H = G m r 3 r. I. Le orbite dei pianeti sono ellissi, dei quali il Sole occupa uno dei fuochi.

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1 9 Gavitazione (3 poblemi difficoltà 7 soglia 159) Fomulaio Legge di Newton F = G m 1 m 3 (G = N m /kg ) Campo gavitazionale H = G m 3 Leggi di Kepleo I. Le obite dei pianeti sono ellissi dei quali il Sole occupa uno dei fuochi. II. Le aee descitte dal aggio vettoe sono popozionali al tempo impiegato a pecoele A = k 1 t. III. I quadati dei peiodi di ivoluzione sono popozionali ai cubi dei semiassi maggioi delle obite T = k R 3. Enegia potenziale gavitazionale U = GmM Velocità di fuga da un pianeta v f = GM R 37

2 Teoema di Gauss (H ) = 4 Gm i Gm s dove m i è la massa intena alla supeficie attaveso la quale viene calcolato il flusso ed m s è la massa supeficiale. Unità di misua Campo gavitazionale newton al kilogammo (N/kg= m/s ) Flusso gavitazionale meti cubi al secondo quadato (m 3 /s ) Poblemi svolti 9.1. Attualmente il valoe dell acceleazione di gavità misuato a 45 Lat da un ossevatoe teeste è m/s. Se la velocità angolae di otazione della Tea (attualmente pai a ad/s) addoppiasse quale saebbe il nuovo valoe dell acceleazione di gavità misuato da tale ossevatoe alla stessa latitudine? (4) Con ifeimento alla figua applichiamo il teoema di Canot e il teoema dei seni al tiangolo ABC avente pe lati l acceleazione standad g 0 l acceleazione misuata g e l acceleazione di tascinamento at dovuta al moto di otazione teeste. 38

3 g 0 = g + a T ga T cos g sin45 = g 0 sin. Nel sistema abbiamo due incognite g 0 e dato che l acceleazione di tascinamento a 45 Lat vale Risolvendo il sistema toviamo a T = T sin 45 = 004 m/s. g 0 = 9794 m/s = Se la velocità angolae della Tea addoppia l acceleazione di tascinamento quaduplica cioè diventa a T ' = 0096 m s e iapplicando il teoema di Canot icaviamo pe il valoe misuato dal nosto ossevatoe g' = g 0 + a ' ' T g 0 a T cos45 = = = 976 m s. 9.. Il 4 ottobe 1957 venne lanciato su obita ellittica lo Sputnik il pimo satellite atificiale sovietico. Calcolae icoendo alla III legge di Kepleo la minima distanza h del satellite da tea conoscendo i seguenti dati: massima distanza da tea: H = 1100 km peiodo di ivoluzione: T = 96 min semiasse maggioe dell obita lunae: R = km peiodo di ivoluzione lunae: TL = 73 gioni aggio teeste: T = 6360 km. (3) 39

4 La III legge di Kepleo pe l obita della Luna attono alla Tea fonisce T L = kr 3 mente la stessa legge applicata all obita dello Sputnik fonisce dalla figua T = k h + T + H Dividendo membo a membo e sepaando h: 3. 8RT = = 3 h 3 T H TL (96 60) ( ) = = m=90 km. = = 9.3. Calcolae la massa solae appossimativa sapendo che la distanza media Tea- Sole è d =149 milioni di chilometi = m. (3) Ritenendo l obita della Tea appossimativamente cicolae sciviamo che la foza di attazione gavitazionale ta Tea e Sole è di natua centipeta ovveo e quindi G m Tm S d = m T d m S = d 3 G = 4 d 3 GT dove T = 365 d 6 h = 3654 d = s è il peiodo di ivoluzione teeste. Eseguendo i calcoli otteniamo: m S = = kg La seconda legge di Kepleo descive anche il moto della Luna attono alla Tea. Ricavae la costante di tale legge sapendo che la distanza massima della Luna (apogeo) è 1 = km e che la sua velocità peifeica in tale punto è v a = 1093 m/s. (5) 330

