Consigli per la risoluzione dei problemi

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1 Cnsigli per la risluzine dei prblei Una parte fndaentale di gni crs di Fisica è la risluzine di prblei. Rislvere prblei spinge a raginare su idee e cncetti e a cprenderli egli attravers la lr applicazine. Gli esepi qui riprtati sn stati prpsti agli studenti di Fisica Generale I negli ultii anni ce prve scritte d esae. Essi illustran, in gni capitl, casi tipici di risluzine di prblei. Il sari all inizi di gni capitl ffre un breve quadr d insiee delle idee più iprtanti per la sluzine dei prblei di quel capitl. Benchè tale quadr sia lt utile ce preria, per una adeguata cprensine degli argenti si cnsiglia di utilizzare il test di Fisica Generale I cnsigliat dal dcente. Riguard alla sluzine dei prblei di Fisica, si cnsiglia quant segue: ) Leggere attentaente il test del prblea. ) Preparare un elenc cplet delle quantità date (nte) e di quelle cercate (incgnite) 3) Disegnare un schea un diagraa accurat della situazine. Nei prblei di dinaica, assicurarsi di aver disegnat tutte le frze che agiscn su un dat crp (diagraa di crp liber). 4) Dp aver decis quali cndizini e principi fisici utilizzare, esainare le relazini ateatiche che sn valide nelle cndizini date. Assicurarsi sepre che tali relazini sian applicabili al cas in esae. E lt iprtante sapere quali sn le liitazini di validità di gni relazine frula. 5) Mlte vlte le incgnite sebran trppe rispett al nuer di equazini. In tal cas è bene chiedersi, ad esepi: a) esistn altre relazini ateatiche ricavabili dalle cndizini del prblea? b) è pssibile cbinare alcune equazini per eliinare alcune incgnite? 6) E buna nra rislvere tutte le equazini algebricaente e sstituire i valri nuerici sltant alla fine. Cnviene anche antenere traccia delle unità di isura, pichè quest può servire ce cntrll. 7) Cntrllare se la sluzine trvata è diensinalente crretta. 8) Arrtndare il risultat finale all stess nuer di cifre significative che cpain nei dati del prblea. 9) Ricrdare che per iparare a rislvere bene i prblei è necessari rislverne tanti: la risluzine dei prblei spess richiede creatività, a qualche vlta si riuscirà a rislvere un prblea prendend spunt da un altr già rislt.

2 I - Cineatica del punt ateriale La cineatica degli ggetti puntifri descrive il t dei punti ateriali. La descrizine del t di gni punt ateriale deve sepre essere fatta in relazine ad un particlare sistea di riferient. La psizine di un ggett che si uve lung una retta è data dall equazine raria: Si definiscn la velcità istantanea: e l accelerazine istantanea: x x( t) x v li t t dx dt li v a t t dv dt d x dt Se un ggett si uve lung una retta cn accelerazine cstante (t unifreente accelerat) si ha: a cst e per integrazine, pnend v v e x x per l istante iniziale t t, si tterrà: v v at x x v t at v v ( x ) a x Gli ggetti che si uvn verticalente vicin alla superficie terrestre, sia che cadan che sian lanciati verticalente vers l alt vers il bass, si uvn (se si può trascurare l effett della resistenza dell aria) cn accelerazine cstante rivlta vers il bass. Questa accelerazine è dvuta alla gravità, ed è pari a circa g 9,8 /s. In generale, se r è il vettre psizine del punt ateriale, la velcità e l'accelerazine vettriale istantanea sn date da:

3 v dr e dt dv a. dt Le equazini cineatiche per il t pssn essere scritte per ciascuna delle cpnenti x, y e z, ssia: Riassuia qui i casi più seplici: r xxˆ yyˆ zzˆ v v xˆ v yˆ v zˆ x a a xˆ a yˆ a zˆ. x Il t dei priettili si può scprre, se si trascura la resistenza dell aria, in due ti separati: la cpnente rizzntale del t che ha velcità cstante e la cpnente verticale che ha accelerazine cstante e pari a g, ce per i crpi in caduta libera (fintant che il t si svlge in prssiità della superficie terrestre). Si ha un t circlare unifre quand una particella si uve lung una circnferenza di raggi r cn velcità cstante; la particella sarà allra sggetta ad un accelerazine radiale centripeta a R, diretta vers il centr del cerchi, di intensità: y y z z a R v r Se la velcità nn è cstante, vi sarà accelerazine sia centripeta sia tangenziale. Il t circlare può anche essere scritt in terini di variabili anglari. In quest cas l equazine raria sarà θ θ( t) cn θ angl isurat (in radianti) a partire da una data direzine di riferient. La velcità anglare è data da: e l accelerazine anglare da: dθ ω dt α La velcità e l accelerazine lineare di un punt che si uve lung una circnferenza di raggi r sn legate a ω e α da: dω dt v rω a T rα a R rω

4 dve a T e a R sn le cpnenti tangenziale e radiale dell accelerazine. La frequenza f è legata ad ω da ω π f e al perid T da T /f.

