Problema 6 * * * x = numero di cassonetti di tipo A y = numero di cassonetti di tipo B f(x, y) = 500x + 600y da massimizzare Vincoli:

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1 Problema 6 Un industria specializzata produce due tipi di cassonetti A e B per la raccolta differenziata dei rifiuti. Le macchine utilizzate per la produzione non possono produrre giornalmente più di 40 cassonetti del tipo A e 35 del tipo B. Per problemi di magazzinaggio non si possono produrre complessivamente pi di 60 cassonetti al giorno. L industria vende i cassonetti del tipo A a 500 e l uno e quelli del tipo B a 600 e l uno. Determinare quanti cassonetti del tipo A e quanti del tipo B l industria deve produrre per ottenere il massimo ricavo e l ammontare di tale ricavo. Ripetere lo stesso problema nel caso in cui entrambi i tipi di cassonetto siano venduti a 600 e l uno. x = numero di cassonetti di tipo A y = numero di cassonetti di tipo B f(x, y) = 500x + 600y da massimizzare Vincoli: * * * x + y 60 y x x 40 0 y 35 Retta guida del fascio: 500x + 600y = 0 y = 5 6 x Dal grafico si ricava che B è il punto di massimo cercato. B : { x + y = 60 y = 35 { x = 25 y = 35 Ricavo massimo = f(25, 35) = = e.

2 Nel caso in cui entrambi i tipi di cassonetto siano venduti a 600 e si ha: f(x, y) = 600x + 600y da massimizzare Vincoli: come nel caso precedente. Retta guida del fascio: 600x + 600y = 0 y = x, parallela alla retta y = x + 60 Tutte le soluzioni (con x e y interi) che appartengono al segmento BC sono soluzioni ottime: (25, 35); (26, 34); (27, 33);... ; (39, 21); (40, 20). Il ricavo massimo (evidentemente uguale per tutte le soluzioni) è dato da = e.

3 Problema 7 Un mobilificio produce due modelli di sedia S 1 e S 2 utilizzando due macchine M 1 e M 2. Ogni sedia S 1 richiede 3 minuti di lavorazione con la macchina M 1 e 6 minuti con la macchina M 2 ; ogni sedia S 2 richiede 7 minuti e mezzo con la macchina M 1 e 3 minuti con la macchina M 2. La disponibilità giornaliera della macchina M 1 è di 6 ore e mezza; la disponibilità della macchina M 2 è di 5 ore. Le sedie S 1 sono vendute a 62 e l una e le sedie S 2 a 50 e l una. Determinare quante sedie di ciascun modello è più conveniente produrre per ottenere il massimo ricavo giornaliero. Ripetere lo stesso problema supponendo che le sedie S 2 richiedano 8 minuti di lavorazione con la macchina M 1 (anzich 7 minuti e mezzo). * * * x = numero di sedie di tipo S 1 y = numero di sedie di tipo S 2 f(x, y) = 62x + 50y da massimizzare Vincoli: 3x + 7.5y 390 y 0.4x x + 3y 300 y 2x x 0 ; y 0 Retta guida del fascio: 62x + 50y = 0 y = 1.24x Dal grafico si ricava che A è il punto di massimo cercato. A : { 3x + 7.5y = 390 6x + 3y = 300 { x = 30 y = 40 Ricavo massimo = f(30, 40) = = 3860 e.

4 Nel secondo caso si ha: f(x, y) = 62x + 50y da massimizzare (identica al caso precedente) Vincoli: 3x + 8y 390 y 0.375x x + 3y 300 y 2x x 0 ; y 0 Retta guida del fascio: 62x + 50y = 0 y = 1.24x (identica al caso precedente) Dal grafico si ricava che A è ancora il punto di massimo cercato. A : { 3x + 8y = 390 6x + 3y = 300 x = = y = = Dal momento che possono essere accettate soltanto soluzioni intere, si considera come prima soluzione anzitutto il punto F (31, 36) che sicuramente appartiene alla regione ammissibile. Occorre quindi verificare se eventualmente anche i punti vicini E(31, 37) e/o G(32, 36) appartengano o meno alla regione stessa. In caso affermativo, occorre infine verificare a quale punto corrisponda effettivamente il valore massimo della funzione obiettivo. Verifica sui vincoli per E(31, 37): { = 389 < = 297 < 300 Verifica sui vincoli per F (32, 36): { = 384 < = 300 E(31, 37) appartiene alla regione ammissibile F (32, 36) appartiene alla regione ammissibile

5 f(31, 37) = = 3772 f(32, 36) = = La produzione corrispondente al ricavo massimo è pertanto data da 32 sedie di tipo S 1 e 36 sedie di tipo S 2, per un ricavo complessivo di 3784 e.

