22 novembre Nome Cognome Classe

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1 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE I Giochi di Archimede - Gara Triennio 22 novembre 202 dei giorni festivi in un anno è: (A) rimasto invariato (B) aumentato meno del 0% (C) aumentato del 0% (D) diminuito meno del 0% (E) diminuito del 0% 4) S e S 2 sono due sfere; il volume di S 2 è il doppio del volume di S. Quanto vale il rapporto tra la superficie di S 2 equelladis? (A) 4 (B) 2 (C) 2 2 (D) 8 (E) nessuna delle precedenti ) La prova consiste di 20 problemi; ogni domanda è seguita da cinque risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E. 2) Una sola di queste risposte è corretta, le altre 4 sono errate. Ogni risposta corretta vale 5 punti, ogni risposta sbagliata vale 0 punti e ogni problema lasciato senza risposta vale punto. ) Per ciascuno dei problemi devi trascrivere la lettera corrispondente alla risposta che ritieni corretta nella griglia riportata qui sotto. Non sono ammesse cancellature o correzioni sulla griglia. Non è consentito l uso di alcun tipo di calcolatrice. 4) Il tempo totale che hai a disposizione per svolgere la prova è di due ore. Buon lavoro e buon divertimento. Nome Cognome Classe 5) Matteo per raggiungere la scuola deve effettuare 2 km in salita, e pedalando sulla sua bicicletta riesce ad arrivare in 2 minuti. Al ritorno, andando in discesa per la stessa strada, impiega solo 4 minuti. Qual è la velocità media di Matteo nell intero tragitto casa-scuola-casa? (A) 0 km/h (B) 2 km/h (C) 5 km/h (D) 20 km/h (E) nessuna delle precedenti 6) Il triangolo isoscele in figura ha base AB di lunghezza m e altezza CH di lunghezza 2 m. Il quadrato al suo interno ha un vertice in H, edue vertici sugli altri due lati: calcolarne l area. (A) /5 m 2 (B) 5/6 m 2 (C) 8/25 m 2 (D) / m 2 (E) /2 m 2 C A H B ) Marco distribuisce 260 figurine tra tutti i suoi amici, che sono meno di 00, dando a ciascuno di loro lo stesso numero di figurine e in modo da distribuirle tutte. Qual è il massimo numero di amici che Marco può avere? (A) 70 (B) 84 (C) 90 (D) 94 (E) nessuna delle precedenti 2) Sapendo che il rettangolo in figura viene diviso dalla linea inclinata in due parti di aree una quadrupla dell altra, calcolare il rapporto tra le lunghezze dei segmenti a e b. (A) 2/ (B) /4 (C) /5 (D) /2 (E) 2/5 ) Sul pianeta Papalla un anno è formato da 400 giorni, numerati da a 400; sono considerati festivi i giorni corrispondenti ai multipli di 6. Il nuovo governo di Papalla riforma il calendario, dividendo l anno in 0 mesi di 40 giorni ciascuno; i giorni di ogni mese vengono ora numerati da a 40, e rimane valida la regola di fare festa nei giorni i cui numeri siano multipli di 6. In seguito alla riforma, il numero a b 7) In una classe gli alunni biondi sono il 40%, del totale mentre i restanti sono castani. Tra tutti gli alunni biondi, il 75% sono femmine. Sapendo che nella classe il numero di femmine è uguale al numero di maschi, qual è la percentuale di maschi castani sul totale degli alunni della classe? (A) 20% (B) 25% (C) 0% (D) 40% (E) 50% 8) Un pavimento è piastrellato come in figura. In quanti modi è possibile colorare le mattonelle esagonali di blu, rosso e nero in modo che due mattonelle esagonali con un lato in comune non abbiano mai lo stesso colore? (A) nessuno (B) 2 (C) (D) 6 (E) infiniti 9) Quante sono le coppie di numeri primi (p, q) tali che p q + sia ancora un numero primo? [Nota: non è un numero primo.] (A) 0 (B) (C) 2 (D) infinite (E) nessuna delle precedenti