5 Prblea Il sistea, strat in figura, è cstituit da una assa appggiata su una guida rettilinea inclinata di un angl θ rispett all'rizzntale. Calclare l'accelerazine a cn la quale deve uversi la guida rizzntalente affinché la assa t cada verticalente cn accelerazine pari a g. [ θ 3 ; g 9.8 / s ] Suggerient: tenere cnt che g rizzntalente. è diretta sl verticalente, entre a t è diretta sl Sluzine: L'accelerazine della assa è g inerziale slidale cn la guida. rispett ad un sservatre inerziale, e a rispett ad un riferient nn a r g a θ L'accelerazine di gravità nel riferient slidale cn la guida è: g g a t Indicat cn a il dul dell'accelerazine della assa nel riferient slidale cn la guida vale: a g sinθ csθ a r La cpnente rizzntale di a deve equilibrare a, quindi: t a a cs θ t t ciè: gsinθ csθ g a t 5,7 / s tg θ rivlta all'indietr.

6 Sluzine alternativa: L accelerazine ttale deve essere g, quindi deve valere: g a a t scrivend quest equazine in cpnenti si ttiene facilente che: g a t 5,7 / s tg θ dve a t e g sn i duli delle accelerazini. Prblea Una palla è lanciata in avanti e vers l'alt da una quta h spra il sul cn velcità iniziale v. La palla ribalza elasticaente (invertend la cpnente rizzntale della velcità e antenend inalterata quella verticale) su un ur verticale pst alla distanza d dal lanciatre. A quale altezza h dal sul la palla clpisce il ur? A quale altezza h si trva la palla quand è di nuv sulla verticale del lanciatre (che riane fer)? Qual è la quta assia h ax raggiunta dalla palla? Quesit: h ax è la stessa che sarebbe raggiunta se nn ci fsse la parete verticale. Perché? [h ; d 4 ; v ( x y) / s ˆ ˆ ] h d Sluzine: a) La cpnente rizzntale della velcità v x è cstante, quindi la palla raggiunge il ur nel tep:

7 d t,4 s. v x In direzine verticale è l'accelerazine ad essere cstante: g -9,8 ŷ /s. Perciò: d d h h v g 5, y v x v x b) La palla trna sul lanciatre dp altri,4 s. La cpnente verticale del t è ancra unifreente accelerata cn velcità iniziale v y 6,8 /s, e quta iniziale h 5,. Perciò la nuva quta è h 6,9. c) La quta assia h ax viene raggiunta quand la cpnente verticale della velcità si annulla (ciò avviene dp il ribalz). Essa è perciò data da: h v y h 7,. g ax Rispsta al quesit: h ax è la stessa che sarebbe raggiunta se nn ci fsse la parete verticale, perché l urt cn tale parete nn altera la cpnente verticale del t. Prblea 3 Un vecchi cannne viene fatt sparare rizzntalente dalla cia di una ntagna e la velcità v della palla viene reglata in d tale da farle clpire un bersagli pst nella pianura sttstante sl al secnd ribalz. Nel ribalz la cpnente verticale della velcità v y si riduce di un fattre f e la cpnente rizzntale v x riane cstante. Qual è la velcità v di uscita della palla del cannne per pter clpire un bersagli distante d, se la ntagna sulla cui cia è situat il cannne è alta h? Qual è la velcità v di uscita della palla se si vule clpire il bersagli direttaente? [f,6; h k; d 9 k] h d

