LA TRASFORMATA DI LAPLACE

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1 LA RASFORMAA DI LAPLACE Pr dcrivr l voluzion di un itma in rgim tranitorio, oia durant il paaggio dll ucit da un rgim tazionario ad un altro, è ncario ricorrr ad un modllo più gnral riptto al modllo tatico, dtto modllo matmatico dinamico. al modllo è cotituito da una o più quazioni diffrnziali ch lgano non olo l variabili incognit di ucita (fftti) con qull not di ingro (cau), ma anch l loro drivat riptto al tmpo. Ad mpio un itma SISO linar tmpoinvariant con ingro x ucita y può r dcritto nlla forma: o, con notazion più compatta n n d y(t) d y(t) dy(t) an + a n n a n + ay(t) dt dt dt m m d x(t) d x(t) dx(t) bm + b m m b m + bx(t) dt dt dt n i m i aid y(t) bid x(t). i i È quindi indipnabil conocr l proprità d i procdimnti di oluzion dll quazioni diffrnziali (linari a cofficinti cotanti) al fin di dtrminar l ucita y(t) di un itma dinamico in ripota ad un dato gnal di ingro x(t). Oltr ai mtodi claici drivati dall'analii matmatica, pr riolvr una quazion diffrnzial linar a cofficinti cotanti, qual qulla dcritta prcdntmnt, i può utilizzar l oprator di traformazion condo Laplac. Si tratta di un procdimnto ch prnta numroi vantaggi riptto all tcnich claich dll analii. In particolar, o traforma quazioni intgro-diffrnziali in quazioni algbrich, di più mplic rioluzion. La traformata di Laplac è una traformazion funzional. al traformazion tabilic una corripondnza biunivoca tra funzioni oggtto (funzioni dl tmpo) funzioni immagin: f(t): [,+ [ C F(): C C

2 ì da aociar a funzioni dl tmpo f(t), in gnral a valori compli, funzioni compl F() dlla variabil compla. In tal modo ad un problma oggtto dfinito nl dominio dl tmpo, po di difficil oluzion, vin aociato un problma immagin, dfinito nl dominio dlla variabil compla, più mplic da riolvr. Dalla oluzion immagin i può quindi ricavar la oluzion oggtto con l'oprazion di antitraformazion o traformazion invra. PROBLEMA OGGEO PROBLEMA IMMAGINE traformazion funzional L SOLUZIONE DEL PROBLEMA OGGEO SOLUZIONE DEL PROBLEMA IMMAGINE traformazion invra L - Si conidri ora la gnrica funzion f(t): dfinita pr t [,+ [ gnralmnt continua in [,+ [ aolutamnt intgrabil in ogni intrvallo [,]: f (t) dt < + > Sia inoltr σ + jω una variabil compla i conidri il gunt intgral di Laplac:

3 + t t f (t)dt lim f (t)dt + Quto intgral può convrgr o divrgr. Poono vrificari i gunti cai: a. l intgral convrg C b. l intgral convrg A, con A C c. l intgral non convrg in alcun punto C Ni primi du cai poiamo dfinir una nuova funzion ch A è dfinita com: F: A C C + t F() f (t)dt La funzion F i dic traformata di Laplac dlla funzion f(t). al traformata i indica anch con: F() L{f(t)} C CONDIZIONI SUFFICIENI PER L'ESISENZA DELLA RASFORMAA DI LAPLACE L condizioni ufficinti pr l'itnza dlla traformata di Laplac F() ono lncat di guito ono oddifatt da quai tutt l funzioni f(t) ch vngono analizzat nlla pratica ni controlli automatici. I. Funzion caual : qualiai pr t<+ f (t) pr t< 3

