domeiche a piedi: ma o per motivi ecologici la parola ecologia o era etrata acora ell uso comue, besì per cercare di risparmiare sul cosumo del petrolio e di cosegueza di dimiuire el bilacio dello stato la voce dei pagameti all estero. La fie della covertibilità del dollaro ebbe come cosegueza ua forte istabilità dei prezzi e fu uo dei motivi per cui acque l esigeza di avere delle coperture fiaziarie cotro la grade variabilità dei prezzi. Per dare acora u idea delle fluttuazioi si tega presete che prima del 1971 il dollaro veiva scambiato a 6 lire, metre el giro di poco tempo o so precisare al mometo quato tempo il cambio si aggirava attoro al doppio. Comuque per essere più precisi si può cosiderare che l oro passò dai 35 dollari per ocia del periodo al massimo di 57 dollari per ocia del 198. Successivamete

5 Master-8-giugo Coto bacario U coto bacario bak accout è u titolo o ua security dello stesso tipo dei buoi 4, i quato si riduce all obbligo da parte della baca di pagare certi iteressi sulla somma che è stata messa sul coto. I coti i baca soo coveieti come misura dei prezzi di varie altre security. Si distiguoo vari tipi di iteresse iteresse semplice a tasso r sigifica che se oggi ho la cifra x dopo ai avrò la stessa cifra più r x, cioè x 1 + r. Sostazialmete è quello che accade se ogi ao gli iteressi vegoo ritirati e o rimessi sul coto i baca. iteresse composto Se ivece gli iteressi veissero messi sul coto si avrebbe la seguete tabella r r r r 1 2 k r x x 1 = x 1 + x 2 = x x k = x k x = x x x 1 = x 1 + x 2 = x 1 + r 2 x k = x 1 + r k x = x 1 + r dove x rappreseta il valore iizialmete t = depositato, ovvero all iizio del primo periodo cioè per t < 1 x 1 rappreseta l ammotare dalla fie del primo periodo all iizio escluso del secodo periodo cioè per 1 t < 2, metre x k rappreseta l ammotare dalla fie del k simo periodo alla sua fie cioè per k t < k + 1. iteresse composto m volte i u ao a tasso omiale r sigifica che gli iteressi soo versati sul coto alla fie di ogi periodo di durata l m sima parte di ao, ovvero alla fie del primo periodo si avrà x 1 + r/m, alla fie del secodo periodo si avrà x 1 + r/m 2, e alla fie dell h simo periodo si avrà x 1 + r/m h. Se o vegoo effettuati prelievi la quatità di dearo al tempo t = N + k/m, ovvero dopo N ai e k periodi di u m simo di ao, cioè dopo N m + k periodi, si avrà sul coto la quatità x m t = x 1 + r/m N m+k = x 1 + r/m mn+k/m = x 1 + r/m m t 1.1 È iteressate otare che alla fie dell ao, cioè dopo m periodi, si ha a disposizioe la cifra di x 1+r/m m. Si può quidi defiire e calcolare il tasso semplice effettivo reff m equivalete al tasso r composto su m periodi i u ao come quel valore reff m tale che: 1 + r eff m = 1 + r/m m r eff m = 1 + r/m m 1 iteresse composto a tempo cotiuo 5 Nel caso i cui il umero di periodi per ao tede ad ifiito, ovvero el caso i cui gli iteressi vegoo pagati co scadeze così ravviciate da poter essere pesate i precipitò ai 38 dollari per ocia del 1984, per poi cotiuare ad oscillare tra i 3 e i 4 dollari. Può essere iteressate riportare i 1 puti co cui Nixo diede l aucio il 15 agosto 1971 come riportato dai giorali italiai dell epoca: 1 Sospesioe temporaea della covertibilità i oro del dollaro, eccezio fatta per le operazioi che sarao di iteresse per gli Stati Uiti. 2 Gli Stati Uiti chiederao al Fodo Moetario Iterazioale il varo di u uovo sistema moetario iterazioale e terrao i sospeso la covertibilità i oro fio a quado o si sarao trovati adeguati accordi. 3 Sarà itrodotta ua tassa temporaea del 1% su tutte le importazioi egli Stati Uiti. 4 Sarao cogelati per tre mesi prezzi, stipedi, affitti e dividedi. 5 Sarà abrogata la sovrattassa del 7% sull acquisto di vetture uove azioali o straiere. 6 Sarao aticipate al geaio 1972 le riduzioi fiscali già previste per il geaio Sarà richiesto al Cogresso di approvare u piao per l estesioe della mao d opera, co la possibilità di riduzioe delle tasse per coloro che seguirao questa idea. 8 Ricerche e sviluppo tecologico e idustriale sarao stimolati e icoraggiati. 9 È previsto u risparmio di 4 miliardi e 7 milioi elle spese federali, comprese alcue limitazioi egli aumeti degli stipedi degli impiegati. 1 È prevista ua riduzioe del 1% degli aiuti americai all estero. 4 Si veda più avati ua brevissima spiegazioe sui buoi. 5 I questo paragrafo cosideriamo solo il caso i cui il tasso rimae costate per tutto il periodo al quale siamo iteressati. Per il caso i cui il tasso varia el tempo, i modo determiistico, si veda l appedice a questa sezioe.

