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1 LO STUDIO DI FUNZIONE Lo studio di funzione è una delle parti più interessanti dell analisi perché permette di utilizzare le numerose conoscenze acquisite nel corso degli anni in un unico elaborato. Se lo studio di funzione non viene fatto in modo meccanico, permette di applicare con soddisfazione capacità logiche, strategie originali e previsioni efficaci. In queste pagine vorrei dare una traccia sintetica delle varie fasi che ci condurranno alla realizzazione dell obiettivo finale dello studio di funzione: il tracciamento accurato del grafico di una funzione data nella forma analitica y = f(x). 1.CLASSIFICAZIONE La classificazione di una funzione è estremamente importante; essa consiste nella individuazione delle sue componenti. Dopo averla inserita in uno dei due grandi filoni: algebrica, trascendente, la descrizione accurata delle parti che la compongono permette di evidenziare come conseguenza i vincoli per l esistenza. Ricordiamo infatti che: funzioni irrazionali ad indice pari esistono solo se il radicando è a zero funzioni logaritmiche, a base tra zero e uno o a base maggiore di zero, esistono solo se l argomento del logaritmo è maggiore di zero funzioni fratte esistono solo se il denominatore è diverso da zero. La classificazione permetterà anche di rilevare, oltre alle informazioni utili all esistenza, indicazioni di cui tener conto nella ricerca del segno di una funzione. Ricordiamo infatti che, dove esistono, le funzioni: in valore assoluto y = sono maggiori o uguali a zero esponenziali y = sono maggiori di zero elevate a potenza pari y = sono maggiori o uguali a zero. Esempio: Classificazione: trascendente componenti: esponenziale nessun vincolo in valore assoluto nessun vincolo 2. CAMPO DI ESISTENZA fratta logaritmica >0 La ricerca del campo di esistenza consiste nell individuare l insieme di tutti i valori reali che attribuiti alla variabile indipendente x garantiscono, in corrispondenza, un valore Lo studio di una funzione: Pag. 1/8

2 reale per la variabile dipendente y. la classificazione della funzione ci permette tale individuazione segnalandoci i vincoli da rispettare. Ricordiamo allora che: la presenza di denominatori, qualunque sia la loro posizione nella funzione, contenenti l incognita avrà come conseguenza la ricerca dei valori dove essi si annullano per poterli escludere dal Campo di Esistenza; ciò si traduce ponendo i denominatori diversi da zero; se esistono nella funzione quantità irrazionali non solo numeriche e l esponente della radice è pari, la loro esistenza dipenda dall essere il Esempio: radicando ; se la funzione contiene logaritmi, dobbiamo assicurarci la loro esistenza ponendo l argomento del logaritmo > 0; se la funzione è policomposta il Campo di Esistenza scaturisce dalla risoluzione del sistema dei vincoli. Classificazione: trascendente componenti: esponenziale irrazionale ad indice pari logaritmica >0 fratta Campo di Esistenza Il C.E. emergerà dalla risoluzione del seguente sistema: Si dovrà poi tradurre tale soluzione a livello grafico nel piano cartesiano. 3. SIMMETRIE Analizzando solo le simmetrie principali, diremo che una funzione è: Lo studio di una funzione: Pag. 2/8

3 pari, o simmetrica rispetto all asse y, se, calcolando f(-x) otteniamo un espressione uguale a f(x); dispari, o simmetrica rispetto all origine, se il calcolo precedente ha dato un risultato opposto alla f(x); se il risultato dell operazione effettuata non coincide con uno dei due precedenti, la funzione non è simmetrica. La ricerca delle simmetrie si effettua solo quando il C.E. è simmetrico. La simmetria, se esiste, ci permetterà di studiare la funzione solo in una sua parte. 4. PERIODICITA L eventuale periodicità si ricerca in presenza di funzioni periodiche. La loro presenza non garantisce comunque la periodicità della funzione. Per verificare se una funzione è periodica, una volta individuatone il periodo T, dobbiamo controllare se f(x+t) = f(x). Se la funzione è periodica, la si potrà studiare solo in una fascia del piano cartesiano; i risultati ottenuti si riproporranno in tutto il piano. E evidente che in una funzione periodica non si ricercheranno asintoti orizzontali o asintoti obliqui. 5. SEGNO DELLA FUNZIONE O POSITIVITA La positività consiste nella ricerca dei segni della funzione all interno del suo C.E.. Si ottiene ponendo f(x)>0 (se effettuassimo questa operazione ponendo otterremmo anche le eventuali intersezioni con l asse x). In tale ricerca, per semplificare i calcoli, è opportuno effettuare delle preventive semplificazioni ricordando alcune proprietà delle funzioni: se sono in valore assoluto y = sono maggiori o uguali a zero se sono esponenziali y = sono maggiori di zero se sono elevate a potenza pari y = sono maggiori o uguali a zero la somma di quantità positive è positiva il prodotto o il quoziente di quantità positive è positivo. Ricordiamo inoltre che un logaritmo sarà positivo se: il suo argomento è maggiore di 1, nel caso di base maggiore di uno il suo argomento è minore di uno, nel caso di base compresa tra zero e uno. 6. INTERSEZIONI CON GLI ASSI Le intersezioni con gli assi si risolvono ponendo in sistema la funzione con l equazione degli assi (uno alla volta). Tale ricerca si può semplificare con opportune considerazioni preliminari. Non effettueremo la ricerca di intersezione con l asse y se il campo di esistenza esclude il valore x=0. Lo studio di una funzione: Pag. 3/8

