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1 Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus): A =2 ( 2) 6+( 5) ( 4) (2) 4 ( 2) 1 ( 5) ( 4) =1 Quindi, essendo A 0,ilrangodiA è 3. Ma allora tale è anche il rango della matrice completa del sistema: à = (infatti le prime tre colonne sono indipendenti perchè sono quelle di A, ed altra parte il rango di à è 3perchè à ha solo tre righe); di conseguenza, per il teor. di Rouche-Capelli, il sistema (1) ammette almeno una soluzione. Più precisamente,poichèil rango di A è uguale al numero delle incognite, la soluzione di (1) è unica, troviamola in due modi differenti. Primo metodo. Usiamo dapprima la regola di Cramer [N.B. lo possiamo fare perchè: 1) il numero delle equazioni è uguale a quello delle incognite (cioè A è quadrata); 2) il rango del sistema è massimo (cioè A 0)]. Leformuledi Cramer ci danno: x = A 1 A, y = A 2 A, z = A 3 A, (3) dove A i è la matrice ottenuta da A sostituendo all i-ma colonna la colonna dei termini noti di (1). Abbiamo già calcolato A, calcoliamo i A i : A 1 = = = 124 (applicate Sarrus o Laplace). Analogamente: 2 4 A 2 = =75 1

2 e infine A 3 = =31 Quindi dalle (3) segue: x = 124, y = 75, z =31 Secondo metodo. Applichiamo al sistema (1) il metodo di eliminazione (o di Gauss-Jordan). Si tratta di applicare alla matrice completa à una successione di trasformazioni elementari dei tre tipi seguenti: 1. scambio di due righe fra loro; 2. sostituzione di una riga con il prodotto di sè stessa per un numero 0; 3. sostituire a una riga la sua somma con un altra, eventualmente moltiplicata per una costante 0, in modo che al termine del procedimento la matrice incompleta A abbia la parte triangolare inferiore nulla. Vediamo come si procede nel nostro caso. Riscrivo à separando con una linea verticale l ultima colonna, quella dei termini noti: (non è essenziale, lo faccio solo per sottolineare il fatto che e trasformazioni elementari si scelgono per ridurre a forma triangolare la parte a sinistra, anche se naturalmente tali trasformazioni vanno estese anche agli elementi dell ultima colonna (se no non otterremmo un sistema equivalente a quello iniziale!)). Per far comparire gli 0 nella prima colonna, prima sostituisco alla seconda riga la somma di sè stessa, moltiplicata per 2, con la prima riga: poi sostituisco alla terza riga la soma di sè stessa moltiplicata per 2 conla prima riga: ; 2

3 A questo punto la prima colonna è a posto, non mi resta che fare in modo da far comparire uno 0 alla fine della seconda colonna per avere la forma triangolare richiesta; allo scopo, sostituisco alla terza riga la sua somma con la seconda, moltiplicata per 3: Tale matrice corrisponde al sistema 2x 5y +4z = y +2z = 2z = 62, (4) equivalente al sistema originario (1) (cioè avente le stesse soluzioni). Ora, il sistema (4) si risolve facilmente a partire dall ultima equazione e procedendo all indietro fino alla prima: z = 62 2 =31 y =2z +13= = 75 x = 1 2 (5y 4z 3) = 1 ( ) = cioè la stessa soluzione ottenuta col primo metodo. Esercizio 2. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +5z =10 (5) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 5, mentre quella completa è Ã = (6) Il rango di A è almeno 2, infatti il sottodeterminante d ordine 2 in alto a sinistra B =