6 4 Master-8-giugo-29 tempo cotiuo appare aturale che al tempo t vada cosiderato il valore defiito da Teedo coto che 6 x m t x t := lim m xm t. = x m m t /m dalla 1.1 si ottiee che x t = lim m xm m t /m = lim m m t /m 1 + r/m m = e rt. Ache i questo caso si possoo defiire dei tassi equivaleti: ad esempio, dato il tasso omiale a tempo cotiuo r c esiste u tasso omiale di iteresse auale rm= rm, r c composto i m periodi, equivalete al tasso omiale a tempo cotiuo r c, ovvero tale che x 1 = x e r c = x 1 + rm/m m rm = m e r c /m 1. La formula iversa, cioè la formula che, dato il tasso di iteresse rm composto i m periodi, permette di otteere il valore del tasso r = r c rm a tempo cotiuo corrispodete è ovviamete r = m log 1 + rm/m. Vale la pea di sottolieare il caso i cui m = 1, che corrispode al tasso effettivo di iteresse semplice r1 = ˆr sempre su base aua, i cui le due formule divetao ˆr = e r 1, r = log 1 + ˆr, Ifie va ricordata ache la defiizioe di tasso di scoto ˆq su base aua, ovvero quella quatità ˆq che permette di calcolare la somma B che devo mettere i baca oggi, se voglio otteere tra u ao la somma B 1, attraverso la formula B = B 1 1 ˆq. Teedo coto che B 1 = B 1 + ˆr si ottiee che 1 ˆq 1 + ˆr = 1, 1.2 ovvero 7 ˆq = ˆr ˆq, ˆr = 1 + ˆr 1 ˆq 5 Buoi DA RIVEDERE I buoi o bod soo obbligazioi emesse da u govero, o da ua corporazioe, da ua baca, o da u altro ete fiaziario per aumetare il proprio capitale. I buoi soo molto popolari i alcui paesi, i particolare perché impegao l ete che li emette ad uo scadezario prefissato i modo determiistico: il compratore paga iizialmete il prezzo iiziale del buoo, e l iteresse gli viee pagato dall ete emittete 6 Ifatti il valore della fuzioe s x s m è costate sugli itervalli di tempo del tipo [k/m, k + 1/m. Dato t si tratta di trovare k = kt per il quale valga che t [k/m, k + 1/m, ovvero per il quale k/m t < k + 1/m, chiaramete kt = m t, la parte itera iferiore di t. Per quel che segue è poi utile otare che e che quidi t m t /m = m t m t m t = lim m t /m. m 7 È iteressate otare che se il tasso di scoto viee aumetato di α allora il tasso di iteresse corrispodete passa dal valore ˆrˆq = ˆq 1 ˆq ˆrˆq + α = ˆq + α 1 ˆq α = ˆrˆq + α d 1 + oα = ˆrˆq + α dq q=ˆq 1 ˆq 2 + oα. al valore q 1 q Ioltre va sottolieato che la relazioe 1.2 va pesata come ua defiizioe del tasso di scoto. Ioltre i tutta la trattazioe precedete si è cosiderato che il tasso di credito e quello di prestito soo gli stessi, ovvero o abbiamo cosiderato il sego di x. Ciò o è vero di solito ella realtà: la baca prevede u tasso di iteresse se depositate delle somme di dearo cioè se x >, metre prevede u tasso di iteresse diverso e più elevato se siete creditori di somme di dearo ei cofroti della baca cioè se x >. Comuque per semplicità di trattazioe, di solito si ammette che i due tassi coicidao. < 1/m

7 Master-8-giugo-29 5 co scadeze regolari i cedole, metre il pagameto dell itero prestito è garatito ad ua scadeza prefissata maturità. Esistoo ache buoi seza cedole zero coupo bod, tipicamete co maturità breve. Si cosidera quidi l ivestimeto i buoi u ivestimeto seza rischio 8. Per caratterizzare u buoo servoo delle caratteristiche umeriche caso a tempo discreto, co cedole costati, emesso al tempo t = : valore facciale face value P T, T maturità maturity date T breve termie short term da 3 mesi a 1 ao medio termie middle term da 2 a 1 ai lugo termie log term oltre 3 ai tasso di iteresse, o redimeto omiale??? del buoo coupo yield r c che permette di calcolare il valore di ciascua cedola 9 : C k = r c P T, T, per k = 1, 2,..., T prezzo iiziale origial price P, T, che è il prezzo pagato al tempo t = valore di mercatomarket value P t, T, che è il valore del cotratto al tempo t, T e che può variare i modo aleatorio a causa di vari fattori ecoomici: domada/offerta e viee di solito modellato come u processo aleatorio redimeto correte curret yield r c t, T = r c P T, T, che è il rapporto tra il valore di ua cedola P t, T rispetto al valore di mercato del buoo al tempo t, e che è importate per comparare i valori di buoi differeti. redimeto alla maturità yield to maturity, su base percetuale ρt t, T, che è defiito 1 come la soluzioe uica di P t, T = T t k=1 r c P T, T 1 + ρ k + P T, T 1 + ρ T t. I altre parole ρt t, T è defiito come il tasso di redimeto itero del flusso dei pagameti residui. Ifie va sottolieato che poiché dato P t, T si ricava ρt t, T e viceversa 11, la descrizioe aleatoria la modellizzazioe del valore di mercato di u buoo può essere fatta a partire dalla struttura temporale di ρt t, T ivece che di P t, T. La descrizioe attraverso il valore di mercato P è detta diretta, metre la descrizioe attraverso ρ è detta idiretta. 6 Azioi Stock o Share Come già detto le azioi, come i buoi, soo emesse da compagie per aumetare il capitale. Ache se esistoo diversi tipi di azioi, i tipi pricipali soo due: azioi ordiarie equity e commo stock e azioi prefereziali preferred stock. Le differeze soo el tipo di rischio e el pagameto dei dividedi: chi possiede azioi ordiarie ottiee come dividedi la sua parte dei profitti della compagia, e il loro ammotare dipede dal suo successo fiaziario, metre se la ditta fallisce perde tutto il suo ivestimeto; 8 Ovviamete c è il rischio di isolveza o default risk, dovuto alla possibilità che l ete che ha emesso il buoo fallisca e o ottemperi l impego preso. Ovviamete i buoi emessi dai goveri soo i geere meo esposti al rischio di credito rispetto ai buoi emessi da ditte, ma ovviamete ci soo cotroesempi clamorosi si veda il caso dell Argetia. Questo tipo di rischio è di tipo diverso da quello dovuto alle fluttuazioi del mercato: si tratta di rischio di credito, dovuto all icertezza sulla solidità dell ete emittete, e o di u rischio dovuto al fatto che il cotratto stesso riguarda quatità aleatorie, come ivece accade el caso delle azioi o delle opzioi. Il rischio di credito è presete quado vegoo comperate delle azioi: è possibile che la corporazioe che le emette fallisca e, i questo caso, le azioi potrebbero perdere parzialmete o del tutto il loro valore si vedao il caso Cirio e Parmalat. 9 Il tasso r c va iteso come tasso auale se le cedole soo staccate alla fie di ogi ao, trimestrale, se vegoo staccate alla fie di ogi trimestre, o mesile se vegoo staccate alla fie di ogi mese, e così via 1 È da ricordare che T t va iteso come tempo di vita residuo del buoo, o tempo residuo alla maturità e da osservare che el caso i cui fosse P t, T = P T, T allora ρ = r c è l uica soluzioe di X T t 1 = k=1 r c ρ k ρ T t. 11 Esistoo buoi co iteressi composti, trimestralmete, mesilmete o ache a tempo cotiuo, di cui viee dato il tasso omiale r c auo. Ovviamete di questo fatto va teuto coto el mometo i cui si defiisce la relazioe che lega P t, T e ρt t, T.

