3 Geometria delle masse e momento di 2 ordine 3.3 Ellisse centrale d inerzia e nocciolo centrale d inerzia

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1 3 Geometria delle masse e momento di ordine ESERCIZI SVOLTI Considerata la sezione rappresentata in figura, calcolare i raggi d inerzia massimo e minimo, tracciare l ellisse d inerzia e il nocciolo centrale d inerzia, e determinare i moduli di resistenza rispetto agli assi baricentrici 0 e. y 6 y Area della sezione: A cm y G y 0 0,53 i y0 3,56 3,6 i X0 5,38 Momenti d inerzia baricentrici: I ,33 cm I y ,33 cm Raggi d inerzia rispetto agli assi baricentrici 0 e I 0 59,33 i 0 5,38 cm A 88 I y0 7,33 i y0 3,56 cm A 88 Nocciolo centrale d inerzia: 5,38 GX GX 3,6 cm h 8 3,56 GY GY,53 cm b 5 Moduli di resistenza rispetto agli assi 0 e : I W ,33 38,67 cm 3 h 8 I y0 i 0 i 7,33 W y0 3,7 cm 3 b 5 0L asta di una struttura in ferro è realizzata con quattro angolari a lati uguali L 0 disposti come in figura; determinare l ellisse e il nocciolo centrali d inerzia. Dalla tabella relativa agli angolari con lati uguali si ricavano le caratteristiche geometriche e statiche del profilato: A 7,5 cm d 3,0 cm I I y 368 cm La sezione dell asta presenta una doppia simmetria ortogonale e l intersezione dei due assi 0 e ne fornisce il baricentro, che presenta perciò le coordinate: G 3 cm y G 0 cm Gli assi 0 e sono perciò assi principali d inerzia. Il baricentro g di ogni profilato presenta le seguenti coordinate rispetto al sistema di assi 0 e : g,0 cm y g 6,60 cm I momenti d inerzia massimo e minimo della sezione risultano: (I + A y g ) ( ,5 6,60 ) 3 783,60 cm I (I y + A g ) ( ,5,0 ) 360,60 cm SEI - 0

2 3 Geometria delle masse e momento di ordine I semidiametri dell ellisse centrale d inerzia valgono: i 0 A I vertici del nocciolo centrale d inerzia distano dal baricentro G delle quantità: GD GB i 0 H GA GC i B 3 783,60 7,5 88,9 0 3,7 3 88,9 7 cm i I A 360,60 3,7 5,7 cm 7,5,5 cm,5 cm 3 0Per la sezione a Z rappresentata in figura calcolare i momenti d inerzia rispetto agli assi baricentrici e y e determinare la posizione degli assi principali d inerzia. y 7 0 Con riferimento alla figura la sezione viene suddivisa in tre rettangoli e i momenti d inerzia della sezione rispetto agli assi e y risultano: I ,67 cm 0 I y G α α 0 0 7,67 cm Prima di determinare la posizione degli assi principali 0 e è necessario calcolare il momento centrifugo rispetto agli assi e y, tenendo presente che tale momento per il rettangolo è nullo. I y (0 0 7) + [0 ( 0) ( 7)] 5600 cm 0 7 La posizione degli assi principali risulta: I 5600 tg α y 0,66 I + I y 7,67 + 7,67 SEI - 0

3 3 Geometria delle masse e momento di ordine 3 A questo valore corrispondono due angoli che differiscono di 80, ossia: α 3,75 e α +π,75 per cui: α 6,365 e α 06,365 ed essendo negativi la rotazione degli assi è oraria rispetto a. L asta di una struttura reticolare in acciaio è costituita da quattro angolari formati di lamiere saldate, con una sezione le cui caratteristiche sono riportate in figura; determinare l ellisse e il nocciolo centrale d inerzia. Ellisse centrale d inerzia La sezione presenta una doppia simmetria ortogonale per cui il baricentro è fornito dall intersezione dei relativi assi 0 e, ed essendo la sezione inscrittibile in un quadrato, i momenti d inerzia rispetto a tali assi sono fra loro uguali con il valore massimo. Allo scopo di semplificare il calcolo, vengono determinati il baricentro g di ogni angolare e il relativo momento d inerzia rispetto all asse passante per g, uguale al momento rispetto a y. Le coordinate del baricentro g, rispetto al sistema di assi 0 e, risultano uguali fra loro avendo gli angolari lati uguali, e valgono: g y g (8 7) + (0 ) (8 ) + (0 ) Il momento d inerzia rispetto all asse m risulta: I m cm e con la formula di trasposizione inversa si ha: I I y I m A d 368 [(8 ) (0 )] (, 3) 3, cm, cm SEI - 0