8 Suggerient: calclare la durata del t in verticale ed ricrdare che in tale tep viene percrsa rizzntalente la distanza d. Sluzine: a) La cpnente rizzntale del t si antiene cstanteente unifre, per cui basta calclare la durata del t verticale ed iprre che d v x t, ciè v x d/t. Il pri ipatt avviene dp il tep t : entre il secnd ipatt avviene cn un ritard t : h t s 4, s g t v g y s 7 s, dve v y è quella subit dp l'urt: v fgt 6 84,9 /s. y Quindi: d v x 89,3 /s. t t b) La cpnente verticale del t è unifreente accelerata cn accelerazine perciò il tep ipiegat dalla palla per raggiungere il sul è: g 9.8yˆ / s, t h g In quest tep la palla percrre rizzntalente la distanza d v x t 9 k, ciè: v d g d 63 /s. x t h

9 II - Dinaica del punt Le tre leggi del t di Newtn sn le leggi fndaentali per la descrizine del t stess. La pria legge di Newtn affera che, se la frza risultante su un crp puntifre è zer, allra ess resta in quiete si uve lung una linea retta cn velcità cstante (t rettiline unifre). La tendenza di un crp a resistere ad un cabiaent del su stat di t si chiaa inerzia. La assa è la isura dell inerzia di un crp. La secnda legge del t di Newtn affera che l accelerazine di un crp è direttaente prprzinale alla frza risultante che agisce su di ess e inversaente prprzinale alla sua assa. Stt fra di equazine: F a La frza risultante su un ggett indica il vettre sa di tutte le frze che agiscn su di ess. Nella sua frulazine più generale, la secnda legge di Newtn affera che la frza risultante agente su un crp di assa e velcità v è data da: dv dp F dt dt ve p v è la quantità di t del crp. Slitaente (a ci sn eccezini) un crp nn perde nè acquista assa durante il t, e quindi vale dv F a, ce spra. dt Se invece la assa del crp è variabile, si avrà: d F a v dt La terza legge del t di Newtn affera che se un pri crp esercita una frza su un secnd crp, allra il secnd crp esercita sepre sul pri una frza uguale in intensità e direzine, a di vers cntrari. La frza esercitata su un crp dalla superficie liscia su cui è appggiat agisce perpendiclarente alla cune superficie di cntatt e per quest si dice che è una frza nrale. E un tip di frza vinclare, perché liita la libertà di vient del crp e la sua intensità dipende dalle altre frze che agiscn su quel crp. Per rislvere i prblei in cui cpain frze su un più crpi è essenziale disegnare il diagraa di crp liber per gni singl crp, ettend in evidenza tutte le frze che agiscn su quel crp. Per gni crp la secnda legge di Newtn può essere applicata a ciascuna cpnente della frza risultante.

10 Alcune frze iprtanti sn: Frza pes. Il pes si riferisce alla frza di gravità che agisce su un dat crp e vale P g; vettrialente: P g Frza d attrit. Quand un crp è in vient su una superficie scabra, la frza dvuta all'attrit (radente) dinaic agisce nella direzine ppsta a quella del t. La sua intensità è data da: F µ F, relazine tra l intensità della frza d attrit, che agisce parallelaente alla superficie di ad d N cntatt e l intensità della frza nrale F N (spess indicata anche cn N) che agisce perpendiclarente alla superficie stessa. Nn è un equazine vettriale, piché le due frze sn perpendiclari l una all altra. µ è dett cefficiente di attrit dinaic e dipende dai ateriali cn d cui sn fatti i due ggetti. Per la frza d'attrit (radente) static, il su valre assi è dat da: F µ F cn µ cefficiente d attrit static. Quand un crp si as s N S uve cn velcità sufficienteente bassa attravers un fluid, subisce una frza d'attrit viscs diretta nel vers ppst a quell del t. La sua intensità è data da: βv. Frza elastica. Per tenere una lla cpressa tesa di una lunghezza x ltre quella di rips è necessaria una frza: F kx dve k è la cstante elastica della lla. Questa legge, nta ce legge di Hke, è valida per valri di x sufficienteente piccli. Frza centripeta. Una particella che ruta lung una circnferenza di raggi r cn velcità cstante v è sttpsta in gni ent ad una frza diretta vers il centr della traiettria. Essa vale: F v ω r; vettrialente F v ( ) r r r ω ω r F av Prblea Un u tira una slitta, inizialente fera, su cui siedn due babini, sul sul cpert di neve. La slitta viene tirata ediante una fune che fra un angl θ cn l'rizzntale (vedi figura). La assa ttale dei babini è M, entre quella della slitta è. Il cefficiente di attrit static è µ, entre il cefficiente di attrit dinaic è µ. d Si trvin la frza di attrit esercitata dal sul sulla slitta e l'accelerazine del sistea slitta-babini se la tensine T della fune ha l intensità: T N; T 4 N. S

