SISTEMI LINEARI. i (t) = C. Figura 1

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1 SISTEMI LINEARI E detto sistema lineare un sistema descritto da un equazione integro-differenziale lineare, che leghi un segnale di ingresso x(t) (detto anche sollecitazione) al corrispondente segnale in uscita (o risposta) y(t). E un esempio di sistema lineare il semplice circuito resistenza-capacità (R-C) mostrato in Figura. Assumendo come segnale x(t) la tensione ai morsetti di ingresso e come segnale y(t) la tensione ai morsetti di uscita, per esso si può infatti scrivere: y(t) = x(t) Ri(t) () D altro canto, dalla definizione di capacità si ha: e quindi, t y(t) = i( ϑ)dϑ () C dy(t) i (t) = C (3) dt Sostituendo la (3) nella () si ottiene: dy(t) y(t) + RC = x(t) (4) dt che è, appunto, una semplice equazione differenziale la cui soluzione fornisce, ad esempio, l evoluzione di y(t) una volta assegnata la sollecitazione x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figura Tornando al caso generale, se l equazione integro-differenziale è a coefficienti costanti il sistema risulta invariante nel tempo (o permanente). Come si è accennato più sopra, il problema fondamentale (e non solo nel caso lineare) consiste nel determinare l evoluzione dell uscita y(t) a partire dalla conoscenza dell ingresso x(t).

2 L azione del sistema lineare sul segnale di ingresso viene genericamente rappresentata così come illustrato in Figura ; il problema consiste dunque nel descrivere opportunamente il blocco lineare intermedio e nel mettere in relazione le due funzioni x(t) e y(t). Si mostrerà ora come ciò risulti, proprio in virtù dell ipotesi di linearità, particolarmente semplice e conduca ad un risultato di estrema importanza applicativa. x(t) Sistema lineare y(t) Figura Si incominci con l osservare che per un sistema lineare vale il principio di sovrapposizione degli effetti, in virtù del quale, applicando una combinazione lineare di due ingressi x (t) e x (t) con coefficienti a e b, la risposta è pari alla combinazione lineare di y (t) e y (t) con gli stessi coefficienti (essendo y (t) e y (t) le uscite corrispondenti a x (t) e x (t) quando applicati separatamente). Ciò premesso, la proprietà di campionamento della delta di Dirac consente di scrivere: + x(t) = x( τ) δ(t τ) dτ (5) Questa formula mostra che x(t) può interpretarsi come somma (integrale) di un infinità non numerabile di impulsi matematici δ(t τ) disposti in t = τ e di area pari a x(τ)dτ, uno per ogni valore distinto di τ. Indichiamo ora con h(t) la risposta del sistema ad un impulso matematico in t = 0 (vale a dire: y(t) = h(t) quando x(t) = δ(t)). Come si avrà modo di verificare immediatamente di seguito, la funzione h(t) riveste un ruolo determinante ai fini della caratterizzazione del sistema lineare, e prende il nome di risposta impulsiva. E evidente che se il sistema è permanente la risposta ad un impulso matematico allocato in t = τ (anziché in t = 0) sarà h(t τ). Ora, si è già osservato come, sulla base della (5), il generico ingresso sia ottenibile come sovrapposizione di infiniti impulsi matematici, di area opportuna, posti appunto in t = τ. Applicando la menzionata sovrapposizione degli effetti, la corrispondente uscita potrà allora essere ottenuta come somma, con gli stessi coefficienti x(τ)dτ, delle uscite corrispondenti ai singoli impulsi, vale a dire delle h(t τ) sopra definite. In formule: + y(t) = x( τ)h(t τ) dτ (6) L integrale (6) fornisce il legame ingresso-uscita cercato, ed è chiaramente interpretabile come un integrale di convoluzione. In definitiva si può allora affermare che l uscita di un sistema lineare si ottiene dalla convoluzione tra l ingresso e la risposta impulsiva del sistema. Sinteticamente, riscriveremo spesso la (6) come: y(t) = x(t) h(t) (7)

