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1 INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati problemi geometrici, meccanici, fisici. in cui riveste un notevole significato la misura dell area della superficie delimitata dal grafico di una funzione e dall asse delle ascisse in un certo intervallo. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. Definizione: Si chiama trapezoide una figura piana delimitata del grafico di una funzione f(x) continua in un intervallo chiuso, dall asse delle ascisse e dalle rette parallele all asse delle ordinate di equazioni x = a e x = b. y T 0 x Per calcolare l area di un trapezoide occorre dividere l intervallo in un certo numero n di parti uguali di ampiezza e considerare il plurirettangolo inscritto ( costituito, come in Fig. 1, dagli insiemi dei rettangoli aventi per base e per altezza rispettivamente., dove è il minimo valore assunto dalla funzione f(x) nell i esimo intervallino) e il plurirettangolo circoscritto (costituito, come in Fig. 2, dai rettangoli aventi per base e per altezza

2 rispettivamente,,.. dove rappresenta il massimo valore assunto dalla funzione f(x) nell i-esimo intervallino). Fig. 1 Fig. 2 y y 0 a b x 0 a b x Indicate con e rispettivamente le aree del plurirettangolo inscritto e di quello circoscritto, le successioni:,,. e,,.. delle aree corrispondenti ai diversi numeri n in cui è stato diviso sono convergenti e convergono verso uno stesso numero, si ha cioè: lim s = lim S = S n + n n + n Tale limite comune S rappresenta l area del Trapezoide. Pertanto segue la Definizione di : INTEGRALE DEFINITO Data una funzione f(x) continua in, si chiama integrale definito esteso all intervallo il valore comune del limite per delle due successioni, per difetto, e, per eccesso. Tale valore viene indicato con la scritta Il numero si dice estremo inferiore, il numero estremo superiore. La funzione f(x) è detta funzione integranda.

3 Il simbolo che indica l integrale rappresenta una S allungata per ricordare che, nella rappresentazione grafica, ad un integrale corrisponde una somma di aree. N.B. L integrale definito è un valore numerico mentre l integrale indefinito è un insieme di funzioni. PROPRIETA DEGLI INTEGRALI DEFINITI a) b) c) con punti di e d) Date due funzioni definite e continue in e) dove k è una costante f) Un altra importante proprietà teorema: degli integrali definiti è espressa dal seguente TEOREMA DELLA MEDIA L integrale definito di una funzione f(x) continua in un intervallo è uguale al prodotto dell ampiezza dell intervallo di integrazione per il valore che la funzione assume in un particolare punto dell intervallo, ossia :

4 o, in forma equivalente : Il valore prende il nome di valor medio della funzione nell intervallo e si scrive. Il valor medio rappresenta, dal punto di vista geometrico, l altezza del rettangolo equivalente al trapezoide e avente per base l intervallo Y 0 a c b x Per poter enunciare il Teorema che mette in relazione integrale indefinito e integrale definito è necessario introdurre il significato di funzione integrale. Sia f(x) una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato, e sia x un qualsiasi punto di tale intervallo, si chiama funzione integrale della funzione f(x) in tale intervallo la funzione così definita: che associa ad ogni x di il valore numerico ( si dice funzione integranda ). La variabile indipendente per la funzione F(x) è l estremo superiore x dell integrale definito. La funzione integrale F(x) rappresenta l area del trapezoide che varia al variare di x in. F(x) 0 a x b

5 E ora possibile enunciare il TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE Se la funzione f(x) è continua in la corrispondente Funzione integrale F(x) è derivabile e per tutte le x di si dimostra che : F (x) = f(x) Significa che la derivata prima della funzione F(x) è proprio la funzione f(x) cioè la funzione integranda. Si comprende quindi che l operatore integrale è l inverso dell operatore derivata. Dal teorema fondamentale del Calcolo Integrale è possibile dedurre la FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE: L integrale definito di una funzione f(x) continua in un intervallo differenza dei valori assunti da una qualsiasi primitiva è uguale alla di tale funzione rispettivamente nell estremo superiore di integrazione e nell estremo inferiore. APPLICAZIONI DELL INTEGRALE DEFINITO Come già visto in precedenza, assegnata una funzione f(x) l area del trapezoide definito dalla funzione nell intervallo è data dal valore dell integrale definito. Ora, per mezzo della formula fondamentale del calcolo integrale, siamo in grado di calcolare il valore che rappresenta la misura di tale area. Esempio :

6 Ricorda che : Se la funzione è negativa in sono negative anche le somme integrali superiori e inferiori quindi anche il limite comune a cui tendono per e che, in valore assoluto rappresenta l area del trapezoide. Pertanto, nell intervallo in cui la funzione è negativa occorre fa precedere l integrale definito dal segno meno. y a b T x Nel caso in cui la funzione nell intervallo assuma sia valori positivi che valori negativi,occorre calcolare l integrale come somma degli integrali calcolati sugli intervalli aventi per estremi, oltre ad a e b, i punti in cui la funzione interseca l asse delle ascisse, passando da positiva a negativa e viceversa; ricordando che gli integrali relativi agli intervalli in cui la funzione è negativa devono essere preceduti dal segno meno. Esempio: y 0 a c b x

7 Calcolo dell area della superficie delimitata da due funzioni : Siano f(x) e g(x) due funzioni definite nello stesso intervallo, con, i cui grafici racchiudano una superficie T Y f(x) T g(x) 0 a b x Allora l area T di tale superficie è data da : Calcolo del volume di solidi di rotazione: Sia f(x) una funzione continua in un intervallo con, se facciamo ruotare di 360 attorno all asse delle ascisse il trapezoide definito da f(x) in otteniamo un solido di rotazione il cui volume V è dato da :

8 ESERCIZI 1) Calcola i seguenti integrali definiti :

9 2) Determina il Valor Medio delle seguenti funzioni nell intervallo indicato e, successivamente,determina il valore di intervallo in cui la funzione assume tale valore. x appartenente a tale a) b) c) 3) Disegna i Trapezoidi definiti dalle seguenti funzioni negli intervalli indicati e calcolane l area. a) b) c) d) e) 4) Per ciascuna delle seguenti coppie di curve, di cui sono date le equazioni,determina le coordinate dei punti comuni e calcola la misura dell area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve considerate aventi per estremi i punti prima determinati. a) b) 5) Calcola il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando di 360 attorno all asse delle ascisse il trapezoide definito da ciascuna delle seguenti funzioni negli intervalli indicati a) in b) in

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