Problemi di Fisica La Dinamica

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1 L Dinmi Poblemi di isi L Dinmi PROBLEA N. Un opo di mss m 4 kg viene spostto on un foz ostnte 3 N su un supefiie piv di ttito pe un ttto s,3 m. Supponendo he il opo inizilmente è in ondizione di iposo, lole l veloità finle ed il tempo he impieg pe peoee il ttto s. Digmm delle foze Dll seond legge dell dinmi ivimo l elezione: 3 m m 4,54m / s Poihé si ttt di un moto unifomemente eleto, pplihimo le eltive leggi: s s + v t + v f v + t t poihé V e S le elzioni diventno: s t v f t Si ttt di un sistem di due equzioni in due inognite, t e V f, le ui soluzioni sono: t v s,9s s,58m / s

2 L Dinmi PROBLEA N. Un opo di mss kg si muove on veloità V 3 m/s. Un foz diett in senso opposto l moto est il opo dopo un tempo t s. Clole: L intensità dell foz pplit Lo spzio peoso dll istnte in ui viene pplit l foz Applihimo il pinipio dell dinmi pe lole l foz he est il opo: 3 6N V VI 3 dove 3m / s t L foz è negtiv in qunto si oppone l moto fino d estlo. Poihé si ttt di un moto unifomemente deeleto, lo spzio peoso nel tempo t s è dto d: s V t t 3 3 I,5m PROBLEA N. 3 Un opo di mss kg è in moto su un pino oizzontle he pesent un oeffiiente di ttito µ,. Se ll istnte t tle opo possiede un veloità di m/s, qunto vle l intensità dell foz he dobbimo pplie d quell istnte in poi pehé il opo ontinui muovesi di moto ettilineo unifome? Digmm delle foze Il quesito del poblem tov l ispost nel: pinipio dell dinmi V os t µ R µ g, 9,8 9,6N

3 L Dinmi PROBLEA N. 4 Un opo di mss kg viene lnito veso l lto lungo un pino inlinto α 3 e on oeffiiente di ttito µ,4. Detemine l foz he bisogn pplie l opo ffinhé il moto lungo il pino inlinto si unifome Il quesito del poblem tov l ispost nel: pinipio dell dinmi V ost P + P µ P + P µ P osα + P senα P ( µ osα + sen α ) x x x g ( µ os α + sen α ) 9,8 (, 4 os 3 + sen3 ) 6,6N PROBLEA N. 5 Il oeffiiente di ttito t un opo di mss kg ed il pvimento è µ,. Clole l elezione impess l opo d un foz di N inlint di 6 ispetto ll oizzontle, e l ezione vinole. Digmm delle foze Il poblem viene isolto pplindo il seondo pinipio dell dinmi, tenendo onto he si ttt di un equzione vettoile: x x R + P

4 L Dinmi Il sistem osì ottenuto ontiene le due inognite del poblem, l elezione e l ezione vinole R. Risolto dà le seguenti soluzioni: R P x g senα 9,8 sen6 9N os α µ R os 6,9,5m / s PROBLEA N. 6 Un utomobile vente l mss 6 kg peoe 8 m, pim di femsi, on un foz fennte ostnte pi 65 N. Clole:. L veloità dell utomobile ll istnte in ui inizi l fent. Il tempo impiegto pe femsi Innnzitutto lolimo l deelezione, ttveso il pinipio dell dinmi,subit dll mhin dunte l fent: ,9m / Poihé si ttt di un moto unifomemente deeleto, pplihimo le ispettive leggi pe ispondee i quesiti del poblem s. S Vt t S S 8 S t t S t t S t t t 6, 4s 3,9 V t. V 3,9 6,4 5m / s 9km / h PROBLEA N. 7 Un elettone viene spto t due piste ihe on un veloità V 6 m/s. Il mpo -7 elettio t le due piste ostol il moto dell elettone on un foz 4,8 N. Spendo he l mss dell elettone è m,9-3 kg, lole l distnz peos pim di essee estto dll foz eletti. Innnzitutto lolimo l deelezione subit dll elettone, ttveso il pinipio dell dinmi: 7 4,8 3 5,3 m / s 3,9