3 Dal punto di vista computazionale, in luogo di una descrizione nel dominio del tempo è conveniente riferirsi ad una descrizione nel dominio della frequenza. In effetti, applicando la proprietà della convoluzione per la trasformata di Fourier si verifica immediatamente che la (7) nel dominio del tempo corrisponde nel dominio della pulsazione (o, il che è lo stesso, della frequenza) alla relazione seguente: Y( ω ) = X( H( (8) avendo indicato con X(, Y( e H(, rispettivamente, le trasformate di Fourier dell ingresso, dell uscita e della risposta impulsiva del sistema. Il calcolo della (8) è in generale molto più agevole di quello della (7). Nota Y( l evoluzione nel dominio del tempo potrà poi sempre essere riottenuta per antitrasformazione; dunque: y(t) = F [ X( H( (9) La funzione H( prende il nome di funzione di trasferimento del sistema e alla stregua di h(t) caratterizza il sistema lineare considerato. Sulla base della (8) (o del suo equivalente temporale (7)), si può ben dire che l azione del sistema lineare consiste, in generale, nel modificare le caratteristiche spettrali (e quindi l andamento temporale) del segnale di ingresso. In particolare, un caso molto frequente è quello in cui la funzione H( elimina una parte del contenuto spettrale del segnale di ingresso; si è allora soliti dire che il sistema lineare filtra il segnale di ingresso. Un filtro ideale elimina una porzione dello spettro del segnale di ingresso, lasciando inalterata la porzione restante. In altri casi, l obiettivo del sistema lineare è piuttosto quello di sagomare opportunamente lo spettro del segnale di ingresso e allora, più propriamente, si è soliti parlare di equalizzatori; l equalizzatore sarà di ampiezza, quando l obiettivo è di sagomare lo spettro di ampiezza, oppure di fase, quando l obiettivo è di sagomare lo spettro di fase. E facilmente comprensibile che filtri ideali (in quanto tali) non possono essere realizzati nella pratica. In generale, dunque, un filtro introdurrà una modifica, che potrà essere più o meno pronunciata, anche delle componenti armoniche all interno della porzione di spettro che non deve essere eliminata; dualmente, sempre in conseguenza della non idealità, l eliminazione di parte dello spettro del segnale di ingresso non sarà in generale completa. Questi scostamenti dal comportamento ideale, comunque, non modificano la caratteristica del filtro, che resta quello di avere un segnale di uscita con una occupazione spettrale significativa ridotta rispetto a quella del segnale di ingresso. Un esempio di filtro è fornito dal circuito di Figura, introdotto in precedenza. Per esso si trova infatti (ad esempio trasformando la (4)): H( ω ) = (0) + iωrc e quindi, posto ω c = /RC: H( ω ) = (a) ω + ωc ω [ arg H( = arctg (b) ωc 3

4 L andamento del modulo, in particolare, è graficato in Figura 3; dalla figura si evince il tipico comportamento passa-basso, in quanto il filtro penalizza le frequenze più elevate mentre lascia passare le frequenze vicine all origine. In particolare si osservi che H(ω c ) = /, mentre H(ω c ) 0 per ω ). Un filtro passa-basso ideale con frequenza di taglio ω c è invece illustrato in Figura 4. La differenza con il caso precedente è evidente, avendosi qui una funzione che è identicamente nulla per ω > ω c e unitaria per ω ω c. In questo senso, il circuito di Figura deve essere considerato un approssimazione di un filtro passa-basso ideale. D altro canto, da un punto di vista pratico, tale approssimazione potrà essere resa più che soddisfacente per la specifica applicazione, agendo sulla scelta dei parametri R e C in modo da rendere la campana di filtraggio opportunamente stretta per le frequenze che devono essere eliminate.. H( ω/ω c Figura 3. H( ω/ω c Figura 4 Il concetto di realizzabilità di un filtro (o di un equalizzatore) è ovviamente estremamente importante e merita qualche ulteriore commento. Si è soliti distinguere tra ideale realizzabilità e fisica realizzabilità. Un filtro è idealmente realizzabile se la sua risposta impulsiva è reale. La 4

