Metodi Matematici 2 9 giugno 2009

Transcript

1 Metodi Matematici 9 giugno 009 TEST Cognome Nome Matricola Rispondere alle dieci domande sbarrando la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella. CIFRE CORRETTE AL TERZO DECIMALE, TASSI IN FORMA PERCENTUALE. Risposte corrette altrimenti Punteggio INS 0 min. - Si vende un Bot con scadenza residua mesi al prezzo di 99. All emissione, 0 mesi prima, il prezzo era stato di 96. Il rendimento al netto delle tasse (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi): - Si e ettua un investimento di un capitale di e000 per 9 mesi in capitalizzazione semplice. Il tasso d interesse sul periodo considerato varia: % per i primi 6 mesi, 4% per i restanti. Qual è il montante dell operazione? - Una obbligazione paga cedole semestrali, tasso cedolare annuo %, e scade tra 9 mesi. Il suo prezzo è prezzo tel quel odierno è pari a 0.. Si conosce il prezzo del bot a mesi, pari a: P (0) (0; ) = 0:97: Quale deve essere il tasso a 9 mesi coerentemente con i dati precedentemente esposti? 4 - Un decisore con un costo opportunità dell 8% per il prossimo anno e mezzo ed un capitale disponibile di 700 valuta la possibilità di e ettuare un investimento eventualmente congiunto all attivazione di un nanziamento. I ussi delle due operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Quale decisione risulta essere la più vantaggiosa? tempi (in anni) 0 0: : Invest Finanz a non fare né inv. né n.; b solo n.; c solo inv.; d inv. con n.;

2 - Qual è il tasso annuale convertibile semestrale equivalente al tasso trimestrale i 4 = %. 6 - Un contratto di leasing su di uno scooter del costo di e 8000 prevede un anticipo di e 000, una durata di anni, pagamenti trimestrali posticipati costanti pari ad e600 ed un ultimo pagamento contestuale all ultima rata pari a R, qualora il cliente voglia diventare proprietario dello scooter. Se il tasso d interesse composto applicato è del 0% annuo, quale deve essere l importo R? 7 - Determinare l insieme delle soluzioni (eventualmente coincidente con l insieme vuoto nel caso di inesistenza) del sistema lineare Ax = b, dove: A = 4 ; b = L insieme delle soluzioni è il seguente: S = 8 - Determinare con quali coe cienti, se possibile, x può essere espresso come c.l. di x ed x dove: x = 4 ; x = ; x = Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 00 tra titoli che quotano rispettivamente e. Il gestore desidera costruire un portafoglio replicante un fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente e -0.. Le quantità da detenere dei due titoli sono: n = n =. 0 - Si determinino le soluzioni del sistema omogeneo avente la seguente matrice dei coe cienti: A = 4.

3 Metodi Matematici Appello Domanda 9 giugno 009 Soluzioni Test Risultato.4% e 7 :% 4 c 8:08% 6 e S =? 8 SI con a = 4; a = 9 n = 8:4; n = 0:6 8 9 < x = 0 S = : x R : x = 4 x ; x R ; x

