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4 EdiTEST Logica numerica II Edizione Copyright 2010, 2007 EdiSES s.r.l. Napoli Le cifre sulla destra indicano il numero e l anno dell ultima ristampa effettuata STOP A norma di legge, le pagine di questo volume non possono essere fotocopiate o ciclostilate o comunque riprodotte con alcun mezzo meccanico. La casa editrice sarebbe particolarmente spiacente di dover promuovere, a sua tutela, azioni legali verso coloro che arbitrariamente non si adeguano a tale norma. L Editore Testi a cura di: Emiliano Barbuto Redazione: EdiSES s.r.l. Napoli Progetto grafico e composizione: ProMediaStudio di A. Leano Napoli Fotoincisione: PrintSprint Napoli Stampato presso la: Litografia di Enzo Celebrano Pozzuoli (NA) Per conto della EdiSES Via Nuova San Rocco, 62/A Napoli ISBN

5 Logica numerica per la preparazione di: Ammissioni universitarie Concorsi pubblici Selezioni aziendali

6 Sommario Prefazione... p. V Capitolo 1: Abilità di calcolo...» 1 Esercizi...» 1 Come sviluppare un calcolo rapido e preciso...» 5 Capitolo 2: La Media...» 13 Definizione...» 13 Proprietà della Media...» 14 Esercizi...» 15 Capitolo 3: Frazioni e Percentuali...» 17 Frazioni...» 17 Confronti tra frazioni...» 20 Percentuali...» 23 Percentuali e Tasso di Interesse...» 27 Esercizi...» 29 Capitolo 4: Proporzioni...» 35 Proprietà delle proporzioni...» 35 Problema del tre semplice inverso e diretto...» 38 Il tre composto...» 42 Esercizi...» 44 Capitolo 5: Equazioni e Sistemi di equazioni...» 48 Equazioni di primo grado...» 48 Sistemi di equazioni...» 56 Le trasformazioni simboliche...» 63 Esercizi...» 65 Capitolo 6: Il Calcolo Combinatorio...» 72 Principio di Moltiplicazione...» 72 Disposizioni con ripetizione...» 74 Disposizioni e Permutazioni...» 75

7 Sommario Combinazioni e coppie di oggetti... p. 77 Esercizi...» 79 Capitolo 7: Probabilità...» 85 Definizione e Proprietà...» 85 Prodotto di Probabilità ed eventi Indipendenti...» 89 Probabilità con il calcolo combinatorio...» 92 Esercizi...» 94 Capitolo 8: Progressioni Geometriche...» 104 Definizione ed esempi...» 104 Esercizi...» 107 Capitolo 9: Insiemi...» 109 Operazioni tra insiemi...» 109 Esercizi...» 113 Capitolo 10: Interpretazione dei Dati...» 115 Esercizi...» 123 Capitolo 11: Sequenze Logiche...» 133 Le Sequenze Numeriche...» 133 Le Sequenze Letterali e Miste...» 137 Le sequenze in configurazioni grafico geometriche...» 140 Esercizi...» 151 Capitolo 12: Puzzle...» 168 Soluzioni...» 181 Approfondimenti: Minimo comune multiplo e Massimo comun divisore...» 229 Spazio, tempo e velocità...» 243 V

8 Prefazione La logica è l anatomia del pensiero. (John Locke) Test di ragionamento logico e logica numerica sono ormai gli strumenti più comunemente utilizzati a qualsiasi livello di selezione: dai concorsi pubblici alle assunzioni aziendali, dall ammissione universitaria all ingresso a master e scuole di specializzazione. L utilizzo di simili strumenti risponde a diverse esigenze, prima fra tutte la necessità di standardizzare le prove rendendole oggettive, non soggette cioè alla valutazione personale dell esaminatore. In linea generale, bisogna anche rilevare che nel tempo i modelli di valutazione sono stati perfezionati; grazie alla sperimentazione su vasti campioni i test sono stati via via affinati e mirati alla valutazione di caratteristiche sempre più specifiche: dai più noti test del Quoziente di intelligenza QI, si è passati alla rilevazione di altri tipi di intelligenza, come quella creativa, quella visuo-percettiva, quella emotiva. Fattori come ambizione, tolleranza, creatività, pragmatismo, carisma possono dunque fare la differenza nonostante un QI giudicato modesto. Non esiste un intelligenza assoluta, in grado cioè di rendere i soggetti capaci di svolgere qualsiasi compito, ma esistono diversi tipi di intelligenza in grado di rendere un individuo più portato per una determinata funzione piuttosto che un altra. Un alto QI, se non accompagnato da un ottima capacità relazionale (capacità di lavorare in gruppo, esercitare carisma, motivare gli altri), non è di per sé sufficiente, per esempio, ad avere successo come dirigente o amministratore in una grande compagnia. In tale contesto si inseriscono i test attitudinali, volti proprio a valutare l esistenza delle capacità (o attitudini) necessarie per avere successo in determinati campi: così per esempio nelle ammissioni universitarie si tende a privilegiare i test di logica numerica e verbale, indici rispettivamente di capacità di ragionamento e di comprensione di concetti nuovi, caratteristiche entrambe essenziali per avere successo negli studi; analogamente, nelle selezioni del personale, a seconda della posizione da occupare, verranno misurate attitudini specifiche, per esempio l empatia sarà richiesta per le posizioni legate alla gestione del personale, la leadership per le posizioni dirigenziali etc. VI