5 giustificazione dell asserto è evidente: non si può infatti immaginare, neppure idealmente, di realizzare una rete che abbia una risposta complessa ad un impulso matematico in ingresso. Questa condizione, peraltro, non assicura che il filtro, idealmente realizzabile, possa essere realizzato in pratica. In un filtro vero, vale a dire costruito con componenti reali e dunque non solo progettato sulla carta, la risposta non può evidentemente precedere la sollecitazione. E visto che h(t) è per definizione la risposta ad un impulso matematico applicato in t = 0, ciò comporta che in un filtro vero debba essere h(t) = 0 per t < 0. Questa proprietà va sotto il nome di principio di causalità e rappresenta la condizione necessaria per che un filtro idealmente realizzabile lo sia anche fisicamente. Così, ad esempio, l antitrasformata della funzione di trasferimento di Figura 4 (ipotizzando per semplicità che la fase sia nulla) vale ( ω t) ωc sin c h(t) =, < t < () π ω t c e infatti tale filtro è idealmente realizzabile, mentre non lo è fisicamente. Viceversa, l antitrasformata della (0), risposta impulsiva del circuito di Figura, vale h(t) = RC e 0 t / RC per t < 0 per t 0 (3) e infatti tale filtro oltre ad essere idealmente realizzabile lo è anche fisicamente (e prova ne sia che, in accordo con la Figura, basta combinare in uno schema ad L una resistenza e una capacità). A conclusione di questa Sezione, vogliamo spendere qualche parola per discutere brevemente come si modificano la densità spettrale di energia o la densità spettrale di potenza nel transito attraverso un sistema lineare con funzione di trasferimento H(. Essendo Y( ω ) = H( X( (4) le densità spettrali di energia (ove applicabili) dei segnali in ingresso e in uscita sono tra loro legate dalla seguente relazione: Y( ω ) = H( X( = H( X( (5) Una relazione analoga vale per gli spettri di potenza, indicati con p x ( (per l ingresso) e p y ( (per l uscita) p y ( ω ) = H( p ( (6) x Dunque la densità in uscita si ottiene semplicemente moltiplicando la densità in ingresso per il modulo al quadrato della funzione di trasferimento. Tenendo conto del legame che c è tra densità spettrale e funzione di autocorrelazione di un segnale, risulta anche interessante esplicitare questa relazione ingresso-uscita nel dominio del tempo. Antitrasformando la (5) o (6) si ottiene: 5

6 R y ( τ) = R h (t)r x ( τ t) dt (7) dove R h (τ) = h(t) h * ( t) fornisce la funzione di autocorrelazione della risposta impulsiva del sistema. 6

