Misurare Che cosa significa misurare incertezza errore assoluto sensibilità Misure dirette e misure indirette misure dirette misure indirette

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1 Misurare Ce cosa significa misurare Aldo e Bruno sono due amici. Se li facciamo stare in piedi con le spalle contro il muro, uno accanto all altro, vediamo ce Aldo è più alto di Bruno. In questo modo abbiamo confrontato le altezze dei due ragazzi, ma non le abbiamo ancora misurate. Per misurare l altezza di Bruno gli accostiamo un metro graduato in centimetri e osserviamo ce la divisione più vicina alla sua altezza è quella dei 148 cm, quindi egli è più alto di 147 cm e più basso di 149 cm. Avendo a disposizione un metro più preciso, graduato in millimetri, avremmo potuto dire ce Bruno è più alto di 148, cm e più basso di 148,4 cm, ma ance in quel caso la misura sarebbe stata un valore imprecisato compreso tra due riferimenti. Il risultato di una misura è sempre un intervallo di valori la cui ampiezza (ce prende il nome di incertezza o errore assoluto) coincide con la sensibilità dello strumento, cioè con il più piccolo intervallo apprezzabile con quello strumento. Per esprimere il risultato di una misura comprensivo dell incertezza solitamente si scrive il valore centrale dell intervallo più o meno la sua semilargezza. Nel caso dell altezza di Bruno 148 cm ± 1 cm. Solitamente l errore assoluto su una grandezza si indica anteponendo la lettera greca (delta) al simbolo della grandezza, cosiccé se ciamiamo X la grandezza in esame la misura si scriverà X± X. Misure dirette e misure indirette Per misurare l altezza di Bruno abbiamo confrontato la grandezza incognita con una dello stesso tipo: la lungezza del metro. In questo caso si parla di misure dirette. Quando ci misuriamo la febbre la grandezza ce siamo interessati a conoscere è la temperatura del nostro corpo, ma il confronto ce facciamo non è tra due temperature, bensì tra due lungezze: la lungezza della colonnina di mercurio e quella della scala graduata del termometro. Il funzionamento del termometro si basa sul fatto ce la lungezza della colonnina di mercurio dipende dalla temperatura secondo una legge nota. Tutte le volte ce per misurare una grandezza se ne misura un altra e si applica una qualce relazione ce lega la prima alla seconda eseguiamo delle misure indirette. Esempio 1 Misura diretta dell area di un triangolo e misura indiretta della stessa area mediante la formula applicata alla misura delle dimensioni del triangolo Disegniamo un triangolo su un foglio a quadretti con la base di 1 quadretti e l altezza di 5. Ogni quadretto a il lato di 1 cm, e quindi l area di 1 cm. Misuriamo l area del triangolo sia direttamente ce indirettamente (in questo esempio per semplicità non considereremo l incertezza della misura ma ci limiteremo a darne il valore più vicino). Analisi e soluzione Per effettuare una misura diretta dobbiamo confrontare il nostro triangolo con un campione di area nota, questo è un singolo quadretto ce a area pari a 1 cm. Basterà dunque contare i quadretti ce sono interni al triangolo. Dato ce alcuni quadretti sono interni al triangolo solo in parte, considereremo interni solo quelli ce anno più della loro metà nel triangolo ed esterni quegli altri. Contando troviamo 30 quadretti interni e quindi una superficie di 30 cm. Per effettuare la misura indiretta, invece, misuriamo la base e l altezza del triangolo ce risultano essere pari a 1 e 5 quadretti rispettivamente. Calcoliamo quindi la superficie del triangolo applicando la nota formula base altezza 1 cm 5 cm S = = = 30 cm Incertezze ed errori In una misura eseguita nelle migliori condizioni possibili l incertezza è data dalla sensibilità dello strumento. In generale però sono sempre presenti molteplici fattori di disturbo ce peggiorano l accuratezza di una misura. Se per esempio misuriamo la lungezza di un oggetto non perfettamente rigido come un pezzo di filo oppure in movimento come l altezza di un cespuglio in