4 al condizion è ncaria pr la biunivocità dlla traformazion, cioè prché i poa ricavar f(t) con l'oprazion invra: f(t) L - {F()} Ea può r facilmnt ottnuta con un'opportuna clta dll'origin dll'a di tmpi, oia ffttuando vntualmnt una tralazion dll'a vrtical. II. Funzion continua a tratti: [,] f(t) ha un numro finito di dicontinuità III. Funzion limitata al finito: M R+ tal ch t R+: f(t) <M con t t IV. Funzion di ordin ponnzial all'infinito: M r+ σ R t R + tal ch f(t) < M -σt con t t t finito EOREMA DEL DOMINIO DI CONVERGENZA Si è vito ch l intgral di Laplac ha un dominio di convrgnza A, in cui o convrg in cui la traformata di Laplac è quindi dfinita. Si può dimotrar ch la traformata di Laplac F() it pr tutti i valori di tali ch: R{}>σc, σc Α ovvro il dominio di convrgnza A è dato da un mipiano ch coincid con la part dl piano complo pota alla dtra dlla rtta vrtical individuata da σc, dtta acia di convrgnza. Evidntmnt nl cao particolar σc- i ha A C la traformata di Laplac F() è dfinita in tutto il piano complo (cao a di pagina 3), 4

5 mntr pr σc+ i ha A la traformata di Laplac F() non è dfinita (cao c di pagina 3). Nl guito ignoriamo il problma dll individuazion dll acia di convrgnza dgli intgrali di Laplac conidrati, dando pr contato ch i vngono analizzati mpr all intrno dl ripttivo dominio di dfinizion. SEGNALI CANONICI ipicamnt ni controlli automatici pr ttar un itma dinamico i utilizzano di gnali dtti canonici o di aggio. Ei vngono lncati di guito. ) Il più comun gnal canonico è il gradino o calino unitario, ch modlla la bruca variazion di un gnal, dovuta ad mpio alla chiuura di un intrruttor o all accnion di un motor lttrico. Eo è dunqu un gnal dicontinuo. ( t ) t < t ) Un ultrior gnal canonico piuttoto comun è la funzion rampa unitaria, ch modlla l aumnto cotant di un gnal. Un mpio tipico i ha ngli altoforni pr la lavorazion di mtalli, in cui la tmpratura aumnta in modo imil all andamnto di una rampa. r ( t ) t t < t 3) Un altro gnal di aggio è la funzion rampa parabolica unitaria, ch modlla l aumnto continuo di un gnal. p ( t ) t t < t 5

6 4) Un ultrior gnal di aggio è la funzion inuoidal, ch modlla l ocillazion continua di un gnal d è comunmnt uata pr ttar la ripota di rti lttrich itmi di controllo audio vido. x ( t ) inωt t < inωt (t). t 5) Di analogo uo è la funzion coinuoidal. x ( t ) coωt t < coωt (t). t 6) Important è poi la funzion impulo di ampizza finita, data dalla combinazion di du gradini, ch ottnd un ara unitaria. t < ;t> p (t) t / p (t) Si orva ch qualiai ia la durata dlla funzion impulo di ampizza finita a ha mpr ara unitaria, oia val la rlazion: + p (t)dt. 7) Il gnal impulo di Dirac è un gnal idal ch approima un impulo di ara unitaria i tingu in un tmpo infinitimo. Eo modlla fnomni itantani com fulmini o urti improvvii. δ( t ) lim p ( t ) 6

7 Valgono l gunti proprità, alcun dll quali ono intuitiv: +. δ( t )dt +. f ( t ) δ( t )dt f ( ) d( t ) δ ( t ) ; 3. ( t ) t δ( τ ) dτ dt dr( t ) ( t ) ; 4. r( t ) t ( τ ) dτ dt dp( t ) r ( t ) ; 5. p( t ) t r( τ ) dτ dt β α f(t) δ(t - a) dt f(a) a α a α [, β] [, β] In particolar, orvando la proprità 3, è vidnt ch in a l oprator di drivata indica la drivata gnralizzata, poiché l impulo di Dirac è dicontinuo tra - + in o aum valor infinito. Quindi l impulo di Dirac è in raltà una ditribuzion, non una funzion vra propria. RASFORMAE NOEVOLI Riportiamo di guito l traformat di funzioni notvoli. E i poono ricavar applicando la dfinizion di intgral di Laplac, com è indicato nl cao dl gradino unitario. a) raformata dlla funzion gradino unitario f(t) (t) pr t pr t < F() 7

