Il problema del commesso viaggiatore: da Ulisse alla Logistica integrata. Luca Bertazzi

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1 Il problema del commesso viaggiatore: da Ulisse alla Logistica integrata Luca Bertazzi 0 3

2 Ulisse: da Troia a Itaca Troia Itaca 509 km Quale è stato invece il viaggio di Ulisse?

3 Il viaggio di Ulisse Troia Itaca 9404 km 0 anni Un Odissea!!

4 Ottimizzare il viaggio di Ulisse Ulisse poteva percorrere 509 km per tornare a Itaca ne ha percorsi 9404 visitando 6 location Qual è il percorso minimo che parte da Itaca, visita le 6 location una sola volta e ritorna a Itaca?

5 Le 6 location da visitare Itaca

6 La soluzione di Ulisse Troia Itaca = 993 km Qual è invece il percorso ottimo?

7 Il percorso ottimo Itaca 6859 km 3054 km in meno!!

8 Logistica 0 3

9 ) Gestione della produzione 0 3

10 0 3 Drilling problems: Quale percorso minimizza il tempo totale di perforazione del circuito?

11 2) Gestione magazzini e scorte 0 3

12 Picking problems: Quale percorso minimizza il tempo totale di picking nel magazzino?

13 3) Gestione dei trasporti 0 3

14 0 3 Routing problems: 0 3 Quali percorsi minimizzano la distanza totale per servire i clienti?

15 0 3 4) Logistica integrata Strategie di produzione e spedizione che ottimizzino: 0 3 Produzione Trasporto Scorte sistemi integrati di produzione e distribuzione

16 RMI: Retailer-Managed Inventory Ogni retailer decide la propria politica di approvvigionamento VMI: Vendor-Managed Inventory Il supplier monitora le scorte dei retailer e decide quando e come servire ogni retailer

17 Da Ulisse alla Logistica integrata 0 3 Come determinare il percorso minimo che parte da Itaca, visita le 6 location una sola volta e ritorna a Itaca? Come determinare il percorso minimo che parte dal produttore, visita i clienti una sola volta e torna al produttore?

18 Il problema del commesso viaggiatore TSP (Traveling Salesman Problem) Un commesso viaggiatore deve visitare un certo numero di città. Vuole partire da casa e ritornare a casa dopo aver visitato ogni città una sola volta, percorrendo la distanza minima circuito hamiltoniano a costo minimo

19 Dati n : numero di città c ij : distanza dalla città i alla città j n = 6 Matrice delle distanze:

20 Come determinare un circuito hamiltoniano a costo minimo? Algoritmo di Nearest Neighbor - Parto da Itaca Vado verso la città più vicina (Zakinthos) - Da Zakinthos vado verso la città più vicina (Corfù) - Da Corfù - - Torno a Itaca

21 Nearest Neighbor (NN) Itaca 9988 km Più di Ulisse (9404)!! L algoritmo di NN può generare soluzioni non ottime

22 Come determinare un circuito hamiltoniano a costo minimo? Un percorso è una delle permutazioni degli n nodi Algoritmo di completa enumerazione - Genero tutte le permutazioni corrispondenti a soluzioni diverse - Scelgo la permutazione a costo minimo

23 L algoritmo di completa enumerazione genera sempre una soluzione ottima, ma Numero di soluzioni ammissibili: # permutazioni: n! # soluzioni diverse: (n-)!/2 n = 6 5!/ 2 = giorni di calcolo su una potente workstation

24 Come varia il tempo di calcolo al variare di n? n Tempo di calcolo < secondo 4 giorni secoli L algoritmo di completa enumerazione può essere impraticabile

25 Non per questo si deve esagerare E. Hofmann, La Repubblica, 24 settembre 200 Le farò allora un esempio elementare. Supponga di avere alle sue dipendenze un rappresentante di commercio che debba visitare quattro città. Naturalmente vorrà calcolare il percorso che questo signore deve fare nel modo più efficiente possibile, in modo da rendere minimi gli spostamenti e quindi il costo. Ebbene, con i computer normali, di oggi, il problema non è risolvibile. Ci si può impazzire sopra notti intere. Non è risolvibile. Non le dico cosa succede se poi le città invece di quattro diventano venti. Le conviene non cominciare nemmeno.

26 Il più grande TSP risolto all ottimo: nodi Aprile 2006 Georgia Tech

27 Alcuni record precedenti: 987: 666 posti interessanti nel mondo

28 998: 3509 città negli USA

29 200: 52 città in Germania

30 2002: 6862 città in Italia

31 2004: città in Svezia È il più grande TSP geografico risolto all ottimo

32 Soluzioni ottime nel tempo

33 Riassumendo L algoritmo di Nearest Neighbor può generare soluzioni non ottime L algoritmo di completa enumerazione genera sempre una soluzione ottima, ma può essere impraticabile E stato risolto all ottimo un problema con città Come è stato possibile ottenere questo risultato?