5 La seconda legge di Kepleo espime la consevazione del momento angolae della Luna nel suo moto attono alla Tea e si scive come A = k t dove A è l aea spazzata dal aggio vettoe t il tempo impiegato a spazzala e k la costante. Con ifeimento alla figua nella quale A e B sono due posizioni infinitamente possime della Luna nel suo moto obitale attono alla Tea e l aco AB si può confondee con la coda AB di lunghezza ds possiamo scivee che l aea infinitesima spazzata dalla Luna nel tempuscolo dt è da cui da = dh k = ds dt = dssin = kdt sin = v sin. Ma all apogeo l angolo vale / quindi k = a v a = = m s. Si noti che k è indipendente sia dalla massa della Tea sia da quella della Luna Un oggetto si tova sulla linea equatoiale di un pianeta sfeico e omogeneo di densità. Calcolae la minima duata del giono su tale pianeta peché l oggetto non si stacchi da esso. (3) L oggetto è sottoposto pe un ossevatoe posto sul pianeta a una foza attattiva veso il cento il popio peso e a una foza centifuga (appaente) 331

6 veso l esteno. Esso non si stacca se il pimo è maggioe della seconda cioè se Gm M > m = 4 m T dove M ed sono ispettivamente la massa e il aggio del pianeta ed m è la massa dell'oggetto. Ne consegue che essendo M = V = dovà essee T > 3 G La Tea aumenta il peiodo di ivoluzione attono al Sole di T = 1 s ogni anni. Quale saà ta anni l aumento R del aggio medio dell obita teeste supponendo che oggi esso valga esattamente R= m? (4) Applichiamo la III legge di Kepleo T = k R 3 e diffeenziamone ambo i membi da cui T dt = 3 k R dr dr R = 3 Integando con estemi di integazione R ed R + R pe il aggio e T e T+T pe il peiodo di ivoluzione (T = s) otteniamo dt T. da cui ln R + R R = ln T + T T 1 + R R = 1 + T T /3 /3 R = R 1 + T /3 /3 1 T = = = 315 km. 1 = 33

7 9.7. Quanto tempo impiega un modulo lunae pe compiee un obita di aggio = 3000 km attono alla Luna se la massa della Luna è 1/81 di quella della Tea? (3) La foza gavitazionale esecitata dalla Luna sul modulo è centipeta peciò indicando ispettivamente con m m e m L le masse del modulo e della Luna avemo Gm m m L = m m = T = = 3 Gm L = 68 Gm L = s = 4h 5 min = 9.8. Un pendolo semplice oscilla al livello del mae con un peiodo T0 = 1000 s. Potato in alta montagna lo stesso pendolo oscilla con peiodo T =1001 s. Calcolae la quota h della montagna. (4) Il peiodo di oscillazione di un pendolo semplice di lunghezza l alla quota h sul livello del mae è T = l g = l Gm T ( T + h) = ( T + h) l Gm T dove m T ed T sono ispettivamente la massa e il aggio della Tea. Al livello del mae abbiamo invece pe cui T 0 = T l Gm T T = T + h T 0 T = T T 1 = = T m. 333

8 9.9. Un ossevatoe a bodo di un satellite atificiale teeste in obita cicolae a quota h = 800 km attono alla Tea vede gli oggetti a bodo fluttuae in assenza di gavità. Stabilie qual è la velocità del satellite. (4) L ossevatoe a bodo è un ossevatoe elativo e pe esso vale il teoema delle acceleazioni: a R = a A a T dove a A è l acceleazione assoluta pai all acceleazione di gavità a quota h a T è l acceleazione di tascinamento che essendo il moto del satellite cicolae si identifica con un acceleazione centipeta. L ossevatoe vedà dunque gli oggetti muovesi in assenza di gavità peché a R = 0 ovveo a A = a T cioè e quindi v = Gm T ( T + h) = v T + h Gm T T + h = = m s = 6800 km h Ipotizzando una Tea sfeica e omogenea die quale ta i seguenti pocessi potebbe facilitae il distacco dalla supeficie teeste di un oggetto appoggiato su essa a 45 Lat.: a) fusione delle calotte polai b) aumento del solo aggio teeste c) aumento della velocità angolae di otazione teeste d) aumento della sola densità della Tea. (5) Un oggetto può staccasi dalla Tea quando la foza centifuga appaente supea la componente del peso in diezione adiale ovveo con ifeimento alla figua quando m cos mg cos T T condizione del tutto indipendente dalla latitudine. 334