4 Metodi Matematici 9 giugno 009 SOLUZIONI TEST Cognome Nome Matricola Rispondere alle dieci domande sbarrando la casella che si ritiene corretta nel caso di risposta multipla (una sola risposta è corretta). Si indichi la risposta ma non il procedimento in caso di risposta aperta. Nel caso si intenda annullare una risposta cerchiare la corrispondente casella. CIFRE CORRETTE AL SECONDO DECIMALE, TASSI IN FORMA PERCENTUALE. Risposte corrette altrimenti Punteggio INS 0 min. - Si vende un Bot con scadenza residua mesi al prezzo di 99. All emissione, 0 mesi prima, il prezzo era stato di 96. Il rendimento al netto delle tasse (si prescinda dalle convenzioni di calcolo dei tempi):.4%. Si incassa : (00 96) = 99:08 mentre si era pagato all emissione : (00 96): = 96: Il tasso d interesse semplice che regge l operazione risolve perciò la seguente equazione 99:08 = 96:( + i 0 ): Da qui il risultato. - Si e ettua un investimento di un capitale di e000 per 9 mesi in capitalizzazione semplice. Il tasso d interesse sul periodo considerato varia: % per i primi 6 mesi, 4% per i restanti. Qual è il montante dell operazione? e 7. Si ha 000 ( + 0: :04 ) = 7 - Una obbligazione paga cedole semestrali, tasso cedolare annuo %, e scade tra 9 mesi. Il suo prezzo è prezzo tel quel odierno è pari a 0.. Si conosce il prezzo del bot a mesi, pari a: P (0) (0; ) = 0:97: Quale deve essere il tasso a 9 mesi coerentemente con i dati precedentemente esposti? :% Scadendo tra 9 mesi e pagando cedole semestrali il titolo pagherà ancora cedole tra e 9 mesi, l ultima insieme al capitale. Il prezzo tel quel è dunque si ottiene attualizzando i ussi futuri, dunque: 0: = 0: : 0:97 + (+i (0) (0; 9 uno zcb a 9 mesi. ) 9 ) : Dall equazione è facile ricavare il prezzo che deve avere 4 - Un decisore con un costo opportunità del 8% per il prossimo anno e mezzo ed un capitale disponibile di 700 valuta la possibilità di e ettuare un investimento eventualmente congiunto all attivazione di un nanziamento. I ussi delle due operazioni sono descritti nella tabella sottostante. Quale decisione risulta essere la più vantaggiosa? tempi (in anni) 0 0: : Invest Finanz

5 a non fare né inv. né n.; b solo n.; c solo inv.; d inv. con n.; d Occorre semplicemente calcolare il van del solo investimento e l apv dell investimento con nanziamento, al tasso del 8%. Il van è positivo indicando che l investimento è conveniente. L apv è positivo ma per un importo più basso. Ciò è dovuto al fatto che il van del solo nanziamento è negativo (lo si può veri care calcolandolo), perciò conviene attivare il solo investimento. - Qual è il tasso annuale convertibile semestrale equivalente al tasso trimestrale i 4 = %. 8:08% Si ha i = ( + %) = 4:04%. Il tasso j = 4:04% = 8:08%: 6 - Un contratto di leasing su di uno scooter del costo di e 8000 prevede un anticipo di e 000, una durata di anni, pagamenti trimestrali posticipati costanti pari ad e600 ed un ultimo pagamento contestuale all ultima rata pari a R, qualora il cliente voglia diventare proprietario dello scooter. Se il tasso d interesse composto applicato è del 0% annuo, quale deve essere l importo R? e Il nanziamento netto è di e Siccome vi è un usso di pagamenti intepretabile come una rendita trimestrale a rata costante di durata anni si procede calcolando preliminarmente il tasso trimestrale i 4 = : =4 : = :44%: Deve valere 6000 = 600a 8ji4 + R : Da qui discende il risultato. :0 7 - Determinare l insieme delle soluzioni (eventualmente coincidente con l insieme vuoto nel caso di inesistenza) del sistema lineare Ax = b, dove: A = 4 ; b = L insieme delle soluzioni è il seguente: S = da cui il risultato. S =? Riducendo la matrice orlata si ottiene p.e.: Determinare con quali coe cienti, se possibile, x può essere espresso come c.l. di x ed x dove: x = 4 ; x = ; x = SI con a = 4; a = : Basta risolvere, seguendo la de nizione, il sistema a x + a x = x, ovvero il sistema con matrice orlata : L unica soluzione trovata esibisce i 4 4

