g.bonomi fisica sperimentale (mecc., elettrom.) Introduzione

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1 Introduzione Nello sport del salto con l elastico il saltatore si lancia nel vuoto appeso ad una corda elastica. Come si può prevedere con certezza fino a dove arriverà nella sua caduta? La risposta è ovviamente di vitale importanza per il saltatore.

2 Il Teorema Lavoro-Energia afferma che il lavoro totale fatto dalla forze agenti su una particella è uguale alla variazione della sua Energia Cinetica. Quando agiscono determinate forze, dette conservative, il lavoro totale eseguito dipende solo dalle configurazioni iniziale e finale del sistema e non dal percorso effettuato. Tali tipi di forze sono in grado di immagazzinare l energia e di restituirla integralmente. Tale energia è detta potenziale. Quando agiscono solamente forze attive conservative, la somma dell energia cinetica e di quella potenziale viene detta energia meccanica totale. Tale grandezza risulta costante (si conserva). Altre forze, come gli attriti, non sono conservative e non immagazzinano l energia, bensì la dissipano. Mediante l introduzione di altre forme di energia (grandezze trasformabili in lavoro meccanico), come l energia chimica, termica, nucleare, la conservazione dell energia diventa uno dei principi più generali della fisica.

3 Esempi di forze conservative Forza elastica L = ΔK massa ferma, K=0 a) b) : L = kd 2 K = kd 2 b) c) : L = 1 2 kd 2 K = 0 c) d) : L = kd 2 K = kd 2 d) e) : L = 1 2 kd 2 K = 0 il lavoro complessivo per tornare alla posizione iniziale è nullo

4 K = 1 mv 2 2 o Esempi di forze conservative (e non) L = ΔK Forza gravitazionale a) b) : K = 0 L = mgh = 1 mv 2 2 o b) c) : L = mgh K = mgh = 1 mv 2 2 o il lavoro complessivo per tornare alla posizione iniziale è nullo L=- L a Forza d attrito K è diminuita K = 1 2 mv2 il lavoro complessivo per tornare alla posizione iniziale è 2 L a

5 Definizioni di forza conservativa Prima definizione (equivalente) di forza conservativa Se un corpo percorre un cammino chiuso sotto l azione di una forza che compie complessivamente lavoro nullo, tale forza è conservativa, altrimenti, se compie lavoro non nullo, è non conservativa. Seconda definizione (equivalente) di forza conservativa esempio - forza elastica Lavoro lungo il primo percorso (1) Lavoro lungo il secondo percorso (2) L 1 = d/2 ( kx)dx = 1 2 kx2 +d +d # ( ) 2 d 2 = 1 k d / 2 2 $ d/2 = % & = 8 3 kd 2 L 2 = d ( kx)dx + ( kx)dx = 1 d 2 kx2 1 +d 2 kx 2 +d d/2 d d/2 = k $ d / 2 d # ( ) 2 d 2 % & = 8 3 kd 2 Se il lavoro fatto da una forza nel muovere un certo corpo dalla posizione iniziale a quella finale è indipendente dal cammino percorso fra i due punti, la forza è conservativa; altrimenti è non conservativa.

6 Equivalenza delle due definizioni Se la forza agente è conservativa e la particella compie un percorso chiuso L ab,1 + L ba,2 = 0 b F ds + a(1) a F ds = 0 b(2) Se si cambia la direzione del percorso (2) lo spostamento cambia segno ma la forza rimane la stessa. b F ds a = F ( ds a ) = F ds L ab,2 = L ba,2 a(2) b(2) b(2) Il lavoro fatto dalla forza conservativa non dipende dal percorso L ab,1 + L ba,2 = L ab,1 L ab,2 = 0 b F ds = a(1) b a(2) F d s

7 Energia potenziale L energia potenziale di un sistema può essere definita solo se le forze agenti sono tutte conservative L energia potenziale di un sistema è l energia immagazzinata nella sua configurazione meccanica (compressione di una molla, innalzamento di un peso, ecc.) Quando lo stato di un sistema conservativo cambia da una configurazione (i) ad una configurazione (f), il lavoro eseguito è indipendente dalla modalità con la quale il cambiamento avviene (indipendente dal percorso). ΔU = ( U f U i ) = L if = L dipende solo da (i) e da (f) Si indica con ΔU la variazione di energia potenziale del sistema nel passare dalla configurazione (i) alla configurazione (f) U i e U f sono i valori dell energia potenziale immagazzinata dal sistema nelle configurazioni (i) ed (f) U f U i = ΔU < 0 L > 0 U diminuisce, il sistema compie lavoro U f U i = ΔU > 0 L < 0 U aumenta, il sistema assorbe lavoro