8 6 Master-8-giugo-29 chi possiede azioi prefereziali ha mior rischio di perdere tutto, i suoi dividedi soo garatiti, ma o aumetato co i profitti della compagia. Di solito però l ivestitore, cioè colui che compra azioi, ma ciò vale ache per i bod, è attratto più che dai dividedi, dalla opportuità di fare soldi dalle fluttuazioi dei prezzi delle azioi, ovvero di comprare a u prezzo basso prima degli altri e vedere ad u prezzo alto sempre prima degli altri 12 7 Mercati dei derivati DA RIVEDERE Questi mercati ebbero grade espasioe all iizio degli ai settata del vetesimo secolo. Fio al deceio precedete i cambi erao stati stabili e la volatilità del mercato era bassa. La situazioe cambiò radicalmete 13 e questo causò l iteresse verso strumeti fiaziari 14 che permettevao di coprirsi cotro i rischi di iflazioe, i cambi sfavorevoli e la grade volatilità dei mercati fiaziari. Nel paragrafo 1.2 vedremo u esempio che illustra il tipo di problemi che possoo essere affrotati co questo tipo di strumeti. 12 Va teuta presete la legge di mercato, che vale per ogi tipo di merce: se u prezzo è basso, la domada di comprare aumeta, e se la domada aumeta allora il prezzo sale, metre, viceversa, se il prezzo è alto, l offerta aumeta, e se l offerta aumeta, allora il prezzo scede. 13 Tra le motivazioi di questi cambiameti vao ricordate le segueti: i. il passaggio dal cambio fisso al cambio fluttuate, a seguito della crisi moetaria del 1973, ii. la svalutazioe del dollaro rispetto all oro 1971, che ivece dal 1934 era sempre stato scambiato a 35 dollari per ocia, iii. la crisi modiale del petrolio provocata dalla politica dell OPEC, la comuità ecoomica dei paesi produttori di petrolio, che divee il pricipale price maker del petrolio, iv. il declio dei mercati azioari egli USA il declio era stato più forte che durate la crisi degli ai treta, la Grade Depressioe 14 I primi strumeti furoo le opzioi isieme ache ai futures Tali titoli derivati erao preseti sui mercati o ufficiali over the couter, ma il primo mercato ufficiale specializzato i opzioi fu il Chicago Board Optio Exchage CBOE aperto il 26 aprile del Nel primo gioro di apertura furoo trattati 911 cotratti di opzioi, metre appea u ao dopo il umero di opzioi scambiate gioralmete era di 2, tre ai più tardi di 1, e 7 el Per capire le dimesioi del feomeo va ricordato che ogi cotratto riguardava 1 azioi e quidi gli scambi gioralieri riguardavao opzioi su 7 milioi di azioi, cioè poco più di u terzo dei 19 milioi di azioi scambiate gioralmete el New York Stock Exchage NYSE ello stesso ao. Il 1973 va ricordato ache per essere l ao i cui furoo pubblicati due articoli fodametali, uo di Black e Scholes [6] e l altro di Merto [13], che ifluezaroo otevolmete i metodi di prezzaggio.

9 Master-8-giugo-29 7 **Valutazioe di u flusso di cassa Il tasso di iteresse può essere utilizzato per attualizare i valori omiali di dearo e cofrotare diversi flussi di cassa. Ci mettiamo per semplicità el caso dell iteresse composto, co l ipotesi che il tasso di iteresse rimaga costate. Ad esempio u cotratto come ad esempio el caso dei bod, ma ache el caso dei mutui stipulati co ua baca può prevedere il pagameto di a al tempo iiziale t =, e successivamete la riscossioe di cifre omiali b j al tempo t = j. Per poter cofrotare cifre di dearo a tempi diversi, tali valori vao attualizzati, ad esempio al tempo t =, cioè il valore attualizzato al tempo t = della cifra b j al tempo t = j, è quella cifra β j al tempo t = tale che il suo valore al tempo t = j, cioè β j 1 + rj, sia uguale a b j, i sitesi β j 1 + rj = b j β j b j = 1 + r j Il valore attualizzato del flusso di cassa a, b 1,, b precedetemete descritto vale quidi Ar := a + j=1 β j = a r j. j=1 b j Per cofrotare il flusso di cassa a, b 1,, b co u altro flusso di cassa a, b 1,, b, dobbiamo quidi calcolare ache A r = a + j 1 + r j, j=1 b e poi cofrotare Ar e A r. Il primo flusso di cassa sarà preferibile al secodo flusso se e solo se Ar > A r. Può accadere che il verificarsi di tale disuguagliaza dipeda dal valore di r, ossia che per alcui valori di r il primo flusso sia preferibile al secodo e per altri valori di r accada il cotrario. Passiamo ora a parlare del redimeto itero, di u cotratto che prevede u flusso di cassa a, b 1,, b : se i segi di a e di b j soo tutti positivi, e come è aturale aspettarsi, altrimeti essuo sottoscriverebbe u tale cotratto se vale la seguete disuguagliaza b j > a, j=1 allora possiamo ache defiire il tasso di redimeto itero del flusso di cassa a, b 1,, b, come quell uico valore ρ tale che Aρ =, a + j 1 + ρ j =, j=1 b ossia quell uico valore costate del tasso di iteresse che rede uguali la cifra a al tempo t = e il valore dei pagameti b j, j = 1,...,, ciascuo al tempo t = j. L esisteza e l uicità di tale valore si possoo otteere facilmete: ifatti, sotto le precedeti codizioi, è facile covicersi che il poliomio P x := a + j=1 b j x j gode della proprietà che esiste uo e u solo x, 1 tale che P x =, e che quidi ρ è uivocamete determiato da x = 1 1+ρ, cioè ρ = x 1 x. E ifatti P = a <, P 1 = a + j=1 b j >, e quidi c è almeo u x, 1 tale che P x = e ioltre, tale x è uico, i quato la fuzioe P x è strettamete crescete i, 1, ifatti P x = j=1 j b j x j 1 >, per x, 1.