9 Prefazione Questo volume tratta una delle tipologie di test, quelli di logica numerica, mirati a valutare capacità di ragionamento, abilità di calcolo mentale ed intuito logico-matematico. Si tratta della tipologia più diffusa tra i test ma anche la più complessa in quanto richiede l abilità di attivare processi di interpretazione dei simboli (i numeri sono appunto un sistema di simboli), risultato di una pratica sedimentata negli anni che non può essere acquisita in breve tempo ma che può essere migliorata grazie all esercizio. Eppure, sarebbe sbagliato pensare alla logica come uno strumento finalizzato al superamento di un esame. Le abilità di calcolo e la logica numerica sono capacità utilizzate quotidianamente, per esempio nel conteggiare le entrate e le uscite mensili, nel calcolare la percentuale di sconto nei periodi di saldi; anche quando si gioca al lotto è utile avere un idea di quali siano le probabilità che un certo numero venga estratto. Insomma, la logica insegna a ragionare in modo più efficace, ad organizzare il sapere per renderlo immediatamente disponibile quando serve. Questo volume rappresenta dunque un valido strumento non solo per chi deve prepararsi ad affrontare un esame ma anche per quanti desiderano migliorare le proprie capacità intuitive e mantenere la propria mente sempre giovane e in forma. Per molto tempo infatti si è creduto che, una volta conclusa l età dello sviluppo, il cervello divenisse una struttura rigida e immodificabile, e che anzi con il passare del tempo, la degenerazione delle cellule cerebrali portasse ad una costante riduzione delle capacità mentali. Oggi, invece, sappiamo che gli stimoli e l allenamento costante consentono di continuare a modellare il cervello che, negli anni, preserva la sua capacità di modificarsi. L esercizio e la pratica possono dunque migliorare le nostre abilità di calcolo anche se abbiamo da tempo concluso gli studi o se abbiamo sempre avuto un rapporto conflittuale con la matematica. Organizzazione del testo Prerequisiti indispensabili per la risoluzione dei quiz di logica numerica sono l abilità e la rapidità di calcolo mentale, l intuito e l attitudine logica. La prima caratteristica può svilupparsi solo attraverso una pratica costante ed un continuo esercizio; le altre, per quanto in gran parte innate, possono essere affinate VII

10 Prefazione e migliorate con l esperienza. Lo scopo di questo libro è dunque quello di aiutare ad acquistare dimestichezza con i ragionamenti che richiedono calcoli. Per raggiungere questo obiettivo oltre ad una vastissima parte esercitativa composta da circa 400 quiz, vengono sintetizzate le nozioni teoriche necessarie per giungere alla soluzione dei problemi. L obiettivo è dunque quello di favorire il ragionamento e di indurre l apprendimento di una metodologia applicabile alla soluzione di infiniti altri quesiti. Il primo capitolo costituisce un momento di autovalutazione e di preparazione al lavoro. Il volume si apre infatti con un primo blocco di 60 quesiti, una sorta di pretest per valutare le condizioni di partenza, in termini di dimestichezza con le quattro operazioni fondamentali (base dei quiz di logica numerica), e di rapidità di calcolo. Al termine dell esercitazione vengono proposte delle tecniche di calcolo rapido per aiutarvi a sviluppare la capacità di svolgere le operazioni mentalmente e rapidamente. Ciascun capitolo presenta la medesima struttura: Una breve introduzione teorica Una serie di esempi svolti Una esercitazione finale Un capitolo conclusivo contiene i cosiddetti puzzle, cioè esercizi la cui soluzione richiede l applicazione di conoscenze trasversalmente presentate nel corso dei capitoli. Tutti i quesiti proposti sono risolti e commentati nella parte finale del testo. VIII