4 è non nullo (le due colonne non sono proporzionali). D altra parte A =0, quindi il rango è proprio 2. Calcoliamo ora il rango di Ã. Orliamo B con la terza riga e la quarta colonna e calcoliamo il minore corrispondente: =31 0 quindi, per il teorema degli orlati, Ã ha rango 3 e questo, per il teorema di Rouche-Capelli, implica che il sistema (5) non ammette soluzioni. Allo stesso risultato possiamo arrivare applicando il metodo di eliminazione alla matrice (6). Per ottenere gli zeri nella prima colonna sostituisco alla seconda (risp. alla terza) riga la somma di sè stessa moltiplicata per 2 con la prima riga: Per ottenere zero alla fine della seconda colonna basta sostituire alla terza riga la sua somma con la seconda moltiplicata per 3: abbiamo così ottenuto il sistema 2x 5y +4z = y +2z = 0= 62 ovviamente incompatibile (l ultima equazione non è mai soddisfatta!); quindi, essendo per costruzione tale sistema equivalente a (5), anche quest ultimo è incompatibile. Esercizio 3. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z + u v = x 2y + z u + v =5 x 4y +6z +2u v =10 (7) 4

5 Soluzione. Le incognite sono 5 (x, y, z, u, v), la matrice dei coefficienti è , (8) il cui rango è 3: infatti, ad esempio, il minore d ordine 3 formato dalle prime 3 colonne è uguale a 1 (è il determinante (2) del primo esercizio), e quindi è non nullo. Quindi, per il teorema di Rouche-Capelli il sistema (7) è compatibile (la matrice completa ha rango almeno uguale a quello della sottomatrice A e d altra parte non può avere rango maggiore di 3 perchè ha solo 3 righe). Inoltre, per il teorema nullità + rango il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da 5 3 = 2 parametri. Un modo per risolvere il sistema può essere risolverlo rispetto alle incognite x, y, z, cioè riscrivere (7) nella forma 2x 5y +4z = f 1 (u, v) x 2y + z = f 2 (u, v) x 4y +6z = f 3 (u, v), (9) con: f 1 (u, v) = u + v, f 2 (u, v) =5+u v, f 3 (u, v) =10 2u + v In altre parole, prendiamo u, v come parametri e risolviamo il sistema (9) rispetto alle incognite x, y, z. In questo modo, per ogni scelta arbitraria dei valori dei parametri u, v avremo una soluzione x (u, v),y(u, v),z(u, v) del sistema (9) (l unicità della soluzione una volta fissati u, v è assicurata dal fatto che il sistema (9) ha 3 equazioni e 3 incognite e che la matrice dei coefficienti ha determinante non nullo (è il minore di (8) considerato prima)). Risolviamo quindi (9) applicando, ad esempio, la formula di Cramer (3), dove A èlamatrice dell esercizio precedente, e quindi A =1,mentreA i è la matrice ottenuta da A sostituendone l i-ma colonna con la colonna (f 1,f 2,f 3 ) T dei termini noti di (9): f 1 (u, v) 5 4 x = A 1 = f 2 (u, v) 2 1 f 3 (u, v) 4 6 = = 8f 1 +14f 2 +3f 3 =16u 19v e con analoghi calcoli y = A 2 =9u 11v +75 z = A 3 =3u 4v +31 Esercizio 4. Calcolare la matrice inversa di

6 Soluzione. Innanzitutto, controlliamo se A è effettivamente invertibile: A =2 (2 1) 3 (4 + 1) + 4 (2 + 1) = 1 0 Quindi A è invertibile. Applichiamo, per il calcolo di A 1, il procedimento esposto a lezione, cioè: a) scriviamo la trasposta A T ; b) ad ogni elemento di A T sostituiamo il suo complemento algebrico, ottenendo la matrice aggiunta A ;c) A 1 = 1 A A. a) La trasposta è A T = b) Ricordo che il complemento algebrico dell elemento di posto (i, j) è il determinante ottenuto da A T eliminando la riga i-ma e la colonna j-ma, moltiplicato per ( 1) i+j. Ad esempio, il complemento algebrico dell elemento di posto (1, 1) è ( 1) =( 1)2 1=1 Eseguendo gli analoghi calcoli per gli altri elementi di A T si ottiene A = c) dividiamo per A : A 1 = A =

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