10 8 Master-8-giugo-29 Appedice: tasso di iteresse a tempo cotiuo Si suppoga che Dt rappreseti il valore di u deposito i baca al tempo t. Il tasso di iteresse istataeo o spot rate al tempo t sia deotato da rt: per defiizioe questo sigifica che ell itervallo di tempo [t, t + h], per ogi h >, ma abbastaza piccolo la cifra depositata passa dal valore Dt al valore Dt + h = Dt + Dt rt h = Dt 1 + rt h, 1.3 ovvero 15 a meo di ifiitesimi il tasso ell itervallo cosiderato è proporzioale all ampiezza h dell itervallo cosiderato t, t+h, esattamete come el caso a tasso costate, ma dipede dall istate iiziale t. Come cosegueza della precedete uguagliaza si ottiee che sempre a meo di ifiitesimi Dt + h Dt Dt rt h ovvero Dt + h Dt h = Dt rt. Co u semplice passaggio al limite per h che tedo a zero 16 si ottiee che la codizioe 1.3 equivale all esisteza della derivata di Dt e al fatto che d Dt = Dt rt dt equivale a dire che Dt è soluzioe di ua equazioe differeziale lieare omogeea a coefficieti o costati e più precisamete del problema di Cauchy { ẋt = αt xt, per t t 1.4 xt = x co αt = rt, e x = Dt. Essedo la soluzioe 17 del precedete problema 1.4 data da { t } xt = x exp αs ds, 1.5 t si ottiee che, se t = e D è il valore di D, { t } Dt = D exp rs ds. di cosegueza, ragioado come el caso a tempo cotiuo 18, si ha che il valore attualizzato al tempo t = di ua cifra D che verrà data al tempo t si può esprimere come { t } D exp rs ds È iteressate otare che ell otteere l equazioe differeziale per Dt abbiamo ipotizzato implicitamete che i soldi depositati o fossero prelevati per costi o cosumi, e che ioltre abbiamo ipotizzato che o veissero effettuati 15 La formulazioe esatta sarebbe Dt + h = Dt + Dt rt h + oh = Dt 1 + rt h +oh. 16 Si tega presete che i realtà il limite si sta facedo per h + e quidi si ottiee solo l esisteza della derivata destra. 17 Il fatto che 1.5 sia soluzioe del problema di Cauchy 1.4, si può verificare per calcolo diretto. 18 Il valore attualizzato al tempo di ua cifra D data al tempo t è defiito come quella cifra D = Dt tale che da cui immediatamete D = D expzt rs ds, Dt = D exp Zt rs ds.

11 Master-8-giugo-29 9 eache ulteriori depositi dovuti a etrate o icome di alcu tipo. Se ivece prelievi e ulteriori depositi fossero ammessi, ovviamete bisogerebbe teere coto. E i tale caso, se It rappreseta il totale delle etrate fio al tempo t, e Ct il totale dei cosumi effettuati fio al tempo t, allora si ha che, sempre ell itervallo [t, t+h] le etrate totali soo It + h It, metre le uscite soo Ct + h Ct. Se le fuzioi It e Ct soo derivabili co derivata it e ct rispettivamete, allora 19 Dt + h =Dt + Dt rt h + It + h It Ct + h Ct Dt + Dt rt h + it h ct h. Procededo come el caso precedete si ottiee che i questo caso Dt soddisfa u altra equazioe differeziale lieare o omogeea a coefficieti o costati d Dt = Dt rt + it ct, dt e più precisamete Dt è soluzioe del problema di Cauchy { ẋt = αt xt + βt, per t t xt = x 1.6 co αt = rt, βt = it ct, e x = Dt. La soluzioe del precedete problema 1.6 vale 2 { t } t { xt = exp αs ds x + βs exp } t s αu du ds t t 1.7 Appedice: Richiami sulle equazioi differeziali lieari I questo paragrafo, ad uso degli studeti che o avessero acora superato u esame di equazioi differeziali, ricordiamo il metodo per otteere la soluzioe dei problemi di Cauchy 1.4 e 1.6. Ifatti pur essedo facile verificare che le soluzioi 1.5 e 1.7 date precedetemete soo soluzioi dei rispettivi problemi 1.4 e 1.6, è iteressate sapere come si arriva a tali soluzioi. 1 Problema omogeeo Il problema è equivalete a { ẋt = αt xt, per t t xt = x dxt xt = αt dt, per t t xt = x. 19 Nell equazioe per il calcolo di Dt + h abbiamo trascurato l apporto degli iteressi maturati ell itervallo [t, t + h] per via delle ulteriori etrate e quelli dovuti alla baca per via delle spese effettuate. Del resto elle ipotesi di regolarità per le fuzioi It e Ct, si ha che It + h It it h e Ct + h Ct ct h, da cui le corrispodeti somme di dearo a credito e a debito dovuti agli iteressi maturati soo rispettivamete It + h It rt h it h rt h e Ct + h Ct rt h ct h rt h. Si tratta quidi di ifiitesimi dell ordie di h 2, e quidi soo trascurabili ei passaggi successivi. 2 Il fatto che 1.7 sia soluzioe del problema di Cauchy 1.6, si può verificare per calcolo diretto.

12 1 Master-8-giugo-29 Itegrado tra t e t, si ottiee da cui t t t d log xs = log xt log xt = teedo coto che xt = x log xt log xt x = log = x xt x t dxs t xs = αs ds t t t αs ds t αs ds t { } { t } = exp log xt x = exp αs ds t { t } xt = x exp αs ds t 2 Problema o omogeeo - Metodo della variazioe della costate L idea cosiste el cercare ua soluzioe del problema { ẋt = αt xt + βt, per t t xt = x che si possa esprimere come dove e Ct è ua fuzioe da determiare. xt = Ct x o t { t } x o t := exp αs ds t Si oti che x o t è soluzioe dell equazioe differeziale omogeea, ifatti { t } x o t := exp αs ds d t dt x ot = αt x o t. Se xt = Ct x o t allora, da ua parte d d d dt xt = dt Ct x o t + Ct dt x ot d = dt Ct x o t + Ct αt x o t d = dt Ct x o t + αt xt, metre dall altra d xt = βt + αt xt. dt Cofrotado le ultime due espressioi si ottiee che, affiché la fuzioe xt = Ct x o t sia soluzioe dell equazioe lieare o omogeea, è sufficiete che d dt Ct x o t = βt, d { βt t } Ct = = βt exp αs ds dt x o t t