9 a) La fusione delle calotte polai potando una massa d acqua veso l equatoe fa aumentae il momento d inezia della Tea quindi pe la consevazione del momento angolae ne fa diminuie la velocità angolae e petanto ostacola il distacco dell oggetto. b) Pe pote ispondee alla domanda si deve esplicitae g. Abbiamo g = G m T T = G 4 3 T 3 T = 4 3 G T (1) da cui si vede che se aumenta T deve necessaiamente aumentae g e quindi il distacco dell oggetto non è né facilitato né ostacolato. c) Un aumento della velocità angolae della Tea favoisce il distacco dell oggetto. d) Sempe pe la elazione (1) un aumento di povoca un aumento di g e quindi ostacola il distacco dell oggetto Un satellite di massa m sta uotando in obita cicolae attono alla Tea con velocità V = 10 m/s quando viene colpito nella posizione angolae = 60 da un meteoite di massa m/ incidente con velocità v = 30 m/s dalla diezione = 30. Il meteoite si mette in obita con velocità V mente il satellite viene sbalzato via. Calcolae: a) la nuova velocità V del satellite b) la diezione di espulsione c) la pecentuale di enegia iniziale dissipata nell uto. (4) m F β m β ' O α F F ' _ a) b) Nell uto si conseva la quantità di moto totale dei due copi; se indichiamo con la nuova diezione di moto del satellite saà 335

10 da cui m v sin + mvsin = m m v cos mvcos = m v sin + V V sin + m V ' cos ' V cos m V 'sin ' sin = V ' cos ' 1 v cos + 1 V cos = V 'sin '. Passando ai calcoli: = V 'cos ' = V 'sin ' da cui V 'cos ' = V 'sin ' = ' = 5 38' V ' = 19 5 m s. c) L enegia dissipata nell uto è la diffeenza ta le enegie cinetiche totali iniziale e finale ovveo K = 1 m v + 1 mv 1 m V 1 mv ' = 1 4 mv mv 1 ' mv e la pecentuale dissipata è K % = K K i 100 = 1 4 mv mv 1 mv' 1 4 mv = 1 8 %. mv 9.1. Un oggetto di massa m è appeso al piatto di una bilancia mediante un filo ideale e la bilancia è in equilibio quando all alto piatto è appesa sempe mediante un filo ideale una massa campione m c = 100 g. Se la diffeenza di lunghezza dei due fili è h = 30 m calcolae la massa m sapendo che il aggio teeste è T = m e che la massa m c si tova a una quota s = 300 m dal suolo. (4) 336

11 _ La bilancia è in equilibio quando m g 1 = m c g dove g 1 e g sono le acceleazioni di gavità nei punti 1 e. Essendo in geneale a una distanza d dalla supeficie teeste isulteà g = G m t ( T + d) g m = m ( c = m T + s + h) g c = ( T + s) = g e l eoe pecentuale che si commette nella pesata saà % = = %= 94 pati milione Un azzo viene lanciato tangenzialmente alla supeficie teeste con velocità iniziale v o = 9 km/s; se esso descive un obita ellittica tangenzialmente alla Tea come indicato in figua calcolae: a) a quale massima distanza da Tea potà aivae b) con quale velocità sapendo che il aggio teeste vale T = m e la massa teeste m T = kg. (4) 337

