2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A ="

Transcript

1 Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus): A =2 ( 2) 6+( 5) ( 4) (2) 4 ( 2) 1 ( 5) ( 4) =1 Quindi, essendo A 0,ilrangodiA è 3. Ma allora tale è anche il rango della matrice completa del sistema: à = (infatti le prime tre colonne sono indipendenti perchè sono quelle di A, ed altra parte il rango di à è 3perchè à ha solo tre righe); di conseguenza, per il teor. di Rouche-Capelli, il sistema (1) ammette almeno una soluzione. Più precisamente,poichèil rango di A è uguale al numero delle incognite, la soluzione di (1) è unica, troviamola in due modi differenti. Primo metodo. Usiamo dapprima la regola di Cramer [N.B. lo possiamo fare perchè: 1) il numero delle equazioni è uguale a quello delle incognite (cioè A è quadrata); 2) il rango del sistema è massimo (cioè A 0)]. Leformuledi Cramer ci danno: x = A 1 A, y = A 2 A, z = A 3 A, (3) dove A i è la matrice ottenuta da A sostituendo all i-ma colonna la colonna dei termini noti di (1). Abbiamo già calcolato A, calcoliamo i A i : A 1 = = = 124 (applicate Sarrus o Laplace). Analogamente: 2 4 A 2 = =75 1

2 e infine A 3 = =31 Quindi dalle (3) segue: x = 124, y = 75, z =31 Secondo metodo. Applichiamo al sistema (1) il metodo di eliminazione (o di Gauss-Jordan). Si tratta di applicare alla matrice completa à una successione di trasformazioni elementari dei tre tipi seguenti: 1. scambio di due righe fra loro; 2. sostituzione di una riga con il prodotto di sè stessa per un numero 0; 3. sostituire a una riga la sua somma con un altra, eventualmente moltiplicata per una costante 0, in modo che al termine del procedimento la matrice incompleta A abbia la parte triangolare inferiore nulla. Vediamo come si procede nel nostro caso. Riscrivo à separando con una linea verticale l ultima colonna, quella dei termini noti: (non è essenziale, lo faccio solo per sottolineare il fatto che e trasformazioni elementari si scelgono per ridurre a forma triangolare la parte a sinistra, anche se naturalmente tali trasformazioni vanno estese anche agli elementi dell ultima colonna (se no non otterremmo un sistema equivalente a quello iniziale!)). Per far comparire gli 0 nella prima colonna, prima sostituisco alla seconda riga la somma di sè stessa, moltiplicata per 2, con la prima riga: poi sostituisco alla terza riga la soma di sè stessa moltiplicata per 2 conla prima riga: ; 2

3 A questo punto la prima colonna è a posto, non mi resta che fare in modo da far comparire uno 0 alla fine della seconda colonna per avere la forma triangolare richiesta; allo scopo, sostituisco alla terza riga la sua somma con la seconda, moltiplicata per 3: Tale matrice corrisponde al sistema 2x 5y +4z = y +2z = 2z = 62, (4) equivalente al sistema originario (1) (cioè avente le stesse soluzioni). Ora, il sistema (4) si risolve facilmente a partire dall ultima equazione e procedendo all indietro fino alla prima: z = 62 2 =31 y =2z +13= = 75 x = 1 2 (5y 4z 3) = 1 ( ) = cioè la stessa soluzione ottenuta col primo metodo. Esercizio 2. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +5z =10 (5) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 5, mentre quella completa è Ã = (6) Il rango di A è almeno 2, infatti il sottodeterminante d ordine 2 in alto a sinistra B =

4 è non nullo (le due colonne non sono proporzionali). D altra parte A =0, quindi il rango è proprio 2. Calcoliamo ora il rango di Ã. Orliamo B con la terza riga e la quarta colonna e calcoliamo il minore corrispondente: =31 0 quindi, per il teorema degli orlati, Ã ha rango 3 e questo, per il teorema di Rouche-Capelli, implica che il sistema (5) non ammette soluzioni. Allo stesso risultato possiamo arrivare applicando il metodo di eliminazione alla matrice (6). Per ottenere gli zeri nella prima colonna sostituisco alla seconda (risp. alla terza) riga la somma di sè stessa moltiplicata per 2 con la prima riga: Per ottenere zero alla fine della seconda colonna basta sostituire alla terza riga la sua somma con la seconda moltiplicata per 3: abbiamo così ottenuto il sistema 2x 5y +4z = y +2z = 0= 62 ovviamente incompatibile (l ultima equazione non è mai soddisfatta!); quindi, essendo per costruzione tale sistema equivalente a (5), anche quest ultimo è incompatibile. Esercizio 3. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z + u v = x 2y + z u + v =5 x 4y +6z +2u v =10 (7) 4