2 una giornata ventosa, la misura avrà una incertezza più grande della sensibilità dello strumento. In questi casi si parla di errore accidentale. L errore accidentale può essere sia in eccesso ce in difetto. Consideriamo adesso un termometro in cui, per un difetto di fabbricazione, la scala graduata sia stata montata spostata più in alto rispetto alla corretta posizione di uno spessore corrispondente a due decimi di grado. Tutte le misure risulteranno allora più basse di due decimi di grado rispetto al reale valore. Questo è un esempio di errore sistematico. In una serie di misure gli errori sistematici sono sempre tutti per eccesso o tutti per difetto. Un caso molto comune di errore sistematico è il cosiddetto errore di parallasse, ce si verifica quando utilizziamo strumenti con una lancetta ce segna un valore su una scala graduata. Esso consiste nel fatto ce un punto di osservazione spostato causa l allineamento della lancetta con un valore diverso da quello effettivamente indicato. Esempio Misura diretta dell area di un triangolo e valutazione dell incertezza della misura Consideriamo il triangolo dell esempio 1. Misurane l area direttamente contando i quadretti. Assumendo come limite inferiore della misura la superficie totale dei quadretti interamente contenuti nel triangolo e come limite superiore la superficie totale dei quadretti contenuti nel triangolo ance solo parzialmente, valuta l incertezza della misura nei due casi: di quadretti con il lato di 1 cm e 0,5 cm rispettivamente. Analisi e soluzione Facciamo riferimento alla figura 5. In entrambi i casi l area del triangolo è maggiore o uguale al numero dei quadretti interamente contenuti nel triangolo (quadretti azzurri) moltiplicato per l area di un singolo quadretto e minore o uguale al numero dei quadretti interamente o parzialmente contenuti nel triangolo (quadretti azzurri e celesti) moltiplicato per l area di un singolo quadretto. L incertezza della misura è quindi il numero di quadretti celesti moltiplicato per l area di un quadretto. Nel primo caso i quadretti azzurri sono e quelli celesti 15; quindi poicé la superficie di ogni quadretto è di 1 cm l area del triangolo è compresa tra cm e 37 cm, mentre l incertezza della misura è pari a 15 cm. Nel secondo caso i quadretti interamente interni al triangolo sono 103 mentre quelli solo parzialmente contenuti in esso sono 30. Poicé adesso il lato dei quadretti è di 0,5 cm e la loro area vale 0,5 cm la superficie del triangolo risulta compresa tra 103 0,5 cm = 5,7 cm e 133 0,5 cm = 33, cm mentre l incertezza della misura risulta essere 30 0,5 cm = 7,5 cm. Osserviamo ce diminuendo le dimensioni del quadretto la precisione della misura migliora. Misure ripetute Dato ce l errore assoluto dipende sia dalla sensibilità dello strumento ce dalle condizioni in cui viene eseguita la misura, come facciamo a stabilire il corretto valore da attribuire all incertezza? Risulta conveniente ripetere la misura diverse volte: se ogni volta troviamo un valore diverso, l intervallo corrispondente alla misura avrà come estremi il più piccolo ed il più grande tra i risultati ottenuti, se invece troviamo sempre lo stesso valore significa ce le condizioni di misura sono ottimali e l incertezza è data dalla sensibilità dello strumento. Ripetere la misura diverse volte permette di ridurre l effetto degli errori accidentali, ma non a alcun effetto su quelli sistematici. Il risultato di una serie di misure ripetute di una stessa grandezza (ciamato valore medio) è la media aritmetica dei risultati trovati; l errore assoluto è la semidifferenza tra il risultato più grande e quello più piccolo. Errore assoluto ed errore relativo Consideriamo le due misure: la lungezza di bastoncino, ce risulta essere,4 cm ± 0,3 cm, effettuata con un rigello e la distanza tra due caselli dell autostrada, eseguita mediante il contacilometri di un auto, ce vale 49,8 ± 100 m. Ci domandiamo quale delle due misure sia la più precisa. Saremmo tentati di rispondere la prima, infatti essa a un incertezza di soli 3 mm contro i 100 m dell altra. Se tuttavia consideriamo l incertezza in rapporto a tutta la misura vediamo 0,3 cm ce nella prima l errore è una frazione = 0, 15 della misura, mentre nella seconda l errore è,4 cm