12 a) Applicando il pincipio di consevazione dell enegia nei punti A e B si ha: 1 mv o G mm t t = 1 mv B G mm t t + x ; applicando poi il pincipio di consevazione del momento angolae al sistema azzo-tea abbiamo: Ponendo y = t + x isulta: t v o = ( t + x) v B. y ( t v o Gm t ) + Gm t t y t 3 v o = 0 y = Gm t t ± (Gm t t v t o ) t v o Gm t = Gm t t ± (Gm t t v t o ) = t v o Gm t t t v o. Gm t t v o La soluzione che inteessa è la seconda dal momento che la pima iguada il punto di patenza e toviamo y = m e quindi x = y t = m. b) v B = t v o y = 493 km s Te identiche masse m si tovano ai vetici di un tiangolo equilateo di lato l. Ricavae l espessione della massima velocità con cui le te masse possono muovesi su un obita cicolae mantenendosi ai vetici di un tiangolo equilateo. (3) Peché l obita sia cicolae l enegia totale E = K+U deve essee negativa cioè deve essee 338

13 ovveo 3 1 mv 3 Gm l < 0 da cui v < Gm l v max = Gm l Si ipotizzi la Tea come una sfea fluida la cui densità cesce lineamente dalla supeficie al cento dal valoe o = 500 unità SI al valoe 1 = 9000 unità SI. Utilizzando il pincipio di Stevino calcolae all inteno di una siffatta Tea la pessione alla pofondità = 100 km (aggio teeste km). (6) La pessione si può calcolae con il pincipio di Stevino nel quale peò e g non sono costanti; si deve quindi scivee p = T () g() d. L espessione della densità in funzione della distanza è ( ) = o + k ( T ) dove k è una costante icavabile sapendo che pe = 0 è (0) = 1 ; quindi (0) = 1 = o + k T 1 = o + k T k = 1 o T Ricodando che ( ) = o + 1 o T ( T ) = 1 1 o T. g = GM = 4 3 G 339

14 icaviamo: = 4 T 1 o p G o ( T ) d 3 T = + = = 4 3 G d + o ( 1 o )( T ) ( d + 1 o ) ( T ) T T T d o = T T = 4 3 G T T o ( 1 o ) ( T ) ( T ) + o( 1 o) (1 ) d + d = T T o( T ) 3 3 ( 1 o) + o( 1 o)( T ) o( 1 o)( T ) + ( T ) T G ( 1 o) T ( 1 o) ( T ) + T 4 3T Tenendo conto che è tascuabile ispetto a T si icava: p 4 o ( 1 o) ( 1 o) ( 1 ) o GT o( 1 o) o( 1 o) = ( o 1 ) ( o 1 ) ( ) o 1 o = GT - o1 o( 1 o) = o o ( ) 1 1 o = GT = = Pa = atm Supponendo che esista un tunnel adiale scavato dal cento della Tea fino alla supeficie calcolae con quale velocità iniziale deve essee lanciato un poiettile lungo il tunnel pe pote aggiungee la supeficie teeste. (3) Basta impoe che l enegia cinetica iniziale del poiettile sia almeno uguale al lavoo compiuto conto la foza gavitazionale attattiva dovuta alla Tea ovveo indicando con m la massa del poiettile 1 mv = R T 0 Gm T m R T 3 d = Gm T m [ ] R T 3 R T 0 da cui v = Gm T R T = 791 km s. 340

15 9.17. Se si scava un tunnel che collega polo Nod e polo Sud e si lascia cadee in esso un sasso al polo Nod ipotizzando la Tea sfeica e omogenea con densità = 5000 unità SI calcolae quanto tempo impiegheà a aggiungee il cento della Tea. (5) _ Detta m la massa del sasso ed m T quella della Tea la foza agente sul sasso a distanza dal cento della Tea è F = Gmm T Gm 4 = 3 3 = G m 4 3 cui coisponde un acceleazione a = 4 3 G. Questa è l equazione diffeenziale di un moto amonico semplice con pulsazione e peiodo = 4 3 G T = = 3 G = = 5300 s = 1h 8 min0 s Il tempo impiegato a aggiungee il cento della Tea saà peò T/4 peché in un peiodo il sasso aiva al cento della Tea lo supea pe inezia aggiungendo il polo Sud e itonando fino al polo Nod quindi il tempo ichiesto saà t = 135 s = min 5 s. 341