11 Capitolo 1 Capitolo 1 ABILITÀ DI CALCOLO Abilità di calcolo e intuito logico-matematico sono i due elementi essenziali per la risoluzione di quesiti di logica numerica. Mentre la prima caratteristica riesce ad essere metabolizzata attraverso una pratica costante ed un esercizio assiduo, il secondo requisito è spesso una caratteristica innata, che però può essere affinata e migliorata con l esperienza. L abilità di calcolo aiuta nella risoluzione in quanto minimizza i tempi di risposta e fornisce sicurezza al candidato, sopperendo talvolta ad una carenza di intuito e di esperienza. È dunque necessario possedere una buona dimestichezza con le operazioni fondamentali di calcolo, per affrontare le varie tipologie di quesiti di logica numerica. A tale scopo, in questo primo capitolo, ci occuperemo delle quattro operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), la cui conoscenza è un prerequisito essenziale per lo svolgimento di qualsiasi test di logica numerica. Prima di entrare nel vivo dell argomento è necessario sottolineare che la precisione del calcolo non basta a garantire una buona prestazione, se non è accompagnata dalla necessaria rapidità e da una buona elasticità mentale. L interconnessione tra precisione e rapidità di calcolo è dettata dalle modalità del calcolo stesso. Un calcolo mentale è molto più rapido di un calcolo scritto. Nel calcolo mentale, però, bisogna fare uso contemporaneamente sia delle abilità di calcolo che della memoria a breve termine, utile per memorizzare risultati parziali, in vista di ottenere il risultato finale. Per misurare la propria abilità di calcolo proponiamo di seguito una serie di quesiti, in cui è necessario svolgere operazioni rapidamente. Essi necessitano di una rapida analisi, per individuare le operazioni da utilizzare, e del successivo utilizzo di un calcolo preciso e rapido. Suggeriamo di controllare non solo l esattezza delle risposte ai test proposti, ma anche il tempo impiegato per fornire la risposta corretta. Esercizi Riportiamo una serie di 60 quesiti che mettono alla prova le abilità di calcolo, invitandovi a risolverli in un tempo massimo di 30 minuti. 1

12 Capitolo 1 1) Giovanni acquista 3 pizze al costo di e 7,00 l una, pagando con e 25,00. A quanto ammonterà il resto? 2) Quante mele posso comprare con e 15,00, se il costo di ogni mela è di e 0,20? 3) Un teatro ha 12 file con 12 posti, 4 file con 10 posti e 4 file con 8 posti. Quanti sono i posti in totale? 4) Ripongo una bibita in frigorifero. Se la temperatura iniziale della bibita è 25 gradi ed ogni minuto la sua temperatura diminuisce di mezzo grado, dopo quanti minuti la temperatura della bibita raggiungerà i 4 gradi? 5) Se un bottone pesa 0,15 grammi, quanto peserà un sacchetto di 600 bottoni? 6) Acquisto 20 penne al costo di e 0,20 ciascuna, quanto guadagnerò rivendendole tutte a e 0,50? 7) Se acquisto 12 maglioni a e 30,00 e la metà li rivendo ad e 65,00 quanto avrò guadagnato? 8) Quanto spendo se acquisto 2 kg di arance a e 0,80 al kg e 1,5 kg di pere a e 0,60? 9) Quanti litri di acqua vi sono in una balla di sei bottiglie da 1,5 litri? 10) Una vasca ha una capienza di 120 litri, se il suo rubinetto eroga 15 litri d acqua in un ora, in quante ore riuscirò a riempire la vasca? 11) Acquisto 12 penne al costo di e 0,70 ciascuna, 8 quaderni a e 1,25 ciascuno e 5 matite al costo di e 0,50 ciascuna. Quanto spenderò in totale? 12) Su di un autobus vi sono 32 passeggeri, alla prima fermata salgono 13 persone e ne scendono 8, alla successiva ne salgono 4 e ne scendono 15 e alla terza fermata salgono 7 persone e ne scendono 10. Quanti passeggeri vi sono ancora sull autobus? 13) 50 persone devono affrontare una spesa di e 200. Volendo contribuire tutti in parti uguali quanto dovranno versare a testa? 14) Marco riceve da Luigi e 148. Se ora Marco ha in totale e 200, quanto aveva prima di ricevere i soldi da Luigi? 15) Giovanna riceve da due amiche rispettivamente 45 e 54 cioccolatini che vuole dividere tra i suoi 3 figli. Quanti cioccolatini distribuirà ad ognuno di essi? 16) Ogni kg di pane costa e 2,30. Quanto costerà a Gina l acquisto di 2,5 kg di pane? 17) Con e 25 mi rifornisco di 20 litri di carburante. Quanto costa un litro di carburante? Se la mia auto percorre 12 km con un litro di carburante, quanti km riuscirò a percorrere con il rifornimento fatto? 2

