Esercizi di Matematica Finanziaria - Corso Part Time scheda 1- soluzioni - Leggi finanziarie, rendite ed ammortamenti
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- Filippo Gentile
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1 Esercizi di Maemaica Finanziaria - Corso Par Time scheda - soluzioni - Leggi finanziarie, rendie ed ammorameni. Le soluzioni sono: (a) M 3 = 00 ( + 3) = 5, M 8 = 5 ( + 5) = (b) Va risola l equazione 00 ( + x 8) = da cui si oiene x = (c) M 3 = = 5.763, M 8 = = Il asso x = è la soluzione dell equazione 00 ( + x) 8 = Le rispose sono: (a) f (0) = = ; dao che la derivaa prima di f (), f () = 0.5 ( + 0.2) 0.2 ( + 0.5) ( + 0.2) 2 = 0.3 ( + 0.2) 2, è posiiva per ogni, la funzione f () è crescene. Infine lim = lim ( + 0.5) + ( = lim + 0.2) = (b) Indicando la scadenza incognia con x, per sapere dopo quano empo il valore del capiale raddoppia va risola l equazione C + 0.5x + 0.2x = 2C la cui soluzione è x = 0. Per quano riguarda la duraa dell invesimeno ale per cui il valore del capiale diveni il riplo, l equazione C + 0.5y + 0.2y = 3C ha come soluzione y = 2 che, ovviamene, non può essere una duraa acceabile. Il limie calcolao al puno a) indica come, applicando quesa legge finanziaria, il monane non possa mai divenare maggiore di 2.5. Non è quindi possibile che il capiale riplichi il suo valore. (c) Il monane dell invesimeno dopo 6 anni sarà C f (6) = C =.882C per cui i assi cercai si oengono risolvendo le equazioni C ( + i s 6) =.882C e C ( + i s ) 6 =.882C oenendo rispeivamene i s = e i c =
2 (d) Si ha V 0 = = Per una qualsiasi legge finanziaria in una variabile devono valere la condizione f (0) = e la condizione di non decrescenza di f rispeo al empo. Applicando la prima condizione si ricava che f (0) = a + b ln (0 + ) = a = menre per la seconda va calcolaa la derivaa prima di f f () = b + ; la f è crescene quando la sua derivaa prima è posiiva. Dao che 0, la derivaa prima è posiiva per ui i b > 0. La sua inensià isananea di ineresse è δ () = b + + b ln ( + ) = b ( + ) [ + b ln ( + )]. 4. Il prezzo lordo è 000 A 0 = = e quindi l ineresse ammona a I = = Le impose da corrispondere sono allora = L invesiore deve allora sborsare, al empo 0 sia il prezzo d acquiso che le impose. Il asso di rendimeno dopo le impose x = lo s oiene risolvendo l equazione ( ) ( + x ) = 000 Il prezzo a cui il sig. A venderà il iolo dopo 8 mesi dall acquiso, e quindi a quaro mesi dalla scadenza, è 000 A 8 = = Il asso di rendimeno annuo semplice per il sig. A è x A = e lo si ricava risolvendo l equazione ( ) x A = menre il asso di rendimeno annuo semplice per il sig. B è x B = 0.5. Il prezzo di vendia del iolo nell isane è A () = per cui il asso di rendimeno anno semplice x viene calcolao risolvendo l equazione da cui x = ( + x ) = (.5 0.5) = ( ) = ( ) =
3 Queso asso è uguale a 0.5 quando = 0.5 ovvero quando, risolvendo l equazione, =. Queso risulao indica che l invesimeno in un BOT garanisce il rendimeno di mercao solo se il iolo viene deenuo fino alla sua scadenza. 5. Il valore auale dei flussi fuuri, uguagliao al flusso iniziale, deermina l equazione 500 = R. + R.2 + R.3 che ha soluzione R = In caso di rae semesrali l equazione è 500 = R R R ed ha soluzione R = Nel caso del regime ad ineressi composi si ha 500 = Ra 3 0. = R da cui R = 27. Nel caso di raa semesrale va calcolao dapprima il asso semesrale equivalene a quello annuo: i 2 =. 0.5 = e da queso la raa R = mediane l equazione 500 = Ra = R Va risola l equazione che eguaglia il faore di capializzazione ad ineressi semplici e quello dello scono commerciale = 0. Quesa equazione può essere riscria come 0 < 0. = 0. ( + 0.4) ( 0.) = = ed e quindi l equazione di secondo grado = 0 che ha due soluzioni = 0 e = 0.04 = 2.857; di conseguenza i due monani sono uguali nell isane iniziale e dopo anni. Nel secondo caso i monani sono uguali quando 2C ( + 0.4) = C 0. 0 < 0. Quesa equazione può essere simplificaa nel seguene modo 2 ( + 0.4) ( 0.) = = ; l equazione = 0 ha come radici = = 4.76 = 6 e = = 7.573; ovviamene la prima non è finanziariamene sensaa 6 in quano negaiva. 3
