Le funzioni reali di variabile reale

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1 Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un qualunque numero reale k (se esiste) che sia maggiore o uguale di ogni elemento di X. Si chiama minorante di X un qualunque numero reale h (se esiste) che sia minore o uguale di tutti gli elementi di X. Un insieme X si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante; si dice limitato inferiormente se ammette un minorante. Ovviamente, se esiste un maggiorante (o un minorante) di X, ne esistono infiniti. Se l insieme X è limitato sia superiormente che inferiormente, si dice semplicemente che esso è limitato. Dato l insieme numerico X, se esiste un numero reale L godente delle seguenti proprietà: L " X ; " e > 0 $ X / L- < < L allora tale numero L si chiama estremo superiore dell insieme X, e si indica con Sup X. Si dimostra che se l insieme X è limitato superiormente allora il suo estremo superiore L esiste ed è unico. Se, poi, L X, allora esso si chiama massimo dell insieme X, e si indica con Ma X. L ε L Dato X, se esiste un numero reale l godente delle seguenti proprietà: l " X ; " e > 0 $ X / l < < l + e allora tale numero l si chiama estremo inferiore dell insieme X, e si indica con Inf X.

2 Si dimostra che se l insieme X è limitato inferiormente, allora il suo estremo inferiore l esiste ed è unico. Se, poi, l X, allora si chiama minimo dell insieme X, e si indica con Min X. l l + ε Se l insieme X è illimitato superiormente, si dice che il suo estremo superiore è +. Se X è illimitato inferiormente, si dice che il suo estremo inferiore è. B) Estremi di una funzione y = f(). Una funzione y = f(), avente dominio D e codominio C = f(x), si dice che è limitata superiormente se tale è il suo codominio C. Si chiama estremo superiore della funzione y = f(), e si indica con Sup f(), l estremo superiore (se esiste) del suo codominio C. Se poi questo estremo appartiene al codominio, allora esso si chiama massimo della funzione e si indica con Ma f(). Si dice che la funzione y = f() è limitata inferiormente se tale è il suo codominio C. Si chiama estremo inferiore della funzione y = f(), e si indica con Inf f(), l estremo inferiore (se esiste) del suo codominio C. Se poi questo estremo appartiene al codominio, allora si chiama minimo della funzione e si indica con Min f(). Una funzione y = f() si dice limitata se tale è il suo codominio C. 2) Funzioni reali di variabile reale (alcuni complementi). A) Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Data la funzione y = f(), reale di variabile reale, avente dominio D e codominio C, se accade che ad elementi distinti del dominio essa fa corrispondere elementi distinti del codominio, allora si dice che f è una funzione iniettiva (o che è una iniezione). Quindi una funzione f è iniettiva se ' '' f ( ') f ( '') " ', ' ' D Data una funzione reale f : X Y, se accade che f(x) = Y ossia l insieme delle immagini degli elementi di X coincide con l intero insieme Y, la funzione f si dice che è suriettiva (o che una suriezione). Quindi una funzione f : X Y è suriettiva se accade che f(x) = Y 2