13 Abilità di calcolo 18) Se ogni giorno sottraggo dal mio salvadanaio e 35, in quanti giorni esaurirò i miei risparmi se nel salvadanaio ci sono inizialmente e 210? 19) Mario ha 3 sacchetti in ognuno dei quali ci sono 16 biglie, in ciascuno dei 5 sacchetti di Luca ve ne sono 32, mentre nei 2 sacchetti di Lorenzo ve ne sono 32 in totale. Quante biglie possiedono i tre amici? 20) Lucia possiede e 42, riesce a raddoppiare la propria somma grazie ad una vincita. Se a tale cifra deve sottrarre e 12 di tasse, quanto le resta? 21) Se un tavolo è lungo 3,2 metri ed un libro 0,2 metri. Quanti libri riuscirò a disporre, in fila uno dietro l altro, lungo il bordo del tavolo? 22) Quante mattonelle quadrate di lato 0,4 metri mi serviranno per coprire il pavimento di una stanza quadrata di lato 4,8 metri? 23) 32 operai ordinano dal panettiere 5 panini a testa. Per sbaglio il panettiere porta loro 171 panini, quanti panini in più avranno ricevuto? 24) Voglio creare da 27 metri di stoffa 150 fazzoletti di uguale grandezza. Quanto dovrà essere lungo ogni fazzoletto? 25) In un condominio vivono 6 famiglie composte da 3 persone, 4 famiglie composte da 4 persone e 2 famiglie composte da 5 persone. Quanti abitanti in totale avrà il condominio? 26) Quattro amici ordinano 5 pizze da e 3,50 e 3 birre da e 1,10. Volendo dividere la spesa equamente, quanto dovrà versare ciascuno di loro? 27) Ogni giorno riesco a mettere da parte e 3,20. Dopo quanti giorni avrò messo da parte e 48,00? 28) Se una cassetta piena di pere pesa 12 kg e la stessa cassetta vuota pesa 0,78 kg, quanto peseranno le pere? 29) Acquistando 20 libri a e 15 e successivamente altri 20 libri a e 20 e rivendendoli tutti ad e 30, quanto avrò guadagnato? 30) Se il piano di un palazzo è alto 2,90 metri, quanto sarà alto un palazzo di 12 piani? 31) In un pollaio vi sono 35 galline. Se ogni gallina produce un uovo al giorno, quante uova si produrranno nel mese di novembre? 32) Se ogni giorno mangio 3 cioccolatini da una scatola di 50, quanti cioccolatini mi saranno rimasti dopo 12 giorni? 33) Se, per comprare un televisore del costo di e 1150, ho dato un anticipo di e 350 e voglio pagare il resto in rate mensili da e 50, quanti mesi impiegherò per estinguere il mio debito? 34) La cometa di Halley passa vicino alla Terra ogni 76 anni. Se l ultimo passaggio è avvenuto nel 1986, quando avverrà il prossimo? Un bambino nato nel 2049 quanti anni dovrà aspettare prima di vedere la cometa? 3