13 Master-8-giugo e che, affiché xt = Ct x o t soddisfi la codizioe iiziale, Ct x o t = x Ct = x. Di cosegueza, itegrado tra t e t si ottiee Ct Ct = t t βs exp { s t } αu du t { Ct = x + βs exp t s t } αu du, e da cui ifie si ottiee che ovvero xt = Ct x o t = t { x + βs exp t s { s } t { xt = exp αu du x + βs exp t t t } { t } αu du exp αu du, t t s } αu du ds. Ifie rimae da sottolieare che si può parlare della soluzioe i quato valgoo le codizioi di uicità. rimada ai corsi di Aalisi Matematica sulle equazioi differeziali per i dettagli. Si 1.2 U esempio cocreto di derivato fiaziario Si cosideri ua compagia italiaa, la GPR, che oggi deotato come tempo t = ha firmato u cotratto co la cotroparte americaa BCG. Il cotratto stipulato prevede che esattamete fra sei mesi deotato come tempo t = T la BCG ivii alla ditta italiaa 1 computer, il cotratto prevede ache che la ditta italiaa GPR paghi 1 dollari USA per ogi computer. Diamo ache come iformazioe 21 che il cambio euro/dollaro è, 8 euro per u dollaro 22. Il problema di questo cotratto, dal puto di vista della ditta italiaa, sta el rischio dovuto al cambio: oostate si sappia che deve pagare 1 $, o si sa quale sarà il cambio tra sei mesi, di cosegueza la GPR o sa esattamete quato dovrà pagare i euro per i computer. Ad esempio se dovesse pagare tutto subito, cioè al tempo t =, allora dovrebbe pagare 1 1 $, 8 euro/$ = 8 euro. Se ivece tra sei mesi, cioè al tempo t = T, il cambio fosse, sempre ad esempio, di, 85 euro per u dollaro, allora la ditta GPR dovrebbe pagare 1 1 $, 85 euro/$ = 85 euro. Per questo motivo la GPR deve affrotare il problema di come coprirsi cotro il rischio dovuto al cambio. Di seguito diamo alcue strategie aturali: 1 Ua strategia aïve potrebbe essere quella di comprare oggi i 1 $ co 8 euro, e teere questi dollari bloccati. Il vataggio di questo procedimeto sta el fatto che elimia completamete il rischio del cambio, ma c è qualche grave cotroidicazioe: prima di tutto si blocca ua igete somma di dearo per u periodo abbastaza lugo, i secodo luogo potrebbe ache darsi il caso che al tempo t =, la ditta italiaa o possegga affatto il dearo ecessario per effettuare questo tipo di operazioe. 2 Ua soluzioe più sofisticata, e che o richiede alcu esborso di dearo al tempo t =, cosiste el fatto che la GPR vada sul mercato dei cotratti forward per 1 $, co scadeza a sei mesi. U tale cotratto può essere stipulato co ua baca commerciale e prevede due puti La baca forirà alla ditta GPR 1 $, al tempo t = T. La ditta GPR pagherà, al tempo t = T, al tasso di cambio K euro/$ 21 Nel mese di ottobre 24, data i cui scriviamo, il cambio è solo approssimativamete giusto, i dati soo stati modificati per otteere umeri più semplici. 22 Questo esempio è tratto dall itroduzioe del libro di Björk [5].

14 12 Master-8-giugo-29 Il tasso di cambio K viee detto prezzo i avati forward, o ache tasso di cambio forward, al tempo t = co tempo di cosega t = T. Nei cotratti forward o ci soo costi di stipulazioe 23, ed il tasso K deve essere determiato dalla domada e dall offerta del mercato forward. Assumiamo che K =, 81, allora la GPR sa che tra sei mesi dovrà dare alla baca 81 euro. Ed i questo modo il rischio dovuto al cambio è completamete elimiato. Tuttavia ci soo ache qui alcue cotroidicazioi, dovute al fatto che u cotratto forward è u cotratto che deve essere oorato: Suppoiamo che il tasso di cambio al tempo t = T sia di, 82 euro/$. I questo caso la ditta risparmia la differeza tra 82 euro che avrebbe pagato seza il cotratto e gli 81 euro che paga, cioè risparmia 1 euro. Suppoiamo che il tasso di cambio al tempo t = T sia di, 79 euro/$. Essedo la ditta costretta ad oorare il cotratto, deve pagare il milioe di dollari sempre 81 euro, metre se o avesse dovuto oorare il cotratto avrebbe pagato solo 79 euro, co ua perdita di 2 euro 3 A questo puto è chiaro che l ideale sarebbe u cotratto che coprisse cotro evetuali tassi di cambio alti al tempo t = T, ma permettesse di usufruire del vataggio di u evetuale tasso di cambio basso. Questo tipo di cotratto esiste e si chiama opzioe call europea, e prevede la possibilità, ma o l obbligo, di comprare al tempo t = T tempo di esercizio u dollaro o comuque u titolo sottostate al prezzo di K euro prezzo di esercizio Ovviamete, metre il cotratto forward o prevede costi iiziali, u opzioe deve prevedere u prezzo iiziale o premio altrimeti o si troverebbe essua baca dispoibile a vedere l opzioe 24. U problema importate è proprio quello di come determiare tale prezzo o problema del prezzaggiopricig, sotto opportue ipotesi sul mercato e sulla base del valore del cambio attuale. Questo sarà la motivazioe pricipale del corso, ovviamete i cotesti più geerali. Ua prima risposta potrebbe essere la seguete: siamo i codizioi di icertezza, soo possibili diverse situazioi o sceari e per ciascua situazioe possiamo valutare la probabilità che si verifichi. Per valutare il prezzo si potrebbe calcolare il valore atteso del futuro guadago stocastico 25. U problema che asce immediatamete risiede el fatto che i feomei ecoomici e fiaziari, pur essedo aleatori, o soo ripetibili, e quidi o esiste immediatamete ua defiizioe oggettiva di probabilità, come el caso dei feomei ripetibili, i cui è ragioevole predere la frequeza come probabilità. U altro problema importate, che si poe chi vede l opzioe call europea è il seguete: il veditore si è impegato a forire u bee ad u prezzo prefissato, e ciò comporta u rischio fiaziario; come fare a proteggersi o coprirsi dal rischio fiaziario che corre all istate t = T? Si tratta del problema della copertura-hedgig. E ache questo è u problema iteressate da affrotare. Itroduciamo ora u po di otazioi e di gergo ecoomico. Il termie opzioe si usa tutte le volte i cui si tratta di avere la possibilità, ma o l obbligo di comprare o vedere u titolo o security. Il titolo da comprare o da vedere viee detto titolo sottostate o primario, metre l opzioe viee detto titolo derivato o secodario. Il termie call si usa quado si tratta dell opportuità di comprare qualcosa, se ivece si tratta dell opportuità di vedere qualcosa si parla di opzioe put. Il prezzo K cocordato per l acquisto o la vedita del bee viee detto prezzo di esercizio dell opzioe o prezzo di strike. 23 Va detto che comuque u cotratto forward può richiedere delle spese durate l itervallo [, T ], ma o etriamo qui ella descrizioe di questo tipo di cotratti. 24 Ioltre se o ci fosse u costo iiziale sarebbe possibile, co u capitale iiziale ullo e seza rischi, otteere u guadago o egativo e che può risultare addirittura strettamete positivo. La situazioe vataggiosa appea descritta è detta i termie tecico arbitraggio. Daremo comuque ua defiizioe formale di arbitraggio el seguito di queste ote. 25 Si tratta di seguire la defiizioe soggettivista di probabilità, o meglio di valore atteso EX di ua variabile aleatoria X, come quel prezzo c certo che si è disposti a pagare per accettare ua scommessa e i cui reputiamo equivalete predere il ruolo di scommettitore o di broker. A questo proposito si veda il paragrafo dedicato all impostazioe soggettiva delle probabilità, alla fie del capitolo co i richiami di probabilità.