7 IL PROBLEMA DELLA DISTORSIONE Distorsione lineare Per un dato sistema lineare, ad esempio un canale di trasmissione, un ingresso x(t) produce un uscita y(t), cioè il segnale x(t) viene processato secondo modalità caratteristiche del sistema. Supponiamo che lo spettro del segnale di ingresso sia iθx ( X( ω ) = X( e (8) e che la funzione di trasferimento del sistema si scriva, a sua volta, come iθh ( H( ω ) = H( e (9) Allora lo spettro del segnale di uscita sarà i[ θx ( +θh ( Y( ω ) = X( H( = X( H( e (0) Sulla base della (0), si conclude che, attraversando il sistema lineare, lo spettro di ampiezza di x(t) viene moltiplicato per il modulo della funzione di trasferimento e lo spettro di fase di x(t) viene aumentato della fase della funzione di trasferimento. Quale risultato di questa azione combinata, il segnale di uscita presenta, in generale, uno spettro diverso da quello del segnale di ingresso e risulta dunque, rispetto a quest ultimo, distorto. Se vista nell ambito di un sistema di comunicazione, questa distorsione è in alcuni casi intenzionale ma, più frequentemente, si tratta di un effetto indesiderato che deve dunque essere controllato e mantenuto entro limiti prefissati. E lecito chiedersi quali condizioni debbano essere soddisfatte da una funzione di trasferimento per non introdurre distorsione. E evidente che il segnale di uscita risulta non distorto se differisce da quello di ingresso per una costante moltiplicativa A (A > comporta che il segnale sia stato amplificato, A < che sia stato attenuato; in ambedue i casi i rapporti di ampiezza tra le componenti armoniche del segnali sono inalterati) e per un ritardo t d. Peraltro si osserverà che in sistemi reali il ritardo è, per così dire, fisiologico, in quanto legato al tempo di propagazione (non nullo) del segnale. Dunque l uscita è non distorta se i segnali x(t) e y(t) sono tra loro legati dalla seguente relazione: y(t) = Ax ( t ) t d () Prima di ricavare le condizioni di non distorsione per via rigorosamente analitica, è interessante esaminare il problema in termini euristici. In assenza di distorsione, tutte le frequenze componenti l ingresso devono raggiungere l uscita indistorte, mantenendo cioè i loro rapporti relativi. Ciò significa che tutte le componenti in frequenza devono subire la stessa amplificazione o la stessa attenuazione. Ciò implica che dovrà essere H ( ω ) = A () Inoltre, tutte le componenti in frequenza devono raggiungere l uscita con lo stesso tempo di ritardo t d. Se così non fosse, se cioè si avessero delle componenti più lente ed altre più veloci esse verrebbero ricevute in tempi differiti, ed il segnale di uscita non potrebbe avere la stessa forma del segnale di ingresso. Ora, per un segnale di ingresso del tipo cos(ωt) un ritardo di t d fornisce cos[ω(t 7

8 t d ) = cos(ωt ωt d ). Quindi un ritardo di t d per la componente di frequenza ω corrisponde ad una variazione di fase pari a ωt d. Se ne conclude che, per un dato ritardo temporale t d, la variazione di fase è proporzionale alla pulsazione ω (quindi alla frequenza f = ω/π). Per un segnale cosinusoidale a frequenza doppia, dovendo essere inalterato il valore di t d, la variazione di fase sarà essa pure doppia. In definitiva, perché dunque la funzione di trasferimento H( sia responsabile di un ritardo costante per tutte le componenti armoniche che l attraversano, la sua fase deve essere proporzionale a ω, il coefficiente di proporzionalità essendo pari al ritardo t d. In formule: θ ( = ω h t d (3) Queste conclusioni euristiche possono essere ricavate (e dunque verificate) anche per via analitica. Si è detto che, in assenza di distorsione, vale la () la cui trasformazione di Fourier fornisce: Y( = AX( e iωt d (4) Confrontando tale espressione con il secondo membro della (0) si ottiene: H( = Ae iωt d (5) ovvero, esplicitando modulo e fase, le () e (3). Queste relazioni prendono il nome di condizioni di non distorsione lineare. Se non verificate, esse inducono infatti una distorsione sul segnale che attraversa il sistema lineare, dovuta alle caratteristiche della sua funzione di trasferimento. Più avanti si avrà modo di discutere, seppur con minor dettaglio, la distorsione non lineare che è invece dovuta al comportamento non lineare di certi sistemi; in quel caso il legame ingresso-uscita non potrà essere descritto da un integrale di convoluzione e il sistema non lineare non sarà caratterizzato da una funzione di trasferimento. Teoricamente, le condizioni () e (3) dovrebbero essere verificate da a +. In realtà, in pratica, è necessario che lo siano limitatamente all intervallo di frequenze occupato dallo spettro del segnale di ingresso. Così la funzione di trasferimento illustrata nelle Figure 5 e 6 non introduce distorsione lineare per tutti i segnali di ingresso il cui spettro è compreso tra ω px e +ω px (in figura si è ipotizzato che sia ω px ω mx ); in corrispondenza, infatti, tanto lo spettro di ampiezza che quello di fase di H( verificano le condizioni di non distorsione lineare. A H( - ω mx ω mx ω Figura 5 8

