Manuale blu di matematica

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1 Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi Manuale blu di matematica 4 Modulo Funzioni e limiti Zanichelli

2 Simboli matematici simbolo significato simbolo significato Relazioni numeriche = uguale! diverso (disuguale) minore maggiore # minore o uguale $ maggiore o uguale! più o meno a valore assoluto (modulo) di a D discriminante a radice quadrata Logica [V] vero [F] falso = equivalenza tra espressioni logiche A non A (negazione) 0 o (inclusivo), vel, or (disgiunzione inclusiva) / e, et, and (congiunzione) " implica ) coimplica & se... allora... (deduzione) + se e solo se Insiemi! appartiene! non appartiene tale che esiste (almeno un) b non esiste 6 per ogni, qualunque sia insieme vuoto 3 contenuto o uguale (inclusione) contenuto (inclusione stretta), unione + intersezione # prodotto cartesiano Relazioni e funzioni relazione non in relazione - relazione inversa f A " B funzione f da A a B f 7 funzione f che associa a Intervalli [a; b] intervallo chiuso ]a; b[ intervallo aperto [a; b[ intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra ]a; b] intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra 3 infinito Insiemi numerici N numeri naturali Z numeri interi Q numeri razionali R numeri reali C numeri complessi P numeri naturali pari D numeri naturali dispari N* numeri naturali senza lo 0 Z + (Z - ) numeri interi positivi (negativi) Q + (Q - ) numeri razionali positivi (negativi) R + (R - ) numeri reali positivi (negativi) Z + 0 numeri interi non negativi (compreso lo 0) Q + 0 numeri razionali non negativi (compreso lo 0) R + 0 numeri reali non negativi (compreso lo 0) Alfabeto greco alfa a beta b gamma c delta d èpsilon f zeta g eta h teta i, j iota k cappa l lambda m mi, mu n ni, nu o i p òmicron q pi r ro t sigma v, w tau ipsilon fi { chi psi } omèga ~

3 Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi 4 Manuale blu di matematica Modulo Funzioni e limiti Zanichelli

4 La formula editoriale VVF (volumi a vendita flessibile) viene incontro a uno dei principali suggerimenti del d.m , Norme e avvertenze per la compilazione del libro di testo da utilizzare nella scuola dell obbligo. I contenuti di questo libro sono pertanto offerti, a scelta dell utente, in sezioni agili e, in alternativa, in aggregazioni più ampie (volumi). L utente può così scegliere privilegiando la possibilità di ritagliarsi un percorso didattico differenziato, di graduare l acquisto o di contenere la spesa. La divisione di questo libro in volumetti non è puramente meccanica. In sintonia con il d.m il materiale è stato organizzato in modo da configurare moduli didattici autonomi, ciascuno dotato di indicazioni di ingresso (prerequisiti e obiettivi) e di uscita (prove di verifica finalizzate alla certificazione delle competenze acquisite). Queste e altre indicazioni (tra cui le informazioni sulla struttura dell opera), tradizionalmente riservate all insegnante, sono ora presenti nel libro dello studente, in modo da consentire un più corretto e consapevole utilizzo del libro. VLMI FLESSIBILE A VENDITA Nella parte di esercizi, la spunta segnala la possibilità di risolverli scrivendo direttamente nel libro. L impegno a mantenere invariato il contenuto di questo volume per un quinquennio (art. 5 legge n. 69/008) è comunicato nel catalogo Zanichelli, disponibile anche online sul sito ai sensi del DM 4 dell 8 aprile 009, All. /B. 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Le richieste per tale tipo di riproduzione vanno inoltrate a Associazione Italiana per i Diritti di Riproduzione delle pere dell ingegno (AIDR) Corso di Porta Romana, n Milano segreteria@aidro.org e sito web L editore, per quanto di propria spettanza, considera rare le opere fuori del proprio catalogo editoriale, consultabile al sito La fotocopia dei soli esemplari esistenti nelle biblioteche di tali opere è consentita, oltre il limite del 5%, non essendo concorrenziale all opera. Non possono considerarsi rare le opere di cui esiste, nel catalogo dell editore, una successiva edizione, le opere presenti in cataloghi di altri editori o le opere antologiche.nei contratti di cessione è esclusa, per biblioteche, istituti di istruzione, musei ed archivi, la facoltà di cui all art. 7 - ter legge diritto d autore. Maggiori informazioni sul nostro sito: Realizzazione editoriale Coordinamento redazionale del progetto: Marinella Lombardi Redazione e ricerca iconografica: Giulia Laffi Segreteria di redazione: Deborah Lorenzini, Rossella Frezzato Progetto grafico: Editta Gelsomini Impaginazione: Chia Lab, Bologna Intervista a cura di Giulia Laffi Disegni: Graffito Cusano Milanino Correzione bozze: Il Nove, Bologna Contributi Stesura dei testi: Antonio Rotteglia (Laboratorio di matematica) Revisioni dei testi: Monica Prandini, Marzia Rivi, Ambra Tinti, Francesco Benvenuti (Laboratorio di matematica), Angela Capucci (Laboratorio di matematica), Elisa Capucci (Laboratorio di matematica) Stesura di schede: Chiara Ballarotti (n limite da disastro), Chiara Manzini (I nodi) Revisione di schede: Daniela Cipolloni, Stefania Varano Stesura degli esercizi: Graziella Barozzi, Anna Maria Bartolucci, Cristina Bignardi, Paolo Maurizio Dieghi, Ilaria Fragni, Lorenzo Ghezzi, Chiara Lucchi, Chiara Lugli, Armando Magnavacca, Luisa Morini, Monica Prandini, Antonio Rotteglia, Alessandro Zagnoli, Alessandro Zago Risoluzione degli esercizi: Anna Maria Bartolucci, Francesco Benvenuti, Andrea Betti, Angela Capucci, Elisa Capucci, Daniela Cipolloni, Ileana Civili, Antonella Conte, Sandra Fermani, Ilaria Fragni, Daniela Giorgi, Erika Giorgi, Roberto Giovagnoli, Fabrizio Longhi, Chiara Lucchi, Armando Magnavacca, Ciro Marziliano, Giuseppe Metere, Arsen Palestini, Monica Prandini, Francesca Anna Riccio, Marzia Rivi, Riccardo Salotti, Nadia Scappini, Ambra Tinti Stesura e revisione degli esercizi in lingua inglese: Andrea Betti Revisione linguistica: Aleander Snge Rilettura dei testi: Chiara Lucchi, Francesca Anna Riccio, Marzia Rivi, Derive è un marchio registrato della Soft Warehouse inc. Ecel è un marchio registrato della Microsoft Corp. Copertina: Realizzazione: Roberto Marchetti Immagine di copertina: Arata Isozaki, Team Disne Building, rlando (990). Fotografia: mberto Tasca Prima edizione: marzo 005