4 Non effettueremo l intersezione con l asse x se nella ricerca della positività avevamo posto f(x) o se nello studio dei segni avevamo risultati solo positivi (solo negativi) per la funzione. Nella ricerca di tali intersezioni è opportuno iniziare con quella relativa all asse x perché, nell eventualità dell intersezione con l origine, questa comprenderebbe anche l intersezione con l asse y ( a meno di non essere in presenza di funzioni polidrome). 7. CONDIZIONI AGLI ESTREMI Nelle Condizioni agli Estremi ricerchiamo i valori assunti dalla funzione in punti reali esclusi dal C.E., ma di accumulazione per essa, oppure in punti non reali. Questa ricerca si effettua attraverso passaggi al limite per i valori appena citati. Tali limiti saranno di norma destro e sinistro per i valori reali, salvo indicazioni contrarie dovute al C.E. Nelle Condizioni agli Estremi risolviamo anche, in parte, la ricerca degli asintoti: orizzontali, se è possibile calcolare il e/o il verticali, nel caso di punti di accumulazione per la funzione (valori reali esclusi dal C.E.). 8. RICERCA DEGLI ASINTOTI Ricordiamo che gli asintoti sono di tre tipi: orizzontali, verticali ed obliqui. La loro ricerca (orizzontali e verticali) è già stata in parte effettuata nel punto precedente (condizioni agli Estremi). In generale non si ricercano asintoti orizzontali ed obliqui se il C.E. non lo permette, equivalente a dire che il C.E è limitato o la funzione è periodica. Si trovano calcolando: Asintoti Orizzontali ed ottenendo per questi limiti un valore finito. Nel caso in cui i due limiti siano numeri reali uguali, ad esempio uguali a k, avremo un asintoto orizzontale completo di equazione: y = k. Se i due limiti esistono, ma sono numeri reali diversi, es. k ed l, avremo due asintoti orizzontali parziali di equazioni: y = k, y = l. Nel caso esista un solo limite reale, avremo un asintoto parziale destro (a ) o sinistro (a ). Asintoti Verticali Lo studio di una funzione: Pag. 4/8

5 Si ricercano nei punti di discontinuità della funzione, ma di accumulazione per essa, calcolando, C.E. permettendo: Se i limiti ottenuti danno come risultato infiniti di segno diverso, l asintoto verticale si dirà completo ed avrà come equazione: Avremo asintoto verticale parziale se: i due limiti hanno come risultato infiniti della stesso segno, uno dei due limiti è un numero reale. Non avremo asintoto verticale se i due limiti saranno entrambi numeri reali. Asintoti Obliqui Si ricercano solo dove non esiste l asintoto orizzontale (funzioni monocrome); la loro esistenza produrrà una retta di equazione: y = mx+q Per la ricerca dell m si possono seguire due strade: Si calcola: 1). ; il valore ottenuto può essere: oppure: 2) il valore ottenuto può essere: un numero reale k ed allora l asintoto può esistere un numero reale k=0 ed allora l asintoto non esiste il simbolo ed allora l asintoto non esiste un numero reale k ed allora l asintoto può esistere un numero reale k=0 ed allora l asintoto non esiste il simbolo ed allora l asintoto non esiste In entrambi i casi, se il valore k ottenuto è reale e diverso da zero, si procede alla ricerca del valore q effettuando: il valore ottenuto può essere: un numero reale k ed allora l asintoto può esistere un numero reale k=0 ed allora l asintoto può esistere il simbolo ed allora l asintoto non esiste Gli stessi calcoli si ripeteranno per x che tende a Una volta calcolati gli asintoti orizzontali ed obliqui si dovranno cercare le loro eventuali intersezioni con la funzione (sistema tra funzione ed asintoto) Lo studio di una funzione: Pag. 5/8