9 θ ( h ω px - ω px ω Figura 6 In precedenza si è soffermata l attenzione sul circuito di Figura che, come detto, rappresenta un filtro passa-basso. Praticamente tutti i mezzi trasmissivi utilizzati nei sistemi di comunicazione presentano un comportamento passa-basso e dunque eliminano le componenti ad alta frequenza del segnale che li attraversa. Il principale effetto di questa distorsione lineare è un allargamento del segnale, risultato questo che è possibile giustificare, anche qualitativamente, sulla base dell osservazione che le componenti ad alta frequenza (eliminate) sono responsabili delle transizioni veloci. Il segnale filtrato è quindi costretto ad assumere un andamento più smussato. Proprio per memorizzare il meccanismo di allargamento del segnale, a questo tipo di distorsione si dà comunemente il nome di dispersione. Gli effetti della dispersione sono particolarmente dannosi nelle trasmissioni numeriche, ove il segnale trasmesso è costituito da una sequenza di impulsi (un esempio è illustrato in Figura 7). La dispersione dovuta al filtraggio passa-basso modifica gli impulsi trasmessi così come mostrato in Figura 8: la coda del generico impulso si sovrappone agli impulsi successivi, determinando il fenomeno che viene propriamente denominato inteferenza di intersimbolo (ISI). Nel caso in cui gli impulsi adiacenti siano relativi a trasmissioni distinte (questa circostanza si verifica quando si utilizzano tecniche di accesso multiplo a divisione di tempo) la distorsione causa interferenza tra canali distinti. Questo fenomeno, che va sotto il nome di cross-talk, se non controllato, potrebbe deteriorare significativamente la qualità della trasmissione. I filtri passa-alto, che eliminano le componenti a basso frequenza, hanno un interesse sostanzialmente matematico nel senso che nessun dispositivo fisico è in grado di lasciare inalterate frequenze tendenzialmente di valore infinito. Viceversa, molto più importante è il caso del filtraggio passa-banda, in cui il sistema elimina tanto le componenti a bassa frequenza che quelle ad alta frequenza, lasciando passare le componenti armoniche nell intorno (più o meno esteso) di una pulsazione centrale ω o. I filtri passa-banda sono particolarmente importanti nelle trasmissioni in modulazione, in cui lo spettro del segnale che porta l informazione è allocato nell intorno della frequenza di portante. A ben guardare essi forniscono una definizione più accurata anche dei mezzi trasmissivi e degli apparati ad essi collegati: in molti casi, infatti, il canale di trasmissione oltre ad eliminare le componenti ad alta frequenza (e dunque a presentare un comportamento passa-basso) blocca anche la componente continua e le frequenze nell intorno dell origine. Di conseguenza, la migliore modellizzazione è appunto in termini di un filtraggio passa-banda, anche se con una frequenza di taglio inferiore relativamente bassa. Rappresentazioni grafiche delle funzioni di trasferimento di filtri passa-alto e passa-banda ideali sono mostrate in Figura 9 e Figura 0 rispettivamente. Come già si è osservato in precedenza, tali funzioni possono essere solo approssimate con filtri reali. Nondimeno, i filtri ideali vengono sistematicamente utilizzati nello sviluppo dei calcoli, perché consentono di semplificare la trattazione senza lederne la generalità e validità. 9