16 9.18. Un poiettile viene lanciato dalla supeficie lunae con velocità v 0 = 700 m/s; se l acceleazione di gavità sulla supeficie della Luna è g L =16 m/s a quale altezza dalla supeficie del satellite potà aivae il poiettile? (aggio lunae: L = 1740 km). (3) Applichiamo il pincipio di consevazione dell enegia alle posizioni iniziale (sulla supeficie lunae) e finale (alla massima distanza) del poiettile: da cui 1 mv 0 G mm L L x = L v 0 Gm L L v 0 = G mm L L + x dove m L è la massa della Luna che possiamo icavae dalla elazione g L = G m L L. Sostituendo tale elazione nell espessione di x otteniamo x = v 0 L g L L v = = m = km Un satellite atificiale teeste di massa m s =1000 kg obita cicolamente con velocità angolae costante a distanza dal cento della Tea doppia del aggio teeste. Supponendo la Tea omogenea e tascuando qualsiasi attito calcolae: a) il lavoo compiuto dalla foza di gavità teeste in una ivoluzione; b) la velocità del satellite. c) Se il satellite accende i suoi azzi fenanti e si fema iniziando la discesa veso Tea sotto l azione della gavità qual è il lavoo compiuto dalla foza di gavità duante la caduta da 1 = T a = T? d) Con quale velocità il satellite aiveà a Tea? (5) a) La foza gavitazionale è sempe adiale quindi pependicolae allo spostamento del satellite peciò il lavoo è nullo. b) Basta impoe che la foza gavitazionale è di natua centipeta: v = Gm T T = G m sm T 4 T 34 = m sv T = 5 60 km s.

17 c) Il lavoo saà uguale all opposto della vaiazione di enegia potenziale gavitazionale del satellite cioè L = U = U i U f = G m sm T T + G m sm T T = G m sm T T = = = J. d) Il satellite pate da femo cadendo veso Tea quindi acquista enegia cinetica a spese della sua enegia potenziale gavitazionale peciò potemo scivee che v f = Gm T T = 1 m s v f = G m s m T T = 79 km s Due masse uguali m si tovano a distanza. Ricavae l espessione del potenziale gavitazionale geneato nel punto medio O della loo congiungente e die se una massa m posta nel punto O è in equilibio stabile instabile o indiffeente. (3) _ Il potenziale podotto in O è la somma dei due potenziali podotti sepaatamente in tale punto dalle due masse cioè: V = Gm / Gm / = 4 Gm. Una massa m posta in O acquista un enegia potenziale gavitazionale U = m' V = 4 Gm m ' Si può vedee subito che l equilibio di m in O è instabile in due modi diffeenti. Il pimo consiste nel icavae l enegia potenziale di m in una geneica posizione a distanza x da A deivae tale espessione ispetto a x veificae che tale deivata si annulla pe x = / e che la deivata seconda di U pe x = / è negativa indicando un massimo di U quindi una posizione di equilibio instabile. 343.

18 Il secondo decisamente più beve consiste nel calcolae la nuova enegia potenziale U del sistema dopo ave eseguito uno spostamento piccolo a piacee della massa m pe esempio veso A. Essa vale U' = Gm m' Gm m' + = Gm m' 4. Confontando U con U è facile veificae che U < U ovveo che la nuova posizione è più stabile della pima. Infatti se cioè se condizione sempe veificata. Gm m ' 4 4 < 4 Gm m ' > 4 > Se la foza di gavitazione univesale fosse del tipo F = GmM n stabilie: a) pe quale valoe di n l enegia totale di una massa m in moto attono a una massa M saebbe nulla b) che tipo di obita desciveebbe tale massa c) la dipendenza della sua velocità obitale dalla distanza. (3) a) Se F = GmM n alloa deve essee du = F d= Gm M n d e quindi U = Gm M n d = Gm M n 1 n + costante. Pe F 0 e anche U 0 quindi la costante di integazione è nulla alloa