5 L Dinmi Poihé si ttt di un moto unifomemente deeleto, pplihimo le ispettive leggi pe ispondee i quesiti del poblem: V t S V 6 5,3 t t 3,4 6 7 s,4 7 5,3 3 (,4 7 ),4m 4m PROBLEA N. 8 Un opo di mss viene lnito lungo un pino inlinto (α 3 ) on veloità V m/s. Se l ttito t opo e pino è µ,, detemine qule ltezz h, ispetto ll oizzontle, si fem il opo. Innnzitutto lolimo l deelezione, ttveso il pinipio dell dinmi, subit dl opo dunte il moto lungo il pino inlinto: P µ P x Px µ P osα P senα P ( µ osα sen α) Px g / ( µ os α sen α ) 9, 8 (, os 3 sen3 ) 6, 6m / s / Poihé si ttt di un moto unifomemente deeleto, pplihimo le ispettive leggi lole lo spzio peoso: pe V t S V t 6,6 t,5s,5 6,6,5 7,6m D onsidezioni di ttee tigonometio lolimo l ltezz h ll qule il opo si fem: h Ssenα 7,6 sen3 3,8m

6 L Dinmi PROBLEA N. 9 Un mss 3,3kg si muove su un pino on un oeffiiente d ttito µ.3, seondo l diezione indit in figu, sotto l zione di un mss m,kg. Nell ipotesi he l fune si piv di mss e he l uol non intodue nessun ttito, lole l elezione e l tensione dell od. Applihimo l seond legge dell dinmi i due opi, tenendo pesente he l elezione è l stess pe le due msse in bse lle ipotesi del poblem: CORPO x N P CORPO m Pm m Riunimo le peedenti equzioni in un unio sistem di te equzioni in te inognite: he isolto, dà le seguenti soluzioni: N P P m m N P g 3,3 9,8 3,3N + 3, +,33,3 5,9N,9 + Pm m 3,3 +,33,3,6, 5,4,9 m / s 5, 4

7 L Dinmi PROBLEA N. Dto il sistem di msse in figu, lole l loo elezione e l tensione dell fune, nell ipotesi he l fune non bbi mss e l uol si piv di ttito. Applihimo l seond legge dell dinmi i due opi, tenendo pesente he l elezione è l stess pe le due msse in bse lle ipotesi del poblem: P P m m E un sistem di due equzioni in due inognite, he isolto dà le seguenti soluzioni: g g 7N g mg m ( + m) g ( m) m g + m 3,6m / s PROBLEA N. Un psseggeo di mss m 7. kg st su un bilni nell bin di un sensoe. Che os segn l bilni qundo l elezione ssume i vloi dti in figu?

8 L Dinmi so: N g N g 7, 9,8 78N L bilni segn il peso effettivo del psseggeo so: -3, m/s N g N g (g ) 7, (9,8 3,) 477N L bilni segn un peso infeioe di 3 N ed il psseggeo pens di ve dimgito 3,6 kg ( P/g 3/9,8 3,6 kg) 3 so: 3, m/s N g N (g + ) 7, (9,8 + 3,) 939N L bilni segn un peso supeioe di 3 N ed il psseggeo pens di ve ingssto 3,6 kg ( P/g 3/9,8 3,6 kg) PROBLEA N. Clole l veloità di un uto nell istnte in ui effettu un fent, supponendo he l stisit dei pneumtii sull sflto si di 9 m ed il oeffiiente di ttito dinmio µ D.6 Applindo le equzioni del moto unifomemente eleto si ottiene: s v t t v f v t V s essendo v f Il vloe dell elezione lo ivimo pplindo il pinipio dell dinmi: µ Dg / / µ D g In definitiv: v µ D g s Km / h

9 L Dinmi PROBLEA N. 3 Dto il sistem in figu (m 4kg α 3 ) lole il oeffiiente di ttito dinmio t l mss m ed il pino inlinto nell ipotesi he le msse si muovno di moto unifome. pinipio dell dinmi pplito ll mss : x Px N P dove pehé v ostnte pinipio dell dinmi pplito ll mss m : m Pm dove pehé v ostnte Riunimo le peedenti equzioni in un unio sistem: Px N P Pm Spendo he P x P senα e P P osα il sistem mmetteà le seguenti soluzioni: m g 49,8 37N Px gsenα 37 49,8 sen3 68N N P g os α 49,8 os 3 9N Petnto il oeffiiente di ttito dinmio sà: N µ 68 N 9 µ D D,57