5 Soluzione. Le incognite sono 5 (x, y, z, u, v), la matrice dei coefficienti è , (8) il cui rango è 3: infatti, ad esempio, il minore d ordine 3 formato dalle prime 3 colonne è uguale a 1 (è il determinante (2) del primo esercizio), e quindi è non nullo. Quindi, per il teorema di Rouche-Capelli il sistema (7) è compatibile (la matrice completa ha rango almeno uguale a quello della sottomatrice A e d altra parte non può avere rango maggiore di 3 perchè ha solo 3 righe). Inoltre, per il teorema nullità + rango il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da 5 3 = 2 parametri. Un modo per risolvere il sistema può essere risolverlo rispetto alle incognite x, y, z, cioè riscrivere (7) nella forma 2x 5y +4z = f 1 (u, v) x 2y + z = f 2 (u, v) x 4y +6z = f 3 (u, v), (9) con: f 1 (u, v) = u + v, f 2 (u, v) =5+u v, f 3 (u, v) =10 2u + v In altre parole, prendiamo u, v come parametri e risolviamo il sistema (9) rispetto alle incognite x, y, z. In questo modo, per ogni scelta arbitraria dei valori dei parametri u, v avremo una soluzione x (u, v),y(u, v),z(u, v) del sistema (9) (l unicità della soluzione una volta fissati u, v è assicurata dal fatto che il sistema (9) ha 3 equazioni e 3 incognite e che la matrice dei coefficienti ha determinante non nullo (è il minore di (8) considerato prima)). Risolviamo quindi (9) applicando, ad esempio, la formula di Cramer (3), dove A èlamatrice dell esercizio precedente, e quindi A =1,mentreA i è la matrice ottenuta da A sostituendone l i-ma colonna con la colonna (f 1,f 2,f 3 ) T dei termini noti di (9): f 1 (u, v) 5 4 x = A 1 = f 2 (u, v) 2 1 f 3 (u, v) 4 6 = = 8f 1 +14f 2 +3f 3 =16u 19v e con analoghi calcoli y = A 2 =9u 11v +75 z = A 3 =3u 4v +31 Esercizio 4. Calcolare la matrice inversa di

6 Soluzione. Innanzitutto, controlliamo se A è effettivamente invertibile: A =2 (2 1) 3 (4 + 1) + 4 (2 + 1) = 1 0 Quindi A è invertibile. Applichiamo, per il calcolo di A 1, il procedimento esposto a lezione, cioè: a) scriviamo la trasposta A T ; b) ad ogni elemento di A T sostituiamo il suo complemento algebrico, ottenendo la matrice aggiunta A ;c) A 1 = 1 A A. a) La trasposta è A T = b) Ricordo che il complemento algebrico dell elemento di posto (i, j) è il determinante ottenuto da A T eliminando la riga i-ma e la colonna j-ma, moltiplicato per ( 1) i+j. Ad esempio, il complemento algebrico dell elemento di posto (1, 1) è ( 1) =( 1)2 1=1 Eseguendo gli analoghi calcoli per gli altri elementi di A T si ottiene A = c) dividiamo per A : A 1 = A =

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3

SISTEMI LINEARI. x y + 2t = 0 2x + y + z t = 0 x z t = 0 ; S 3 : ; S 5x 2y z = 1 4x 7y = 3 SISTEMI LINEARI. Esercizi Esercizio. Verificare se (,, ) è soluzione del sistema x y + z = x + y z = 3. Trovare poi tutte le soluzioni del sistema. Esercizio. Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari.