2 0) Al 22 novembre 202 il prezzo della benzina è dato per il 5% dal costo del prodotto, che è formato a sua volta da diverse voci (petrolio, raffinazione, costi di distribuzione, ecc.). In particolare il costo del petrolio è il 24% del costo del prodotto. Sapendo che il primo dicembre 202 il prezzo del petrolio aumenterà del 0% e gli altri costi rimarranno invariati, di quanto aumenterà il prezzo della benzina in tale data? (A) 0% (B) 2,4% (C),5% (D) 0,84 % (E) nessuna delle precedenti ) Determinare la somma delle cifre del numero ( ). (A) 4 (B) 8 (C) 202 (D) 20 (E) nessuna delle precedenti 2) Quale tra i seguenti è il numero più grande che divide n 5 5n +4n, qualsiasi sia il numero naturale n? (A) 5 (B) 5 (C) 60 (D) 20 (E) 240 ) Quale tra le seguenti quantità dipendenti da x è minore o uguale a 6 + x2 per ogni numero reale x? (A) 6 + x2 (B) 2 x (C) ( 6 + x)2 (D) 6 + x (E) nessuna delle precedenti 8) Carlo ha sei mele e sei pere: in quanti modi può mettere in fila 6 frutti, in modo tale che tra due mele non ci sia mai nessuna pera? (A) 6 (B) 22 (C) 2 (D) 5 (E) 9 9) Una cavalletta si sposta compiendo salti di esattamente 0 cm. Il suo moto segue questo schema: compie un certo numero di salti in una data direzione, poi ruota verso la sua sinistra di 20 e compie, nella nuova direzione, il doppio dei salti che aveva effettuato nella precedente direzione. A questo punto ruota nuovamente di 20 verso sinistra e raddoppia ancora una volta il numero dei salti. Sapendo che inizia compiendo un solo salto in una data direzione, a quale distanza dal punto iniziale si troverà dopo 7 salti? (A) 20 cm (B) 20 cm (C) 40 cm (D) 40 cm (E) 50 cm 20) Sia x un numero reale maggiore di tale che (x )(x + ) 202 =. Allora: (A) <x<+/ 202 (B) +/ 202 <x<+/2 202 (C) +/2 202 <x<+/ (D) +/ <x<+/2 (E) x>2 4) Il Mago Merlino posa a terra il suo cappello, un cono retto di altezza h = 20 2 cm e di base una circonferenza di raggio r = 0 cm. Una formica, partendo da un punto P sul bordo del cappello, vuole raggiungere il punto Q situato nel punto medio dell apotema dalla parte opposta (vedi figura). Quanto misura il cammino più breve che la formica dovrà percorrere sulla superficie del cappello per raggiungere Q? (A) 5 cm (B) cm (C) 5 + 5π cm (D) 5 + 0π cm (E) nessuna delle precedenti Q h r P 5) Abbiamo un dado a 4 facce recanti i numeri,,5,7 ed un dado a 8 facce recanti i numeri 2,4,6,8,0,2,4,6 (per ciascun dado ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire di ogni altra). Qual è la probabilità che, lanciandoli una sola volta entrambi, si ottenga come somma? (A) /6 (B) /8 (C) /4 (D) /2 (E) 6) Sapendo che k è un numero intero e che l equazione x 0 + kx = 0 ha almeno una soluzione data da un numero intero x, quanti valori distinti può assumere k? (A) (B) 2 (C) (D) 4 (E) infiniti 7) Assegnato un numero di due cifre che è un quadrato perfetto, qual è la probabilità che, aggiungendo una cifra a caso tra e 9 a sinistra del numero, si ottenga un multiplo di? (A) /9 (B) 2/9 (C) /9 (D) 4/9 (E) dipende dal numero scelto

3 PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE I Giochi di Archimede - Soluzioni Triennio 22 novembre 202 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta C 2 A D 4 A 5 C 6 C 7 D 8 D 9 B 0 D Problema Risposta corretta B 2 D E 4 A 5 B 6 B 7 A 8 B 9 E 20 B Risoluzione dei problemi. La risposta è (C). Il numero di amici di Marco deve essere un divisore di 260, e quindi il massimo numero di amici che Marco può avere è il più grande divisore di 260 che sia anche più piccolo di 00. La scomposizione in fattori primi di 260 è 260 = , emostrache90=2 2 5èundivisoredi260enessunaltronumerocompresotra90e00 lo è. Dunque 90 è il più grande divisore di 260 che sia anche minore di 00. [Problema proposto da G. Barbarino.] 2. La risposta è (A). Indichiamo con X e Y le misure (in una data untià di misura) della base e della altezza del rettangolo, rispettivamente, e con A e B le rispettive misure dei segmenti a e b. Sappiamoche A + B = Y e (B + Y ) X 2 A X =4, 2 equindi 4= A +2B A ovvero A B = 2 [Problema proposto da F. Mugelli] =+2 B A B A = 2