8 Infatti dalla dfinizion di traformata i ha: + -t -t F() () (t) dt lim dt + t - - lim - lim - ( ) lim poiché riulta: lim + - R{} > F() con σc b) raformata dll impulo di Dirac f(t) δ(t) F ( ) Infatti dalla dfinizion di traformata applicando la proprità di pagina 6 i ha: -t -t t F() () + (t) dt + δ δ (t) dt c) raformata dlla funzion rampa unitaria f(t) r(t) t (t) F() 8

9 d) raformata dlla funzion rampa parabolica f(t) p(t) / t (t) F() 3 ) raformata dlla funzion ponnzial (a C ) f(t) -at (t) F ( ) + a Infatti dalla dfinizion di traformata i ha: + at -t -(+a)t ( a)t F() (t) dt lim dt lim a -(+a) -(+a) lim - ( ) lim + +a +a +a + poiché -(+a) lim R{} > -R{a} + riulta: F ( ) con σc -R{a} + a f) raformata dll funzioni inuoidali f(t) [n (ωt)] (t) F() ω + ω 9

10 f(t) [co (ωt)] (t) F() + ω Pr la traformazion i fruttano l formul di Eulro, rapprntando l funzioni inuoidali com omm di ponnziali compli. Infatti pr l formul di Eulro i ha: inω t jωt j jωt, coωt jωt + jωt quindi L{in(ωt)} L{ j t ω }- L{ jω t } j j j jω j + jω + jω + jω jω ω. j + ω j + ω + ω Analogamnt i ha: L{co(ωt)} L{ ω }+ L{ j t + jω + jω + ω jωt } + jω + ω + ω + jω. PROPRIEÀ E REGOLE DI RASFORMAZIONE a) Val la gunt rlazion: F(*) F*() dov il imbolo * indica l'oprazion di coniugazion di numri compli: i ricordi ch F() è una funzion a valori compli.

11 b) Proprità di linarità La combinazion linar tramit i cofficinti compli a b di du funzioni f(t) d f(t), avnti traformat F() d F(), ha com traformata la ta combinazion linar dll funzioni F() d F(): f(t) a f(t) + b f(t) F() a F() + b F() Infatti l intgral è un oprator linar. c) orma dlla tralazion nl tmpo Data una funzion f(t) con traformata F(), la funzion f(t) ritardata nl tmpo di τ condi ha la gunt traformata: g(t) f(t-τ) G() -τ F() quindi l oprator -τ modlla un ritardo puro nl dominio dlla frqunza compla. d) orma dlla tralazion compla Data una funzion f(t) con traformata F() conidrato a C, i ha: g(t) -at f(t) G() F(+a) Si noti ch la traformata notvol dlla funzion ponnzial vita nl paragrafo prcdnt è un cao particolar di quto torma, quando i conidra f(t)(t). Altri cai particolari ono i gunti: g(t) (-at) n(ωt) G() ( ) + a + ω g(t) (-at) co(ωt) ( + a) G() ( + a) + ω ω

12 ) orma dl cambiamnto di cala Data una funzion f(t) con traformata F(), la funzion da a ottnuta cambiando la cala di tmpi di una quantità a C ha la gunt traformata: f) orma dlla moltiplicazion pr tn Cai particolari: g(t) f(t/a) G() a F(a ) g(t) t f(t) G( ) g(t) tn f(t) G( ) ( ) n df( ) d d ( n ) [ F( )] d n I) raformata dlla potnza: g(t) tn (t) n! G ( ) n+ Pr mpio: rampa g(t) t (t) r(t) parabola g(t) t (t) p(t) G ( ) G ( ) 3 II) g(t) tn (-at) G ( n! ) ( + a ) n+ g) orma dlla traformata dlla drivata Sia f(t) una funzion dfinita drivabil pr t ; it la traformata F() di f(t), allora it la traformata dlla ua drivata prima, ch val:

13 L {f () (t)} F() - f() Gnralizzando pr l drivat ucciv, con un procdimnto di itrazion i ottin: L {f () (t)} F() - f() - f () () L {f (3) (t)} 3 F() - f() - f () () - f () () L {f (n) (t)} n F() - n- f() - n- f () () f (n-) () - f (n-) () Pr mpio: δ(t) d( t ) dt L {δ(t)}. Si nota ch la condizion inizial i calcola mpr com f( - ), anch la f(t) è dicontinua in, com nl cao dl gradino. Infatti l condizioni iniziali ono conidrat mpr prima dll applicazion dll ingro. h) orma dlla traformata dll'intgral S f(t) ha traformata F(), allora val la rgola: i(t) t f(τ) dτ I() F() Pr mpio: r(t) ( t τ)dτ L {r(t)} p(t) r( t τ)dτ L {p(t)} ;. 3 3