11 Mantenend fiss l anglθ, deterinare il valre ini di T per sllevare ttalente la slitta. [ θ 4 ; M 45 kg; 5 kg; µ,; µ,5] S d Suggerient: disegnare il diagraa di crp liber del sistea slitta-babini, iprre la cndizine di equilibri per le cpnenti y delle frze e scrivere l equazine del t per le cpnenti x. θ Sluzine: F T N F (M) g as θ F F ad N T (M) g θ Diagrai di crp liber I) La frza nrale al sul è: F N ( M ) g Tsinθ 45,7 N. Quindi la frza di attrit static è: F as [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 85, N, s N s entre la frza di attrit dinaic è: F ad [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 63,9 N. d N d La cpnente rizzntale delle tensini è T x Tcsθ 76,6 N < F as, per cui l accelerazine è nulla. II) La frza nrale al sul è: F N ( M ) g Tsinθ 4 N. Quindi la frza di attrit static è:

12 F as [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 8 N, entre la frza di attrit dinaic è: s N s F ad [( M ) g θ ] µ F µ Tsin 6 N. d N d La cpnente rizzntale delle tensine è T x Tcsθ 7, N > F as, quindi la slitta si uve cn accelerazine T csθ µ d a [( M ) g Tsinθ ] M,9 /s. Il valre di T per sllevare la slitta è quell che annulla F : N T ( M ) g 76,3 N. sinθ Prblea Due asse ed giaccin su un pian senza attrit e vengn spinte da una frza applicata dall'estern F, che si esercita sulla assa (ce in figura ). Si deterinin intensità e direzine di ciascuna delle frze di interazine tra ed. Suppnend che venga eliinata la frza F e che sulla assa agisca la frza applicata dall'estern F F (figura ), si deterinin intensità e direzine di ciascuna delle frze di interazine in quest'ulti cas. Si spieghi perché il dul delle frze di interazine è divers nei due casi. [F N; 4 kg ; kg; F N] Suggerient: si scriva l'equazine del t cnsiderand il punt ateriale di assa ( ). Si scrivan quindi le equazini di crp liber per ciascuna assa. F F Fig. Fig. Sluzine:

13 F F " N $ F g% F N F! g# F F & N g* ( ) F N F g' F Diagrai di crp liber a) L accelerazine di ed è: F /s a Ma allra la frza di interazine F esercitata da su vale a 4 N, entre per il principi di azine e reazine la frza di interazine F esercitata da su vale F - F 4 N b) L accelerazine vale ancra /s, a questa vlta su agisce anche la frza F - F. quindi ra è F a -8 N, ed F - F 8 N. c) In base alla secnda legge del t di Newtn la frza ttale agente su ciascuna delle due asse è la stessa (a en del vers) nei due casi esainati. Però una delle due asse è accelerata dalla sla frza di interazine, e nel secnd cas si tratta della assa aggire. E vvi che per prdurre la stessa accelerazine in una assa aggire, ccrre una frza aggire. Prblea 3 Una palla di assa è fissata ad una sbarra verticale per ezz di due funi prive di assa e lunghe. Le funi sn fissate alla sbarra a distanza d l'una dall'altra. Il sistea ruta attrn alla sbarra in d da frare un triangl equilater (vedi figura). La tensine della fune più alta è T. Deterinare: la tensine T della fune in bass; la risultante delle frze applicate alla palla nell'istante strat in figura; la velcità della palla. Studiare il prblea sia dal punt di vista di un sservatre inerziale, sia dal punt di vista di un sservatre slidale cn la palla. [,34 kg;,7 ; d,7 ; T 35, N] Suggerient: disegnare il diagraa di crp liber per il punt ateriale in ciascun dei riferienti utilizzati.