8 Energia potenziale ed energia cinetica Lavoro della molla da d) ad e) L = 1 2 kd 2 Variazione dell energia potenziale ΔU = L = kd 2 Per il Teorema Lavoro-Energia ΔK = L = 1 2 kd 2 Per il sistema massa molla ΔU + ΔK = 0 L energia cinetica e potenziale si scambiano esattamente l una nell altra durante l evoluzione del sistema

9 Teorema di conservazione dell energia meccanica Risultato generale derivante dalla definizione di energia potenziale e dal Teorema Lavoro- Energia Nei sistemi conservativi la variazione dell Energia Potenziale è esattamente compensata da una variazione uguale in modulo ed opposta in segno di Energia Cinetica ΔU + ΔK = 0 Δ( U + K) = 0 Si definisce Energia Meccanica Totale E la somma dell Energia Potenziale e dell Energia Cinetica di un sistema conservativo E =U + K ΔE = 0 E =U + K = costante Conservazione dell Energia Meccanica In qualsiasi sistema isolato costituito da corpi che interagiscono solo con forze di tipo conservativo, la somma dell Energia Cinetica e dell Energia Potenziale deve rimanere costante

10 Conservazione dell energia meccanica Scambio dell energia cinetica e potenziale in un sistema massa molla Energia tutta potenziale della molla compressa Energia presente in forma cinetica e potenziale Energia tutta cinetica della massa

11 Corpo soggetto a più forze conservative Definizione di Energia Potenziale E =U f + K f =U i + K i E = 1 2 kx2 + mgx mv2 = 0 L molla + L gravità = ΔU molla ΔU gravità Teorema Lavoro-Energia L molla + L gravità = ΔK Legge di Conservazione Energia Meccanica ΔU molla + ΔU gravità + ΔK = 0 E =U molla +U gravità + K = costante JavaApp/energy1/e-energy1.html consente di esprimere v in funzione di x parte da fermo alla posizione x=0 Il Teorema di Conservazione dell Energia Meccanica fornisce una relazione fra velocità e configurazione geometrica (posizione) della particella o del sistema e consente di ottenere direttamente informazioni sul moto E una relazione derivata dalle leggi del moto, è meno completa ma è più facilmente applicabile essendo l energia uno scalare. E il caso particolare di una Legge di Conservazione più generale.

12 Altri esempi di scambio di energia cinetica e potenziale Sonda Cassini

13 Sistemi conservativi unidimensionali Variazione dell Energia Potenziale di una particella sottoposta ad una forza conservativa unidimensionale F(x) x x si muove da x 0 ad x ΔU = L = F ( x)dx U ( x) =U ( x 0 ) F ( x)dx x 0 La funzione U(x) può essere ottenuta scegliendo un punto di riferimento x 0 arbitrario e assegnando a U(x 0 ) un valore di comodo completamente arbitrario. Hanno significato solamente le variazioni di U(x) e non i suoi valori assoluti. Una diversa scelta di U(x 0 ) cambia i valori di U(x) ma non le differenze ΔU= U(x 2 )-U(x 1 ) Muovendosi da x 0 ad x la velocità della particella varia da v 0 a v, il lavoro fatto dalla forza sarà: x 0 Teorema Lavoro-Energia L = ΔK = 1 2 mv2 1 mv Combinando la definizione di Energia Potenziale con il teorema Lavoro-Energia si ottiene 1 2 mv 2 1 mv =U ( x 0 ) U ( x) E = 1 2 mv2 +U ( x) = 1 mv U ( x 0 ) conservazione dell Energia Meccanica non compare ne accelerazione ne forza dipende solo da posizione e velocità iniziali La grandezza E (energia meccanica) rimane costante durante il moto.