4 . La risposta è (D). Secondo il calendario precedente alla riforma, poiché il quoziente della divisione di 400 per 6 è 66, vi erano 66 giorni festivi. Con il nuovo calendario ogni mese ci sono 6 giorni festivi e quindi in un anno ci sono 60 giorni festivi. I giorni festivi sono allora passati da 66 a 60 e la diminuzione, 6, è minore del 0% di 66, che è 6,6. [Problema proposto da P. Negrini.] 4. La risposta è (A). Il volume di una sfera di raggio R è 4πR, mentre la sua superficie è 4πR2. Indichiamo con R e R 2 iraggidis e S 2 rispettivamente. Sappiamo che Dunque 4πR 2 4πR =2 R2 R 2 R = 2 R2 2 R 2 R =2. = 4. Poiché il rapporto tra la superficie di S 2 equelladis coincide con R2 2, esso vale 4. [Problema proposto da P. Leonetti.] 5. La risposta è (C). La velocità media nel percorso casa-scuola-casa è data dalla lunghezza del percorso complessivo, ovvero 4 km (2 per andare e 2 per tornare), diviso il tempo totale impiegato, ovvero 6 minuti (2 per andare e 4 per tornare). Dunque la velocità media è di 0,25 km/min, che coincide con 5 km/h. [Problema proposto da S. Monica.] 6. La risposta è (C). Indichiamo con O il centro del quadrato, con K il vertice del quadrato che appartiene al lato AC econ2x la lunghezza in metri della diagonale del quadrato. Per la similitudine dei triangoli AHC e KOC,abbiamoche CH AH = OC KO = 2 x. x Ma CH AH = 2m 0,5 m =4. Da qui si ottiene x = 2 5 mequindihk = 2 2 m. L area del quadrato è allora m2. [Problema proposto da U. Bindini e A. Sambusetti.] 7. La risposta è (D). Indichiamo con F b e F c le percentuali di femmine bionde e castane rispettivamente, e con M b e M c le percentuali di maschi biondi e castani rispettivamente. Sappiamo che F b + M b =40e F b + F c = M b + M c =50. Lefemminebiondesonoil75%deltotaledeglialunnibiondiequindi i maschi biondi sono il 25% del totale degli alunni biondi, quindi F b =M b. Allora troviamo, dalla prima delle due uguaglianze scritte in precedenza, M b =0,equindidaM b + M c =50 abbiamo M c =40. [Problema proposto da S. Monica.] 2 R 2

5 8. La risposta è (D). Consideriamo una mattonella esagonale M del pavimento, che sia circondata da sei mattonelle esagonali e supponiamo di colorare questa mattonella di blu. A questo punto nessuna delle sei mattonelle che la circondano può essere colorata di blu e due di esse che siano adiacenti devono avere colori diversi, ovvero rosso e nero. Quindi fissato il colore di M ci sono due possibili modi di colorare le sei mattonelle ad essa adiacenti. Poiché ci sono possibili colorazioni per M, e per ciascuna di esse ci sono due colorazioni delle mattonelle adiacenti, ci sono 6 modi distinti di colorare M ele6mattonelleadiacenti,inmodochelerichiestedelproblemasiano soddisfatte. Osserviamo poi che fissato il colore della mattonella M ediquelleadessaadiacenti, la colorazione del resto del pavimento è univocamente determinata. Quindi ci sono 6 modi di colorare il pavimento. [Problema proposto da K. Kuzmin.] 9. La risposta è (B). Osserviamo che p q +èparisep q è d i s p a r i, e v i c e v e r s a è d i s p a r i s e p q è p a r i. P o i c h é l u n i c o numero primo pari è 2, affinché p q + sia primo esso deve essere uguale a 2 oppure deve essere dispari. Ma p q +=2implicap q =ilcheèimpossibile. Dunquedobbiamoaverechep q è pari, e quindi p deve essere pari, ed essendo primo si deve avere p =2. Seq è d i s p a r i p q + ammette la scomposizione: (p q +)=(p +)(p q p q p 2 p +) e quindi in particolare è divisibile per p + e pertanto non può essere primo. Allora anche q deve essere pari e quindi q =2. L unicapossibilitàèallorap = q =2. 0. La risposta è (D). Indichiamo con B il prezzo della benzina oggi, e con P ed O rispettivamente il costo del prodotto e il costo del petrolio, sempre riferiti ad oggi. Sappiamo che P = 5 00 B e O = P quindi 24 5 O = B = 8, 4 00 B. Di conseguenza oggi il costo del petrolio costituisce l 8,4% del prezzo della benzina. Se il costo del petrolio aumenta del 0% (ovvero di un decimo) e tutti gli altri costi rimangono invariati, il prezzo della benzina aumenterà di un decimo dell 8,4%, ovvero dello 0,84%. [Problema proposto da C. Di Stefano.]. La risposta è (B). Sviluppando il cubo del binomio possiamo scrivere (0 20 +) = Ciascuno dei 4 numeri a destra dell uguaglianza, scritti in base 0, ha una sola cifra diversa da zero e in una posizione diversa da quella degli altri, quindi la somma delle cifre del numero che si ottiene sommandoli è = 8. [Problema proposto da C. Di Stefano.]

