Didattica della Matematica 1 - classe A047 Trasformazioni geometriche - seconda parte

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1 Didattica della Matematica 1 - classe A047 Trasformazioni geometriche - seconda parte anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 1 / 18

2 index Argomenti 1 Argomenti 2 Elementi uniti 3 Rappresentazioni analitiche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 2 / 18

3 Argomenti Rappresentazione analitica Elementi uniti delle isometrie e delle similitudini piane. Rappresentazione analitica delle isometrie e delle similitudini. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 3 / 18

4 index Elementi uniti 1 Argomenti 2 Elementi uniti 3 Rappresentazioni analitiche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 4 / 18

5 Elementi uniti Sia Π un piano e f : Π Π una trasformazione piana. Sia P Π un punto di Π. Si dice che P è un punto unito o fisso per f se f (P) = P. Sia X Π. Si dice che X è un sottoinsieme (globalmente) unito o fisso per f se f (X) = X. Si dice che X è un sottoinsieme di punti uniti o fissi per f se f (P) = P, P X. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 5 / 18

6 Elementi uniti Una traslazione τ v (diversa dall identità) non ha punti fissi; ha come rette fisse tutte le rette parallele a v; non ha circonferenze unite. Una rotazione ρ C,α (diversa dall identità) ha come unico punto unito C; non ha rette fisse se α π (mod 2π) (se α = π tutte le rette per C sono fisse); le circonferenze di centro C sono fisse. Una riflessione σ r ha tutti i punti di r come punti fissi (quindi r è una retta di punti uniti); tutte le rette ortogonali a r sono unite; le cirocnferenze di centro su r sono unite. Una glissoriflessione γ r,v non ha punti uniti; ha la retta r come retta unita; non ha circonferenze unite. La conoscenza dei punti e delle rette unite di una isometria f permette di riconoscere la trasformazione. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 6 / 18

7 index Rappresentazioni analitiche 1 Argomenti 2 Elementi uniti 3 Rappresentazioni analitiche Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 7 / 18

8 Isometrie Sistema di riferimento cartesiano ortogonale (monometrico) sul piano Π. Coordinate (x, y). f isometria. P (x, y), f (P) (x, y ). Le isometrie sono trasformazioni lineari. x = a 11 x +a 12 y +c 1 y = a 21 x +a 22 y +c 2 ; ovvero ove ( ) x ( ) xy y = A + c, ( ) ( ) a11 a A = 12 c1 a 21 a, c = 22 c. 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 8 / 18

9 Si ha C (c 1, c 2 ) = f (O), O (0, 0), quindi cioè ovvero dist(o, P) = dist(c, f (P)), x 2 + y 2 = (a 11 x + a 12 y + c 1 c 1 ) 2 + (a 21 x + a 22 y + c 2 c 2 ) 2, a a 2 21 = 1 a 11 a 12 +a 21 a 22 = 0 a a 2 22 = 1 cioè A A T = I, ossia A è una matrice ortogonale. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A047 9 / 18

10 Pertanto ( si ha ) ( a b cos(θ) sin(θ) A = b a = sin(θ) cos(θ) oppure ( ) ( a b cos(θ) sin(θ) A = b a = sin(θ) cos(θ) Isometrie del I tipo Isometrie del II tipo (I) x = xcos(θ) ysin(θ) +c 1 y = xsin(θ) +ycos(θ) +c 2 ), se det(a) = a 2 + b 2 = 1, (I tipo) ), se det(a) = a 2 b 2 = 1 (II tipo). (II) x = xcos(θ) +ysin(θ) +c 1 y = xsin(θ) ycos(θ) +c 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

11 Osservazione - Nel caso (c 1, c 2 ) = (0, 0) un isometria di tipo (I) è la rotazione attorno a O (0, )) di ampiezza θ infatti i vettori colonna della matrice ( ) cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) ( ) ( ) rappresentano i trasformati dei vettori e 1 = e e 2 =. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