10 L Dinmi PROBLEA N. 4 Dto il sistem in figu fomto dlle msse kg e d un pino inlinto (α 3 ) pivo di ttito, detemine:. L elezione delle msse. L tensione dell fune, suppost inestensibile 3. L ezione vinole del pino inlinto Il poblem viene isolto pplindo il seondo pinipio dell dinmi isun mss e tenendo onto he sono equzioni vettoili e ome tli somponibili lungo gli ssi tesini. Inolte, in bse lle ipotesi del poblem, l elezione è l stess pe le due msse osì ome l tensione dell fune. CORPO x Px R P CORPO P NOARE: Abbimo ipotizzto he l mss si muove veso il bsso, ed in bse l sistem di ifeimento selto l su elezione è un vettoe negtivo, e quindi l mss si muove veso l lto lungo il pino inlinto, ed in bse l sistem di ifeimento selto l su elezione è un vettoe positivo. Riunimo le peedenti equzioni in un unio sistem, ottenendo osì un sistem di te equzioni in te inognite, he sono quelle poste ome quesito dl poblem: Px R P P Risolvimo il sistem on il metodo di sostituzione, ivndo l inognit dll pim equzione e sostituendol nell tez equzione ottenimo il vloe dell elezione: Px + P P P x P P senα P ( sen α) g / ( sen α) x + P P Px,45m/s / R P

11 L Dinmi A questo punto le lte inognite sono filmente lolbili: P senα + g senα + (g senα + ) (9,8 sen3 +,45) 4,7N,45m / s R P P osα g osα 9,8 os3 7N Conlusione: L mss si muove veso il bsso pehé il vloe tovto, essendo positivo, è in odo on l ipotesi ftt. PROBLEA N. 5 Un opo di mss 75kg viene tito, veloità ostnte, on un fune inestensibile on un ngolo α 4 ispetto ll diezione di moto. Supponendo he il oeffiiente di ttito dinmio è µ D., lole l tensione dell fune. PRINCIPIO DELLA DINAICA APPLICAO AL CORPO x pehé V ost Il sistem divent: os α N + P N + senα P dove: sinα osα µ D N µ D g P g Il sistem, osì ottenuto, nelle inognite e N, mmette le seguenti soluzioni: µ Dg 9N os α + µ D senα N g senα 67N PROBLEA N. 6 L figu ppesent un utomobile di mss 6kg he viggi veloità ostnte v m/s su un pist pin e iole di ggio R 9m. Qul è il vloe minimo del oeffiiente di ttito t i pneumtii ed il teeno he impedise ll mhin di slitte veso l esteno? Se l uv è sopelevt, qule ngolo dovà essee inlinto il fondo stdle pe gntie l tenut di std senz l usilio dell foz di ttito?

12 L Dinmi Digmm delle foze PRIO CASO PRINCIPIO DELLA DINAICA APPLICAO AL CORPO dove P g v /R µ D N µ D g x N P Petnto: µ v / g / R V g R 9,8 9 D µ D, SECONDO CASO PRINCIPIO DELLA DINAICA x N N P N senα N os α g C dove: N v N osα N N senα P g /R Dividendo membo membo le equzioni del sistem, ottenimo: N/ os α Nsen / α g / / tgα g tgα g V g R, α 9,8 9

13 L Dinmi PROBLEA N.7 Un veiolo ompie un gio dell mote su un pist iole, di ggio R 3 m, dispost in un pino vetile. Qul è l minim veloità he il veiolo deve vee nel punto più lto dell pist? PRINCIPIO DELLA DINAICA APPLICAO AL CORPO N + P dove P g v /R (elezione entipet) S e il veiolo è nell ondizione di pedee onttto on l pist, llo N, pe ui l legge divent: v P g / / V g R 9,8 3 R 5,4m / s Pe essee eti he il veiolo non ped onttto on l pist nel punto più lto, l veloità deve essee mggioe di 5.4 m/s. PROBLEA N.8 Dto il sistem in figu, lole l elezione e le tensioni delle funi.