6 Problema 8 Un agricoltore deve preparare giornalmente 120 Kg di mangime per i suoi animali, che deve contenere almeno 28.8 Kg di mais e 37.8 Kg di grano. Presso una cooperativa trova in vendita tre diversi prodotti base adatti alla preparazione. Il primo contiene il 32 % di mais e il 30 % di grano, il secondo contiene il 20 % di mais e il 39 % di grano, il terzo contiene il 16 % di mais e il 24 % di grano. Sapendo che il costo del primo prodotto è di 3.5 e al Kg, il costo del secondo è di 3.2 e al Kg ed il costo del terzo è di 3 e al Kg, determinare la quantità ottimale dei prodotti da usare nel miscuglio per ottenere il minimo costo. x = numero di Kg del primo prodotto y = numero di Kg del secondo prodotto z = numero di Kg del terzo prodotto * * * f(x, y, z) = 3.5x + 3.2y + 3z da minimizzare Vincoli: x + y + z = 120 z = 120 x y 0.32x y z x y (120 x y) x y z x y (120 x y) 37.8 x 0 ; y 0 ; z 0 x 0 ; y 0 ; 120 x y 0 min(3.5x + 3.2y + 3z) min(3.5x + 3.2y + 3(120 x y) Il problema, ricondotto in due variabili mediante la sostituzione z = 120 x y, risulta quindi descritto nel modo seguente: min(0.5x + 0.2y) 0.16x y 9.6 4x + y 240 y 4x x y 9 2x + 5y 300 y 0.4x x y 0 y x x 0 ; y 0 Retta guida del fascio: 0.5x + 0.2y = 0 y = 2.5x

7 Dal grafico si ricava che A è il punto di minimo cercato. A : { 4x + y = 240 2x + 5y = 300 { x = 50 y = 40 Si ha poi z = 120 x y = 30. Costo minimo = f(50, 40, 30) = = 393 e.

8 Problema 9 Un azienda produce fogli di carta che rivende in pacchi contenenti fogli ciascuno. Giornalmente sostiene le seguenti spese di produzione: spese fisse pari a 800 e ; spese variabili, per ogni pacco prodotto, stimate pari a 20 e se la produzione è inferiore o uguale a 24 pacchi, altrimenti 15 e. Il prezzo unitario p di vendita varia, al crescere del numero x di pacchi venduti, secondo la legge p(x) = 104 2x. Determinare quanti pacchi occorre produrre e vendere giornalmente per non essere in perdita. Determinare poi quanti pacchi conviene produrre e vendere giornalmente per realizzare il massimo utile ed il relativo importo. * * * x = numero di pacchi prodotti e venduti giornalmente C(x) = { x se 0 x x se x > 24 R(x) = p x = (104 2x) x = 2x x { 2x x 800 se 0 x 24 (parabola 1) U(x) = R(x) C(x) = 2x x 800 se x > 24 (parabola 2) Parabola 1: Asse: x = 21; y V = = 82 Intersezioni con l asse x: A(14.6; 0) e B(27.4; 0). Parabola 2: Asse: x = 22.25; y V = = Intersezioni con l asse x: D(12.5; 0) e E(32; 0).

9 Dal momento che possono essere accettati soltanto i valori interi di x, dal grafico si ricava quanto segue: per non essere in perdita la produzione giornaliera dovrà essere compresa tra 15 e 32 pacchi; il massimo utile (corrispondente al punto M sulla parabola 2) si ha per una produzione giornaliera di 25 pacchi, con U max = = 175 e.