14 Sistemi conservativi unidimensionali L equazione di conservazione dell energia meccanica consente di semplificare la soluzione di alcuni problemi dinamici senza l uso delle leggi del moto di Newton Essa rappresenta una prima soluzione delle equazioni di moto, si esprime in termini di velocità e posizioni e non di forze e accelerazioni (integrale primo del moto) Essendo l energia uno scalare, spesso è di più facile applicazione Non contiene tuttavia la soluzione completa del moto, non dà informazioni sulla direzione della velocità e non contiene esplicitamente il tempo. Spesso la soluzione di problemi meccanici può essere ottenuta sfruttando il fatto che alcune grandezze rimangono costanti (Leggi di Conservazione). Nel caso unidimensionale la relazione fra forza ed energia potenziale viene scritta come: ΔU = U( x) du = F ( x)dx F x ( ) U x 0 x x 0 ( ) = du ( x ) dx definizione alternativa di energia potenziale

15 La forza elastica posizione di riferimento x 0 U x ( ) 0 = kx x 0 ( )dx = 1 2 kx2 non dipende dal segno di x du dx = d dx 1 ( 2 kx 2 ) = kx = F La forza dall energia potenziale U(x 0 )=0 U(x)=max Si allunga la molla di x m con la massa ferma E = kx 2 2 m = 1 2 mv kx2 v = ± k ( m x 2 m x 2 ); x = 0 v 0 = ± k m x m U(x)=max si ottiene la velocità in funzione della posizione

16 La forza di gravità U(y)=max U y ( ) 0 = F y dy y = ( mg)dy = mgy 0 y 0 Si ottiene la forza dall energia potenziale du dy = d dy (mgy) = mg = F y posizione di riferimento y 0 U(y 0 )=0 Si indica con v 0 la velocità verticale del corpo nel punto di riferimento y 0 = 0 Approccio energetico al problema. (1) Il corpo possiede una energia cinetica K (2) Mentre sale l energia potenziale corpo-terra cresce e diminuisce la cinetica E = 1 2 mv2 + mgy = 1 mv v = ± v 0 2 2gy (3) Nel punto più alto tutta l energia cinetica è diventata potenziale (4) Durante la caduta avviene il processo inverso velocità ad ogni quota y

17 Conservazione dell energia meccanica e forza gravitazionale Metodo eschimese per vedere in lontananza

18 Esempi Un ascensore di massa m=920 kg si muove dal livello della strada fino all ultimo piano di un grattacielo alto 412 m. Quanto vale la variazione dell energia potenziale del sistema ascensore-terra? ( ) 9,80ms 2 ( ) 3600s ΔU = mgδy = mgh = 920kg 1kWh = 10 3 W ( ) = 3, J ( ) 412m Gli ascensori sono normalmente collegati a contrappesi, di massa circa pari a quella della cabina più il carico, che scendono quando la cabina sale e salgono quando scende. In questo modo la maggior parte dell energia necessaria per fare salire l ascensore viene fornita dalla discesa del contrappeso e viceversa. ( ) = ( 9016N) ( 412m) = 3, J La molla di un fucile è compressa di d=3,2 cm. Nella canna viene messo un proiettile di 12 g. Con quale velocità esso lascia la canna. (k=7,5 N/cm) Condizioni iniziali e finali ( ) ( v i = 0; x i = d) v f = v; x f = 0 E = K f +U f = K i +U i 1 2 mv2 + 0 = kd 2 v = d k m = ( 0, 032m) 750Nm kg = 8, 0ms 1

19 Esempi Sulle montagne russe un carrello carico di passeggeri, spostato lentamente dall altezza y=25 m, scivola verso il basso accelerando. Trascurando gli attriti, con quale velocità raggiungerà la base delle montagne russe? A prima vista il problema sembra non risolvibile in quanto non si conosce il profilo della rotaia. Il Teorema di Conservazione dell Energia collega lo stato iniziale a quello finale ed è indipendente dal percorso intermedio In assenza di attrito la guida non fa lavoro sul carrello E =U f + K f =U i + K i E = mv2 = mgy + 0 y 0 =0 base, U(y 0 )=0 v = 2gy = 2( 9,80ms 2 )( 25m) = 22ms 1 E la velocità del carrello in caduta libera I binari cambiano solo la direzione di v E indipendente dalla massa del carrello e dei suoi occupanti