14 OLUZIONE isegnimo il digmm delle foze pe isun opo: : L Dinmi S D Applihimo il pinipio dell dinmi isun opo P R P R P Roglimo in un unio sistem le equzioni utili i fini del poblem: P 3 Sommimo membo membo le te equzioni: ) ( P / + / / + / Dll equzione osì ottenut lolimo l elezione delle msse: s 4,9m / 9, g P + + Le tensioni delle funi, di onseguenz, sono: 4,7N 4,9 3 9,6N 4,9) (9,8 4 ) (g g P 3

15 L Dinmi PROBLEA N.9 Dto il sistem in figu ( 3 kg e 4 kg) lole: le elezioni e l tensione delle funi, nell ipotesi he l fune si inestensibile e piv di mss e le uole non bbino dimensioni e sino pive di mss; l ondizione di equilibio del sistem. IPOESI: Si l mss dee veso il bsso. L ipotesi ftt è ininfluente i fini dell isoluzione del poblem. Applihimo il pinipio dell dinmi lle due msse: P P + P P Notimo: pe le ipotesi ftte sull fune, le tensio ni in gioo sono tutte uguli; le elezioni dei due opi sono div ese; inftti se si muove di un ttto L veso il bsso, poihé l fune è inestensibile, tle ttto di fune dovà essee sotttto l ttto di fune he vvolge l uol. Questo ttto sà quindi ottenuto pelevndo un ttto L/ sinist e dest dell uol. Allo l veloità V L/ t di è doppi ispetto ll veloità V L/ t di e nlogmente pe le elezioni ottenimo: tte queste onsidezioni, isolvimo il sistem di equzioni: P P P P 4 P L seond equzione del sistem ontiene l uni inognit : + 4 P P P P g g ( ) P P g 9, 8,3m / s A questo punto è semplie lole e :,3, 45m / s g. (g ) 3 (9, 8,3) N Poihé è positiv, l ipotesi ftt è giust, ioè de veso il bsso e si muove veso l lto. Se fosse stt negtiv, il poblem sebbe stto isolto nello stesso modo, m vemmo onluso he si muove veso l lto e veso il bsso. L equilibio si ottiene se ioè: P P g/ ( P P ) P P 4 + g/

16 L Dinmi PROBLEA N. Dto il sistem di msse in figu, lole l elezione e l tensione dell fune, nell ipotesi he si piv di mss ed inestensibile. IPOESI: sende sle enendo onto del digmm delle foze, il pinipio dell dinmi pplito lle due msse divent: P R x P Px R P Le equzioni he sevono ispondee i quesiti del poblem sono: Px Px Risolvimo il sistem on il metodo di iduzione, pe ui, sommndo membo membo le due equzioni ottenimo un equzione in un sol inognit: Px / + / Px + ( + ) P senβ µ P osβ µ P os α P senα P (senβ µ os β) P ( µ os α + sen α) ( + ) P (senβ µ os β) P ( µ os α + sen α) + 3 9,8 (sen45, 4 os 45 ) 9,8 (, os 6 + sen6 ),75m / s 3+ Poihé l elezione è positiv, l ipotesi ftt è giust, ioè de veso il bsso e si muove veso l lto. Se fosse stt negtiv, il poblem sebbe stto isolto nello stesso modo, m vemmo onluso he si muove veso l lto e veso il bsso. Not l elezione possimo lole dll pim equzione del sistem l tensione dell fune: Px g senβ µ g osβ g (senβ µ osβ) 3 9,8 (sen45,4 os 45 ) 3,75,N