14 8 / / d 6 8 Sluzine: La differenza fra ciò che vede un sservatre inerziale rispett ad un nn inerziale slidale cn la palla è che entre quest ulti vede la palla fera antenuta in equilibri da una frza centrifuga F, c. f., l sservatre inerziale vede la palla in t circlare unifre, sttpsta ad un accelerazine centripeta. a) T 3 T b) g4 5 T T 6 g7 F c. f. Diagraa di crp liber a) nel riferient inerziale e b) nel riferient nn inerziale slidale cn la palla - a) Nel riferient nn inerziale, la tensine T bilancia la risultante di Ṫ, della frza centrifuga e della frza pes: v T T ˆ r g/ 3 3 dve si è tenut cnt che il triangl è equilater e che cs 3. La cpnente verticale dell equazine nn cntiene la frza centrifuga: T T g dve si è utilizzata la nta relazine cs 6,5. Si trva dunque il dul T 8,7 N. b) Nel riferient nn inerziale la rispsta è banale: zer. Nel riferient inerziale, invece, la risultante delle frze applicate alla palla è la frza centripeta:

15 : : : < v T T g 9 La cpnente rizzntale dell equazine vettriale di partenza, valida in entrabi i riferienti, è: ; 3 v ( T T ) ; 3 3 rˆ frnisce: 3 ( T T ) v 4 6,5 /s Prblea 4 Un blcc di assa pggia su un blcc di assa che è pst su un tavl priv di attrit (vedere figura). I cefficienti di attrit static e dinaic fra i due blcchi sn rispettivaente µ e S µ. d Quant vale la assia frza F che si può applicare senza che il blcc strisci su? Se il valre di F > è dppi di quell trvat nel precedente quesit, si trvin sia l'accelerazine assluta di ciascun blcc sia la frza di attrit agente su ciascun blcc.? Un sservatre inerziale vede il blcc uversi vers destra (direzine di F ) vers sinistra? [ kg; 4 kg; µ,3; µ,] S d Suggerient: disegnare il diagraa di crp liber per ciascun crp in cndizine di t di e iprre la cndizine di equilibri di rispett ad (t relativ). Sluzine:

16 F NA FG ad FB ( )g NE gd FC ad Diagrai di crp liber (in un riferient inerziale, cn in t rispett ad ) a) In un riferient inerziale, in assenza di attrit cn il tavl la assa si uve cn, quindi la frza di attrit static che agisce su deve essere pari a: F µ s g da cui: ( ) F µ s g 7,7 N b) Pst F 7,7x N 35,4 N, la assa scivla su esercitand su di essa la frza di attrit dinaic F gµ, per cui: ad d a F µ d g 7,9 /s dve a è l accelerazine della assa. La frza di attrit dinaic vale naturalente µ d g 3,9 N. Nel riferient slidale cn la assa, la assa subisce sia la frza di attrit dinaic, sia la frza fittizia - a. Quindi in tale riferient l accelerazine a r vale: a r µ g a -5,9 /s d entre in un riferient inerziale vale: a a r a /s c) Ce si evince dal punt b), entre nel riferient nn inerziale l accelerazine è diretta vers sinistra (nel vers negativ delle ascisse), in un riferient inerziale l accelerazine è psitiva, quindi diretta vers destra. Prblea 5

17 La curva spraelevata di un'autstrada è stata prgettata per una velcità v ax. Il raggi della curva è r. In una brutta girnata il traffic percrre l'autstrada alla velcità v. Quant vale l angl θ di spraelevazine? Quant deve essere il ini cefficiente d'attrit µ s che cnsente di superare la curva senza scivlare vers il bass? Usand tale cefficiente, cn quale velcità assia v ax è pssibile percrrere la curva senza scivlare vers l alt? [v ax 95 k/h;r ; v 5 k/h] Suggerient: utilizzare un sistea di riferient (nn inerziale) slidale cn l'autbile, scrivere l'equazine del t ed iprre la cndizine di equilibri. Diagraa di crp liber a) in un riferient nn inerziale e b) in un inerziale Sluzine: a) In un riferient inerziale la cpnente rizzntale della reazine vinclare N H frnisce la frza centripeta, entre la sua cpnente verticale equilibra la frza pes: Quindi: a) b) I K J N Fcf g g Nsin v θ r N csθ g N M L tgθ v rg ax,3