10 s (t) i A T t T c Figura 7 T c t Figura 8 H( θ h ( -πb 0 πb ω Figura 9 0

11 H( -ω o θ h ( 0 ω o ω Figura 0 Distorsione di non linearità La proprietà di linearità di un dato sistema non è indipendente dalle caratteristiche del segnale di ingresso. Ciò che si verifica è che il comportamento lineare vale sotto l ipotesi di applicazione di (relativamente) piccoli segnali. Quando l ampiezza della sollecitazione diventa elevata (l entità dei livelli necessari dipende ovviamente dalla specifica applicazione) una descrizione accurata del sistema non può più prescindere dalle non linearità. Queste ultime sono legate, ad esempio, alle proprietà microscopiche dei materiali con i quali il sistema è realizzato, e sono dunque sempre presenti. Fortunatamente, come detto, i valori di ampiezza in gioco in molte applicazioni (specialmente nell ambito di un sistema di telecomunicazioni) sono tali da renderne trascurabili gli effetti. Quando però l ipotesi di piccoli segnali non può essere ritenuta valida, le non linearità devono essere introdotte nella descrizione del sistema e ne modificano significativamente la caratterizzazione. In primo luogo, il legame ingresso-uscita nel dominio del tempo non è più descritto da un integrale di convoluzione ed è necessario specificare puntualmente il valore assunto dall uscita in corrispondenza di un dato valore dell ingresso. Supponendo che il legame sia istantaneo (sistema non lineare senza memoria) la caratteristica che lega il segnale di uscita y(t) a quello di ingresso x(t) può essere espressa come: y (t) = f[ x(t) (6) f è ovviamente una funzione generica; nondimeno, nel caso più comune, essa può essere espressa in termini di serie di potenze (formalmente ciò corrisponde ad effettuare uno sviluppo in serie di Mac Laurin) come segue: y(t) = a 0 + ax(t) + a x (t) + a 3x (t) a k x (t) k (7) L entità della non linearità è chiaramente legata al valore dei coefficienti a i : minore è tale valore, maggiore risulta l ampiezza del segnale in ingresso che è necessaria per avere un contributo non lineare apprezzabile. Benché in taluni casi la caratteristica non lineare sia necessaria per realizzare operazioni altrimenti impossibili con sistemi lineari (prima fra tutte, come si vedrà, la modulazione) in generale la presenza di contributi non lineari produce una distorsione, appunto detta di non linearità. Si è già osservato che per sistemi non lineari non è definibile una funzione di trasferimento. D altro canto, la caratteristica (7) può sempre essere Fourier trasformata con ciò ottenendo, sotto la ragionevole ipotesi che i coefficienti a i siano indipendenti dal tempo, il risultato seguente:

12 a Y ( = πa (8) [ X( X( ω k 0 δ( + ) k k k (π) ove il simbolo [X( X( k sta ad indicare che l operazione di convoluzione deve essere ripetuta k volte; esplicitamente: [ X( X( [ X( X( [ X( X( [ X( X( = X( = X( X( = X( X( X( = X( X( X( X( (9) L espressione (8), che fornisce la trasformata di Fourier del segnale in uscita dal sistema non lineare, è apparentemente complicata ma può essere giustificata facilmente: la delta di Dirac corrisponde alla trasformazione della costante a 0 mentre il generico termine entro sommatoria, prescindendo dal coefficiente moltiplicativo a k, altro non è che la trasformata di Fourier di x k (t), vale a dire: F k [ x (t) [ X( X( k = (30) k (π) Ora, è noto (e comunque facilmente verificabile) che il risultato dell autoconvoluzione di uno spettro avente estensione B ω è caratterizzato da una larghezza spettrale B ω + B ω = B ω. Se l autoconvoluzione viene effettuata k volte, il risultato avrà allora estensione kb ω. In definitiva, dalla (8) si evince che, in presenza di non linearità, lo spettro X( del segnale di ingresso (presente nella (8) come termine per k = ) viene distorto dalla presenza di un certo numero di spettri indesiderati (tanti quanti sono i coefficienti a i con i significativi), ottenuti per autoconvoluzione di X(, e che oltre a modificarne la forma ne determinano anche l allargamento. In altre parole, lo spettro del segnale di uscita sarà di norma più esteso di quello di ingresso. La differenza fondamentale rispetto al caso di distorsione lineare sta dunque nella introduzione di nuove componenti armoniche che una volta sovrapposte ad X( non potranno da esso più essere separate. Nel caso in cui una data banda di frequenze sia condivisa tra più segnali (la tecnica di accesso multiplo relativa prende il nome di FDM (Frequency Division Multiplexing)) questa dispersione dello spettro può causare interferenza tra canali distinti, esattamente come la distorsione lineare descritta in precedenza causava interferenza nel caso di accesso multiplo nel dominio del tempo (TDM = Time Division Multiplexing). Distorsione causata da percorsi multipli Una trasmissione a percorsi multipli (multipath) ha luogo quando il segnale trasmesso arriva al ricevitore seguendo due o più percorsi caratterizzati da ritardi differenti. Ad esempio, se il segnale è trasmesso lungo una linea che presenta salti di impedenza (disadattamento), il segnale arriverà al ricevitore sotto forma di un onda diretta più varie onde riflesse caratterizzate da diversi tempi di ritardo. Analogamente, nei collegamenti radio il segnale può essere ricevuto attraverso un percorso diretto tra antenna trasmittente e antenna ricevente e più raggi riflessi da ostacoli presenti lungo la tratta radio (terreno, edifici, ecc.).