17 L Dinmi PROBLEA N. Un opo di mss kg si poggito su un pino inlinto on oeffiiente di ttito sttio µ S,5 e oeffiiente di ttito dinmio µ D,3. Si suppong di solleve lentmente il pino vindo l ngolo α. Clole: pe qule vloe di α il opo omini sivole on qule elezione il opo si muove in oispondenz dell ngolo α Un punto mteile è in equilibio se l somm vettoile di tutte le foze he gisono su di esso è null: CONDIZIONE DI EQUILIBRIO x Utilizzimo l pim equzione pe lole l ngolo in oispondenz del qule il opo omini sivole: P x senα P/ senα µ S P/ os α µ s tgα tgα,5 α 7 os α Qundo il opo omini sivole, l foz d ttito diminuise pehé il oeffiiente d ttito divent quello dinmio, pe ui, pplindo il pinipio dell dinmi, l elezione si lol ome: P P senα µ P x D 9,8 (sen7,3 os 7 ),8m / s P osα g / (senα µ / osα) x D D D

18 L Dinmi PROBLEA N. Cl ole l elezione del sistem di msse ppesentto in figu: Applihimo il seondo pinipio dell dinmi lle singole msse: x x Px R P Px R P Poihé il opo h un mss ed un oeffiiente d ttito mggioi ispetto l opo, l foz d ttito he gise su è mggioe ispetto quell he gise su, pe ui, fenndo il moto di, f sì he il bloo di msse si muov insieme lungo il pino inlinto. Petnto, sommndo membo membo le pime equzioni dei due sistemi ottenimo un uni equzione nell inognit : P + P P senα + P senα µ P µ P Px + Px ( + ) + + x x P senα + P senα µ P os α µ P os α P (senα µ os α ) + P (senα µ os α) ,8 (sen3,5 os3 ) + 9, 8 (sen3,3 os3 ),78m / s 5+

19 L Dinmi PROBLEA N.3 Clole il peiodo di osillzione e l pulszione di un moll he viene llungt di,4 m d un mss di kg. Petnto: e Le foze in gioo sono l foz elsti e l foz peso, pe ui pplindo il pinipio dell dinmi lolimo l ostnte elsti dell moll he seve pe lole il peiodo di osillzione: g 9,8 k x g k x,4 4,5N / m π π π π,3s ω 5d / s k 4,5,3 PROBLEA N.4 Un std pesent un uv di ggio R m. Supponendo he il oeffiiente di ttito f le uote di un uto e l std si µ,5, lole l mssim veloità ffinhé l uv si peos senz sbnde. L foz he pemette ll uto di peoee l uv senz sbnde è l foz entipet, he in questo so oinide on l foz d ttito, pe ui il pinipio dell dinmi divent: V V µ g / / V µ Rg, 5 9, 8 m / s 8km / h R R PROBLEA N.5 Un opo di mss kg si muove di moto monio on mpiezz m. Spendo he il vloe mssimo dell elezione è 3,94 m/s, lole l fequenz del moto e l foz gli estemi di osillzione. Pe lole l fequenz del moto monio i seve il vloe dell pulszione he si lol ttveso l fomul dell elezione del moto monio: ω x ω x 3,94, 6,3d / s pe ui: ω ω πf f Hz π Dl pinipio dell dinmi lolimo l foz gli estemi di osillzione: 3,94 3,94N

20 L Dinmi PROBLEA N.6 Un opo di mss 4 kg osill sotto l zione di due molle venti ostnti elstihe K N/m e K 5 N/m. Clole il peiodo di osillzione del sistem. Si dunte l fse di ompessione he di llungmento di entmbe le molle, l mss sà sottopost sempe due foze elstihe onodi, pe ui il pinipio dell dinmi divent: e + e kx k x ( k + k ) x Spendo he ω x bbimo he: (k + k ) x/ ω x/ ω k + k pe ui l osillzione del sistem è: ω π π π ω k + k 4 + 5,67s PROBLEA N.7 Un pendolo semplie di lunghezz L m pot ll estemità un pllin di mss g. Qundo il filo fom on l vetile un ngolo di 45 l pllin h un elezione entipet di 4 m/s. Clole l veloità dell pllin e l tensione del filo nell posizione onsidet. Dll fomul dell elezione entipet lolimo l veloità dell pllin ome fomul inves: V V L L 4 m / s Dl pinipio dell din mi lolimo l tensione dell fune: P P + g os α + (g os α + ), (9,8 os ),9N

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