5 SMMARI A CHE CSA SERVE LA MATEMATICA? Matematica e Coppa America V MDL FNZINI E LIMITI nità LE FNZINI E LE LR PRPRIETÀ TERIA ESERCIZI La velocità di fuga delle Galassie è funzione lineare della distanza (legge di Hubble) Convergenza in un tunnel. Le funzioni reali di variabile reale 0 Le proprietà delle funzioni e la loro composizione 7 34 Laboratorio di matematica Le funzioni e le loro proprietà con Derive 4 Test di fine unità Verso l Esame di stato nità I LIMITI 4 4 La topologia della retta 46 8 Il limite finito di una funzione per che tende a un valore finito Il limite infinito di una funzione per che tende a un valore finito Il limite finito di una funzione per che tende all infinito Il limite infinito di una funzione per che tende all infinito Primi teoremi sui limiti Laboratorio di matematica I limiti con Ecel 75 Test di fine unità Verso l Esame di stato 09 0 nità 3 LE FNZINI CNTINE E IL CALCL DEI LIMITI. Boccioni, Forme uniche nella continuità dello spazio, 93, Milano, coll. Mattioli. Le funzioni continue 3 57 Le operazioni sui limiti Il calcolo dei limiti e le forme indeterminate I limiti notevoli Gli infinitesimi, gli infiniti e il loro confronto Gli asintoti e la loro ricerca I teoremi sulle funzioni continue I punti di discontinuità di una funzione MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN III

6 Laboratorio di matematica Le funzioni continue con Derive Test di fine unità Verso l Esame di stato TERIA 50 ESERCIZI nità 4 LE SCCESSINI Le successioni numeriche 0 7 Il limite di una successione I teoremi sui limiti delle successioni I limiti delle progressioni 9 36 Laboratorio di matematica Le successioni con Ecel 3 Test di fine modulo 39 Verso l Esame di stato 40 M.C. Escher, Limite del cerchio III, ilografia, 959 PRVE DI SCITA DAL MDL Test di fine modulo Verso l Esame di stato Test our skills Esplorazione. n limite da disastro Esplorazione. I nodi Esistono 85 possibili nodi di cravatta. I nodi, pag. 54. MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN IV

