Ruggero Caravita, Giacomo Guarnieri Gruppo Gi101 Circuiti 1. Circuiti 1. Relazione sperimentale A P P A R A T O S P E R I M E N T A L E

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Alfonsina Quarta
7 anni fa
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1 Relazione sperimentale Scopo dell esperienza è quella di determinare il valore di un set di resistenze incognite mediante la tecnica del ponte di Wheatstone. Sono inoltre indagate le caratteristiche di induttanze e condensatori, con particolare riguardo all impedenza, in condizioni di corrente alternata. A P P A R A T O S P E R I M E N T A L E L apparato di misura atto alla corretta realizzazione dell esperimento è composto da (Figura): Figura 1: Ponte di Wheatstone Un box di resistenze elettriche di caratteristiche incognite, condensatori di capacità ignota e inuttori di induttanza sconosciuta Tre serie di cassette di resistenze campione, ognuna delle quali consistente di un numero variabile tra tre a cinque di resistenze in serie, regolabili ediante una manopola Un tester universale Un generatore di corrente continua Un generatore di corrente alternata P R E S U P P O S T I T E O R I C I Pagina 1 di 6

2 Misura delle resistenze mediante il ponte di Wheatstone La tecnica del ponte di Wheatstone per la determinazione di una resistenza incognita è molto preciso, poichè si basa sulla condizione di annullamento di corrente circolante attraverso il tester. Realizzando infatti il circuito della figura 1, si ha infatti che, applicando la legge di Ohm al circuito, condizione necessaria e sufficiente all annullamento della corrente lungo il ramo BD è R x /R 0 = R 1 /R 2. Impostando quindi un determinato rapporto tra R 1 e R 2 si perviene a conoscenza del valore della resistenza incognita R x facendo variare la restante R 0. Una volta scoperti i valori delle resistenze incognite, collegando un semplice circuito RC e RL si indagano rispettivamente le impedenze del restante elemento circuitante. Misura delle capacità e delle induttanze E noto dalla letteratura scientifica che la grandezza Impedenza è definita come Z=V eff /I eff. Essa è un numero complesso e varia a seconda del componente circuitante considerato. Dato che V c =Q/C= I/C dt, Z c = -i /ωc, C=1/( Z c *ω). Si ha inoltre che, poiché V L =L di/dt, Z L = iωl e quindi L= Z L /ω. P R O C E D I M E N T O S P E R I M E N T A L E Verifica delle resistenze campione e Ponte di Wheatstone La prima fase è quella di verifica del corretto funzionamento degli elementi e dei collegamenti. A tal fine sono state controllate con l utilizzo di un tester le resistenze incognite facendo variare il voltaggio e la corrente circolante. In Tabella 1 sono riportati i valori delle resistenze campione ottenuti: Rx 1 Resistenza: ,8 226 Rx 2 Resistenza: 1008,5 0,1 Rx 3 Resistenza: 110,2 0,14 Rx 4 Resistenza: 344,5 0,13 Tabella 1: Valori delle resistenze campione Si procede quindi al collegamento del circuito setting delle resistenze R 1 e R 2 e si chiude l interruttore T 1. A scopo preventivo è consigliato mantenere la scala dell amperometro sui milliampère, in modo tale da evitare un eventuale rottura del tester. Una volta misurata la condizione di zero (in modo tale quindi che R 0 non produca più alcuna deviazione di scala), si passa alla scala microamperometrica e si ricerca il bilanciamento tra le resistenze. E consigliato, al fine di aumentare la sensibilità del tester, di aumentare il voltaggio fornito dal generatore, avendo sempre cura che le resistenze sopportino tale carico e che il surriscaldamento provocato non muti il valore delle resistenze ( la resistività dipende infatti linearmente dalla temperatura a cui è sottoposta la resistenza). Pagina 2 di 6

3 Si ripete la ricerca di bilanciamento per differenti rapporti di R 1 /R 2 e per tutte le resistenze incognite. In Tabella 2 i suddetti dati: Rx 1 Resistenza: Rx 2 Resistenza: 992,69 2 E-2 Rx 3 Resistenza: 99,103 4 E-3 Rx 4 Resistenza: 332,17 3 E-2 Tabella 2: Misura delle resistenze incognite calcolate attraverso la tecnica denominata ponte di Wheatstone Stima della dipendenza delle resistenze dalla frequenza Si sono a questo punto prese le resistenze appena studiate e, una volta collegate ad un generatore di corrente alternata, si è indagata la dipendenza di queste ultime dalla frequenza di oscillazione del generatore. Le misure sono state eseguite in condizioni circa di 2*10 2 ω 5*10 3, quindi ben lontane dalle frequenze elevate in grado di comportare effetti induttivi e capacitivi nel resistore. La legge che è perciò attesa è quella che esprime una buona indipendenza del valore di impedenza resistiva nel range di frequenze utilizzate. Misura delle capacità e delle induttanze incognite In quest ultima parte dell esperienza occorre collegare i condensatori e gli induttori ad un generatore di corrente alternata e, misurando l impedenza rispettiva come rapporto V eff / I eff e la frequenza del generatore, si calcolano le capacità dei condensatori incogniti e le induttanze attraverso le formule illustrate nel paragrafo Presupposti Teorici, assumendo come valore più corretto per l induttanza quello ottenuto (tramite radice quadrata ovviamente) dal fit lineare tra Z 2 e ω 2 mentre per la capacità quello ottenuto dal fit lineare tra Z -1 e ω. Di seguito in Tabella 3 i risultati: C 1 Misura in Farad Errore Capacità: 1,5386 E-8 2 E-12 C 2 Misura in Farad Errore Capacità: 9,853 E-7 1,3 E-9 C 3 Misura in Farad Errore Capacità: 4,579 E-6 4 E-9 Pagina 3 di 6