Esercizi sui sistemi di equazioni lineari. Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la

Dettagli

ESERCIZI SULLE MATRICI

ESERCIZI SULLE MATRICI ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a

Dettagli

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS

SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS SISTEMI LINEARI, METODO DI GAUSS Abbiamo visto che un sistema di m equazioni lineari in n incognite si può rappresentare in forma matriciale come A x = b dove: A è la matrice di tipo (m, n) dei coefficienti

Dettagli

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI

MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI MATRICI E VETTORI APPROFONDIMENTO PER IL CORSO DI LABORATORIO DI INFORMATICA SARA POLTRONIERI LE MATRICI DEFINIZIONE: Una matrice è un insieme di numeri disposti su righe e colonne. 1 3 7 M = 2 5 1 M è

Dettagli

Anno 4 Matrice inversa

Anno 4 Matrice inversa Anno 4 Matrice inversa 1 Introduzione In questa lezione parleremo della matrice inversa di una matrice quadrata: definizione metodo per individuarla Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere

Dettagli

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente

Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

ALGEBRA LINEARE PARTE II

ALGEBRA LINEARE PARTE II DIEM sez. Matematica Finanziaria Marina Resta Università degli studi di Genova Dicembre 005 Indice PREMESSA INVERSA DI UNA MATRICE DETERMINANTE. DETERMINANTE DI MATRICI ELEMENTARI................. MATRICI

Dettagli

Esercitazione 6 - Soluzione

Esercitazione 6 - Soluzione Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari I sistemi di equazioni si incontrano in natura in molti problemi di vita reale. Per esempio, prendiamo in considerazione una bevanda a base di uova, latte e succo d arancia.

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice

Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle matrici. Una tabella rettangolare: la matrice. Una tabella rettangolare: la matrice Pordenone Corso di Matematica e Statistica 3 Algebra delle UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine

Dettagli

Il teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un

Dettagli

Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari

Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari Esercitazione di Matematica su matrici e sistemi lineari Notazioni: deta, A T =trasposta di A, A 1 =inversa di A. 1. Si considerino le matrici A, B, C, D denite da 1 0 5 1 A = 0, B = 0 0, C = 0 1 0 6 1

Dettagli

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 00-0, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html e 3 con i Matrici inverse di matrici quadrate e con i Sia A una

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo

Dettagli

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1

( ) TEORIA DELLE MATRICI. A. Scimone a.s pag 1 . Scimone a.s 1997 98 pag 1 TEORI DELLE MTRICI Dato un campo K, definiamo matrice ad elementi in K di tipo (m, n) un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne in una tabella rettangolare del tipo

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione

Dettagli

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari

Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante

Dettagli

08 - Matrici, Determinante e Rango

08 - Matrici, Determinante e Rango Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante e Rango Anno Accademico 2013/2014 D.

Dettagli

z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10

z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 Esercizio 1. Sia z =[a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ] 10 un numero intero (la notazione significa che le cifre con cui rappresento z in base 10 sono a 4,..., a 0 {0, 1,..., 9}, ecioè z = a 4 10 4 + a 3 10 3 + a 2

Dettagli

Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1

Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1 Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare y + 3z = 3 x y + z = 0 x + y = 1 0 1 3 3 1 1 1 0 1 1 1 0 = 0 1 3 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 1 1 0 0 1 3 3 0 1 1 = Il di partenza è quindi equivalente

Dettagli

Inversa di una matrice

Inversa di una matrice Geometria Lingotto. LeLing: La matrice inversa. Ārgomenti svolti: Inversa di una matrice. Unicita e calcolo della inversa. La inversa di una matrice. Il gruppo delle matrici invertibili. Ēsercizi consigliati:

Dettagli

Argomento 13 Sistemi lineari

Argomento 13 Sistemi lineari Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto

Dettagli

Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico Trasformazioni elementari sulle matrici Data una matrice A K m,n definiamo su A le seguenti tre trasformazioni elementari: T : scambiare tra loro due righe (o due colonne) di A; T : sommare ad una riga

Dettagli

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con

= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3 LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.

Dettagli

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite

Anno 2. Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Anno Risoluzione di sistemi di primo grado in due incognite Introduzione In questa lezione impareremo alcuni metodi per risolvere un sistema di due equazioni in due incognite. Al termine di questa lezione

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: t x + (t 1)y + z = 1 (t 1)y + t z = 1 2 x + z = 5 Soluzione. Il determinante della matrice dei coefficienti è t t 1

Dettagli

ha come obiettivo quello di costruire a partire da A una matrice U, m n, che abbia il

ha come obiettivo quello di costruire a partire da A una matrice U, m n, che abbia il Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 6 Eliminazione di Gauss con scambi di righe Sia A O una matrice m n. Abbiamo illustrato nella Lezione 5 un algoritmo che ha come

Dettagli

Metodo delle due fasi

Metodo delle due fasi Metodo delle due fasi Il problema artificiale la fase I del Simplesso esempi rif. Fi 3.2.5; Osservazione Nel problema min{c T x : Ax = 0, x 0}, dell esempio precedente si ha che b 0 e A contiene una matrice

Dettagli

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.

I. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ. ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio

Dettagli

Metodo di Gauss-Jordan 1

Metodo di Gauss-Jordan 1 Metodo di Gauss-Jordan 1 Nota Bene: Questo materiale non debe essere considerato come sostituto delle lezioni. Ārgomenti svolti: Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Forma echelon e sistemi

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Corso di Geometria 2- BIAR, BSIR Esercizi 2: soluzioni Esercizio Calcolare il determinante della matrice 2 3 : 3 2 a) con lo sviluppo lungo la prima riga, b) con lo sviluppo lungo la terza colonna, c)

Dettagli

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.

Riassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria. Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo

Dettagli

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: un equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i principi di equivalenza, si può scrivere nella forma, detta normale: ax + bx + c 0!!!!!con!a 0 Le lettere

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti

Dettagli

+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato

+2 3 = = =3 + =3 + =8 =15. Sistemi lineari. nelle stesse due incognite. + = + = = = Esempi + =5. Il sistema è determinato Sistemi di equazioni SISTEMI LINEARI Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni per le quali si cercano eventuali soluzioni comuni. +=7 =1 Ognuna delle due equazioni ha infinite soluzioni. La coppia

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

Sistemi lineari. 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0. x 1 x 2 x 3

Sistemi lineari. 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0. x 1 x 2 x 3 Sistemi lineari 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + 3x 2 2x 3 = 0 2 1 1 1 1 1 1 3 2 x 1 x 2 x 3 = 2 1 0 n j=1 a i,jx j = b i, i = 1,, n Ax = b A = (a i,j ) R n n matrice invertibile (det(a) 0) b

Dettagli

Esercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A =

Esercitazione di Calcolo Numerico 1 22 Aprile Determinare la fattorizzazione LU della matrice a 1 1 A = 3a 2 a 2a a a 2 A = Esercitazione di Calcolo Numerico 22 Aprile 29. Determinare la fattorizzazione LU della matrice a A = 3a 2 a 2a a a 2 ed utilizzarla per calcolare il det(a). 2. Calcolare il determinante della matrice

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:

SPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari

Dettagli

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.

Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare

Dettagli

08 - Matrici, Determinante e Rango

08 - Matrici, Determinante e Rango Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 08 - Matrici, Determinante e Rango Anno Accademico 2013/2014 D.

Dettagli

Esercizi svolti sui sistemi lineari

Esercizi svolti sui sistemi lineari Francesco Daddi - www.webalice.it/francesco.daddi Esercizi svolti sui sistemi lineari Esercizio 1. Risolvere il seguente sistema lineare al variare del parametro reale t: tx+(t 1)y + z =1 (t 1)y + tz =1

Dettagli

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.

A.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)

Dettagli

Matrici quadrate particolari

Matrici quadrate particolari Matrici quadrate particolari Sia A Mn(K) una matrice quadrata. Gli elementi (a 1,1, a 2,2,, a n,n ) costituiscono la diagonale principale di A. Gli elementi (a 1,n, a 2,n-1,, a n-1,2, a n,1 ) costituiscono

Dettagli

Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

Chi non risolve esercizi non impara la matematica. 5.5 esercizi 9 Per trovare la seconda equazione ragioniamo così: la parte espropriata del primo terreno è x/00, la parte espropriata del secondo è y/00 e in totale sono stati espropriati 000 m, quindi

Dettagli

Precorso di Matematica

Precorso di Matematica UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni

Dettagli

Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale Sede di Fermo Corso di 7 - CALCOLO NUMERICO CON MATRICI Richiami teorici Operazioni fondamentali Siano A = {a ij } e B = {b ij }, i = 1,..., m, j = 1,..., n due

Dettagli

III-4 Sistemi di equazioni lineari

III-4 Sistemi di equazioni lineari SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI III-4 Sistemi di equazioni lineari Indice Sistemi di equazioni lineari 2 Alcuni risultati generali 2 2 Il teorema di Rouché Capelli 3 22 Il teorema e la regola di Cramer 3

Dettagli

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer...