7 A che cosa serve la matematica? Matematica e Coppa America Perché ha scelto di studiare matematica? Quando ero alle superiori mi piaceva molto l economia, ma il presidente della commissione dell esame di maturità (un professore e- sterno, probabilmente un matematico) mi disse che sarebbe stato un peccato se non mi fossi iscritto al corso di laurea in matematica. Io seguii il suo consiglio, pensando che avrei potuto acquisire competenze che mi sarebbero state utili nella mia futura professione di analista economico. Poi ho scoperto quanto sia affascinante e coinvolgente la matematica, e alla fine del mio corso di studi è stato naturale iniziare una carriera da ricercatore matematico. Ma non è stata assolutamente una scelta premeditata: mai, sino alla maturità, avrei pensato di fare il matematico da grande. Com è la vita di un matematico? Come quella di ogni altro ricercatore scientifico. Tengo diversi corsi agli studenti universitari del Politecnico di Milano e di quello di Losanna. Alcuni sono corsi di base, per il primo biennio, altri sono corsi avanzati, per la laurea specialistica, per gli studenti del master e quelli del dottorato (il PhD). Visito spesso altre università o centri di ricerca in ogni parte del mondo per tenere conferenze o fare corsi specialistici. A volte mi chiamano per interviste o per seminari divulgativi. Mi capita sovente di parlare con ragazzi giovani che vogliono consigli su quali scelte professionali compiere, oppure quali direzioni di ricerca intraprendere. Questo aspetto è oltremodo gratificante: sono sempre a contatto con giovani che stanno per iniziare questo mestiere e rivivo con loro passioni, ansie ed entusiasmi. Modelli matematici e simulazioni E la sua attività di ricerca? Cerco di applicare la matematica alla risoluzione di problemi della vita reale: sono quello che, con un po di semplificazione, oggi si chiama un matematico applicato. Nel mio lavoro si parte da un problema, spesso proposto da un interlocutore che fa un mestiere diverso dal mio, per esempio il responsabile dell ufficio ricerca e sviluppo di un impresa, un ingegnere aeronautico, un chirurgo cardiovascolare, un fisico che si occupa di microelettronica, un progettista di nuovi scafi da competizione, un architetto che vorrebbe fare una nuova pianificazione territoriale... Si cerca quindi di capire quali siano gli strumenti matematici più efficaci per affrontarlo e si mette a punto un modello matematico Figura Simulazione del campo di vento intorno alla superficie di un aereo commerciale. Alfio Quarteroni è professore di Analisi Numerica e direttore del MX (Modellistica e Calcolo scientifico) al Politecnico di Milano e direttore della cattedra di Modellistica e Calcolo Scientifico all EPFL (Politecnico Federale di Losanna, Svizzera). Lavora, insieme con il suo gruppo di ricerca, alla risoluzione di problemi nei campi più vari: ingegneria, aeronautica, medicina, meteorologia, architettura, microelettronica, industria automobilistica... che descriva il problema di partenza. Per fare questo, occorre spesso sviluppare nuove equazioni (e conseguentemente nuovi algoritmi) che il computer risolverà, fornendo dei risultati che andranno poi analizzati per verificarne la significatività insieme con il nostro interlocutore. L obiettivo dei modelli matematici è la costruzione di algoritmi migliori per la simulazione e l ottimizzazione di problemi di interesse reale che si incontrano nelle scienze, nell ingegneria, nell economia o nella medicina. In molte aree applicative non solo la velocità dei computer, ma anche l efficienza degli algoritmi costituisce il fattore discriminante fra complessità abbordabili e non abbordabili. In quali campi la matematica trova applicazioni interessanti? Nel settore aeronautico si usano modelli matematici per l analisi aerodinamica al fine di ottimizza- MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN V

8 A che cosa serve la matematica? Figura Simulazione numerica della diffusione di un inquinante nella laguna di Venezia in seguito a una sua fuoriuscita accidentale in mare. Figura 3 Deformazione strutturale del Colosseo indotta da una sollecitazione esterna. re le prestazioni (riducendo la resistenza al moto), ma anche di diminuire l impatto ambientale grazie alla riduzione di emissioni e rumore ( figura ). ancora per simulare campi elettromagnetici esterni all aereo al fine di evitare che interferiscano in modo dannoso con quelli generati dai numerosissimi circuiti elettronici che fanno parte integrante degli impianti e della strumentazione di bordo. Analisi simili sono effettuate nell industria automobilistica, dove la modellistica matematica entra ormai virtualmente in tutti gli aspetti della progettazione e della produzione dei veicoli. Si usano modelli per la simulazione della combustione interna ai motori con l obiettivo di consumare meno carburante, migliorare la qualità delle emissioni e ridurre il rumore. Altri ancora per il miglioramento delle prestazioni, la sicurezza e il comfort. Nell industria elettronica si usano modelli matematici per progettare circuiti integrati sempre più piccoli e veloci, con funzionalità crescente e con consumi sempre più ridotti; basti pensare alle molteplici applicazioni della telefonia mobile. Algoritmi efficienti servono inoltre per codificare e decodificare messaggi fra multi-utenti, come quelli che ci si scambia con i cellulari. Sembra superfluo ricordare il ruolo ormai consolidato assunto dai modelli matematici che governano la fisica dell atmosfera nel campo delle previsioni meteorologiche su scala planetaria, regionale o locale. In tale ambito servono algoritmi accurati ed estremamente rapidi per rendere possibile la simulazione, in poche ore, dell evoluzione meteorologica per un intervallo temporale di diversi giorni. Si usano modelli per l analisi di rischio sismico, la valutazione d impatto di inondazioni o esondazioni, la simulazione di processi di inquinamento atmosferico o idrico ( figure e 3). Ma la lista sarebbe infinita. Figura 4 America's Cup 003, il duello fra Alinghi e racle BMW Come usa la matematica nel suo lavoro? I modelli matematici danno luogo a equazioni spesso non risolvibili con carta e penna. È per questa ragione che si è sviluppata una disciplina, il Calcolo Scientifico, che mira a introdurre algoritmi per la risoluzione approssimata di tali problemi, trasformandoli in problemi risolvibili con il computer. Poiché i problemi trasformati, o approssimati, possono avere dimensioni ragguardevoli (diverse migliaia di incognite, ma talvolta addirittura decine di milioni), è indispensabile che gli algoritmi di risoluzione siano affidabili, accurati e veloci. Avere un algoritmo veloce può consentire al progettista di un nuovo veicolo di provare diverse forme in una sola giornata, accorciando in modo significativo il tempo che intercorre fra il progetto iniziale e la realizzazione del prodotto finale. Ma consente anche di simulare in tempi ragionevoli due diverse opzioni di trattamento chirurgico di un occlusione delle coronarie, valutando l effetto sul flusso sanguigno di due b-pass di forma diversa. La matematica vince la Coppa America Ci può descrivere quale è stato il vostro contributo nella progettazione dell imbarcazione svizzera Alinghi, che ha vinto la Coppa A- merica di Vela a Auckland nel 003? Dal settembre 00 abbiamo iniziato a cooperare in stretto contatto con il design team di Alinghi. Il nostro scopo era di simulare ogni MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN VI