14 Capitolo 1 35) Un palombaro deve scendere ad una profondità di 52,4 metri. Disponendo di tubo lungo 76,8 metri, quanta parte del tubo resterà fuori dall acqua? 36) Se in 1,5 minuti riesco a piegare un foglio di carta per creare una barchetta, quanti minuti mi ci vorranno per creare 156 barchette? 37) Un quaderno ha 120 pagine. Quante pagine ci saranno, in totale, in un blocco di 16 quaderni? 38) In una cassettiera composta da 7 cassetti, posso riporre al massimo 12 maglioni per cassetto. Quanti maglioni resteranno fuori dalla cassettiera, se ne possiedo 95? 39) Di quante confezioni da 12 uova avrò bisogno se devo impacchettare 1500 uova? 40) Ogni giorno Guido aggiunge 6 figurine alla sua collezione. Quante figurine gli mancheranno tra 13 giorni se l album completo ne richiede 112? 41) Quanto ho speso per vestirmi se la mia camicia costa e 35, la mia giacca e 52, il pantalone e 45, le scarpe e 70, la cravatta e 12, la cintura e 10 ed il paio di calzini e 7,50 ed il negoziante mi ha praticato uno sconto di e 11,50 sul totale? 42) Se le mele costano e 0,40 al kg ed il fruttivendolo dice che gli devo e 3, quanti kg di mele mi avrà messo da parte? 43) Collegando due piani distanti 3 metri con 20 scalini uguali, quanto dovrà misurare ogni scalino? 44) Quanti litri di vino possiedo se riempio 4 fiaschi con 5,5 litri ognuno e 12 bottiglie con 0,75 litri? 45) Se una mensilità dello stipendio di Giulio è pari a e 1150, quanto percepirà con 13 mensilità? 46) Un album contiene 132 fotografie ed è composto da 22 pagine su ognuna delle quali vi è lo stesso numero di fotografie. Quante fotografie vi sono per pagina? 47) Acquistando 4 tazzine da caffè del costo di e 3,50 l una ed una caffettiera del costo di e 15, quanto spenderò in totale? 48) Se sul ripiano di uno scaffale di 7 piani possono essere disposti 14 libri, quanti libri si possono disporre in totale, su 6 di questi scaffali? 49) Una scatola contiene 32 biglie. Se ogni biglia pesa 6 grammi e la scatola pesa 30 grammi, quale sarà il peso totale della scatola riempita con le biglie? 50) Una vincita di e deve essere suddivisa tra 15 partecipanti. Quanto percepirà ognuno di essi? 51) Se un etto di pasta fornisce 150 calorie, quante calorie forniranno 6 etti di pasta? 4

15 Abilità di calcolo 52) Il Medioevo è iniziato nell anno 476 ed è terminato nel Quanti anni è durato? 53) Con quante banconote da 5 euro si accumulano 125 euro? 54) Se ho messo da parte 100 monete da 20 centesimi, 60 monete da 50 centesimi, 42 monete da un euro e 15 monete da 2 euro, quanto avrò in totale? 55) Se un euro vale 1,20 dollari qual è il valore in dollari di 50 euro? 56) In ognuna di 128 gabbie sono contenute 3 galline. Quante sono le galline in totale? 57) Un cesto contiene 24 orchidee. Se ogni orchidea ha 5 petali, quanti petali contiene l intero cesto? 58) Lucia e Renzo sono sposati da 46 anni. Se Lucia ha 72 anni e Renzo ne ha 78, quanti anni avevano quando si sono sposati? 59) Quanti giorni vi sono in un lustro con due anni bisestili? 60) Un distributore eroga 12 biglietti in un ora. Quanti biglietti erogano 20 distributori in 12 ore? Come sviluppare un calcolo rapido e preciso Come è emerso dagli esercizi proposti le quattro operazioni sono in grado di modellizzare situazioni pratiche di vario genere. Sarà apparso altrettanto chiaramente che la velocità di calcolo è un elemento chiave per il successo ad un esame. Sebbene tale velocità di calcolo si acquisisca attraverso un esercizio continuo, può, comunque, risultare utile illustrare alcune tecniche di calcolo veloce. Sarà compito del lettore affinare queste tecniche mediante una pratica costante. L addizione e la sottrazione Calcolare la somma di più numeri può risultare più o meno ostico, a seconda di come si affronta tale compito. L utilizzo delle proprietà dell addizione spesso facilita il calcolo di somme di più numeri. Una proprietà molto utile è la commutativa, secondo la quale, cambiando l ordine degli addendi, la somma non cambia. Operativamente si può dire che nella seguente somma: non si deve necessariamente svolgere il calcolo da sinistra verso destra. Se, per qualche motivo, ci risulta più semplice sommare dapprima il 33 con il 16 o il 114 con il 16, possiamo farlo senza pervenire ad un risultato errato. 5