20 Esempi Un praticante di salto con l elastico, di massa m=61 kg, si trova su un ponte alto 45 m sul livello del fiume. A riposo la corda elastica ha una lunghezza L=25 m. Se k=160 N/m calcolare l altezza inferiore alla quale arrivano i suoi piedi. E =U f grav +U f molla + K f =U i grav +U i molla + K i E = mgh + 1 kd = mg( h + d + L) relazione fra stato finale ed iniziale 1 2 kd 2 mgd mgl = 0 d =17, 9m h = 45m 25m 17, 9m = 2,1m Qual è la forza netta sul saltatore nel punto più basso? F = kd mg = = ( 160 Nm 1 )( 17, 9m) ( 61kg) ( 9,80ms 2 ) = 2266 N forza che determina il rimbalzo

21 Estensione ai sistemi conservativi bidimensionali e tridimensionali La forza F(x,y,z) sia conservativa, quindi il lavoro eseguito per andare da un punto ad un altro non dipenda dal cammino percorso. Potenziale U(x,y,z) ΔU = F x dx F y dy F z dz = F ( r ) dr Variazione di Energia x x 0 y y 0 z z 0 r r 0 Conservazione dell Energia Relazione fra la Forza e l Energia Potenziale U(x,y,z) 1 2 mv 2 +U ( x, y, z) = 1 mv U ( x 0, y 0, z 0 ) 1 2 mv 2 +U ( x, y, z) = E Energia Totale F ( r ) = U x i U y j U z k = U x, y, z ( ) derivata parziale gradiente di U(x,y,z) Il gradiente è un operatore differenziale che trasforma una funzione scalare della posizione in un vettore dipendente dalla posizione

22 Conservazione dell energia per un sistema di particelle Il Teorema di Conservazione dell Energia Meccanica, che comprende l Energia Cinetica e l Energia Potenziale, vale sotto le condizioni seguenti: (1) Il sistema deve essere isolato (2) Le forze attive agenti devono essere tutte conservative (3) Le forze vincolari non devono compiere lavoro ΔE = ΔK + ΔU = 0; E =U + K = costante Quando un sistema non è isolato ed è sottoposto a forze esterne che compiono lavoro l Energia Meccanica Totale non si conserva " L ΔE = ΔK + ΔU = L est ; est > 0, lavoro entrante ΔE > 0 # $ L est < 0, lavoro uscente ΔE < 0

23 Sistema formato da molte particelle microscopiche Quando un sistema è formato da molte particelle si verifica sperimentalmente che l energia può essere immagazzinata, in forma cinetica e potenziale nei moti ed interazioni delle singole molecole. Variazioni delle mutue distanze delle molecole ne variano l energia potenziale, modificazioni delle loro velocità ne cambiano l energia cinetica complessiva. Quest ultima variazione si manifesta tramite cambiamenti della Temperatura del Sistema (vedi Termodinamica). Questa energia microscopica non può essere contabilizzata come energia potenziale e cinetica macroscopica del sistema. Essa viene chiamata complessivamente Energia Interna E int. L esperimento permette di verificare che questa energia viene immagazzinata da tutti i sistemi in modo conservativo. Sistema adiabatico ΔE = ΔU + ΔK + ΔE int = L est Il sistema scambia energia solo tramite lavoro meccanico Se il sistema è isolato, non viene trasferito lavoro dall ambiente e si ottiene una generalizzazione del Teorema di Conservazione dell Energia Energia Totale ΔE = ΔU + ΔK + ΔE int = 0 E =U + K + E int = costante

24 Diverse definizioni di sistema e ambiente: scambi energetici solo il blocco molla attrito ΔE = ΔK + ΔE int = L s + L f blocco e molla molla ΔE = ΔU + ΔK + ΔE int = L f blocco, molla e attrito attrito ΔE = ΔU + ΔK + ΔE int = 0 Energia Totale costante interna al blocco+tavolo

25 Diverse definizioni di sistema e ambiente: scambi energetici In presenza di forze non conservative l Energia Meccanica di un sistema non si conserva ma può diminuire (dissipazione) o aumentare. Si conserva invece sempre l Energia Totale che comprende oltre a quella Meccanica anche l Energia Interna nelle sue diverse forme. Questa Legge di Conservazione è di carattere del tutto generale non è mai stata contraddetta dall esperienza aumenta ΔU, l energia potenziale gravitazionale diminuisce ΔU, l energia potenziale gravitazionale diminuisce ΔE int, nella forma biochimica aumenta ΔE int della corda in forma termica