13 In presenza di percorsi multipli il canale di trasmissione può essere schematizzato mediante più canali in parallelo, ciascuno con differente attenuazione relativa e differente ritardo temporale. Consideriamo, ad esempio, il caso di due soli percorsi: uno con guadagno unitario e ritardo t d, e l altro con guadagno α e ritardo t d + Δt, così come mostrato in Figura. Tipicamente α < e in questo caso si tratta, più propriamente, di un attenuazione. Ritardo t d x(t) + y(t) α Ritardo t d + Δt Figura Le funzioni di trasferimento dei due percorsi sono rispettivamente: H ( = e iωt d (3) e H ( = αe iω(td +Δt) (3) Quindi, la funzione di trasferimento complessiva del canale è data da: H( = H = ( + H + α ( = e iωtd + α cos( ωδt) e iωδt iωt ( + αe ) = e d [ + α cos( ωδt) iαsin( ωδt) αsin( ωδt) i ωtd + arctg +α cos( ωδt) = (33) Gli andamenti del modulo e della fase di H( sono riportati, rispettivamente, in Figura e in Figura 3, per una scelta arbitraria di α, t d e Δt. Come si deduce dalla stessa espressione analitica, ambedue le funzioni sono periodiche con periodo π/δt. In definitiva, già sulla base del modello a due percorsi, si può concludere che la trasmissione multipath dà luogo ad una funzione di trasferimento non ideale (nell ampiezza e nella fase) ed è quindi responsabile di una particolare distorsione lineare. In quanto tale, peraltro, tale distorsione può essere almeno parzialmente corretta con l uso di equalizzatori. 3

14 H( -4π/ Δt -π/ Δt 0 π/ Δt 4π/ Δt ω Figura θ h ( -4π/ Δt -π/ Δt 0 π/ Δt 4π/ Δt ω Figura 3 Canali con fading Fino ad ora abbiamo assunto le caratteristiche del canale costanti nel tempo. Tuttavia, nella pratica, molti canali di trasmissione presentano proprietà variabili nel tempo. E questo il caso dei canali a scatter troposferico o dei canali che usano la ionosfera per i sistemi di comunicazione radio a grande distanza. Le variazioni nel tempo delle proprietà del canale hanno luogo a causa della variazione delle caratteristiche di propagazione del mezzo. Le proprietà di riflessione della ionosfera, ad esempio, dipendono dalle condizioni meteorologiche e variano con le stagioni, giornalmente, e persino di ora in ora a seconda delle condizioni climatiche. Perciò la funzione di trasferimento del canale varia a sua volta nel tempo in maniera aleatoria, causando attenuazioni pure aleatorie (random) del segnale. Questo tipo di fenomeno è noto come fading. Una maniera per ridurre gli effetti del fading consiste nell usare un controllo automatico di guadagno (ACG) che appunto compensi le fluttuazioni aleatorie. Il fading può essere fortemente dipendente dalla frequenza, cioè componenti armoniche distinte ne possono essere affette in maniera diversa. In questo caso si parla propriamente di fading selettivo e la dipendenza dalla frequenza, se non controllata, può essere causa di rilevanti distorsioni nella propagazione del segnale radio. 4