6 2. La risposta è (D). Possiamo scrivere n 5 5n +4n = n(n 4 5n 2 +4) = n(n 2 4)(n 2 ) = (n 2)(n )n(n +)(n +2). Dunque stiamo considerando un numero che può sempre essere scritto come prodotto di cinque numeri naturali consecutivi (tutti strettamente positivi, poiché n ). In una sequenza di 5 numeri naturali consecutivi vi sono certamente due numeri pari di cui uno multiplo di 4, un multiplo di e un multiplo di 5. Dunque il loro prodotto è certamente multiplo di 20 = D altra parte per n =abbiamon 5 5n +4n =20quindi20èilpiùgrandedivisoredi n 5 5n +4n al variare di n.. La risposta è (E). Nessuna delle espressioni contenute nelle altre risposte è minore o uguale di 6 + x2 per ogni x. Difatti, se per esempio x =0ilnumero + 6 x2 = >,quindi(a) è f a l s a. 6 6 Anche la risposta (D) è e v i d e n t e m e n t e f a l s a s e 0 <x<, poiché in tal caso + x> x2. Sviluppando il quadrato del binomio, si trova anche che non può valere (C): x = 6 + x2 + x> 6 + x2 per x> 5. Proviamo infine che anche la risposta (B) è e r r a t a : i n e ffetti x2 2 x 6 x 2 +2x + 0 ed il discriminante del trinomio 6 x 2 +2x+ vale =44 24 > 0; dunque il trinomio ammette due radici reali distinte ed è negativo per ogni valore di x strettamente compreso tra le due radici. [Problema proposto da G. Barbarino e A. Sambusetti.] 4. La risposta è (A). Calcoliamo prima di tutto l apotema del cono: a = r 2 + h 2 =0cm. P Tagliamo ora il cono lungo l apotema passante per Q, e otteniamo così un settore circolare di centro V,raggioaed arco di circonferenza di lunghezza uguale a 2πr: l angolo al centro che sottende tale arco a d misura dunque ϑ = 2πr 2πr a r = 2 o π radianti. 60 V Q 2 +h 2 Il problema si riduce quindi a trovare la lunghezza del segmento che congiunge il punto medio P dell arco di circonferenza al punto medio Q di uno dei due raggi delimitanti il settore circolare. Poiché l angolo PVQ =60, segue che PQ è p e r p e n d i c o l a r e a l r a g g i o c o n t e n e n t e Q, dunque d = a 2 a 2 2 =. 2 [Problema proposto da Nirvana.] 4

7 5. La risposta è (B). Gli eventi possibili dopo aver lanciato i due dadi possono essere rappresentati da tutte le coppie ordinate (d,d 2 )incuid è i l v a l o r e d e l p r i m o d a d o e d 2 quello del secondo; poichè d può variare tra 4 possibili valori e d 2 tra otto possibili valori, il numero totale di eventi è 2. Osserviamo che per ciascun valore d del dado a 4 facce c è uno e un solo valore d 2 del dado a 8 facce la cui somma con d sia. Quindi gli eventi favorevoli, ovvero le coppie (d,d 2 )talicheasomma d + d 2 sia, sono 4, su un totale di 2. La probabilità che si verifichi un evento favorevole è allora 4 2 = 8. [Probema proposto da S. Mongodi.] 6. La risposta è (B). Indichiamo con n la soluzione intera dell equazione x 0 + kx 2 +4=0; osserviamochen = 0 altrimenti l equazione non è verificata. Possiamo scrivere: n 0 + kn 2 +4=0 k = n 8 4 n 2. Dunque, dato che k è i n t e r o e n 8 4 è i n t e r o, è i n t e r o, e q u i n d i n 2 divide 4 e quindi può essere n 2 solo n = ±, n = ±2. Nel primo caso abbiamo k = 5 enelsecondok = 2 8. k può assumere solo due valori. [Problema proposto da P. Leonetti.] 