9 A che cosa serve la matematica? Figura 5 Simulazione del campo di vento intorno a due imbarcazioni di Coppa America. possibile dettaglio del flusso intorno all intera barca: quello aerodinamico intorno alle vele e all albero, quello idrodinamico intorno allo scafo e agli elementi in acqua (chiglia, bulbo, timone e alette), le scie turbolente che si generano in acqua e in aria, le interazioni con la deformazione delle vele, la simulazione della superficie d onda ( figure 5 e 6). Il calcolo tipico ha richiesto la risoluzione di problemi non lineari con 0-30 milioni di incognite. Per risolvere ciascuno di questi problemi, facendo massiccio ricorso ad algoritmi paralleli che lavorassero contemporaneamente e su computer capaci di effettuare alcune centinaia di miliardi di operazioni ogni secondo, ci sono volute dalle 8 alle 0 ore di tempo. Quanto deve Alinghi la sua vittoria alla matematica? Le nostre simulazioni hanno consentito al design team di scartare tante soluzioni che parevano più innovative e di adottarne altre che garantissero migliori prestazioni. Inoltre, simulando gli effetti dell interazione aerodinamica fra due barche, abbiamo determinato la consistenza delle zone d ombra, la perturbazione del flusso e la vorticità della scia turbolenta che si genera per l interazione dell aria con le vele, e fornito allo skipper informazioni preziose per la tattica di gara. vviamente, per vincere la Coppa America, i soli modelli non sono sufficienti: serve anche un team di velisti formidabile e, come spesso nella vita, molta fortuna. Può raccontarci di qualche altro progetto al quale ha partecipato? Sempre restando in ambito sportivo, al MX del Politecnico di Milano abbiamo studiato delle forme ottimali per alcuni scafi da canottaggio che sono stati impiegati alle recenti limpiadi di Atene ( figura 7)... Ci siamo anche occupati dello studio dei costumi da bagno (quelli che amano usare i nuotatori professionisti oggi e che ricoprono quasi l intero corpo) al fine di ridurne la resistenza viscosa (ispirandoci alle microasperità presenti sulla pelle degli squali) e, conseguentemente, permettere di aumentare le velocità in acqua (a parità di ogni altra condizione) e vincere medaglie olimpiche. La matematica salva la vita E in campo medico? In medicina ci siamo occupati di numerosi progetti inerenti la funzionalità del sistema cardiovascolare. Mi limiterò a citarne uno. Gli stent cardiovascolari sono reti metalliche che si inseriscono nelle coronarie per neutralizzare un occlusione che potrebbe avere effetti deleteri sul cuore. Devono essere estremamente flessibili lungo il loro asse longitudinale per poter essere spinti attraverso arterie di diametro ridotto e di forma tortuosa; devono essere sufficientemente visibili con tecniche radiologiche per essere guidati dall'esterno e posizionati. Devono es- Figura 6 Simulazione della pressione del vento sulle vele di imbarcazioni di Coppa America. MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN VII