34 Ricerca operativa metodi quantitativi e scientifici nei processi decisionali Logistica Finanza Telecomunicazioni Data Mining Bio-informatica Gestione delle Risorse Umane Gestione dei Servizi Sanitari PROBLEMA MODELLO What-if? What-is-best? ALGORITMI software

35 ) Definizione del problema Dato un grafo completo e pesato G=(V,A), determinare un circuito hamiltoniano a costo minimo PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

36 Dati: n : numero di città c ij : distanza dalla città i alla città j n = 6 Matrice delle distanze:

37 2) Formulazione di un modello ) Variabili decisionali: L arco (i,j) appartiene al circuito? PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

38 x x 2 2 Per ogni arco (i,j) si introduce una variabile binaria che può valere 0 o { 0,} x3 { 0,} x4 { 0,} x23 { 0,} x24 { 0,} x34 { 0,} { 0,} x { 0,} x { 0,} x { 0,} x { 0,} x { 0,} 3 4 x ij 32 0 (i,j) non appartiene (i,j) appartiene 42 43

39 2) Funzione obiettivo: PROBLEMA minimizzare il costo totale Costo arco (i,j) 0 = 0 c se se x ij ij x ij = MODELLO ALGORITMI Costo totale: n n i= j= c ij x ij software

40 x x x x = = = 0 = 0 x x 3 x x = 0 = 0 = 0 = 0 x x 4 x x = = = 0 = 0 Costo totale di questa soluzione: n n c ij x ij i= j= = *+ 2*0 + *+ *+ 2*0 + *+ + *0 + 2*0 + *0 + *0 + 2*0 + *0 = 4

41 Funzione obiettivo: PROBLEMA minimizzare il costo totale MODELLO min n n c ij x ij i= j= ALGORITMI software

42 3) Vincoli: a) Si deve entrare in ogni nodo una sola volta n xij = j =,2,..., n i= b) Si deve uscire da ogni nodo una sola volta n xij = i =,2,..., n j= PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

43 c) Subtours elimination 2 PROBLEMA MODELLO i S j S 4 {,2 n} xij S S,..., ALGORITMI software

44 { } { } n j n i x n S S x n i x n j x x c ij S i S j ij n j ij n i ij n i n j ij ij,2,...,,2,..., 0,,2,...,,2,...,,2,..., min = = = = = = = = = = PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software Modello:

45 3) Applicazione di algoritmi a) Esatti soluzione ottima x 2 = 0 x 2 = Completa enumerazione Branch-&-Bound Branch-&-Cut x3 = 0 x3 = x4 = 0 x 4 = PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

46 b) Euristici soluzione buona Nearest Neighbor Insertion Lin-Kernighan Tabu search Algoritmi Genetici Simulated Annealing PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

47 Obiettivo ideale: - Soluzione ottima - Tempo polinomiale soluzione ottima euristica PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software 0 costo

48 tempo polinomiale esponenziale Es: Nearest Neighbor Es: Completa enumerazione tempo

49 Per il TSP: Tempo/Sol. Ottima Euristica Polinomiale Esponenziale Completa enumerazione Branch-&-Bound Branch-&-Cut Nearest Neighbor Insertion Lin-Kernighan

50 Algoritmi esatti polinomiali Non è mai stato ottenuto un algoritmo in grado di fornire la soluzione ottima del TSP in tempi polinomiali (algoritmo esatto polinomiale) Inoltre: Il TSP è NP-hard

51 Il TSP è NP-hard Appartiene ad una classe di problemi per i quali: - non è mai stato trovato un algoritmo esatto polinomiale - se si trovasse un algoritmo esatto polinomiale per uno di questi problemi, ogni problema della classe avrebbe un algoritmo esatto polinomiale Teoria della complessità computazionale

52 È altamente probabile che un algoritmo esatto polinomiale per il TSP non esista Potenziare gli algoritmi esatti algoritmi euristici PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

53 Algoritmi esatti: Risolvere all ottimo TSP sempre più grandi 954: 49 città 2007: città PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

54 Algoritmi euristici: Trovare soluzioni sempre più vicine all ottimo PROBLEMA MODELLO Nearest Neighbor: 20% Farthest Insertion: 9% Lin-Kernighan: % ALGORITMI software

55 4) Utilizzo di software Gli algoritmi esatti ed euristici sono implementati in software PROBLEMA MODELLO ALGORITMI Concorde software

56 Concorde per il TSP: PROBLEMA MODELLO ALGORITMI software

57 Ricerca operativa e Ulisse Soluzione Ulisse Nearest Neighbor Lin-Kernighan Distanza PROBLEMA MODELLO Ottima 6859 Soluzione ottima in meno di un secondo! ALGORITMI software

58 Ricerca operativa e Logistica componenti fornitori 64 impianti.000 rivenditori 0 PROBLEMA 3 MODELLO Risparmio del 26% del costo logistico! ALGORITMI software

59 0 3 Il TSP è solo uno dei sottoproblemi della logistica integrata La vera sfida consiste nel trovare la soluzione migliore per l intero sistema

60 Conclusione 0 3 Un antico proverbio recita: Se un problema non ha soluzioni, perchè preoccuparsi? Se un problema ha soluzioni, perchè preoccuparsi? PROBLEMA MODELLO ALGORITMI Il problema di Ulisse ha soluzioni La soluzione di Ulisse costa il 43.8% più dell ottimo