3 100 m solo una frazione = 0, 00 della misura, pertanto quest ultima è molto più precisa. Per m quanto riguarda l informazione sulla precisione della misura, più significativo dell errore assoluto è l errore relativo, definito come il rapporto tra l errore assoluto e la misura. L errore relativo, essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro, cioè senza unità di misura. Solitamente l errore relativo su una grandezza si indica mediante la lettera greca ε (epsilon) alla quale si appone come pedice il simbolo della grandezza stessa, cosiccé se ciamiamo ad esempio a la grandezza in esame l errore relativo su a sarà ε a. Misurare nel quotidiano Le operazioni di misura riguardano moltissime delle attività della vita di tutti i giorni, in cui però sembra ce quello ce interessa sia un valore affidabile della grandezza ce stiamo misurando senza alcun riferimento all incertezza della misura stessa. Dunque la valutazione dell errore di una misura non a importanza per le attività al di fuori del laboratorio di fisica? Non è proprio così. Ci sono delle situazioni in cui una maggiore o minore incertezza della misura può fare la differenza. Se ad esempio su una strada c è il limite di velocità di 90, un auto ce viaggia esattamente a 90 non commette infrazione. Supponiamo ora ce una pattuglia della polizia stradale riveli con l autovelox ce una maccina sta andando di poco sopra i 90: quell automobilista deve essere multato oppure no? La misura avrà la sua incertezza, quindi potremo avere una lettura dell autovelox superiore a 90 e tuttavia compatibile con una velocità inferiore al limite. Per questo motivo la legge ammette una tolleranza del 5% sulla velocità rilevata, con un minimo di 5 per velocità rilevate fino a 100 prima di far scattare la sanzione. Vediamo allora ce in questo caso una maggiore o minore incertezza può fare la differenza di qualce centinaio di euro di multa!

4 Verifice di comprensione 1. Qual è la differenza tra confrontare e misurare?. Cosa otteniamo ogni volta ce facciamo una misura? 3. Ce cos è l incertezza o errore assoluto di una misura? 4. Ce cos è la sensibilità di uno strumento di misura? 5. Come si esprime il risultato di una misura? 6. Ce cosa si intende per misura diretta? 7. Ce cosa si intende per misura indiretta? 8. Ce cos è l errore accidentale? 9. Ce cos è l errore sistematico? 10. Ce cos è l errore di parallasse? 11. Quando è auspicabile ripetere diverse volte la stessa misura? 1. Quando non è importante ripetere diverse volte la stessa misura? 13. Come si può ridurre l effetto degli errori accidentali su una misura? 14. Qual è l effetto della ripetizione della misura diverse volte sugli errori sistematici? 15. Nel caso di misure ripetute da ce cosa è data l incertezza? 16. Nel caso di misure ripetute da ce cosa è dato il valore della grandezza? 17. Come è definito l errore relativo? 18. Come si fa a stabilire quale tra due diverse misure è più precisa? Verifice di conoscenza 1. Il risultato di una misura è: a. un numero b. un insieme di valori maggiori di un numero c. un insieme di valori minori di un numero d. un insieme di valori compresi tra due numeri. Nella misura 148 cm ± 1 cm l incertezza è: a. 1 cm b. cm c. 0,5 cm d. l intervallo tra 147 cm e 149 cm 3. In condizioni ottimali la di una misura coincide con la dello strumento utilizzato. 4. Il display di un cronometro digitale riporta la seguente lettura: 36,78. La sensibilità dello strumento è: a. un decimo di secondo b. mezzo decimo di secondo c. un centesimo di secondo d. un millesimo di secondo 5. Quali tra le seguenti misure sono dirette e quali indirette? a. L area di un pavimento misurata contando il numero di piastrelle e sapendo l area di una piastrella. b. La durata della prova di un atleta ottenuta avviando il cronometro alla partenza e fermandolo quando taglia il traguardo. c. La febbre controllata con il termometro. d. L altezza di un tavolo misurata con un metro. e. L area di un pavimento misurandone le dimensioni e moltiplicandole tra loro. 6. Un pezzo meccanico, misurato con estrema precisione, risulta essere lungo 18,5 cm ± 0,05 cm. Viene poi nuovamente misurato con due rigelli dei quali uno per un difetto di fabbricazione introduce un errore sistematico nelle misurazioni. I risultati di due serie di misure ripetute sono i seguenti. Primo rigello: [18,0 cm; 17,9 cm; 18,3 cm; 18, cm; 18,4 cm]. Secondo rigello: [18, cm; 18,6 cm; 18,5 cm; 18,3 cm; 18,5 cm]. Qual è il rigello difettoso? 7. In una serie di misure ripetute il risultato è: a. la media aritmetica dei risultati