4 3 Geometria delle masse e momento di ordine Applicando nuovamente la formula di trasposizione in forma diretta ai quattro angolari si ottiene: I (I + A y G ) (3, + 36, ) 38,09 cm L ellisse centrale d inerzia risulta ovviamente un cerchio con raggio: i 0 i A 38,09 6,5 5,5 cm 36 Nocciolo centrale d inerzia Per le caratteristiche geometriche della sezione, il nocciolo centrale d inerzia è una figura poligonale regolare, per cui è sufficiente determinare i centri relativi agli assi a e b che giacciono sulle perpendicolari a essi per il baricentro G. Asse a: GA i 6,5, cm h e per la simmetria della sezione è anche: GC GE GH, cm 0L asse b interseca gli assi 0 e nei punti P e Q, equidistanti dal baricentro G, per i quali passano gli assi p e q, i cui centri B e B forniscono le coordinate del vertice B; per le caratteristiche di simmetria della sezione basta considerare solo il punto P, le cui coordinate sono: p cm y p 0 e quindi il centro B relativo all asse p, di equazione cm, è sull asse 0 a distanza: G B i GP 6,5,90 cm ed è anche GB,90 cm, per cui: GB G B + G B,90,69 cm e per la simmetria: GD GF GL,69 cm 5 0Determinare l ellisse e il nocciolo centrali d inerzia della sezione a L riportata in figura. La sezione data non presenta assi di simmetria o mediane e quindi non è possibile individuare subito gli assi principali d inerzia, che potranno essere determinati solo a seguito del calcolo. Il procedimento è quindi il seguente:. determinazione del baricentro;. calcolo dei momenti di inerzia rispetto agli assi baricentrici e y, paralleli ai bordi della sezione, e del momento centrifugo; 3. determinazione della posizione degli assi principali d inerzia 0 e rispetto all asse ;. calcolo dei momenti principali d inerzia e dei raggi d inerzia per il tracciamento dell ellisse; 5. individuazione dei vertici di nocciolo, come centri relativi agli assi tangenti alla sezione.. Coordinate del baricentro G La sezione viene pensata composta di due rettangoli e ; applicando a essi il teorema di Varignon rispetto ai due assi m ed n coincidenti con i bordi si ottengono i valori riportati in tabella. Tabella Figura Area A (cm ) (cm) S y A (cm 3 ) y (cm) S A y (cm 3 ) ➀ ➁ A 3 36 A 8,50 6, ,00,00 Σ A 8 Σ (A ) 3 Σ (A y) G Σ ( A ) 3,07 cm Σ A 8 y G Σ ( A y) 56 5,3 cm Σ A 8 SEI - 0

5 3 Geometria delle masse e momento di ordine 5. Momenti d inerzia rispetto agli assi baricentrici e y e momento centrifugo Le coordinate dei baricentri g e g rispetto al sistema di assi baricentrici e y risultano: y h + h G b y G 6 + 5,3,57 cm,07 3,57 cm y y G h 5,3 b 3,3 cm G 6,07,93 cm Applicando ora il teorema di trasposizione si ha: I 8,58 cm I + I , , ( 3) I 09,58 cm y I y + I y (, 57) + 3 +,93 Le mediane dei due rettangoli, parallele agli assi baricentrici e y, sono gli assi principali d inerzia dei rettangoli stessi, per cui ognuno di essi ha il momento centrifugo nullo rispetto alle mediane; di conseguenza il momento centrifugo relativo alla sezione in esame risulta semplicemente: I y A y + A y [ 36 (,57),57]+ [ 8,93 ( 3,3) ] 70,58cm SEI - 0

6 3 Geometria delle masse e momento di ordine 6 3. Assi principali d inerzia Gli assi principali d inerzia 0 e formano con gli assi baricentrici e y l angolo α 0 dato da: tg α 0 I y ( 70,58) +,868 I I y 8,58 09,58 da cui α 0 +30,9.. Momenti principali d inerzia I Possono essere calcolati ora i raggi principali d inerzia che costituiscono i semidiametri dell ellisse d inerzia, che potrà quindi essere tracciata: i 0 i I + I y I + I y + (I I y ) + I y Σ A 56, 8 I Σ A 576,0 8 (I I y ) + I y 576,0 cm 5,8 cm,6 cm 8,58 +09,58 + (8,58 09,58) + ( 70,58) 56, cm 5. Nocciolo centrale d inerzia I vertici del nocciolo A, B, C, M, N rappresentano i centri relativi rispettivamente ai cinque assi a, b, c, m, n tangenti alla sezione, ma che non la tagliano. Tenendo presente che il centro relativo a un asse giace sul corrispondente asse coniugato, si sono trovati tutti i centri con la costruzione grafica basata sulle proprietà dell ellisse centrale d inerzia; ci si limita quindi a descrivere il procedimento eseguito per la determinazione del vertice B: si traccia la parallela b all asse b, tangente all ellisse, essendo R il punto di tangenza; la congiungente RG rappresenta la direzione coniugata all asse b; il segmento RG, raggio d inerzia relativo all asse baricentrico parallelo all asse b, viene ribaltato in R sulla perpendicolare per G alla direzione coniugata RG; per R, si traccia la normale alla congiungente R B che interseca la direzione coniugata nel punto B. Ripetendo tale costruzione per i restanti assi, vengono definiti i centri relativi agli altri quattro assi, costituenti i vertici del pentagono ABCMN, che rappresenta il nocciolo centrale d inerzia. SEI - 0

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