18 Cn quest angl, nel sistea di riferient slidale cn l autbile è sddisfatta la cndizine di equilibri della cpnente parallela alla strada delle frze in gic, in assenza di attrit: v r ax cs θ gsinθ tgθ v rg ax,3 b) Cn la piggia, a velcità v < v ax, la acchina tende a scivlare vers il bass, per cui la cndizine di equilibri diviene: gsin Quindi il cefficiente d attrit vale: v v ( θ ) cs( θ ) µ g cs( θ ) sin( θ ) r v gtg( θ ) µ r s, v g tg( θ ) r c) A velcità v ax > v ax, tende a prevalere la frza centrifuga, e la acchina tende a sbandare vers l alt. Quindi la cndizine di equilibri è: Per cui: v gsin s r s ax ax ( θ ) µ g cs( θ ) sin( θ ) cs( θ ) [ sin( θ ) µ s cs( θ )] [ cs( θ ) µ sin( θ )] r v r v ax gr 8,5 k/h Prblea 6 Un crp di assa M è pst su un pian inclinat di un angl θ cn l rizzntale ed è cnness ad una cppia di crpi di ugual assa traite una crda ideale, che passa per una puleggia senza attrit e di assa trascurabile, ce illustrat in figura. C è però attrit fra la assa M ed il pian inclinat. Calclare il valre della frza di attrit static necessaria a far rianere in quiete il sistea;

19 espriere in funzine di, M, θ il ini valre del cefficiente di attrit static fra M ed il pian inclinat, µ s, necessari affinchè il sistea rianga in cndizini statiche; calclare esplicitaente il valre ini di µ s quand M/ e θ 45. Quesit: Per quale valre dell angl θ il sistea (per < M/) resterebbe in cndizini statiche anche senza attrit? θ M Sluzine: F P a N N θ M T O Diagraa di crp liber per M a) Cndizine di equilibri: T T g Mgsinθ µ Mg csθ s pertant:

20 ( θ ) g ( θ ) µ Mg cs Mgsin s b) Cefficiente di attrit static: µ s tg M cs ( θ ) ( θ ) c) Se M/ e θ 45, µ s,4 Rispsta al quesit: La cndizine di equilibri in assenza di attrit è: da cui: T g T Mgsinθ θ arcsin M Si nti che per >M/ il sistea nn può essere in equilibri senza l attrit. Prblea 7 I crpi di assa, ed 3 sn cllegati ce in figura. Le carrucle e le funi sn ideali. Quali valri può assuere il cefficiente di attrit static µ s fra tavl e crp di assa affinchè nn si uva? Calclare l accelerazine dei due crpi ed 3 quand è sddisfatta la cndizine di cui al punt a). In assenza di attrit fra il tavl ed, calclare l accelerazine dei crpi, ed 3. [ kg; kg; 3 3 kg] Suggerient: scrivere l equazine di equilibri per e quella per il t di ed 3. 3

21 Sluzine: T V N F a gs U T Q T 3gR W T gx Diagrai di crp liber. a) e b) Cndizine di equilibri di : gµ s Le accelerazini di ed 3 hann sa nulla, per cui le equazini del t di ed 3 si pssn scrivere in terini della sla accelerazine a di 3 : T T T 3 g a 3 g ( a) ciè: T 3g 3a g T a dve l asse verticale del riferient è rientat vers l alt. L accelerazine di 3 vale: a 3 g 3 - /s (vers il bass). Tensine della fune che lega ed 3 : T ( g a) 3 g 3 3 3,5 N Cefficiente di attrit static: µ s T g c) In assenza di attrit, sian a, a e a 3 le accelerazini delle tre asse in un riferient inerziale. Vale allra:,5

22 \ a T 3 3 ( a a) ( a a ) T g T g 3 a a e a a 3 sn le accelerazini delle asse ed 3 nel riferient slidale cn la secnda carrucla, riferient in cui è valid il calcl precedente, nnchè la cndizine: ( ) a a a a 3 che in precedenza ci ha cnsentit di scrivere le equazini del t di ed 3 in terini della sla accelerazine di 3. Eliinand le tensini delle crde, si ttiene: Quindi, rislvend il sistea si trva: a a a3 a a g 3 a 3a 3 3 g a a a 3 43 g ( ) ( ) 4 ( 3 ) ( ) 4 ( ) a 4,7 /s, a -,7 /s, a 3-6,7 /s ( si uve in avanti, ed 3 vers il bass). Si nti che nel riferient nn inerziale slidale cn la carrucla bile (che scende), le accelerazini di ed 3 hann l stess dul ( /s ), a 3 scende ed sale. g g Prblea 8 Si ricrdi che se ay I è l accelerazine di un crp rispett ad un riferient inerziale, la sua accelerazine un riferient nn inerziale di accelerazine a[ t è data da: a \ NI ai a\ t. az NI rispett ad