10 A che cosa serve la matematica? Figura 7 Simulazione numerica della superficie libera dell acqua in seguito al passaggio di una canoa con sovrapposta l immagine reale. Figura 8 Simulazione di un flusso sanguigno pulsatile nella biforcazione carotidea. Traiettorie associate ad alcune particelle. sere facilmente espandibili fino al diametro originale dell arteria per mantenerla dilatata; devono resistere alle sollecitazioni meccaniche imposte da questa. Infine devono risultare poco invasivi rispetto al flusso sanguigno e minimizzare i fenomeni trombogenici. Lo studio dell impatto di uno stent sul flusso sanguigno e sulla pressione arteriosa nella regione dell impianto e sull intero sistema cardiovascolare è un problema estremamante complesso in cui la modellistica matematica può venire in aiuto. L impianto di uno stent in un arteria modifica infatti le proprietà elastiche e di rigidezza della parete vascolare. Per questa ragione il tratto di arteria in considerazione reagirà, dopo l impianto, in modo completamente diverso rispetto alla propagazione delle onde di pressione generate dal battito cardiaco. In particolare, l aumento di rigidezza fa sì che parte dell energia che si propaga come onda di pressione venga riflessa nella zona prossimale e accelerata in quella distale, generando in alcuni casi una significativa perturbazione sui carichi pressori. Le equazioni della matematica consentono di simulare accuratamente questi processi e dare al medico un informazione di tipo sia qualitativo sia quantitativo complementare a quelle di cui già dispone ( figura 8). Come motiverebbe un ragazzo allo studio della matematica? Inizierò col dare una risposta emotiva : la matematica è difficile ma bella e probabilmente è bella anche perché è difficile. Questa affermazione verrà considerata da tanti studenti una provocazione, ma quando si capisce una teoria matematica, si coglie il significato di un risultato o si riesce a risolvere un problema impegnativo, si prova grande soddisfazione e ci si sente orgogliosi di se stessi. La matematica oggi pervade quasi ogni possibile disciplina. Non mi riferisco solo alla fisica, alla chimica, all ingegneria, all economia e all analisi finanziaria, ma anche alle scienze della vita: la medicina, la biologia molecolare, la genomica, la biochimica e la bioingegneria. E molto presto anche architetti, sociologi e umanisti la utilizzeranno nel loro lavoro. Insomma, non è necessario fare il matematico per incontrare nella professione quotidiana problemi che la matematica aiuta ad affrontare e risolvere in modo efficace. Per convincersene basta riflettere sul fatto che le migliori scuole di PER SAPERNE DI PIÙ Esistono moltissime correlazioni tra il funzionamento della società umana e altre realtà apparentemente distanti, come il sistema nervoso, l ecosistema globale, il sistema stradale o ferroviario di una nazione, Internet, la propagazione di virus, la comunicazione, le catene alimentari, i sistemi economici... Campi in apparenza diversi rispondono infatti a regole profondamente simili. Possiamo trovare una legge generale che spieghi il comportamento dei sistemi complessi? Buchanan, nel suo libro Neus, fornisce una possibile risposta. tecnologia mondiali (i celebrati MIT di Cambridge e Caltech di Pasadena negli Stati niti, ma anche l Imperial College di Londra, o i politecnici svizzeri ETHZ di Zurigo e EPFL di Losanna) hanno percorsi di laurea virtualmente in tutte le discipline, non solo dell Ingegneria e delle scienze di base, ma anche quelle mediche, economiche, sociali ed umanistiche, con corsi di matematica approfonditi e altri trasversali. Aggiungerei infine che oggi in un arco temporale di alcuni anni di professione in un azienda può capitare che il problema su cui si lavora cambi decine di volte. Per far fronte a questa dinamica torna molto utile la capacità di affrontare nuovi problemi in modo flessibile, cogliendo gli elementi di trasversalità e di sintesi, ragionando per analogie e per astrazione. E la matematica aiuta moltissimo a sviluppare un approccio mentale che esalta queste caratteristiche. Per avere un idea più precisa di alcuni dei progetti ai quali hanno lavorato i gruppi di ricerca del MX del Politecnico di Milano e del CMCS (Modelling and Scientific Computing) del Politecnico di Losanna, visita i siti e Per le simulazioni numeriche raffigurate nelle immagini si ringraziano F. Maggio, E. Miglio, N. Parolini, M. Prosi, M. Sala, A. Veneziani, la Adaptco e la Filippi Lido S.r.l. MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN VIII

11 Massimo Bergamini Anna Trifone Graziella Barozzi Moduli blu di Matematica Funzioni e limiti BIETTIVI CNSCENZE I grafici delle funzioni elementari Le proprietà di una funzione: pari, dispari, crescente, descrescente Gli intorni di un punto Il limite destro e sinistro di una funzione Il limite finito o infinito di una funzione e la sua interpretazione I teoremi sui limiti e i limiti notevoli La continuità di una funzione in un punto e in intervallo I punti di discontinuità di una funzione Le successioni numeriche Le progressioni aritmetiche e geometriche CMPETENZE Studiare le proprietà di una funzione Verificare il limite di una funzione Studiare la continuità di una funzione Calcolare il limite di una funzione o di una successione SMMARI nità LE FNZINI E LE LR PRPRIETÀ Le funzioni reali di variabile reale 0 Le proprietà delle funzioni e la loro composizione 7 34 Laboratorio di matematica Le funzioni e le loro proprietà con Derive 4 Test di fine unità Verso l Esame di stato 4 4 nità I LIMITI La topologia della retta 46 8 Il limite finito di una funzione per che tende a un valore finito Il limite infinito di una funzione per che tende a un valore finito Il limite finito di una funzione per che tende all infinito Il limite infinito di una funzione per che tende all infinito Primi teoremi sui limiti Laboratorio di matematica I limiti con Ecel 75 Test di fine unità Verso l Esame di stato TERIA ESERCIZI 09 0 nità 3 LE FNZINI CNTINE E IL CALCL DEI LIMITI Le funzioni continue 3 57 Le operazioni sui limiti Il calcolo dei limiti e le forme indeterminate I limiti notevoli Gli infinitesimi, gli infiniti e il loro confronto Gli asintoti e la loro ricerca I teoremi sulle funzioni continue I punti di discontinuità di una funzione Laboratorio di matematica Le funzioni continue con Derive 50 Test di fine unità Verso l Esame di stato nità 4 LE SCCESSINI Le successioni numeriche 0 7 Il limite di una successione I teoremi sui limiti delle successioni I limiti delle progressioni 9 36 Laboratorio di matematica Le successioni con Ecel 3 Test di fine unità Verso l Esame di stato PRVE DI SCITA DAL MDL Test di fine modulo Verso l Esame di stato Test our skills Esplorazione. n limite da disastro Esplorazione. I nodi TERIA 5 54 ESERCIZI MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