15 Master-8-giugo L istate fiale t = T viee detto tempo di esercizio dell opzioe o tempo di strike. L aggettivo europea si riferisce al fatto che l opzioe può essere esercitata solo alla fie del periodo [, T ], si parlerebbe ivece di opzioe americaa el caso i cui l opzioe fosse esercitabile i u istate qualuque dell itervallo di tempo [, T ]. Il compratore del bee viee detto holder, metre il veditore writer, ioltre si dice che l holder assume ua posizioe luga log positio, metre il writer assume la posizioe corta short positio. Più i geerale si cosiderao quelli che soo detti pagameti a scadeza o termial pay-off che corrispodoo all obbligo di corrispodere ua quatità aleatoria f T, che dipede dal valore del bee sottostate al tempo T ache detti plai vailla, oppure dai valori che il bee sottostate assume durate l itervallo di tempo [, T ]. Per questo motivo tali tipi di obbligazioi soo detti ache derivati o i iglese ache cotiget claim, cioè affermazioi che dipedoo dal valore cotigete che assume apputo il sottostate. 1.3 Teorema dell arbitraggio Suppoiamo di avere u mercato i cui si possao verificare solo u umero fiito di casi possibili detti ache sceari. I altre parole suppoiamo che l eveto certo sia fiito: Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,..., ω m }. Suppoiamo ioltre che si possao fare d + 1 scommesse. Le scommesse soo caratterizzate 26 da d + 1 variabili aleatorie, 1, 2,..., d el seguete modo: se scommettiamo la quatità x sulla scommessa i, co i =, 1, 2,..., d, e si verifica ω j, allora ricaveremo 27 la somma x i ω j. Ua strategia di scommessa è u vettore x = x, x 1,..., x d, co x i che idica la quatità positiva o egativa relativa alla scommessa i esima. Suppoiamo che le strategie di scommessa x = x, x 1,..., x d, co x i scommesse, godao della proprietà di liearità, ossia la strategia di scommessa x produce u guadago 28 pari a d x i i ω j. i= Osservazioe 1.1. I molti esempi la scommessa corrispode al titolo così detto o rischioso, come ad esempio il deposito i baca o u titolo di tipo bod, e che viee poi usato come uità di misura per tutti gli altri bei. I alcui casi si distigue rispetto a scommesse fatte i tempi diversi, e quidi per poter cofrotare guadagi otteuti i tempi diversi, tali guadagi vao attualizzati, i molte applicazioi la scommessa vale ideticamete si veda la parte relativa agli esempi Come defiizioe di arbitraggio si utilizza la seguete: Defiizioe 1.1 arbitraggio forte. Data ua strategia x, si dice che quest ultima permette u arbitraggio forte se a partire da u capitale iiziale ullo cioè se d i= x i = si può otteere u guadago sempre strettamete positivo ovvero d i= x i i ω j > per ogi j = 1, 2,..., m. 26 Si oti che se si idica co r i 1CA j il valore i ω j = 1CA =, per i =, 1, 2,..., d, e j = 1, 2,..., m, si ottegoo m vettori coloa rj d + 1-dimesioali r 1 r 1 1 r 2 r 1 2 B r m r 1 m r1 = r2 rm... r d 1 r d 2 r d m o equivaletemete si ottegoo d + 1 vettori riga r = r 1 r 2 r m r 1 = r 1 1 r 1 2 r 1 m r d = r d 1 r d 2 r d m. 27 I j vao cosiderate icorporate sia la somma otteuta alla fie dx del gioco che l evetuale somma da itascare alla fie del gioco. 28 Co la otazioe della ota precedete il guadago è pari a la prodotto scalare x rj = x i r i j. i=