23 Nel dispsitiv scheatizzat in figura, il crp A (di assa A ), pggiat su un pian rizzntale lisci, è cllegat da un fil inestensibile al crp B (di assa B ) ed è saldat all estreità di una lla di cstante elastica k. L altra estreità della lla è fissata ad un ganci slidale cn il pian e le asse del fil, della lla e della carrucla sn trascurabili rispett a quelle dei crpi A e B. Il crp B viene abbassat lung la verticale, rispett alla sua psizine di equilibri e lasciat liber di uversi. Calclare: di quant si è allungata la lla nella psizine di equilibri del sistea; l equazine del t del sistea frat dalle due asse; il perid delle scillazini cpiute dal sistea (sia di A che di B). [ A kg; B kg; k N/] Suggerient: si scrivan le equazini del t di A ed B, usand ad esepi la variabile x ce spstaent generic della assa B dalla sua psizine di equilibri. A B Sluzine: a N F _ e A ] g T` T b B^ g Diagraa di crp liber per A e B. a) dett x l allungaent della lla, la cndizine di equilibri è k x B g, da cui: B g x 9,8 c. k b) le equazini del t di ciascuna assa sn:

24 T Bg T( x) Ba( x) ( x) kx a( x) A vver T d x g T( x) B dt d x kx A dt B ( x) per cui l equazine glbale del sistea, in funzine dell allungaent della lla, è: d x k dt x B g A B la cui sluzine è un t arnic. Si nti che la variabile x descrive le scillazini sia di A che di B attrn alle rispettive psizini di equilibri. c) il perid dell scillatre è: A B T π,9 s k A B Prblea riepilgativ Un autbtte di assa a vut M trasprta una assa di acqua distillata lung tratt di autstrada pian e rettiline, senza vent. La velcità dell autbtte è inizialente v e la frza di attrit static agente sulle sue rute in direzine e vers della velcità è f s. Ad un tratt sul fnd del cassne si apre una piccla crepa attravers cui l acqua cade al sul, staccandsi dal cassne cn velcità relativa ad ess perpendiclare alla strada. La perdita è di k litri di acqua al inut. L autista del cain, ignar della perdita, tiene fer il piede sull acceleratre, per cui la frza di attrit static riane cstante. A quale velcità si trverà il cain dp un tep t dall inizi della perdita? [f s N; 3 kg; k, l/in; ρ (H O) kg/d 3 ; M 8 kg; v 7 k/h; t 5 ]

25 d c c d Sluzine: Fissia un riferient slidale cn la strada che abbia l asse x lung l autstrada nel vers della velcità dell autbtte, e l asse y verticale dirett vers l alt. Pria che si apra la crepa, si ha sepliceente una assa M che si uve a velcità cstante, sggetta lung l asse delle ascisse alle sle frze f s ed attrit viscs dell aria. Queste due frze devn vviaente bilanciarsi, per cui il cefficiente d attrit viscs β del cain nell aria è dat da: ciè: d ( M ) f s βv dt x f s β,5 kg/s v Quand si apre la crepa, l autbtte perde, in un intervall di tep infinitesi dt, la quantità di t v kdt e la assa kdt. In frula: ( kdt) v ( t dt) ( M ) v ( t) kdtv ( t) M Perciò la nuva velcità dell autbtte (al tep t dt) è: ( M kdt) v ( t) ( M kdt) v ( t dt) ciè la velcità riane inalterata, e l accelerazine è nulla, anche se il cain perde quantità di t. Il prblea può anche essere rislt utilizzand la fra generale della secnda legge della dinaica, valida per sistei a assa variabile: Fc a dve (t) è la assa dell autbtte al tep t dall inizi della perdita, e la frza ttale agente sull autbtte è: d dt v ( f s βv) x f a F ˆ e cn f a frza di reazine esercitata dall acqua sul cain.

26 Nel riferient slidale cn l autbtte, la frza di reazine è verticale, per cui nn influenza la cpnente rizzntale del t. Inltre, in tale riferient v, quindi: (anche a è nulla, a è sl la frza fittizia). La cndizine iniziale è v f s βv f s β, per cui inizialente a(). Ma v ( dt) v a( ) v f s βv( dt) f s βv v nn cabia, e a( dt) t resta unifre cn velcità v. a, ciè, vale a dire che a riane nulla. Quindi il