12 TERIA LE FNZINI E LE LR PRPRIETÀ LE FNZINI REALI DI VARIABILE REALE Richiamiamo il concetto di funzione limitandoci a considerare le funzioni reali di variabile reale. A viene anche detto insieme di partenza e B insieme di arrivo. In una funzione f (), è detta controimmagine di. Quando non preciseremo il dominio di una funzione, lo considereremo coincidente con R. CHE CSA SN LE FNZINI DEFINIZINE Funzione Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. Indichiamo una funzione con una lettera minuscola (per esempio f ) e con la seguente notazione: f A B, che si legge: f è una funzione da A a B. Se a A la funzione f associa B, diciamo che è immagine di mediante f e scriviamo: f oppure f (), che si legge: uguale a f di. A viene detto dominio della funzione, e lo indicheremo anche con D, mentre il sottoinsieme C di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio. ESEMPI La funzione f R R descritta dalla legge matematica: 3 3 oppure 3 3 associa a ogni valore di uno e un solo valore di. Per esempio, per 4 si ha è detta variabile indipendente, variabile dipendente. Spesso, come nell esempio, una funzione è assegnata mediante un espressione analitica, ossia mediante una formula matematica. na funzione può essere anche indicata con f ( ; ) 0, detta forma implicita, mentre f () è detta forma esplicita. Per esempio, la funzione è la forma implicita di 3 3. MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

13 . LE FNZINI REALI DI VARIABILE REALE NITÀ ESEMPI Esistono funzioni, dette funzioni definite per casi, date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.. La funzione valore assoluto è definita nel seguente modo: se 0 se 0. n altra funzione definita per casi è la funzione segno: sign() se 0 se 0 3. La funzione parte intera è definita come quella funzione che associa a ogni numero reale il più grande numero intero minore o uguale a : n se n n [ ] n N. (n ) se (n ) n Di una funzione f possiamo disegnare il grafico, cioè l insieme dei punti P(; ) del piano cartesiano tali che è immagine di mediante f, ossia dei punti del tipo P(; f ()). Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi, che si determinano mettendo a sistema l equazione della funzione con 0 (equazione dell asse ) o con 0 (equazione dell asse ). = = sign () Queste funzioni vengono anche dette funzioni definite a tratti. Per esempio: [4,5] 4, [,7] 3. Figura. I grafici delle funzioni dell esempio precedente. 3 = [] MDL = { se 0 se < 0 a. La funzione valore assoluto = { se 0 se < 0 b. La funzione segno = { n se n < n + (n + ) se (n + ) < n c. La funzione parte intera LA CLASSIFICAZINE DELLE FNZINI Le funzioni esprimibili analiticamente possono essere distinte in funzioni algebriche e funzioni trascendenti. La funzione è algebrica se l espressione analitica f ( ) che la descrive contiene soltanto, nella variabile, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice. na funzione algebrica può essere: razionale intera (o polinomiale) se è espressa mediante un polinomio; in particolare se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile, la funzione si dice lineare; se il polinomio in è di secondo grado, la funzione è detta quadratica; FNZINI razionale fratta se è espressa mediante quozienti di polinomi; algebriche trascendenti = e irrazionale se la variabile indipendente compare sotto il se- = +, = sen razionali irrazionali gno di radice. Se una funzione non è algebrica, si dice trascendente. intere = 5 7 fratte = 3 + Il grafico di una funzione lineare è una retta, mentre quello di una funzione quadratica è una parabola. Figura. La classificazione delle funzioni reali di variabile reale della forma f () e alcuni esempi. MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