3 Una funzione f : X Y si dice biiettiva (o biunivoca) se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Questo significa che, per una funzione biunivoca f di dominio D e codominio C, non solo ad ogni elemento del dominio corrisponde una sola immagine nel codominio (per ipotesi di funzione), ma anche, viceversa, ogni elemento del codominio è corrispondente di un solo elemento del dominio (la sua controimmagine). Infatti, essendo la f suriettiva, significa che ogni elemento del codominio C è dotato di almeno una controimmagine appartenente al dominio D; essendo poi la f anche iniettiva, ogni elemento del codominio C ha al più una sola controimmagine in D. Poichédevono sussistere entrambe le condizioni, ne segue che ogni elemento del codominio ha una e una sola controimmagine. Per tale ragione si dice che una funzione biunivoca determina una corrispondenza biunivoca fra dominio e codominio (si dice anche una corrispondenza biunivoca di D su C) C) Funzioni inverse. Una funzione f, di dominio D e codominio C, si dice che è invertibile quando è possibile stabilire una legge che associ ad ogni elemento del codominio C uno e un solo elemento del dominio D. Naturalmente, se f è una funzione biunivoca essa è sicuramente invertibile; e la nuova funzione, che ha C per dominio e D per codominio, si dice funzione inversa di quella data f (diretta) e si indica con f. Quindi, data una funzione biunivoca f, di dominio D e codominio C, si chiama funzione inversa di f, e si indica con f -, la corrispondenza che ad ogni elemento del codominio C di f associa la sua unica controimmagine in D. Se la f è dotata di equazione y = f(), che è possibile risolvere rispetto ad, la sua soluzione = f - (y) fornisce proprio l equazione della funzione inversa della data. Per questa nuova funzione, C è il dominio e D il codominio. D) Funzioni monotòne. Una funzione y = f() si dice strettamente crescente (o crescente in senso stretto) in un intervallo [, contenuto nel suo dominio D, se accade che < 2 f ( ) < f ( 2 ) ", 2 3

4 Si dice, invece, che f() è strettamente decrescente (o che è decrescente in senso stretto) nell intervallo [, se avviene che < 2 f ( ) > f ( 2 ) ", 2 Se accade che oppure < 2 f ( ) f ( 2 ) ", 2 < 2 f ( ) f ( 2 ) ", 2 allora la funzione f() si dice che è crescente (o crescente in senso lato), oppure che è decrescente (o decrescente in senso lato) in [. Una funzione che sia strettamente crescente, o strettamente decrescente, o crescente o decrescente in un intervallo [, si dice che è monotòna in [. Da quanto detto prima, segue che una funzione strettamente crescente o strettamente decrescente, in un insieme D, è anche una funzione biunivoca fra D e C = f(d). Una tale funzione è, quindi, anche invertibile nell insieme D. Si dimostra anche che se una funzione f è strettamente crescente o strettamente decrescente in un intervallo A, tale che f(a) risulti ancora un intervallo, allora essa è anche continua nello stesso intervallo A. Osservazione importante. Raramente un funzione f() è invertibile in tutto il suo dominio D, come accade, ad esempio, per la funzione esponenziale y = a e per la funzione logaritmica y = log a. Tuttavia, si possono sempre determinare dei sottoinsiemi (ad esempio intervalli numerici), contenuti nel suo dominio, nei quali essa è sicuramente invertibile. Come esempio notevole, ricordiamo le funzioni goniometriche, invertibili solo in determinati intervalli contenuti nei loro domini, che determinano le nuove funzioni: arcoseno, arcocoseno, arcotangente. E) Funzioni composte. Sono date: la funzione z = g(), avente per dominio l insieme numerico X e per codominio l insieme Z, e la funzione y = f(z) avente Z per dominio e Y per codominio. 4

5 X g f Y f o g Z Ad un valore 0, assegnato ad nell insieme X, la g fa corrispondere un numero z 0 = g( 0 ) appartenente all insieme Z, e a questo z 0 la funzione f fa corrispondere un elemento y 0 = f(z 0 ) di Y. Dunque, si è individuata una nuova funzione, che si indica con g), di X in Y, che ad ogni X fa corrispondere un y Y. f o g (si legge f composto Questa nuova funzione, che indichiamo anche con altra lettera, ad esempio h(), si può scrivere in maniera più esplicita così: y = h() = f[g()] e viene denominata funzione composta (o funzione di funzione), mediante le altre due, dette componenti, g() ed f(z). Esempio. z = g() = 2 4 +π dominio X = R codominio Z = R (funzione componente) y = f(z) = sen z dominio Z = R codominio Y = [- ; +] (funzione componente) y = h() = sen( π ) dominio X = R codominio Y = [- ; +] (funzione composta) Esempio 2. Data la funzione composta y = log sen ( 2 +4) quali sono le funzioni componenti? Si procede in questo modo: y = log u u = sen z z = 2 +4 Dunque, le tre funzioni individuate sono le componenti, mentre quella data, y = log sen ( 2 +4), è la funzione composta. 5

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