27 III - Lavr ed energia. Cnservazine dell energia. Il lavr W cpiut da una frza F variabile che agisce su un punt ateriale spstandl da un punt A ad un punt B lung una linea γ è dat da: B W F dl A,γ dve dl è l spstaent infinitesi lung il percrs della particella. L energia cinetica di una particella di assa che si uve cn velcità v è data da: Ec v Il terea dell energia cinetica affera che il lavr ttale cpiut su un punt ateriale dalla frza risultante per spstarl da un punt A ad un punt B è uguale alla variazine di energia cinetica del punt ateriale: W v B v A E c Il lavr fatt da una frza cnservativa su di una particella dipende sl dai due punti di partenza e di arriv e nn dal cain percrs dalla particella. Il lavr fatt da una frza cnservativa è recuperabile, csa che nn è vera per una frza nn cnservativa, ce l attrit. Assciat ad una frza cnservativa si intrduce il cncett di variazine di energia ptenziale. Stt l azine di una frza cnservativa F si definisce la variazine di energia ptenziale ce l ppst del valre del lavr cpiut dalla frza: E E E F dl p pb pa Sl le variazini dell E p sn significative dal punt di vista della fisica, per cui si può sstituire E p (x) cn E p (x) C, cn C cstante arbitraria, gni vlta che cnviene. Quand agiscn sl frze cnservative, l energia eccanica ttale E, definita ce la sa delle energie cinetica e ptenziale, si cnserva: E E E cstante. c p Se agiscn anche frze nn cnservative, entran in gic altri tipi di energia. Quand si includn tutte le fre d energia, l energia si cnserva sepre (legge di cnservazine dell energia). Esepi di frze cnservative per le quali si parla di energia ptenziale sn: frza pes e sua energia ptenziale. Quest ultia vale gy per una particella psta ad un altezza y al di spra di un riferient rizzntale scelt ad arbitri. B A

28 Frza elastica ( F kx );energia ptenziale elastica E p /kx per una lla cn cstante elastica k, allungata cpressa di una lunghezza x rispett alla psizine di rips. Frza gravitazinale (descritta dalla legge di gravitazine universale di Newtn).L energia ptenziale di una particella di assa dvuta alla frza gravitazinale esercitata su di essa dalla Terra è data da: E p ( r) M γ r dve M T è la assa della Terra ed r la distanza della particella dal centr della Terra (r>raggi della Terra). E p ( ) è il riferient di zer per E p. T Prblea Un punt ateriale di assa scende (partend da fer) lung la saga in figura, che è pprtunaente raccrdata nel punt B in d che la velcità del punt ateriale in B cabi in direzine a nn in dul. Il cefficiente di attrit dinaic tra punt ateriale e piani vale µ d. Sapend che la velcità nel tratt BC è cstante: Quant tep ipiega il punt ateriale per scendere da A a C? Quant vale il lavr cpiut dalla frza di attrit? Rislvere la parte b) sia usand la definizine di lavr, sia ricrdand che il lavr cpiut dalla frza di attrit è uguale alla variazine dell energia eccanica tra A e B. [AB BC l ; α 3 ; µ d 3 ; g 9,8 /s ;,5 kg] A α l B β l C Sluzine:

29 Innanzi tutt calclia β. Pichè la velcità nel tratt BC è cstante, la frza di attrit uguaglia la cpnente del pes parallela a BC: Da cui: µ gsinβ g cs β d tg β µ d a) L accelerazine della assa nel tratt da A a B è data da: Quindi il tep richiest da A a B è: ( α µ sinα) g a cs 5,8 /s. d l l t,8 s a ( csα µ d sin α)g entre in B la velcità è: v B at 4,6 /s. Il tep t ipiegat per percrrere BC è l/ v B,4 s, quindi il tep ttale t t è t t t t,s. b)il lavr cpiut dalla frza di attrit è: W µ d g( sin α sinβ )l 7,7 J Oppure, il lavr cpiut dalla frza di attrit si può ttenere dalla variazine dell energia eccanica: W E gl( csα cs β ) vb 7,7 J, gl è l energia ptenziale del punt A rispett al punt C. Si nti che nel tratt BC varia sl l energia ptenziale. dve ( cs α csβ ) Prblea Un cavall tira una slitta su una strada ripida, cperta di neve. La slitta ha una assa ed il cefficiente di attrit dinaic fra la slitta e la neve è µ d. Se il cavall tira parallelaente alla superficie della strada ed erga una ptenza P: quant vale la velcità (cstante) assia v ax cn cui il cavall riesce a tirare la slitta? Che frazine della ptenza del cavall viene spesa per cpiere lavr cntr la frza d attrit? Che frazine viene spesa per cpiere lavr cntr la frza di gravità? 3

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