14 NITÀ LE FNZINI E LE LR PRPRIETÀ Per una funzione algebrica viene definito il grado della funzione che è il grado del polinomio P ( ; ) in e della forma implicita della funzione P ( ; ) 0. Abitualmente il termine dominio viene anche usato come sinonimo di campo di esistenza, in quanto è usuale considerare il campo di esistenza come dominio per una funzione. Per brevità, indichiamo il campo di esistenza con C.E. 0, sono i valori che annullano il denominatore Q(). ESEMPI ESEMPI La funzione in forma implicita è scritta: 0, quindi il suo grado è 3. IL CAMP DI ESISTENZA DI NA FNZINE E L STDI DEL SEGN Spesso di una funzione si considera come dominio il suo campo di esistenza, ossia il sottoinsieme più ampio di R in cui la funzione può essere definita. Per questo, invece di campo di esistenza, si parla anche di insieme di definizione della funzione. La funzione: 4 ha come campo di esistenza l insieme dei valori per i quali il radicando dell espressione a secondo membro è positivo o nullo, ossia. Scriviamo sinteticamente: C.E.:. Forniamo una tabella delle principali funzioni e dei relativi campi di esistenza. Funzione Campo di esistenza Funzioni razionali intere: a 0 n a n a n R Funzioni razionali fratte: P ( ) (P e Q polinomi) R { 0,,, k } con Q ( 0 ) Q ( k ) 0 Q ( ) Funzioni irrazionali: n f ) ( { R f () 0}, se n è pari campo di esistenza di f (), se n è dispari [f ()] 0 e irrazionale { R f () 0} [f ()] g() { R f () 0} C.E. di g() log a f () a 0, a { R f () 0} a f () a 0, a campo di esistenza di f () Funzioni goniometriche: sen, cos R tg R k cotg R {k } arcsen, arccos [ ; ] arctg, arccotg R MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

15 . LE FNZINI REALI DI VARIABILE REALE NITÀ È possibile anche studiare il segno di una funzione f (), ossia cercare per quali valori di appartenenti al dominio il valore di è positivo, per quali è negativo, per quali è nullo. Per esempio, la funzione 6 risulta positiva per 3, nulla per 3, negativa per 3. I GRAFICI DELLE FNZINI E LE TRASFRMAZINI GEMETRICHE Le traslazioni = f( a) P a P' = f() P' = f() + b b P = f () v a b = f( a) + b = f() MDL a. Grafico di = f ( a). Traslazione di vettore parallelo all asse. b. Grafico di = f () + b. Traslazione di vettore parallelo all asse. c. Grafico di = f ( a) + b. Traslazione di vettore v (a; b). Le simmetrie P = f( ) P = f() P' P = f() P' = f() = f() P' = f( ) a. Grafico di = f(). Simmetria rispetto all asse. b. Grafico di = f( ). Simmetria rispetto all asse. c. Grafico di = f( ). Simmetria centrale rispetto all origine. = f() = f( ) = f() = f() d. Grafico di = f(). Simmetria rispetto all asse delle parti del grafico di = f() con < 0. e. Grafico di = f( ). Per 0 il grafico è lo stesso di = f(), per < 0 il grafico è il simmetrico rispetto all asse di quello che = f() ha per > 0. MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

16 NITÀ LE FNZINI E LE LR PRPRIETÀ Le dilatazioni m > m < > n n < = f m = f m = nf() = f() = f() = f() = f() = nf() a. Grafico di = f, m con m >. Dilatazione orizzontale. b. Grafico di = f, m con m <. Contrazione orizzontale. c. Grafico di = nf(), con n >. Dilatazione verticale. d. Grafico di = nf(), con n <. Contrazione verticale. Il grafico di f () Dato il grafico di f (), per tracciare l andamento di quello di f (), teniamo conto che:. se f (), f () ; 3. se f (), f () f () ;. se f () 0, f () 0; 4. se f (), f () f (). 4 3 =f() 4 3 = f() 4 3 =f () Il grafico di f ) ( Dato il grafico di f (), per ricavare l andamento di quello di f ) (, osserviamo che:. se f () 0, f ) (, non esiste;. se f () 0, f ) ( 0; 3. se f (), f ) ( ; 4. se 0 f (), f () f ) ( ; 5. se f (), f ) ( f (). =f() = f() MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

17 . LE PRPRIETÀ DELLE FNZINI E LA LR CMPSIZINE NITÀ Il grafico di f ( ). Se il grafico di f () interseca l asse in 0, per che si avvicina a 0 : se f () 0, assume valori positivi sempre più grandi; diremo che f ( ) f ( ) tende a ; se f () 0, assume valori negativi, in valore assoluto sempre più grandi; diremo che tende a. f ( f ( ) ) La retta 0 è asintoto verticale.. Se f () tende a o, tende a 0. f ( ) 3. Se f (a) o f (a), a è punto di intersezione fra i grafici di f () e di. f ( ) 3 =+ = + Se tende a, tende + a o a +. Se + tende a o a +, tende a Il punto di ordinata, appartenente a =+, appartiene anche a =. + Approfondiremo questi concetti nell unità. MDL LE PRPRIETÀ DELLE FNZINI E LA LR CMPSIZINE LE FNZINI INIETTIVE, SRIETTIVE E BIIETTIVE DEFINIZINE Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca) na funzione da A a B si dice: iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. ESEMPI In modo equivalente, possiamo dire che una funzione è iniettiva se a elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B, ossia f ( ) f ( ). 3 = = + 4 a. La funzione = è sia iniettiva sia suriettiva perché a ogni valore scelto sull asse corrisponde un valore (suriettiva) e un solo (iniettiva) valore sull asse. La funzione è quindi biiettiva. b. La funzione = + 4 è suriettiva se si considera come insieme B quello degli tali che 4, ma non è iniettiva perché scelto nel codominio un diverso da 4, esso è l immagine di due valori distinti di. Figura 3. MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