4 L 1 Misura in Henry Errore Induttanza: 5,05 E-3 1,1 E-4 L 2 Misura in Henry Errore Induttanza: 1,00 E-2 2 E-4 L 3 Misura in Henry Errore Induttanza: 2,36 E-3 6 E-5 Dall analisi dati, si evince che, per valori piccoli della pulsazione ω, i valori dell impedenza induttivi erano più bassi del dovuto (Grafico). L effetto si spiega tenendo conto dello schema di induttore reale, ovvero quello mostrato in Figura 2. Figura 2: Schema dell induttore reale Eseguendo l analisi di tale circuito con i consueti metodi di risoluzione noti dalla letteratura fisica, si ha che Z L 2 = {R 2 + ω 2 [L(1-ω 0 /ω) 2 ] 2 } / {[(1-ω 0 /ω) 2 ] 2 +(ωrc) 2 } 2,da cui, per ω -> 0 + si ha che Z L 2 = R 2, ovvero l induttanza non si annulla e presenta un carattere puramente resistivo, che è anche il minimo della funzione considerata. Riportiamo di seguito in Tabella 4 i valori delle resistenze intrinseche agli induttori, calcolate a partire dal parametro di intercetta del fit lineare tra Z L 2 e ω 2 : Pagina 4 di 6

5 R int 1 Resistenza 29,7 17,2 R int 2 Resistenza 31,9 13,5 R int 3 Resistenza 19,8 4,1 Figura 3: Schema del condensatore reale La considerazione appena discussa a proposito delle induttanze è valida anche per i condensatori, i quali a loro volta presentano valore diverso da zero per frequenza nulla (Grafico). Ricorrendo ancora una volta allo schema di condensatore reale (vedi Figura 3), noto in fisica, si ha che l impedenza complessiva (avendo l accorgimento di trascurare effetti induttivi e resistivi in serie al condensatore, in figura R=L=0) è data da Z C = (1/R - iωc) / (1/R 2 + ω 2 C 2 ), che tende ad R quando la frequenza (e quindi la pulsazione) si annullano. Di seguito i valori delle resistenze interne al condensatore reale, ottenute tramite il fit lineare: R int 1 Resistenza 1,22 E8 2 E-9 R int 2 Resistenza 1,83 E5 3,33 E-6 Pagina 5 di 6

6 R int 3 Resistenza 2,28 E4 2,29 E-5 I valori delle resistenze intrinseche ai condensatori, dovute fondamentalmente a rigidità dielettriche e causa di dissipazione per effetto Joule, sono accettabili e conformi con i grafici ottenuti: più la resistenza è grande, più il condensatore si carica velocemente e regolarmente, in quanto, come si evince dalla Figura 3, la resistenza è collegata in parallelo al condensatore. C O N C L U S I O N I E D I S C U S S I O N E S U G L I E R R O R I S I S T E M A T I C I D I M I S U R A Per quanto riguarda la prima parte dell esperienza, ovvero la taratura e la tecnica del ponte di Wheatstone, i risultati sono tra di loro coerenti e possono dirsi soddisfacenti, come anche o è stata la verifica dell indipendenza della resistenza dalla frequenza del generatore nel range considerato. Per quanto concerne invece il calcolo delle capacità e delle induttanze incognite sono stati selezionati mediamente il 75% dei dati presi, decidendo di escludere gli estremanti in entrambe le direzioni rispetto alla pulsazione. Ciò perchè a basse e ad alte frequenze esse dipendono in modo significativo dalla resistenza intrinseca degli elementi con cui sono state costruite e i dati risultavano leggermente (ma significativamente) discordi dai valori ottimali del fit. A parte questo non sono stati rilevati particolari o evidenti segali di errori sistematici, in quanto si è presa l accortezza di utilizzare più di un tester universale al fine di individuare eventuali discrepanze tra essi e quindi possibili fonti di errori interni alle macchine. Pagina 6 di 6

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