4 7. Dao che V 0 = 300 ( 0. 3) = 20, va risola l equazione 20 ( + i 3) = 300 nel caso di regime finanziario dell ineresse semplice e 20 ( + i) 3 = 300 in quello composo. Nel primo caso il asso annuo i = = menre nel secondo il asso è i = Nel caso generale si ha V 0 = 300 ( 0.) e quindi il asso d ineresse annuo semplice si calcola risolvendo l equazione 300 ( 0.) ( + i) = che ha come soluzione i = risolvendo l equazione da cui risula i = ( ) = 0. menre il asso d ineresse annuo composo si oiene 300 ( 0.) ( + i) = V 0 = 300 a 5 0. = Dalla relazione V 0 = R a n i = R (+i) n i = è possibile ricavare R = V 0 a n i n = ln ( ) iv 0 R ln ( + i) ma non è possibile deerminare il asso i in quano non è possibile espliciarlo da V 0 = R (+i) n i. 9. La prima rendia è immediaa e posicipaa: V 0 = 00 a 7 = = La seconda rendia è differia; l uso della formula a n i calcola il valore auale delle rae un periodo prima il momeno in cui la prima raa viene pagaa quindi il differimeno è di due anni: W 0 = 00 a = La rendia rendia è immediaa e a rae semesrali; per poer usare la formula a n i il asso deve essere semesrale quindi i 2 = = ; di conseguenza Z 0 = 00 a = = La quara rendia è semesrale e differia: Y 0 = 00 a = La quina rendia è immediaa ed anicipaa: P 0 = 200 a 4.05 = = La sesa rendia, se valuaa mediane a n i ha valore in 7 ; ale valore deve 2 essere correo mediane una capializzazione: Q 0 = 200 a = La seima rendia ha rae semesrali e viene valuaa similmene alla rendia precedene: R 0 = 200 a = = L oava rendia non ha ue le rae cosani; per poer uilizzare a n i la erza raa va scomposa in una pare d ammonare 200 ed in una pare pari a 00. In queso modo si può scrivere S 0 = 200 a = La nona rendia è composa da una rendia composa da due rae d ammonare 200 e da una rendia differia composa da due rae d ammonare 300: F 0 = =
5 La decima ed ulima rendia è composa da due rendie, enrambe con rae a cadenza biennale. Il asso biennale da uilizzare per poer usare a n i è i bien =.05 2 = Il valore in 0 è G 0 = = La condizione di chiusura elemenare permee di scrivere C + C 2 + C 3 = C + 3C + 4C = 800 da cui C = 00. Il debio residuo alle varie scadenze è D = 800 C = = 700, D 2 = 700 C 2 = = 400 e D 3 = 400 C 3 = = 0. Dalla relazione I k = i D k si ricava il asso d ineresse dell ammorameno: 35 = i 700, da cui i =. Il piano di ammorameno allora è scadenza Debio Residuo Quoa capiale Quoa ineressi Raa = = La condizione di chiusura iniziale è verificaa in quano = Il debio residuo nel momeno in cui cambia il asso d ineresse è 700. L ammorameno divena a rae cosani, d ammonare R = 700 a = Il piano d ammorameno divena, di conseguenza = scadenza Debio Residuo Quoa capiale Quoa ineressi Raa = = Dalle informazioni dae si ricava dapprima il asso d ineresse i = 48 = 0.08 e, da queso, 600 i debii residui D = 40 = 500 e D = 24 = 300. A queso puno le quoe capiale 0.08 sono C = = 00, C 2 = = 200 e C 3 = = 200. Il piano d ammorameno allora è scadenza Debio Residuo Quoa capiale Quoa ineressi Raa
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