19 U = Gm M 1 n 1 n. Del esto sappiamo che la foza gavitazionale deve identificasi con una foza centipeta e quindi GmM n K = 1 mv = GmM n 1. = m v (1) Alloa l enegia gavitazionale totale della massa m isulta quando E = K + U = Gm M n 1 + Gm M (1 n) n 1 = 0 n = 3. b) Un obita a enegia nulla può essee solo paabolica. c) Dalla (1) isulta v = GM. 9.. Nel suo moto di otazione attono alla Tea su obita ellittica la Luna viene a tovasi a una distanza minima da Tea (peigeo) 1 = m e a una distanza massima (apogeo) = m. Se la massa teeste vale m T = kg calcolae le velocità obitali della Luna in coispondenza del peigeo e dell apogeo. (3) Essendo la Luna sottoposta a una foza attattiva veso la Tea il momento meccanico di tale foza ispetto a un polo fissato nel cento di massa della Tea è nullo petanto dovà consevasi il suo momento angolae; in paticolae imponendo che al peigeo e all apogeo il momento angolae della Luna è lo stesso abbiamo da cui m L v 1 1 = m L v v 1 1 = v (1) Deve inolte valee il pincipio di consevazione dell enegia gavitazionale totale somma dell enegia cinetica e di quella potenziale peciò avemo 345

20 1 m L v m 1 G L m T = 1 1 m L v m G L m T e quindi pe la (1): v 1 = Gm T 1 ( 1 + ) v = Gm T 1 ( 1 + ). Eseguendo i calcoli si icava v 1 = 956 m/s v = 1093 m/s Un meteoite si sta avvicinando alla Tea e quando passa da un punto a distanza d = m dal cento della Tea la sua velocità foma un angolo = 30 con la congiungente il punto con il cento della Tea. Calcolae: a) il massimo valoe della velocità pe cui il meteoite può entae in obita attono alla Tea; b) la distanza di massimo avvicinamento in tali condizioni. (4) a) La condizione pe cui un copo celeste possa obitae attono a un alto è che la sua enegia totale sia negativa o nulla; nel caso della Tea possiamo scivee ovveo v max = Gm T d = E = 1 mv G mm T d = 471 km s. b) Applichiamo al meteoite il pincipio di consevazione del momento angolae dato che il momento meccanico della foza gavitazionale esecitata su esso dalla Tea è nullo assumendo come polo il cento della Tea. Indicando con x la distanza di massimo avvicinamento e v la coispondente velocità obitale si ha Essendo peò E = 0 saà anche m v d sin 30 = m v x. e quindi 1 mv' = G mm T d x = dv sin 30 Gm T = d 4 = 9000 km. 346

21 9.4. Se la Tea mantenendosi sfeica addoppiasse il popio aggio senza modificae la densità quali valoi assumeebbeo a) l acceleazione di gavità sulla supeficie b) la massa teeste c) il peiodo di otazione e d) il peiodo di ivoluzione. (3) a) L espessione dell acceleazione di gavità è g = G m T T = G 4 3 T 3 T = 4 3 G T petanto g diventeebbe 196 m/s. b) La massa teeste diventeebbe otto volte maggioe ovveo kg. c) Il momento angolae della Tea nella otazione attono al popio asse deve mantenesi invaiato cioè deve essee I = T I = T 5 m T T = costante dove I è il momento d inezia della Tea. Dal momento che il aggio della Tea addoppia mente la massa diventa otto volte maggioe il peiodo di otazione deve diventae 3 volte maggioe cioè T = 19 h. d) Pe la III legge di Kepleo il peiodo di ivoluzione di un pianeta attono al Sole dipende solo dalla massa solae e dal semiasse maggioe dell obita peciò esso esteà invaiato Un satellite atificiale di massa m = 1000 kg è in obita cicolae attono alla Tea a una quota h = 1000 km; assumendo pe la massa teeste il valoe m T = kg e pe il aggio teeste T = 636 Mm calcolae: a) la foza centipeta agente sul satellite b) la velocità obitale c) il peso in obita d) l enegia totale. (4) a) La foza centipeta coincide con la foza di attazione gavitazionale ta il satellite e la Tea ovveo F cp = G mm T ( T + h) = ( ) = 736 kn. b) Sappiamo che F cp = mv T + h 347