16 Capitolo 1 Un modo intelligente di scegliere l ordine con cui sommare gli addendi può essere dettato dalla seguente regola: sommare dapprima addendi che ci restituiscano come risultato multipli di dieci (numero con zero unità). A tale proposito è necessario tenere presente che le seguenti coppie di numeri costituiscono una decina: = = = = = 10 Vediamo cosa significa praticamente. Supponiamo di dover sommare i seguenti numeri: Dapprima notiamo che le unità del 34 (cioè 4) e le unità del 26 (cioè 6) insieme formano una decina (4 + 6 = 10). Memorizziamo tale decina e passiamo a sommare i due numeri, privati delle loro unità: = 50. A tale risultato aggiungiamo la decina memorizzata per ottenere 60, risultato che, a sua volta, possiamo memorizzare. A questo punto abbiamo ridotto il calcolo alla seguente espressione: Notiamo che le unità del 43 e del 17 formano una nuova decina (3 + 7 = 10) che, ancora una volta, memorizziamo. A questo punto sommiamo le decine dei due numeri = 50 a cui aggiungiamo la decina memorizzata per ottenere ancora 60. Ora possiamo scrivere: A questo punto il conto risulta molto semplificato e possiamo quindi scriverne il risultato: = 132 6

17 Abilità di calcolo Per maggiore chiarezza riassumiamo schematicamente il processo appena descritto: = = = = = = = 132 Altrettanto si può fare con numeri decimali: 32,7 + 16,4 + 11,3 Conviene dapprima calcolare 32,7 + 11,3 = 44,0 in quanto i due numeri dopo la virgola sommano a dieci. Successivamente si aggiunge l altro numero: 44,0 + 16,4 = 60,4. La sottrazione è un operazione che richiede una maggiore attenzione rispetto all addizione e quindi un maggiore impegno nel calcolo mentale. D altro canto è vero che essa è l operazione inversa dell addizione e le è quindi strettamente legata. In virtù di questo legame, per comodità, essa può essere vista come una somma di numeri se si adotta il metodo seguente: partire dal numero più piccolo e aggiungere, man mano, dei numeri, cercando di raggiungere dei valori multipli di 10, fino a quando non si ottiene l altro numero. Per esempio, per sottrarre 78 da 243 si parte dal numero più piccolo, 78, e si aggiunge (memorizzandolo) 2, per giungere fino ad 80, di seguito si aggiunge 20, per giungere fino a 100 (memorizzando = 22), di seguito si aggiunge 100 per raggiungere 200 (memorizzando = 122) ed infine si aggiunge 43 ottenendo il risultato della sottrazione = 165. Riassumiamo il processo schematicamente: = = = 165 7

18 Capitolo 1 La moltiplicazione Il calcolo mentale di una moltiplicazione tra un qualsiasi numero ed un numero ad una cifra può essere operato, senza troppa difficoltà, attraverso l uso delle tabelline e la semplice memorizzazione, di volta in volta, di un riporto. Il calcolo si complica nel momento in cui entrambi i fattori hanno più di una cifra, in quanto non vi è da memorizzare il solo riporto, ma anche una serie di numeri che vanno, in ultimo, sommati. Esistono comunque dei metodi per cercare di migliorare il calcolo mentale nel caso delle moltiplicazioni, riducendo la quantità di numeri da memorizzare. Ad esempio, una moltiplicazione tra numeri di due cifre può essere ridotta all utilizzo delle tabelline, al calcolo di somme e alla memorizzazione di qualche cifra durante il calcolo mentale. Consideriamo, ad esempio, la seguente moltiplicazione: = Come prima operazione dobbiamo moltiplicare le due cifre che rappresentano le unità 4 6 = 24. Scriviamo il 4 e memorizziamo il 2 (il riporto) = 4 A questo punto moltiplichiamo la cifra delle decine di un numero con la cifra delle unità dell altro e viceversa. Per fissare meglio questo passaggio possiamo disegnare mentalmente una sulle cifre per individuare i prodotti da sviluppare = 4 Nel nostro caso avremo 3 6 = 18 e 2 4 = 8. Dobbiamo poi sommare tra loro i risultati di queste due moltiplicazioni ed aggiungervi il riporto (che nel nostro caso era 2). Quindi = 28 Ora dobbiamo scrivere 8 affianco al 4 e memorizzare il 2 (il nuovo riporto) = 84 8

