LE DOMANDE DEI NUMERI PRIMI

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Gianmarco Messina
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1 LE DOMANDE DEI NUMERI PRIMI UNA SFIDA APERTA DA 23 SECOLI Progetto di attività didattica Classe destinataria: 2 anno del Liceo Scientifico Durata e periodo dell attività: 8 h nel 2 semestre a3 Serena Cenatiempo - Classe di abilitazione A049

2 Obiettivo insegnamento della matematica: comprensione dei procedimenti argomentativi e dimostrativi del pensiero matematico FINALITÀ DIDATTICHE (cf. indicazioni MIUR) Cosa vuol dire fare matematica? Porsi un problema e provare a risolverlo con un metodo logico-deduttivo Approfondire i concetti di dimostrazione, congettura, verifica (a mano e con il calcolatore) Potenziare la capacità di ragionamento logico (dimensioni del «gioco» e della «sfida») Offrire una visione, anche se elementare, degli sviluppi della matematica moderna Discussione sulle finalità della matematica (le inattese applicazioni dei numeri primi) 2

3 PREREQUISITI Concetto intuitivo degli insiemi numerici, operazioni elementari, elevamento a potenza Algoritmo euclideo delle divisioni successive Criteri di divisibilità Concetto di funzione Passaggio dall aritmetica all algebra (1 semestre): - caratterizzare i numeri dispari; - numeri quadrati e somma dei primi n dispari; - numeri triangolari e somma dei primi n naturali; - indovinare sequenze di numeri (es. numeri di Fibonacci) 3

4 METODOLOGIA DIDATTICA IMPIEGATA Metodologia laboratoriale Attività utili a rendere concreti i concetti introdotti (esempi, esercizi, supporto di software informatici, materiale multimediale) Incoraggiamento alla ricerca autonoma Verifiche volte a indagare la comprensione degli argomenti affrontati, scoraggiando lo studio mnemonico 4

Definizione, storia, importanza, fattorizzazione in numeri primi QUANTI SONO? NUMERI PRIMI Il teorema di Euclide Dimostrazione teorema di fattorizzazione* COME RICONOSCERLI?

5 Definizione, storia, importanza, fattorizzazione in numeri primi QUANTI SONO? NUMERI PRIMI Il teorema di Euclide Dimostrazione teorema di fattorizzazione* COME RICONOSCERLI? Attività: trovare i numeri primi in una lista data. Quale strategia? COME OTTENERLI? Crivello di Eratostene Attività: trovare i numeri primi minori di 100 MAPPA CONCETTUALE E sufficiente? ESISTE UNA REGOLA? Numeri di Mersenne e numeri di Fermat Attività: indicare quali numeri di Mersenne M=2 n -1 con n 11 sono primi Eulero (1732): la congettura è falsa. Problema: i primi di Fermat sono infiniti? 5

6 Definizione, storia, importanza, fattorizzazione in numeri primi QUANTI SONO? NUMERI PRIMI Il teorema di Euclide Dimostrazione teorema di fattorizzazione* COME RICONOSCERLI? Attività: trovare i numeri primi in una lista data. Quale strategia? COME OTTENERLI? Crivello di Eratostene Attività: trovare i numeri primi minori di 100 MAPPA CONCETTUALE E sufficiente? ESISTE UNA REGOLA? Numeri di Mersenne e numeri di Fermat Attività: indicare quali numeri di Mersenne M=2 n -1 con n 11 sono primi Congettura dei primi gemelli Attività: trovare le coppie di primi gemelli e primi cugini minori di 100 Congettura di Goldbach Attività: verificare la congettura per i numeri pari fino a 100 5

7 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? «Scoprire qualche ordine nella progressione dei numeri primi e un mistero che lo spirito umano non sara mai in grado di penetrare.» Eulero (1751) «Quando le cose diventano troppo complicate, qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi: ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri 6

8 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798) quanti sono i numeri primi minori di x? Attività: - disegnare π(x) per x 50; - comando Prime[x] di Mathematica; - esempio con «dadi» «Quando le cose diventano troppo complicate, qualche volta ha un senso fermarsi e chiedersi: ho posto la domanda giusta?» E. Bombieri 6

Attività: - disegnare π(x) per x 50; - comando Prime[x] di Mathematica; - esempio con «dadi»

9 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798) quanti sono i numeri primi minori di x? Attività: - disegnare π(x) per x 50; - comando Prime[x] di Mathematica; - esempio con «dadi» ( ): CONGETTURA DI GAUSS E IPOTESI DI RIEMANN (1859) presentazione qualitativa focalizzata sulle idee Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x] 6

10 MAPPA CONCETTUALE NUMERI PRIMI QUANTI? COME OTTENERLI? ESISTE UNA REGOLA? PRIMI E CRITTOGRAFIA Breve storia della crittografia Attività: cifrario di Cesare, frequenza delle lettere Cifrario RSA IL CAMBIO DI PROSPETTIVA DI GAUSS (1798) quanti sono i numeri primi minori di x? Attività: - disegnare π(x) per x 50; - comando Prime[x] di Mathematica; - esempio con «dadi» CONGETTURA DI GAUSS E IPOTESI DI RIEMANN (1859) presentazione qualitativa focalizzata sulle idee Attività*: grafico di x/logx, Li[x], R[x] Attività: cifratura con demo on-line Crittografia quantistica RIFLESSIONE SUL PERCORSO E CONCLUSIONI Visione del documentario della BBC «L enigma dei numeri primi» 6

# Quale può essere la cifra delle unità di un numero primo maggiore di 5?

11 CONOSCENZA VALUTAZIONE: OBIETTIVI E MODALITÀ # Qual è il più piccolo numero primo di due cifre? # Quando due numeri primi si dicono gemelli? COMPRENSIONE seguendo la tassonomia degli obiettivi di Bloom # Il prodotto di due numeri primi può essere un numero primo? Perché? # Quale può essere la cifra delle unità di un numero primo maggiore di 5? APPLICAZIONE # Saper fattorizzare in primi numeri interi assegnati # Ogni numero primo nella forma 4n+1 può essere espresso come somma di due quadrati ANALISI # Una formula per trovare numeri primi? Es. n 2 + n + 41 # Qual è approssimativamente la probabilità che un numero scelto a caso tra 2 e 100 sia primo? SINTESI # Approfondimenti personali # Esposizione orale 7

12 SITOGRAFIA Sito sui numeri primi del Liceo Classico Foscarini di Venezia, con approfondimenti sulla crittografia e demo sul metodo RSA Video divulgativo della BBC sui numeri primi Intervento divulgativo sui numeri primi, Marcus du Sautoy, Oxford University, Maggio La teoria dei numeri, intervista ad Andrew Wiles numeri primi.pdf Percorso sui numeri primi, spiegazione rigorosa, ma adattata per liceo Ott_11/NumeriPrimi.htm Siti divulgativi, con link interessanti 8

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