22 quindi v = F cp ( T + h) m = = 736 km s. c) Il peso in obita non è alto che la foza centipeta. d) E = G m T m ( T + h) = = J = 71 GJ Una massa m viene lasciata cadee lungo l asse della congiungente alte due masse uguali M poste a distanza l. Stabilie sotto quali condizioni il moto di m è amonico semplice. (6) Pe motivi di simmetia la massa m essendo le due masse lateali uguali saà soggetta a una foza gavitazionale attattiva che come si può vedee in figua è pependicolae assialmente alla congiungente le due masse M e vale F = Gm M sin dove abbiamo assunto un asse y pependicolae alla congiungente e sin = y = y + l 4. Tenendo conto che F è attattiva l equazione di moto della massa m saà 348

23 Nel caso in cui y «l 4 Gm M y F = ma = y + l 4 a = GMy y + l 4 3/. 3/ cioè y «l/ otteniamo appossimando 16 GM a = l 3 y che è l equazione diffeenziale di un moto amonico semplice di pulsazione e peiodo = T = = 16 GM l 3 l 3 GM Sono dati un sottilissimo guscio sfeico di aggio = 0 cm e densità supeficiale = 8 g/cm una massa puntifome m = 10 g estena al guscio a distanza d = 60 cm dal cento e una massa M = 50 kg posta nel cento del guscio. Calcolae il flusso del campo gavitazionale attaveso la supeficie del guscio. Che cosa cambia se la massa M viene posta a distanza / dal cento del guscio? (4) Il teoema di Gauss affema che il flusso del campo H attaveso la supeficie consideata vale = 4 G m int G m sup dove m int è la massa intena al guscio ed m sup quella contenuta in supeficie cioè la massa del guscio stesso essendo esso sottilissimo. La massa estena non contibuisce al flusso e il isultato è indipendente dalla posizione della massa intena. Alloa = 4 G (M + R )= ( ) = = m 3 s. 349

24 9.8. Se la legge di gavitazione univesale fosse del tipo F = G m M / icavae pe un pianeta di massa M le espessioni: a) dell acceleazione di gavità b) della legge di Kepleo sui peiodi c) della velocità obitale del pianeta d) della legge delle aee pecisando se la pima legge di Kepleo si manteebbe valida. (4) a) Basta scivee che il peso m g di un oggetto coincide con la foza di attazione gavitazionale cioè che pe icavae subito che mg= G mm g = GM. b) Scivendo che la foza centipeta agente sul pianeta in obita attono al Sole alto non è che la foza gavitazionale abbiamo M = G Mm S 4 T = Gm S T =. Gm S c) Scivendo in alto modo la foza centipeta agente sul pianeta abbiamo M v = G Mm S v = Gm S pe cui la velocità isulta costante in modulo in tutti i punti dell obita e questa non potebbe essee che cicolae. d) La legge delle aee o II legge di Kepleo alto non espime che la consevazione del momento angolae del pianeta nel suo moto attono al Sole: essa saebbe ancoa valida. e) Come visto nel punto c) le obite non possono essee ellittiche ma solo cicolai Se il aggio di un pianeta sfeico e omogeneo aumentasse senza vaiazioni di densità come si modificheebbe il peso di un oggetto sulla supeficie di tale pianeta? (4) 350

25 L aumento del aggio implica l aumento del volume e quindi se la densità si mantiene costante quello della massa del pianeta; tuttavia oa l oggetto si tova più lontano dal cento del pianeta; il pimo effetto poduce un aumento della foza gavitazionale il secondo una diminuzione. Si tatta di stabilie quale dei due effetti è pepondeante. Essendo il peso dell oggetto dato da m g basta stabilie come si compota g pe effetto delle vaiazioni avvenute. Abbiamo g = G m p p 4 = G 3 3 p p = 4 3 G p. L aumento del aggio implica quindi un aumento di g e quindi del peso dell oggetto Si consideino la Tea la Luna e il Sole utilizzando i seguenti dati: massa teeste m T = kg massa lunae m L = kg massa solae m S = kg distanza Tea Luna d TL = km distanza Tea- Sole d TS = km. Veificae che la foza attattiva Luna-Sole è supeioe a quella Luna-Tea e che l enegia di legame del sistema Luna-Sole è di gan lunga supeioe a quella del sistema Luna-Tea. Spiegae qualitativamente come è possibile che la Luna obiti attono alla Tea anziché come sembeebbe più logico attono al Sole. (5) La foza di attazione Luna-Sole vale F LS = G m Lm S d LS = = N. La foza di attazione Luna-Tea vale invece: F LT = G m L m T d LT = = N. L enegia di legame ta Luna e Sole (cioè l enegia gavitazionale del sistema dei due copi) è E LS = G m Lm S d LS = = J. 351