18 NITÀ LE FNZINI E LE LR PRPRIETÀ LE FNZINI CRESCENTI, LE FNZINI DECRESCENTI, LE FNZINI MNTÒNE DEFINIZINE Funzione crescente na funzione f () di dominio D R si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti e appartenenti a I, con, risulta f ( ) f ( ). f : D I D, I, < D f( ) f( ) f( ) < f( ) I D Si può anche dire che la funzione è debolmente crescente. Figura 5. n esempio di funzione crescente in senso lato in R. ESEMPI ESEMPI La funzione 4 è crescente nell intervallo I [0; [. = 4 4 I = [0; + [ Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( ) f ( ) con f ( ) f ( ), otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato o anche non decrescente. La funzione: se f () se 3 se 3 è crescente in senso lato in R (figura 5). Figura 4. n esempio di funzione crescente per 0. = = 3 = I = ] ; + [ = DEFINIZINE Funzione decrescente na funzione f () di dominio D R si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti e appartenenti a I, con, risulta f ( ) f ( ). f : D D I D, I, < f( ) > f( ) f( ) f( ) I D MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

19 . LE PRPRIETÀ DELLE FNZINI E LA LR CMPSIZINE NITÀ Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione f ( ) f ( ) con f ( ) f ( ), otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato o anche non crescente. In seguito, se diremo che una funzione è crescente (o decrescente), senza aggiungere altro, sarà sottinteso che lo è in senso stretto. In questo caso la funzione si può anche dire debolmente decrescente. DEFINIZINE Funzione monotòna na funzione di dominio D R si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se in quell intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. FNZINE MNTÒNA FNZINE CRESCENTE FNZINE DECRESCENTE Analoga definizione può essere data per una funzione monotòna in senso lato. MDL na funzione f monotòna in senso stretto è sempre iniettiva. Infatti, se f è monòtona in senso stretto, allora per ogni si ha f ( ) f ( ) oppure f ( ) f ( ); quindi risulta f ( ) f ( ), cioè f è iniettiva. LE FNZINI PERIDICHE ESEMPI DEFINIZINE Funzione periodica na funzione f () si dice periodica di periodo T, con T 0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f () f ( kt). f() Τ In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo. f( + Τ) + Τ f() = f( + kτ), k sen e cos sono funzioni periodiche di periodo. tg e cotg sono funzioni periodiche di periodo. Se f è periodica di periodo T, allora non è iniettiva perché e kt hanno la stessa immagine. Se una funzione è periodica di periodo T, essa lo è anche di periodo T, 3T, 4T Il periodo minore è anche detto periodo principale ed è quello che di solito è considerato come periodo della funzione. LE FNZINI PARI E LE FNZINI DISPARI DEFINIZINE Funzione pari Consideriamo D un sottoinsieme di R tale che se D allora D. na funzione f ( ) si dice pari in D se f ( ) f () per qualunque appartenente a D. f : D, D D f( ) = f() ESEMPI La funzione f ( ) 4 è pari perché sostituendo a il suo opposto si ottiene ancora f ( ): f ( ) ( ) 4 4 f ( ). Verifica che la funzione f ( ) 4 non è pari perché sostituendo a il suo opposto non si ottiene f ( ). MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN

20 NITÀ LE FNZINI E LE LR PRPRIETÀ Se una funzione ha espressione analitica contenente soltanto potenze della con esponente pari, allora è pari. Quando nell espressione analitica un addendo è costituito da un valore numerico, esso può essere considerato il coefficiente di 0, ossia di una potenza di con esponente pari. Figura 6. Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all asse. ESEMPI può essere scritta La funzione contiene soltanto potenze pari di, quindi è una funzione pari. Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all asse. Infatti, se il punto P (; ) appartiene al grafico, vi appartiene anche il = f() punto P ( ; ). Pertanto le coordinate di P, pensate come ( ; ), soddisfano alle equazioni della simmetria rispetto all asse : f( a) f(a) a a DEFINIZINE Funzione dispari Consideriamo D un sottoinsieme di R tale che se D anche D. na funzione f ( ) si dice dispari in D se f ( ) f () per qualunque appartenente a D. f : D, D a D, f(a) = f( a) D f( ) = f() Verifica che la funzione f () 3 non è dispari perché sostituendo a il suo opposto non si ottiene f (). ESEMPI La funzione f () 3 è dispari perché sostituendo a il suo opposto si ottiene f (): f ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( 3 ) f (). na funzione con espressione analitica contenente solo potenze della con esponente dispari è una funzione dispari. Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all origine degli assi. Infatti, se il punto P (; ) appartiene al grafico, vi appartiene anche il punto P ( ; ). Pertanto le coordinate di P, pensate come ( ; ), soddisfano alle equazioni della simmetria centrale di centro l origine: f( a) a a f(a) Figura 7. Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all origine. a D, f(a)= f( a) MANALE BL DI MATEMATICA Zanichelli 00 Confezione 4, Mod. - ISBN