6 Non sarà mai possibile trovare l intersezione tra asintoti verticali e funzione perché tali asintoti esistono dove non esiste la funzione. 9. CRESCENZA E DECRESCENZA La Crescenza e la Decrescenza di una funzione vengono determinate attraverso lo studio dei segni della funzione derivata prima, sfruttando il suo significato geometrico di coefficiente angolare delle rette tangenti alla curva. Se una curva è crescente i coefficienti angolari delle tangenti sono positivi (negativi se decrescente). Supponiamo, ad esempio, che la positività della derivata prima che si prende in considerazione sia così schematizzata: possiamo allora dedurre dall andamento dei vettori la crescenza e la decrescenza del grafico della curva. In questo caso particolare se i punti rappresentano gli zeri della derivata prima, possiamo anche dedurre che è un massimo, è un flesso orizzontale decrescente, è un minimo e è un flesso orizzontale crescente. Lo studio dei segni della derivata prima ci permetterà di individuare i tratti in cui la funzione è invertibile. Partendo dal presupposto che, per essere invertibile, una funzione deve essere biunivoca, la biunivocità si rileva nei tratti strettamente monotoni del grafico (solo crescenti, solo decrescenti). 10. MASSIMI, MINIMI E FLESSI ORIZZONTALI Tali punti si ricercano ponendo la funzione derivata prima uguale a zero. Infatti, pensando al significato geometrico di derivata, in questi punti la tangente alla curva è parallela all asse x e quindi con coefficiente angolare uguale a zero. Si risalirà alla loro differenziazione con lo studio dei segni della derivata prima o con lo studio della concavità. Questa ricerca non è esaustiva per l individuazione dei massimi o dei minimi relativi; potremmo trovare infatti tali punti in corrispondenza di cuspidi o di punti angolosi. 11. CUSPIDI, PUNTI ANGOLOSI E FLESSI VERTICALI Lo studio di una funzione: Pag. 6/8

7 Si ricercano nei punti di discontinuità della derivata prima ma che fanno parte del Campo di Esistenza della funzione. CUSPIDE PUNTO ANGOLOSO FLESSO VERTICALE Per determinare che tipo di punto abbiamo, dobbiamo calcolare (compatibilmente al C.E. della funzione) i limiti destro e sinistro della derivata prima per x che tende ad,in formula: Osserviamo questi casi: se i due limiti hanno come risultato infiniti di segno opposto, siamo in presenza di una cuspide, se i due limiti hanno come risultato infiniti di segno uguale, siamo in presenza di un flesso verticale, se il limite destro e il limite sinistro risultano valori reali, anche diversi tra loro, e di segno opposto abbiamo un punto angoloso Normalmente si possono prevedere Cuspidi, Punti Angolosi o Flessi Verticali nel caso di funzioni che in derivazione producono dei nuovi denominatori (radici, valori assoluti). 12. CONCAVITA La ricerca della concavità (verso l alto o verso il basso) di una funzione si effettua attraverso lo studio del segno della derivata seconda. Dove questa risulta positiva, la concavità sarà rivolta verso l alto, verso il basso in caso contrario. CONCAVITA VERSO L ALTO CONCAVITA VERSO IL BASSO Lo studio di una funzione: Pag. 7/8

8 Lo studio di tali segno ci permetterà anche di ricontrollare i massimi e i minimi relativi della funzione. Saranno punti di massimo relativo i punti per i quali si annulla la derivata prima e le cui coordinate, sostituite nell espressione della derivata seconda, daranno un risultato negativi, saranno punti di minimo relativo quelli che, in tale operazione, daranno risultati positivi. Nell eventualità che la derivata seconda risulti un valore reale costante diverso da zero, dovremo interpretare il fatto come una concavità costante, verso l alto o verso il basso a seconda del segno della costante. Nel caso di y = 0 la funzione di partenza potrebbe essere una retta. 13. RICERCA DEI FLESSI I flessi possono essere di tre tipi: orizzontali, verticali ed obliqui. Soni i punti. Appartenenti al C.E. della funzione, in cui questa cambia di concavità. Si trovano ponendo la derivata seconda uguale a zero e risolvendo l equazione così ottenuta. Da studi precedenti sulla derivata prima (zeri della derivata prima, punti di discontinuità della derivata prima) possiamo prevedere eventuali flessi orizzontali e verticali. Sono flessi orizzontali gli zeri della derivata seconda che annullano anche la derivata prima. Sono flessi obliqui gli zeri della derivata seconda che non annullano la derivata prima. I flessi verticali si ricercano nei punti di discontinuità della derivata prima ma di continuità della funzione (vedi punto 11). 14. GRAFICO Dobbiamo, a questo punto, collegare tra loro tutte le informazioni, grafiche e non, ottenute nei punti precedenti per ottenere sul piano cartesiano l andamento accurato dell espressione analitica: y = f(x) Lo studio di una funzione: Pag. 8/8

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