12 Mostriamo che le trasformazioni del I tipo sono solo l identità, rotazioni o traslazioni. Cerchiamo i punti uniti. x = xcos(θ) ysin(θ) +c1 y = xsin(θ) +ycos(θ) +c 2 (1 cos(θ))x +sin(θ)y = c1 sin(θ)x +(1 cos(θ))y = c 2 La matrice del sistema è ( 1 cos(θ) sin(θ) sin(θ) 1 cos(θ) il cui determinante è (1 cos(θ)) 2 + sin(θ) 2 = 2(1 cos(θ)). ) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

13 Quindi se cos(θ) = 1, cioè θ = 0 (mod 2π), (x, y ) = (x, y) + (c 1, c 2 ) quindi f è una traslazione (o l identità) se cos(θ) 1, esiste uno ed un solo punto unito (x 0, y 0 ) per f. Nel secondo caso si ha x0 = x 0 cos(θ) y 0 sin(θ) +c 1 y 0 = x 0 sin(θ) +y 0 cos(θ) +c 2 che, insieme a (I), fornisce x x 0 = (x x 0 )cos(θ) (y y 0 )sin(θ) y y 0 = (x x 0 )sin(θ) +(y y 0 )cos(θ) da cui si vede che la trasformazione è una rotazione di centro (x 0, y 0 ). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

14 Mostriamo ora che le trasformazioni del II tipo sono solo riflessioni o glissoriflessione. Anche in questo caso cerchiamo i punti uniti. x = xcos(θ) +ysin(θ) +c1 y = xsin(θ) ycos(θ) +c 2 (1 cos(θ))x sin(θ)y = c1 sin(θ)x +(1 + cos(θ))y = c 2 La matrice del sistema è ( 1 cos(θ) sin(θ) sin(θ) 1 + cos(θ) il cui determinante è 1 cos(θ) 2 sin(θ) 2 = 0. La trasformazione pertanto può avere infiniti punti uniti (riflessione) o nessun punto unito (glissoriflessione). ) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

15 Riassumendo, un isometria che abbia tutto il piano di punti uniti, è l identità; una retta r come luogo di punti uniti, è la riflessione rispetto a r; uno ed un solo punto unito C, è una rotazione di centro C; nessun punto unito, è una traslazione (se diretta) o una glissoriflessione (se inversa). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

16 Nel caso delle similitudini si procede in modo analogo, a partire dalla relazione k dist(o, P) = dist(c, f (P)), cioè k 2 (x 2 + y 2 ) = (a 11 x + a 12 y + c 1 c 1 ) 2 + (a 21 x + a 22 y + c 2 c 2 ) 2, con k > 0, k 1 si arriva a trasformazioni dei due seguenti possibili tipi. Similitudini del I tipo (dirette) Similitudini del II tipo (inverse) (I) x = k(xcos(θ) ysin(θ)) +c 1 y = k(xsin(θ) + ycos(θ)) +c 2 (II) x = k(xcos(θ) +ysin(θ)) +c 1 y = k(xsin(θ) ycos(θ)) +c 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

17 Nel caso delle similitudini del I tipo la ricerca dei punti uniti corrisponde a quella delle soluzioni del sistema lineare (1 kcos(θ))x +ksin(θ)y = c1 ksin(θ)x +(1 kcos(θ))y = c 2 (k > 0, k 1). La matrice del sistema è ( 1 kcos(θ) ksin(θ) ksin(θ) 1 kcos(θ) il cui determinante è = (1 kcos(θ)) 2 + k 2 sin(θ) 2 è diverso da 0. Infatti = 0 se e solo se 1 kcos(θ) = ksin(θ) = 0 se e solo se θ = 0, π e k = 1 e questo è impossibile. Esiste uno e un solo punto unito. La similitudine è prodotto di una rotazione e di una omotetia con lo stesso centro. ) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18

18 Nel caso delle similitudini del II tipo per la ricerca dei punti uniti si giunge al sistema lineare (1 kcos(θ))x ksin(θ)y = c1 ksin(θ)x +(1 + kcos(θ))y = c 2 (k > 0, k 1). Il determinante della matrice dei coefficienti del sistema è = 1 k 2 cos(θ) k 2 sin(θ) 2 = 1 k 2 ed è quindi diverso da 0. Anche in questo caso esiste uno e un solo punto unito. La similitudine è prodotto di una riflessione e di una omotetia con centro sull asse della riflessione. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 - classe A / 18