7. La risposta è (A). Un numero è congruo modulo alla somma delle sue cifre, prese a segni alterni (partendo dal segno positivo per la cifra delle unità). Consideriamo allora un quadrato di due cifre che si scriva, in notazione decimale, come ab; notiamo subito che 8 a b 9echesicuramente a = b, a = b (sennòab non è un quadrato). Ciò significa che la differenza a b è c o n g r u a, modulo, ad un numero intero x compreso tra e 9. Pertanto, qualsiasi sia il quadrato ab assegnato, esiste sempre una e una sola cifra x compresa tra e 9 tale che x a + b sia congruo azeromodulo,cioètalechexab sia divisibile per. La probabilità è dunque uguale a 9. [Problema proposto da S. Mongodi.] 8. La risposta è (B). Rappresentiamo una generica disposizione di 6 frutti con una sequenza di 6 lettere, ciascuna delle quali può essere una P (pera) o una M (mela). Vogliamo contare le sequenze in cui tra due M non ci sia nessuna P ; per comodità chiamiamo queste sequenze accettabili. Come regola generale, una sequenza è accettabile se tutte le M in essa contenute sono adiacenti l una all altra, cioè consecutive; questa osservazione rende più facile contare le sequenze accettabili perché in una sequenza accettabile la posizione delle M è univocamente determinata una volta che si sia individuata la prima M (quella più a sinistra) e il numero complessivo di M presenti nella sequenza. Utilizzando questo fatto scriviamo allora le possibili sequenze in base al numero di M che esse contengono, partendo dal valore massimo in cui ci sono 6 M (ovvero i 6 frutti sono tutte mele), fino a quello minimo in cui non c è nessuna M: se ci sono 6 M si ha sequenza accettabile: MMMMMM. se ci sono 5 M si hanno 2 sequenze accettabili: MMMMMP, PMMMMM. 5

8 se ci sono 4 M si hanno sequenze accettabili: MMMMPP, PMMMMP, PPMMMM. se ci sono M si hanno 4 sequenze accettabili: MMMPPP, PMMMPP, PPMMMP, PPPMMM. se ci sono 2 M si hanno 5 sequenze accettabili: MMPPPP, PMMPPP, PPMMPP, PPPMMP, PPPPMM. se c è una sola M si hanno 6 sequenze accettabili: MPPPPP, PMPPPP, PPMPPP, PPPMPP, PPPPMP, PPPPPM. infine, l unica sequenza senza M è accettabile: PPPPPP. In tutto abbiamo allora = 22 sequenze accettabili. [Problema proposto da P. Leonetti.] 9. La risposta è (E). La cavalletta percorre la spezzata evidenziata in figura, costruita sui lati di triangoli equilateri tra loro adiacenti, in cui i punti rappresentano la posizione in cui essa si trova all inizio e dopo ogni 20 salto. Ne segue che dopo 7 salti la cavaletta si trova precisamente 60 a5 0 cm di distanza dal punto iniziale. o 0 [Problema proposto da S. Monica.] 20. La risposta è (B). Consideriamo la funzione polinomiale f(t) =(t )(t +) 202. Per t>questafunzione è c r e s c e n t e, i n q u a n t o e n t r a m b e l e f u n z i o n i ( t ) e (t +) 202 lo sono, e dunque lo è il loro prodotto. Si ha per ipotesi f(x) =0mentre f = < 202 < 0 pertanto + <x. D altra parte, poiché sappiamo che x>, da f(x) =0deduciamo 202 immediatamente che x =+ < + (x +) [Problema proposto da S. Mongodi.] 6