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer... SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Sistemi di equazioni lineari Indice Sistemi di equazioni lineari 2 Alcuni risultati generali 2 2 Il teorema di Rouché Capelli 2 22 Il teorema e la regola di Cramer 3 3 Il calcolo

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I)

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo. Geometria Lingotto LeLing: Sistemi lineari non-omogenei Ārgomenti svolti: Sistemi lineari non-omogenei Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei Scrittura della soluzione generale Soluzione generale

Dettagli

Le matrici. A cura di Benedetta Noris, 17 aprile Cos è una matrice. 2 Rappresentazione di una matrice generica 2

Le matrici. A cura di Benedetta Noris, 17 aprile Cos è una matrice. 2 Rappresentazione di una matrice generica 2 Le matrici A cura di Benedetta Noris, 17 aprile 2012 benedetta.noris1@unimib.it Indice 1 Cos è una matrice 1 2 Rappresentazione di una matrice generica 2 3 Somma di matrici e prodotto di una matrice per

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi

Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A. Languasco - Esercizi Matematica B - 1. Sistemi lineari e Matrici 1 A: Sistemi lineari: eliminazione gaussiana Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Determinare, con il

Dettagli

Matematica II,

Matematica II, Matematica II,.05.04 Diamo qui la nozione di determinante di una matrice quadrata, le sue prime proprieta, e ne deriviamo una caratterizzazione delle matrici non singolari e una formula per l inversa di

Dettagli

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere

Dettagli

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno.

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. Sistemi lineari Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. La discussione di un sistema si imposta in questo modo: 1 studiare il rango della matrice

Dettagli

Giuseppe Accascina. Note del corso di Geometria e Algebra

Giuseppe Accascina. Note del corso di Geometria e Algebra Giuseppe Accascina Note del corso di Geometria e Algebra Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Anno Accademico 26-27 ii Istruzioni per l uso Faremo spesso riferimento a ciò che è stato

Dettagli

Lezione 11: Il Determinante

Lezione 11: Il Determinante Lezione 11: Il Determinante Abbiamo capito come sia sufficiente determinare il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa di un sistema per determinarne completamente il comportamento.

Dettagli

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore

Dettagli

Matrici. Matrici.h Definizione dei tipi. Un po di esercizi sulle matrici Semplici. Media difficoltà. Difficili

Matrici. Matrici.h Definizione dei tipi. Un po di esercizi sulle matrici Semplici. Media difficoltà. Difficili Matrici Un po di esercizi sulle matrici Semplici Lettura e scrittura Calcolo della trasposta Media difficoltà Calcolo del determinante Difficili Soluzione di sistemi lineari È veramente difficile? 1 Matrici.h

Dettagli

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari In questa lezione ci dedicheremo a studiare a fondo quali proprietà della matrice dei coefficienti di un sistema (e della

Dettagli

1 Determinante di una matrice 1. 2 Calcolo della matrice inversa 7. 3 Calcolo del rango 8. 4 Soluzioni degli esercizi 12. n! = n.

1 Determinante di una matrice 1. 2 Calcolo della matrice inversa 7. 3 Calcolo del rango 8. 4 Soluzioni degli esercizi 12. n! = n. 1 DETERMINANTE DI UNA MATRICE 1 Determinante e rango Indice 1 Determinante di una matrice 1 2 Calcolo della matrice inversa 7 3 Calcolo del rango 8 4 Soluzioni degli esercizi 12 1 Determinante di una matrice

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

1 Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe.

1 Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Geometria Lingotto. LeLing2: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Forma echelon e sistemi gia risolti. Il metodo di Gauss-Jordan e la forma echelon.

Dettagli

ottenuta scambiando in A, le righe con le colonne, così, ad esempio, posto

ottenuta scambiando in A, le righe con le colonne, così, ad esempio, posto MATRICI Si chiama matrice di m righe ed n colonne una tabella costituita da m n numeri (detti elementi), disposti in m righe orizzontali ed in n colonne verticali, racchiusi tra due parentesi tonde. (1)

Dettagli

Per equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b,

Per equazione lineare nelle incognite x, y intendo un equazione del tipo. ax = b, Matematica II 161110 1 Equazioni lineari in una incognita Per equazione lineare nell incognita x intendo un equazione del tipo ax = b dove a b sono due costanti reali a e il coefficiente e b e il termine

Dettagli

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO.

x 2 + (x+4) 2 = 20 Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati per le EQUAZIONI di PRIMO GRADO. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Un'equazione del tipo x 2 + (x+4) 2 = 20 è un'equazione DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA. Alle equazioni di secondo grado si possono applicare i PRINCIPI di EQUIVALENZA utilizzati

Dettagli

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo.

Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo. Capitolo 3 Il campo Z n 31 Introduzione Introduciamo ora un altro campo, formato da un numero finito di elementi; il campo delle classi resto modulo n, con n numero primo 32 Le classi resto Definizione

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Anno 5 Regole di derivazione

Anno 5 Regole di derivazione Anno 5 Regole di derivazione 1 Introduzione In questa lezione mostreremo quali sono le regole da seguire per effettuare la derivata di una generica funzione. Seguendo queste regole e conoscendo le derivate

Dettagli

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI

TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente

Dettagli

I sistemi di equazioni di primo grado

I sistemi di equazioni di primo grado I sistemi di equazioni di primo grado RIPASSIAMO INSIEME SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO Un sistema di equazioni di primo grado in due (o più) incognite è l insieme di due (o più) equazioni di primo

Dettagli

SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE

SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE Pagina 1 di 6 SISTEMI DI 1 GRADO CON DUE EQUAZIONI IN DUE INCOGNITE L insieme di due equazioni di primo grado in due incognite si dice SISTEMA DI 1 GRADO. La soluzione del sistema è ogni coppia di numeri

Dettagli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da

Dettagli

MATRICI Vol.1. Pag. 1/24

MATRICI Vol.1. Pag. 1/24 MATRICI Vol.1 Sommario ALGEBRA DELLE MATRICI... 3 Matrici nulla, diagonale e unità... 3 Matrice simmetrica e matrice trasposta... 3 Combinazioni lineari e differenza tra matrici. Matrice emisimmetrica...

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio Date le seguenti applicazioni lineari f : R 2 R 3 definita da fx y = x 2y x + y x + y; 2 g : R 3 R 2 definita da gx y z = x + y x y; 3 h : Rx] 2 R 2 definita da

Dettagli

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011

LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011 LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11

Dettagli

Esercizio 1 (sistema omogeneo) Discutere al variare del parametro k reale il sistema:

Esercizio 1 (sistema omogeneo) Discutere al variare del parametro k reale il sistema: Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9- Eserciio (sistema omogeneo) Discutere al variare del parametro reale il sistema: ) ( ) ( e risolverlo per. n, m La matrice incompleta del

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

Decomposizione LU di una matrice quadrata

Decomposizione LU di una matrice quadrata Appendice al Cap. 5 Decomposizione LU di una matrice quadrata Una qualunque matrice quadrata M = {m ij } di ordine N, reale, invertibile, i cui minori principali siano tutti non nulli, si può sempre decomporre

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1 APPLICAZIONI LINEARI Applicazioni lineari tra spazi R n spazi di matrici spazi di polinomi e matrice associata rispetto ad una coppia di basi Endomorismi e matrice associata rispetto

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare - 2

Appunti di Algebra Lineare - 2 Appunti di Algebra Lineare - Mongodi Samuele - s.mongodi@sns.it 8/5/ Queste note hanno lo scopo di illustrare il metodo della riduzione a scala (o algoritmo di Gauss e di Gauss-Jordan) e alcune delle sue

Dettagli

RIDUZIONE E RANGO , C = 2 5 1

RIDUZIONE E RANGO , C = 2 5 1 MATRICI E SISTEMI RIDUZIONE E RANGO Riduzione di matrici (definizioni, trasformazioni elementari). Calcolo del rango e dell inversa (metodo di Gauss, metodo di Gauss-Jordan). 3 4 Esercizio Ridurre per

Dettagli

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n

SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,

Dettagli

Sistemi di 1 grado in due incognite

Sistemi di 1 grado in due incognite Sistemi di 1 grado in due incognite Problema In un cortile ci sono polli e conigli: in totale le teste sono 7 e zampe 18. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile? Soluzione Indichiamo con e con

Dettagli

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09

Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 Esercizi svolti per Geometria 1 per Fisici 2008/09 F.Pugliese January 25, 2009 Abstract In queste note svolgerò alcuni esercizi sulla parte del corso che mi riguarda; si tenga presente che si tratta solo

Dettagli

Dipendenza e indipendenza lineare

Dipendenza e indipendenza lineare Dipendenza e indipendenza lineare Luciano Battaia Questi appunti () ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia campus

Dettagli