16 14 Master-8-giugo-29 Tuttavia va detto che c è u altra defiizioe di arbitraggio, che poi utilizzeremo i seguito, co ua richiesta leggermete più debole: Defiizioe 1.2 arbitraggio debole. Data ua strategia x, si dice che quest ultima permette u arbitraggio se a partire da u capitale iiziale ullo cioè se d i= x i = si può otteere u guadago o egativo ovvero d i= x i i ω j per ogi j = 1, 2,..., m, ma o ideticamete ullo ovvero co almeo u j {1, 2,..., m} per il quale d i= x i i ω j >. A questo puto possiamo euciare il risultato pricipale di questo capitolo. Teorema 1.1 Teorema dell arbitraggio. I u mercato co le codizioi precedeti può verificarsi ua delle segueti alterative 29 : a esiste ua probabilità P su Ω, co p j := Pω j >, per ogi j = 1, 2,..., m, ovvero caratterizzata dal vettore di probabilità p := p 1, p 2,..., p m, co p j >, per ogi j = 1, 2,..., m, e tale che Ẽ i =, per ogi i =, 1, 2,..., d, dove Ẽ idica il valore atteso rispetto alla probabilità P, ovvero Ẽ i = m p j i ω j = per ogi i =, 1, 2,..., d; j=1 b esiste ua strategia x = x, x 1,..., x d tale che d x i i ω j > per ogi j = 1, 2,..., m; i= i altre parole ci soo opportuità di arbitraggio forte. Osservazioe 1.2. Ua misura di probabilità P che soddisfi le codizioi dell alterativa a è detta ell ambito fiaziario misura martigala equivalete. Il termie misura si riferisce al fatto che le probabilità soo dette ache misure di probabilità. Il termie equivalete corrispode al fatto che prevedoo che ogi sceario/eveto elemetare ω j abbia probabilità positiva, ifie il termie martigala si riferisce al fatto che le scommesse dao luogo a guadagi ulli, ed i u certo seso, rispetto alla probabilità P si tratta di scommesse eque. Ua buoa parte del seguito di questi apputi è dedicata alla precisazioe del cocetto di martigala, che verrà ripreso i seguito. No diamo i queste ote la dimostrazioe del teorema dell arbitraggio, perché el seguito vedremo la dimostrazioe probabilistica el caso del modello biomiale multiperiodale. Segaliamo tuttavia che elle ote di Baldi e Caramellio [3] se e può trovare la dimostrazioe aalitico/geometrica. Nella prossima sezioe illustriamo l uso del teorema dell arbitraggio i u esempio relativo alle scommesse dei cavalli. Gli esempi relativi al modello di mercato più semplice si trovao elle sezioi successive Applicazioi Esempio 1.1. Come primo esempio di applicazioe vediamo il caso delle scommesse sui cavalli 3. I ua gara ippica co cavalli ci soo ovviamete scommesse, ciascua caratterizzata dal dare vicete u cavallo diverso. Assumiamo 29 Sempre co le otazioi delle ote precedeti le due alterative si possoo scrivere come: a esiste u vettore di probabilità p = p 1, p 2,..., p m mx, co p j >, per ogi j = 1, 2,..., m, e tale che p r i = p j r i j = per ogi i =, 1, 2,..., d; j=1 b esiste ua strategia x = x, x 1,..., x d dx tale che x rj = x i r i j > per ogi j = 1, 2,..., m. i= 3 Questo esempio è tratto dal libro di Ross [14]. Si veda ache l esempio I.5.1 del libro di Dall Aglio [9].

17 Master-8-giugo per semplicità che questa sia la sola tipologia di scommesse ammissibili. Ovviamete si ha Ω = {ω 1, ω 2,..., ω } dove ω j corrispode alla vicita da parte del cavallo j, e i questo caso si ha ache che il umero delle scommesse vale = d + 1. Le scommesse vegoo date i termii dei così detti odds, ovvero si dice che soo date 1 a o i itededo che se si scommette sul cavallo i si paga immediatamete la cifra 1, metre si riceve la cifra o i + 1 se solo se vice il cavallo corrispodete. Per comodità di otazioi coviee assumere che le scommesse siao idicizzate da 1 ad ivece che da ad 1, i modo che ella scommessa i si riceva 31 o i + 1 se e solo si verifica il caso ω i. Co questa covezioe le scommesse si possao esprimere come i ω j = { o i = o i se j = i 1 se j i. La codizioe che esista ua probabilità P per la quale valga Ẽ i = per ogi i = 1, 2,..., diviee che equivale a Ẽ i = o i p i p i = per ogi i = 1, 2,..., ; p j = 1, co p j >, j = 1, 2,..., ; j=1 p i = 1 ; per ogi i = 1, 2,..., ; 1 + o i 1 1 = 1, >, j = 1, 2,...,. 1 + o j 1 + o j j=1 La codizioe che p i = 1 1+o i sia strettamete positiva e sia u umero reale corrispode alla ovvia codizioe che la quatità che si riceve i caso di vicita per la scommessa i, sia strettamete positiva, ovvero o i + 1 >. Esempio 1.2. Cotiuado il precedete Esempio 1.1 è iteressate mostrare come, se la codizioe 1 j=1 1+o j = 1 di asseza di opportuità di arbitraggio o è soddisfatta, ovvero se accade che O := j= o j 1, allora si può trovare esplicitamete ua strategia che permette u arbitraggio, e precisamete se si puta x i = 1 1, per i = 1, 2,...,, 1 O 1 + o i si ottiee ua vicita certa di 1. Ciò è chiaramete equivalete a mostrare che se x i = α o i, per i = 1, 2,...,, allora si vice u guadago certo α 1 O. Ovviamete per otteere che il guadago sia positivo, il sego di α va scelto i dipedeza del sego di 1 O. Ifatti se si verifica la vicita del cavallo j, ovvero se si verifica ω j, allora, teedo presete che j ω j = 1 + o j 1 = o j, i ω j = 1 = 1, per i j, 31 Ovvero i caso di vicita si riceve 1 + o i e quidi, teuto coto del pagameto iiziale di 1, il ricavo totale è di o i = 1 + o i 1.

18 16 Master-8-giugo-29 si ottiee come guadago complessivo 1, x i i ω j = x j j ω j + x i i ω j i=1 i j = x j o j 1 x l = α o j α o j 1 + o l l j l j = α = α o j 1 + o l 1 + o l l j l=1 = α 1 O. Osservazioe 1.3. Nell esempio precedete quidi accade che u capitale iiziale α i= o j = α O permette di effettuare le scommesse e, alla fie, permette di otteere al botteghio sempre α = α o j 1 + o j, qualuque sia il cavallo vicete. Il guadago è quidi sempre α1 O. Per la liearità delle scommesse si tratta quidi di u arbitraggio cosiderado che, se iizialmete ho u capitale ullo, devo predere i prestito dalla baca la quatità di dearo α O, che alla fie devo restituire corrispode alla scommessa o rischiosa = α O α O e quidi all iizio ho α O α O e alla fie dal broker ricevo sempre α, qualuque sia il cavallo vicete, ma devo restituire il capitale α O iizialmete preso dalla baca, e quidi alla fie ho i totale α1 O, che è strettamete positivo a secoda del sego di α1 O. I particolare se O > 1 allora per otteere u guadago sicuramete positivo si deve avere α egativo, il che corrispode a predere la parte del broker, metre se O < 1 allora α è positivo e quidi è lo scommettitore che vice di sicuro co questa strategia.