5 b. il più grande dei valori trovati c. il valore ce compare più spesso d. la somma tra il valore più grande e quello più piccolo divisa per due e. il più piccolo dei valori trovati 8. In un serie di misure ripetute l incertezza è: a. la media aritmetica delle incertezze b. la differenza tra il valore più grande e quello più piccolo c. la differenza tra il valore più grande e quello più piccolo divisa per due d. la somma delle misure divisa per il numero delle misure 9. L errore relativo è: a. l inverso dell errore assoluto b. il prodotto tra l errore assoluto e l incertezza c. la metà della sensibilità dello strumento d. il rapporto tra l incertezza e il valore della misura 10. Quando tra due misure la prima è più accurata della seconda allora: a. l errore relativo della prima è sempre minore di quello della seconda b. l errore assoluto della prima non può essere maggiore di quello della seconda c. l errore relativo della seconda può ance essere minore di quello della prima d. i due errori assoluti non possono essere uguali Problema svolto 1 Calcolo del valore medio, dell errore assoluto e dell errore relativo di due misure Cinque amici misurano l altezza di Bruno indipendentemente l uno dall altro dapprima con un metro preciso al cm ottenendo i seguenti risultati: 148 cm 148 cm 148 cm 148 cm 148 cm Successivamente i cinque ripetono la serie delle misure utilizzando però un metro preciso al mm. I risultati adesso sono: 147,9 cm 148, cm 148,1 cm 148,3 cm 148,1 cm Calcola il risultato delle due misure, l errore assoluto e l errore relativo nei due casi. Analisi e soluzione Nel primo caso l incertezza dovuta alle condizioni di misura è trascurabile rispetto a quella dovuta alla sensibilità dello strumento. Scriveremo perciò 148 cm ± 1 cm. Nel secondo caso invece è evidente un effetto dovuto alle condizioni di misura. Il risultato sarà dato dalla 147, , + 148, , ,1 media dei valori, cioè: = 148, 1cm mentre l errore assoluto si calcola 5 148,3 147,9 come la semidifferenza tra il più grande ed il più piccolo risultato: = 0, cm. Infine scriveremo: 148,1 cm ± 0, cm. Per quel ce riguarda l errore relativo, applicando la definizione avremo: 1cm prima misura: errore relativo = = 0, cm 0,cm seconda misura: errore relativo = = 0, ,1cm Problema svolto Calcolo dell incertezza di una misura mediante il valore medio e l errore relativo Una misura di massa a dato come risultato il valore m = 0,800 kg con un errore relativo di 0,005. Quanto vale l incertezza della misura? Scriviamo i dati del problema Il valore della misura m = 0,800 kg. L errore relativo ε m = 0,005. Incognita del problema L errore assoluto m.

6 Analisi e soluzione m Poicé ε m =, si a ce m = ε m m = 0,005 0,800 kg = 0,00 kg = g. m Problemi 1. Cinque studenti misurano indipendentemente con lo stesso rigello la lungezza di una sbarretta ottenendo i seguenti risultati: 1,6 cm; 1,8 cm; 1,5 cm; 1,7 cm; 1,4 cm. a. Quanto vale il valore medio della misura? b. Quanto vale l errore assoluto della misura? c. Quanto vale l errore relativo della misura? d. Esprimi il risultato della misura come intervallo.. Il risultato della misura di un certo intervallo di tempo è 118 s con un errore relativo di 0,0017. Quanto vale l errore assoluto della misura? 3. Come risultato della misura di una certa lungezza si ottiene l intervallo [71 m; 79 m]. Quanto valgono l errore assoluto e quello relativo? 4. Dopo aver calcolato l errore relativo, disponi le seguenti misure in ordine di precisione decrescente: a. 1,8 m ± 10 cm b. 48 mm ± 6 mm c. 50 kg ± 1 kg d. 140,0 s ± 0,7 s e. 80 kg ± 40 g 5. Un orologio va avanti di 5 minuti al giorno. Qual è l errore sistematico dato in secondi, ce si a misurando con quell orologio un intervallo di ore? Il valore misurato risulta più lungo o più breve rispetto ad una misura corretta?