26 L enegia di legame ta Luna e Tea vale invece E LT = G m Lm T d LT = = J. I isultati tovati potebbeo fa itenee ingiustificato il fatto che la Luna obiti attono alla Tea anziché attono al Sole. Ma è scoetto agionae in temini di foze e di enegie di legame. Si deve agionae in temini di campo gavitazionale. Il campo gavitazionale teeste in un punto C a distanza x dalla supeficie teeste lungo la congiungente Tea-Sole è espesso da H T = dove T è il aggio teeste ( m). Gm T ( T + x ) Nello stesso punto il campo gavitazionale solae vale H S = Gm S (d TS T x ). Calcoliamo oa pe quale valoe di x i due campi hanno la stessa intensità ovveo Ciò accade pe m S (d TS T x ) = m T ( T + x ). m T (d TS T x ) = m S ( T + x ) che possiamo appossimaeessendo T tascuabile ispetto a d TS come m T (d TS x ) = m S ( T + x ) x (m T m S ) x (m T d TS + T m S ) + m T d TS m S T = 0. Tascuando la massa teeste ispetto a quella solae nella pima paentesi otteniamo m S x + x (m T d TS + T m S ) m T d TS + m S T = 0. 35

27 Sostituendo i valoi numeici e isolvendo l equazione di gado si icava che i due campi sono uguali pe una distanza x = km. Peciò se la Luna è entata nel campo gavitazionale teeste a una distanza infeioe a km dalla supeficie teeste essa è stata cattuata dal campo assestandosi successivamente alla attuale distanza Un satellite di massa m = 00 kg viene lanciato in obita e la sua velocità obitale è v = 7 km /s; pe effetto degli attiti esso spialeggia veso Tea iducendo la velocità a v = 1 km/s quando la sua distanza da Tea si è idotta a = 7000 km. Calcolae: a) il aggio dell obita iniziale b) il peiodo obitale finale c) il lavoo compiuto conto gli attiti. (5) a) Quando il satellite è in un obita di aggio la foza gavitazionale con cui è attatto dalla Tea è di natua centipeta quindi uguagliando le due espessioni icaviamo pe G mm T = m v = Gm T v = = 8140 km. b) Dalla III legge di Kepleo abbiamo T = '3 Gm T = = 584s = 1h 37min4s c) Il lavoo conto gli attiti viene compiuto a spese dell enegia gavitazionale totale del satelliteche diminuisce cioè L = E = E i E f = G mm T + G mm T ' = G mm T = = 798 MJ. 1 ' 1 = 9.3. Un satellite atificiale di massa m = 500 kg in obita cicolae attono alla Tea di aggio = 7500 km viene potato dai motoi su un obita di aggio = 8000 km. Se la nuova obita viene aggiunta in un tempo t = 0 min calcolae: a) il lavoo compiuto dai motoi b) la velocità nella pima obita c) la velocità nella seconda obita d) la potenza media sviluppata dai motoi. (4) 353

28 a) Il lavoo compiuto dai motoi deve uguagliae la vaiazione di enegia gavitazionale totale sulle due obite cioè L = E f E i = Gmm T + Gmm T 1 = = Gmm T 1 1 = = 831 MJ. b) c). Le velocità obitali si icavano imponendo che la foza gavitazionale sia di natua centipeta ovveo da cui G mm T = mv v 1 = Gm T 1 = 73 km s v = Gm T = 706 km s. d) La potenza (media) sviluppata dai motoi saà W = L t = = 693 kw = 940 CV. 354

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