19 Abilità di calcolo Come ultimo passaggio dobbiamo moltiplicare le cifre che rappresentano le decine 3 2 = 6 ed a tale numero aggiungere il riporto = 8. Otteniamo quindi il risultato della moltiplicazione: = 884 Un altro punto su cui conviene soffermarsi è la moltiplicazione con i numeri decimali. L imbarazzo creato dalla presenza della virgola può essere ovviato con semplici tecniche. Per calcolare la moltiplicazione 23,4 7,2 si possono dapprima moltiplicare i numeri senza la virgola: = e poi si possono aggiungere tante cifre decimali quante ve ne sono presenti in ognuno dei fattori. In questo caso, con una cifra decimale sia nel primo che nel secondo fattore, avremo un totale di due cifre decimali nel risultato: 168,48. Analogamente si può verificare che: 0,034 6,1 = 0,2074 (34 61 = = 4 cifre decimali 0,2074) 1,4 0,21 = 0,294 (14 21 = = 3 cifre decimali 0,294) 3,2 2,23 = 7,136 ( = = 3 cifre decimali 7,136) 2,5 3,2 = 8 (25 32 = = 2 cifre decimali 8,00=8) La divisione Anche la divisione è usata per esprimere la soluzione di molteplici situazioni problematiche. Ecco due situazioni sostanzialmente diverse la cui soluzione è esprimibile attraverso l operazione di divisione del numero 200 per 50. A) Quanto devono versare a testa 50 persone per accumulare 200 euro? (cioè come suddividere 200 in 50 parti); B) Quante banconote da 50 euro servono per raggruppare una somma di 200 euro? (cioè quante volte 50 sta in 200) Nel calcolo mentale di una divisione si utilizza spesso l equivalenza tra (A) (divisione in senso stretto, cioè per partizione) e (B) (divisone per contenenza, nel senso che si cerca quante volte un numero è contenuto nell altro). Tipicamente il primo caso avviene se il divisore (il numero per cui divido) è molto distante dal dividendo (il numero da dividere), mentre il secondo caso quando il divisore si avvicina molto al dividendo. Consideriamo un caso in cui il divisore è distante dal dividendo. Per calcolare 1000 / 4 non penso a quante volte 4 sta in 1000 ma ragiono così: «divido 9

20 Capitolo in 4 parti» (ad es. divido 1000 in 2, ottenendo 500, e poi ancora in 2, ottenendo infine 250). Viceversa, per calcolare mentalmente 600 : 50 (un caso in cui dividendo e divisore non sono molto distanti) non penso a suddividere 600 in 50 parti eguali ma a quante volte 50 sta in 600 (ad es. penso che 50 sta 2 volte in 100 e deduco che sta 2 6 = 12 volte in 600). Talvolta i numeri decimali possono essere fastidiosi e scoraggiare l utilizzo del calcolo mentale. In realtà si può ovviare a queste difficoltà con dei semplici accorgimenti. Supponiamo di voler calcolare 3,2 : 0,04. Possiamo dividere i due numeri senza la virgola 32 : 4 = 8. Successivamente possiamo giungere al risultato spostando la virgola verso destra per quante sono le cifre decimali del divisore e verso sinistra per quante sono le cifre decimali del dividendo. Per cui, tenendo conto delle due cifre decimali del divisore, giungeremo a 800 ma, successivamente, dovendo spostare la virgola verso sinistra, per via della cifra decimale del dividendo, scriveremo 80. Quindi 3,2 : 0,04 = 80 Altri esempi: 48 : 0,3 = 160 (48 : 3 = 16 con cifra decimale del divisore otteniamo 160) 0,012 : 4 = 0,003 (12 : 4 = 3 con tre cifre decimali al dividendo otteniamo 0,003) 0,125 : 0,25 = 0,5 (125 : 25 = 5 con tre e due cifre decimali rispettivamente al dividendo e al divisore otteniamo 0,5) Notiamo inoltre che è possibile mantenere invariato il risultato di una divisione se riduciamo di pari numero la quantità di zeri presenti sia nel dividendo che nel divisore : 400 = : 4 00 = 1240 : 4 = 310 In ultima analisi si può sottolineare come la memorizzazione di alcuni valori, frutto dell utilizzo costante di questi ultimi, può ulteriormente accelerare il calcolo, soprattutto in presenza di divisioni il cui risultato è un numero con la virgola. Ad esempio, memorizzando i valori delle frazioni: 1 : 3 = 1 = 0, = 0, : 3= = + = 0, , = 0, = 06, si può rapidamente calcolare il risultato della divisione 29 : 3. 10

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