6 valori dei coe cienti della c.l. ricercata. 9 - Un gestore di portafoglio deve ripartire un capitale di 00 tra titoli che quotano rispettivamente e. Il gestore desidera costruire un portafoglio replicante un fattore di rischio rispetto al quale i due titoli hanno sensibilità rispettivamente e -0.. Le quantità da detenere dei due titoli sono: n = 8:4; n = 0:6. Occorre impostare il sistema con le due equazioni, del budget e della sensibilità del portafoglio che deve essere pari a 0: Ajb = 0: 00 Le soluzioni si ricavano in modo semplice per sostituzione. 0 - Si determinino le soluzioni del sistema omogeneo avente la seguente matrice dei coe cienti: A = < x = S = : x R : x = 4 x ; x R ; Riducendo la matrice si può ottenere per esempio: x Per Rouché-Capelli si hanno dunque in nite soluzioni con una variabile libera. Per sostituzione si ottiene il risultato. 6

7 Metodi Matematici 9 giugno 009 Parte B Cognome Nome Matricola Tempo a disposizione 4 min. Algebra Lineare Si discuta al variare del parametro reale k e si risolva nel caso di in nite soluzioni il sistema lineare omogeneo Ax = 0 dove: A = 4 0 k Matematica Finanziaria Un decisore ha un costo opportunità del 0% su di un capitale disponibile di 000. Sono dati i seguenti progetto di investimento: Epoche 0 F lussi R F lussi R è tale che il tir del primo investimento sia pari al %. L eventuale investimento può essere nanziato mediante il seguente nanziamento eventualmente scalabile di una frazione a piacere ; con 0 : Epoche 0 F lussi Determinare R e calcolare il TIR del secondo investimento; Stabilire, con il metodo che si ritiene corretto, quale investimento il decisore abbia convenienza a fare (eventualmente nessuno) e se convenga il ricorso al nanziamento, precisando la percentuale ottima di attivazione,. Sarebbe più conveniente uno scoperto di c/c al tasso del %? Se si come modulereste il nanziamento e cambiereste la decisione del punto precedente? 7

8 Metodi Matematici 9 giugno 009 SOLUZIONE Parte B Cognome Nome Matricola Algebra Lineare Si discuta al variare del parametro reale k e si risolva nel caso di in nite soluzioni il sistema lineare omogeneo Ax = 0 dove: Soluzione - Si può calcolare il determinante. det(a) = k: Per cui se k 6= le colonne di A sono l.i. e si ha la sola soluzione nulla. Se invece k = il determinante è 0 ed il rango è inferiore a. Sempre in questo caso procedendo a ridurre la matrice 8 e risolvendo il sistema per sostituzione 9 si ottengono le in nite soluzioni: < x = S = : x R : x = 4 x ; x R ;. x Matematica Finanziaria Un decisore ha un costo opportunità del 0% su di un capitale disponibile di 000. Sono dati i seguenti progetto di investimento: Epoche 0 F lussi R F lussi R è tale che il tir del primo investimento sia pari al %. L eventuale investimento può essere nanziato mediante il seguente nanziamento eventualmente scalabile di una frazione a piacere ; con 0 : Epoche 0 F lussi Determinare R e calcolare il TIR del secondo investimento; Stabilire, con il metodo che si ritiene corretto, quale investimento il decisore abbia convenienza a fare (eventualmente nessuno) e se convenga il ricorso al nanziamento, precisando la percentuale ottima di attivazione,. Sarebbe più conveniente uno scoperto di c/c al tasso del %? Se si come modulereste il nanziamento e cambiereste la decisione del punto precedente? Soluzione - A nché il tir della prima operazione sia pari al % deve risultare: : : + R : = 0 8

9 da cui si ottiene R = 067:9: Il tir del secondo investimento è invece soluzione dell equazione: 600 = 000(+ x) da cui x = :644%: Il nanziamento presenta un van positivo: : 40 : = 8:64 Percò converrà attivarlo al massimo: = indipendentemente dall investimento attivato. I NPV dei due investimenti sono: NP V Inv (0%) = : :9 = 7: : : NP V Inv (0%) = = 704:7 : Sicché conviene investire nella seconda operazione attivando anche il nanziamento. Uno scoperto di c/c al %, essendo il costo opportunità inferiore al costo del - nanziamento non sarebbe preferibile. 9