19 Master-8-giugo Il modello biomiale uiperiodale I questa sezioe vedremo il modello di mercato più semplice possibile. Defiizioe 1.3 modello biomiale uiperiodale. Cosideriamo ora il modello biomiale uiperiodale ovvero il caso i cui si abbia solo due tipi di titoli B titolo o rischioso ed S titolo rischioso: al tempo t= B > si suppoe spesso B = 1 per semplicità S = s > al tempo t=1 B 1 = B 1 + r S 1 = S Z = s Z dove il motate Z è ua variabile aleatoria che può assumere solo due valori u per UP e d per DOWN, da cui il ome biomiale Attezioe: o è detto che ecessariamete sia abbia d < 1, ache se questa circostaza è possibile, per questo motivo a volte useremo ache la simbologia u = 1 + b e d = 1 + a. Osservazioe 1.4. La circostaza che Z possa assumere solo due valori, si può tradurre el fatto che Ω = {ω, ω 1 }, e che Zω = d e Zω 1 = u. Tuttavia questa iterpretazioe può risultare riduttiva, e coviee più i geerale o assumere che la cardialità di Ω sia due, ma coviee ivece assumere che Zω = d I A ω + u I A1 ω, dove A = A c 1, o i altre parole che e assumere come sigma-algebra Zω = { d se ω A u se ω A 1, F = {, A, A 1, Ω}, di modo che sia la sigma-algebra F ad essere u isieme co u umero fiito di elemeti e o Ω. Comiciamo co il caso i cui le uiche scommesse ammissibili 32 soo quelle del tipo comprare o ache vedere a corto 33 il titolo rischioso al tempo t = e rivederlo o comprare, se si era veduto a corto, al tempo successivo t = 1. Mettere i baca o chiedere i prestito al tempo t = e ritirare o restituire al tempo successivo t = 1. Ovviamete le combiazioi lieari delle due precedeti dao luogo a tutte le scommesse ammissibili. Il titolo o rischioso, come si usa solitamete, viee utilizzato per attualizzare i valori ai vari tempi. cosidera ache u mercato B, S co i valori attualizzati come segue Quidi si al tempo t= B = B B = 1 S = S B = s B al tempo t=1 B1 = B 1 B 1 = 1 S1 = S 1 B 1 = S 1 B 1 + r = s Z B 1 + r 32 Ovviamete i titoli soo due, e poi soo ammesse ache le combiazioi lieari delle due relative scommesse. 33 Vedere a corto o short sellig sigifica vedere ache seza possedere l azioe. La differeza tra comprare e vedere sarà el sego della strategia.

20 18 Master-8-giugo-29 Allora la scommessa relativa al titolo o rischioso B = B 1 B = 1 1 = o comporta alcu cotributo, metre l altra scommessa, relativa al titolo S diviee 1 = S 1 S = s Z B 1 + r s B. Questo modello verrà studiato prima come u applicazioe del teorema dell arbitraggio Esempio 1.3 e successivamete si otterrao direttamete le codizioi ecessarie e sufficieti per l asseza di opportuità di arbitraggio Teorema 1.2 Esempio 1.3 il modello biomiale uiperiodale co il teorema dell arbitraggio. Per il teorema dell arbitraggio, la codizioe di asseza di opportuità di arbitraggio è equivalete alla codizioe di esisteza della misura martigala equivalete, che i questo modello si riduce alla richiesta che esista ua probabilità P su Ω per la quale valga Ẽ 1 = Ẽ S 1 = s = s B Ẽ s Z B 1 + r s B = Ẽ Z = 1 + r, e che dia probabilità positiva a tutti gli sceari o gli eveti possibili. I altre parole, la codizioe equivale all esisteza di due umeri p > e q >, co p + q = 1, che rappresetio p = PZ = u e q = PZ = d, rispettivamete, e per i quali si abbia u PZ = u + d PZ = d = 1 + r u PZ = u + d 1 PZ = u = 1 + r u p + d 1 p = 1 + r da cui, immediatamete, 34 p = 1 + r d u d u 1 + r, q = 1 p =. 1.8 u d Ifie, la codizioe che i due umeri p e q defiiscao ua probabilità co p = PZ = u > e q = PZ = d > è soddisfatta se e solo se 35 d < 1 + r < u. **Il resto della sezioe è dedicato alla dimostrazioe diretta seza far uso del teorema dell arbitraggio che la codizioe precedete, ovvero d < 1 + r < u, è ecessaria e sufficiete per o avere arbitraggi. Premettiamo, però, u osservazioe che il lettore può traquillamete saltare i ua prima lettura. Osservazioe 1.5. Nel caso i cui Ω sia composto solo di due eveti elemetari, ovvero i cui Ω = {ω, ω 1 } e Zω = d metre Zω 1 = u, ovviamete la precedete **codizioe permette di idividuare uivocamete la probabilità misura martigala equivalete sull isieme delle parti. Nel caso i cui ivece la cardialità di Ω sia strettamete maggiore di due, allora la misura martigala equivalete P è uivocamete determiata solo sulla σ- algebra geerata da Z, ovvero, co le otazioe dell Osservazioe 1.4, su F, ma o su σ-algebre più gradi. Ad esempio se Ω = {ω, ω 1, ω 2, ω 3 }, e Zω = Zω 2 = d e Zω 1 = Zω 3 = u, allora A = {Z = d} = {ω, ω 2 } e A 1 = {Z = u} = {ω 1, ω 3 }. Se ivece si predesse come σ-algebra l isieme delle parti, allora ogi misura di probabilità Q sarebbe determiata da 3 p, p 1, p 2, p 3, p i, p i = 1, 34 **Usado la simbologia d = 1 + a e u = 1 + b, le espressioi per p e q divetao i= p = r a b a, b r q = 1 p = b a. 35 **Usado la simbologia d = 1 + a e u = 1 + b, la codizioe d < 1 + r < u diviee 1 + a < 1 + r < 1 + b, ossia a < r < b.

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