14 i) orma dlla funzion priodica Sia f(t) una funzion priodica di priodo a valori in C. Si conidri la funzion f (t), ottnuta rtringndo il dominio di dfinizion di f(t) all'intrvallo [,]: f (t): [,] C Prtanto val la gunt prion: f(t) k f (t k) f (t) + f (t ) + f (t )+ Si ipotizzi ch f (t) ia traformabil con traformata F (). Allora val la gunt rgola di traformazion: f(t) F( ) F ( ) ( ) F ( ) + n ( ) n F ( ) dov i è applicata la nota rgola dll ri condo cui + n ( x ) n x. l) Prodotto di convoluzion Dat du funzioni f (t) d f (t), il prodotto di convoluzion tra loro è dfinito com gu, dov il imbolo indica il prodotto di convoluzion: f ( t ) f ( t ) + f( t ) f( τ ) f ( t τ ) dτ 4

15 S f(t) d f(t) hanno ripttivamnt traformat F() d F(), val la gunt rgola di traformazion: f(t) F() F () F () IMPULSI DI ORDINE SUPERIORE Analogamnt all impulo di Dirac i poono dfinir impuli di ordin uprior, dov i intnd δ(t) com l impulo dl primo ordin. In gnral l'impulo di ordin n-imo val: n δ n n dδn-(t) d (t) d δ(t) d (t) δ n (t) dt n n dt dt dt d ha traformata (ch i ottin facilmnt applicando la proprità di traformazion dlla drivata di una funzion riportata a pagina ): L {δn(t)} n () n- n Grazi agli impuli è quindi poibil antitraformar i polinomi in. EOREMA DEL VALORE FINALE E EOREMA DEL VALORE INIZIALE I. orma dl valor final Nll'ipoti ch f(t) ia traformabil condo Laplac con traformata F() ia drivabil, ch inoltr ita il limit pr t + di f(t), allora val la gunt rlazion:. lim f (t) lim F() t + 5

16 II. orma dl valor inizial Nll'ipoti ch itano i gunti limiti: lim t f ( t ) lim F( ) allora val la gunt rlazion: lim t f(t) lim F() 6

17 ESEMPI Calcolar la traformata di Laplac dl gunt gnal: La funzion f(t) è priodica di priodo 4. Quindi F ( ) F( ) F ( ) 4 4 dov f 4 (t): [,] R è la funzion gunt: f 4 (t)(t)- (t-)+(t-4) f 4 (t) con 4 + F 4 () + 4 da cui 4 F ( ) F() ( ) 7

18 Calcolar la traformata di Laplac dl gunt gnal a dnt di ga: f(t) f (t) t t La funzion f(t) è priodica di priodo. Quindi F ( ) F( ) F ( ) dov f (t): [,] R è la funzion gunt: f (t)r(t)-r(t-)-(t-) con F () da cui F F() ( ) ( ) 8

19 Calcolar la traformata di Laplac dl gunt gnal ottnuto da un raddrizzator a ingola mionda: f(t) f (t) / t / t La funzion f(t) è priodica di priodo. Quindi F ( ) F( ) dov f (t): [,] R è la funzion gunt: f (t)inωt (t)+inω (t-/) (t-/), con ω π ω ω F () ω + ( + ) + ω + ω + ω da cui F F() ( ) ω + + ω 9

20 Calcolar la traformata di Laplac dl gunt gnal ottnuto da un raddrizzator a doppia mionda: f(t) f (t) t t La funzion f(t) è priodica di priodo. Quindi F ( ) F( ) dov f (t): [,] R è la funzion gunt: f (t)inω t (t)+inω (t-) (t-), con π ω' π ω' ω' ω' F () + ( + ) + ω' + ω' + ω' da cui F F() ( ) ω' + + ω'

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