Esercizio 1 (sistema omogeneo) Discutere al variare del parametro k reale il sistema:

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1 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9- Eserciio (sistema omogeneo) Discutere al variare del parametro reale il sistema: ) ( ) ( e risolverlo per. n, m La matrice incompleta del sistema è: a rango se e solo se il determinante del minore estratto togliendo la quarta colonna (identica alla prima) è diverso da. ( ) Per il rango è r. Per il rango è r. Dunque:

2 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9- ) per il sistema a n-r - soluioni (dipendenti da un parametro); ) per il sistema a n-r - soluioni (dipendenti da parametri). Per il sistema diventa: quivalente a e risolvendolo si ottiene: ponendo S{(-,,,) R} Osservaione a) Le soluioni di un sistema lineare omogeneo costituiscono un sottospaio vettoriale di R n : S L(S). b) Le soluioni di un sistema lineare non omogeneo non costituiscono un sottospaio di R n ; si potrà

3 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9- costruire la copertura lineare dell insieme delle soluioni S e S L(S). Osservaione Dato un sistema lineare non omogeneo compatibile, le sue soluioni possono essere ottenute sommando alle soluioni del sistema lineare omogeneo associato una soluione particolare del non omogeneo. Eserciio (sistema lineare non omogeneo) Discutere e risolvere, se possibile, il sistema: La matrice incompleta del sistema è: ed a rango.

4 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9- Mentre la matrice completa del sistema è: ed a rango. Sistema incompatibile. Eserciio (sistema lineare non omogeneo) Discutere e risolvere, se possibile, il sistema: 7 La matrice incompleta del sistema è: ed a rango. La matrice completa del sistema è:

5 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-7 ed a rango percé il suo determinante è nullo(verifica). Per il teorema di Roucè-Capelli il sistema ammette soluioni. Poicé il numero delle incognite coincide con il rango otterremo una sola soluione. Estraggo un sistema principale equivalente: Questo è un sistema di Cramer e può essere risolto con il metodo di Cramer:

6 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-6 di coefficienti determinante della matrice dei i e la soluione è: cioè. S{(,,)}. S non è sottospaio vettoriale di R. Nel caso di sistemi compatibili si può sempre usare il metodo di Cramer a patto ce si isolino le incognite principali da quelle ce fungeranno da parametri nel sistema principale equivalente scelto.

7 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-7 Eserciio (sistema lineare non omogeneo) Discutere e risolvere, se possibile, il sistema: La matrice incompleta del sistema è: ed a rango (percé il det. è nullo e, ). La matrice completa del sistema è: ((IV)colonna (I)colonna(II)colonna) e continua ad avere rango percé entrambi i minori di ordine ce orlano, anno determinante nullo (tm. degli orlati). Il sistema avrà - soluioni.

8 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-8 Un sistema principale equivalente è: ponendo dove le incognite principali sono e. Posso risolvere il sistema con qualsiasi metodo, ma visto ce in quest ultima versione è un sistema di Cramer, calcolo: Da cui: (6-)/(-)-, (-)/(-)-, ossia S{(...,..., ) R}. S non è sottospaio vettoriale di R.

9 Eserciio (sistema lineare non omogeneo) Discutere e risolvere, quando possibile, il sistema: ( ) R La matrice incompleta del sistema è: Il rango di tale matrice è se e solo se il determinante ()() è diverso da. Per e ovviamente la matrice completa avrà anc essa rango, dunque il sistema risulterà di Cramer e avrà una sola soluione. Per il rango della matrice incompleta è. La matrice completa del sistema è: Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-9

10 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-7 ed a rango. Sistema incompatibile. Per il rango della matrice incompleta è. La matrice completa del sistema è: ed a rango. Sistema incompatibile. Per e calcoliamo la soluione con il metodo di Cramer: ) )( (

11 ()( ()( ) ) Dunque la soluione è: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ()( ) ( )( ) ()( ) ( )( ) S ( ) ()( ) ()( ),, R ( ) ( )( ) ( )( ) Eserciio 6 (sistema lineare non omogeneo) Dato il sistema: Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-

12 a ( a ) ( a ) a a R al variare del parametro a: a) discutere e risolvere il sistema omogeneo associato; b) discutere l esistena delle soluioni del sistema non omogeneo dato; c) risolvere il sistema per a-. Risoluione punto a) La matrice incompleta del sistema è a a a. Il determinante è (a)(a-) e risulta diverso da se a e a. In tale caso il rango della matrice è e il sistema omogeneo ammette solo una soluione cioè quella banale: S{(..,..,..)}. Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-

13 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9- Per a la matrice diventa: di rango. Il sistema omogeneo associato avrà dunque soluioni. Estraggo un sistema principale equivalente dal sistema omogeneo associato: ponendo S{(,,.) R }. Per a la matrice diventa: di rango. Il sistema omogeneo associato avrà dunque soluioni. Estraggo un sistema principale equivalente dal sistema omogeneo associato:

14 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9- - ponendo S{(,, ) R }. Risoluione punto b) Studiamo ora la matrice completa del sistema: a a a a Poicé il rango massimo di questa matrice è è ciaro ce per a e a il rango di B è. Per a a rango ( rige linearmente indipendenti). Per a

15 a rango. Discussione del sistema: per il teorema di Roucè-Capelli per a e a il sistema dato avrà una sola soluione; per a il sistema dato avrà soluioni; per a il sistema dato non avrà soluione. Risoluione punto c) Per a- il sistema diventa: e usando l osservaione si ricava immediatamente ce una soluione particolare è (,,). Le soluioni del sistema sono tutte e sole quelle ottenute sommando alle soluioni del sistema Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-

16 Leione - esercitaioni di lgebra e Geometria - nno accademico 9-6 lineare omogeneo associato (vedi a) una soluione particolare del non omogeneo S{(,,.) R}. Esercii da svolgere ) Si determini per quali valori reali di a il seguente sistema ammette delle soluioni reali: R (a -) a ) Discutere la compatibilità dei seguenti sistemi: R ) ( R ) ( ) Dato il seguente sistema ( incognite): R t -- t a) si discuta la compatibilità del sistema omogeneo associato; b) si discuta la compatibilità del sistema; c) si risolva il sistema per -,