Prendiamo in considerazione la matrice tridiagonale

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1 Questi esercizi sono il completamento di quelli sui sistemi lineari già a disposizione. Ogni esercizio proposto può fare riferimento a qualcuno di questi. In ogni caso sono riportati tutti i dati essenziali per la risoluzione Prendiamo in considerazione la matrice tridiagonale a) Provare a costruirla in ambiente matlab come somma di matrici con una sola diagonale non nulla b) Usando una opportuna built-in funzione, mostrare in ambiente Matlab che le due fattorizzazioni Gaussiane coincidono c) Calcolare in ambiente Matlab il vettore x, tale che A 2 x = b = ( - 0 ) T, senza eseguire il quadrato della matrice A >> % punto a) >> A=diag([ ])+diag([ - ],)+diag([6-3 -4],-) >> % punto b) >> [L,U,P]=lu(A) L = U = P =

2 0 0 0 >> % la Matrice P è l'identità e i due metodi coincidono >> % punto c) >> % A(Ax) = b, pongo y = Ax, e risolvo Ay=b e Ax=y >> b=[ - 0 ]'; >> y=a\b;x=a\y; Si prenda in esame la matrice a) La fattorizzazione P LU, ha mostrato che i due scambi sono r = 3 e r 2 = 3. Usare l apposita bult-in funzione Matlab che trova anche la matrice di permutazione P, e mostrare che è uguale al prodotto delle due matrici di permutazione elementari associate agli scambi. b) Risolvere il sistema Ax = b = ( 0 -) T, sia usando la funzione slash, che passando attraverso la built-in funzione che calcola l inversa di A. Se si considera come valore esatto la soluzione ottenuta con la prima opzione, calcolare l errore relativo commesso con la seconda opzione usando la norma infinito > % punto a) >> A=[2 0 2; 2;4 2 2]; >> [L,U,P]=lu(A); >> % trovo le due matrici di permutazione >> % elementare associate agli scambi >> P0=eye(3);P=P([3 2 ],:);P2=P([ 3 2],:); >> P==P2*P > b=[ 0 -]'; >> % risolvo con lo slash >> x=a\b; >> % risolvo con l'inversa >> y=inv(a)*b; >> norm(y-x,inf)/norm(x,inf) 0 >> % con le due opzioni ho ottenuto la stessa soluzione! >> % la matrice A e il vettore b hanno elementi che sono >> % potenze di due. Probabilmente lo è anche l'inversa e >> % la soluzione del sistema, nessun errore di floating! >> x x =

3 >> x==[0 - /2]' Si consideri la matrice a) Si costruisca in ambiente Matlab la matrice B di ordine tre di elementi b ij = (2a ji -)/(a ii + ). b) Risolvere, in ambiente Matlab l' equazione matriciale AXB = U, dove U ha tutti elementi uno, e calcolare il residuo. ( Nel caso non si riesca a trovare la B del punto a), sia B una matrice casuale qualsiasi). >> %punto a) >> A=[2 - ;- 3-2;0 4]; >>for i=:3,for j=:3,b(i,j)=(2*a(j,i)-)/(a(i,i)+);end,end >> % risolvo l'equazione AXB = C >> U=ones(3);X=A\U/B; >> % calcolo il residuo >> A*X*B-U.0e-05 * Prendiamo in esame la matrice a) Mostrare che la built-in funzione matlab per la fattorizzazione P LU, trova una matrice di permutazione P uguale alla matrice identità, pur non essendo A ha predominanza diagonale per colonne, e che la fattorizzazione non produce errori di floating

4 b) Rimpiazzare i due elementi della diagonale 2, con -, e l unico elemento della diagonale 3, con, senza reinserire tutta la matrice. Mostrare che l inversa di A, ottenuta usando l apposita built-in funzione Matlab, viene calcolata esattamente! c) Calcolare mediante funzione Matlab il determinante della matrice >>% punto a) >> A=[ 0 0;- 0 0; 0 0 ; 2 0 0] >> [L,U,P]=lu(A) L = U = P = >> % Fattorizzazioni Gaussiane coincidenti >> L*U-A

5 >> % nessun errore di floating >> % punto b) >> A(,3)=-;A(2,4)=-;A(,4)= >> A_=inv(A) A_ = >> A_*A >>% A_ è esattamente l inversa di A >> punto c) >> B=[A A_;A_ A] B = >> det(b) 45 Si consideri la matrice

6 a) Aggiornare tale matrice con una quarta colonna di elementi uguali a /3. Quindi eseguire un altro aggiornamento con una quarta riga uguale alla somma delle precedenti tre righe. Mostrare, con la built-in funzione Matlab apposita, che il determinante di A non dà esattamente il risultato zero ( fl(/3) /3). b) Calcolare b = Ax, con x=(- 0 2) T.( Nel caso in cui non si riesca a trovare la 4 ä 4 matrice del punto a), si prenda in esame la 4 ä 4 matrice di Hilbert ( >> hilb(4)). Risolvere il sistema Ay= b e misurare l errore relativo dell approssimazione y di x, e valutare residuo rispetto a x, usando una norma qualsiasi. >> % punto a) >> A=[2 ;4 2 ;-2 0 ] >> A=[A ones(3,)/3] >> % poiché sum(a) è il vettore riga >> contenente la somma delle righe di A >> A=[A;sum(A)] >> % la matrice A è singolare ma >> det(a).6653e-06 >> % per l aritmetica Matlab >> x=[- 0 2]' x = -

7 0 2 >> b=a*x b = >> % risolviamo Ay=b >> y=a\b Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e-08. y = >> Misurando globalmente >> norm(y-x,inf)/norm(x,inf) >> % con errore del 30% >> % valutiamo la norma del residuo >> norm(a*y-b,inf)/norm(x,inf) e-06 >> % a conferma dalla teoria NOTA Per gli esercizi sulla rappresentazione in base, si suggerisce di usare la built-in funzione Matlab log2, [ mantissa,esponente]=log2( variabile numerica) per confermare ( dove è stata richiesta) la rappresentazione in base 2. Poiché l esponente, negli esercizi, è solitamente espresso in base 0, la conferma di esso è immediata. Negli esercizi la mantissa è espressa in cifre 0,, e si controlla l esattezza dopo aver trasformato tale mantissa in base 0.