Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1

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3 Ferruccio Orecchia esercizi di GEOMETRIA 1

4 Copyright MCMXCIV ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133 A/B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: aprile 1994 II edizione: aprile 1996 III edizione: novembre 2007

5 INDICE Capitolo 1. LO SPAZIO CARTESIANO Riferimenti su una retta Il piano cartesiano reale Lo spazio cartesiano a n-dimensioni Capitolo 2. VETTORI Proprietà algebriche dei vettori Dipendenza lineare. Basi. Componenti Vettori nel piano e nello spazio cartesiano Capitolo 3. EQUAZIONI DI RETTE E PIANI Rappresentazione di una retta nel piano cartesiano Rappresentazione di un piano nello spazio cartesiano Rappresentazione di una retta nello spazio Fasci di piani e di rette. Stelle di piani Altri esercizi su rette e piani Capitolo 4. ORTOGONALITÀ Prodotto scalare di vettori. Proiezioni Prodotto vettoriale Problemi di ortogonalità, distanza, simmetria, angoli Capitolo 5. MATRICI Operazioni sulle matrici Inversa e trasposta di una matrice Matrici a scalini e calcolo dell inversa Capitolo 6. DETERMINANTI Calcolo dei determinanti Rango di una matrice Capitolo 7. SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Risoluzione di un sistema lineare con il metodo di Gauss Teorema di Rouché-Capelli e regola di Cramer Sistemi equivalenti Sistemi lineari omogenei Sistemi lineari con parametro

6 6 Capitolo 8. SPAZI VETTORIALI Definizione e prime proprietà Sottospazi. Combinazioni lineari Dipendenza lineare e insiemi liberi Spazi vettoriali di dimensione finita. Basi. Componenti Operazioni sui sottospazi e formula di Grassmann I sottospazi di K n Cambiamento di base Trasformazioni di coordinate Capitolo 9. SPAZI EUCLIDEI REALI Definizioni e generalità Modulo e angolo negli spazi euclidei Basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt Sottospazi ortogonali Matrici ortogonali Capitolo 10. OMOMORFISMI DI SPAZI VETTORIALI Definizione di omomorfismo Proprietà degli omomorfismi e isomorfismi Nucleo e immagine di un omomorfismo Applicazioni lineari da K n in K m Omomorfismi e matrici Ulteriori esercizi sugli omomorfismi Cambiamento di base Capitolo 11. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Autovalori di una matrice quadrata Diagonalizzazione Diagonalizzazione ortogonale. Matrici simmetriche Autovalori ed autovettori di un omomorfismo Capitolo 12. CONICHE E QUADRICHE Classificazione e disegno di una conica Classificazione e forma canonica di una quadrica

7 7 Capitolo 13. CURVE E SUPERFICI Curve del piano cartesiano Superfici dello spazio cartesiano Curve dello spazio cartesiano. Curve piane Tangente a una curva e piano tangente a una superficie Coni. Cilindri. Superfici rigate Superfici di rotazione Capitolo 14. ESEMPI DI PROVE DI ESAME Esempio 1 - Tempo 2h 30m Esempio 2 - Tempo 3h Esempio 3 - Tempo 3h Esempio 4 - Tempo 3h Esempio 5 - Tempo 3h 15m Esempio 6 - Tempo 3h Esempio 7 - Tempo 3h Esempio 8 - Tempo 3h 15m

8 I riferimenti nel testo sono relativi al volume: F. Orecchia, Lezioni di Geometria 1, Aracne editrice, Roma 1993 isbn

9 Capitolo 1 LO SPAZIO CARTESIANO Riferimenti su una retta ESERCIZIO 1.1. Sia r una retta su cui è fissato un sistema di riferimento cartesiano. Siano A e B due punti di r di ascisse rispettive a e b. Dimostrare che l ascissa x del punto P che divide il segmento orientato AB in un rapporto k R è a+kb 1+k. In particolare l ascissa del punto medio M di AB è a+b 2 [Figura 1]. Soluzione. Si ha m( AP ) m( = k PB) Figura 1. Inoltre m( AP )=x a e m( PB)=b x [Prop ], onde x a a + kb = k cioè x = b x 1+k Se P = M è il punto medio di AB, siha AM = MB. Allora k = m( AP ) m( =1 e x = a + b PB) 2 9

10 10 Il piano cartesiano reale ESERCIZIO 1.2. Sia Oxy un sistema di riferimento cartesiano monometrico nel piano tale che l angolo formato dall asse x e y sia θ π 2. Calcolare la distanza d(p 1,P 2 ) di due punti P 1 (x 1,y 1 ), P 2 (x 2,y 2 ). Figura 2. Soluzione. Si consideri il triangolo P 1 P 2 Q [Figura 2] che ha lati di lunghezza d(p 1,P 2 ), x 2 x 1, y 2 y 1. Applicando il teorema di Carnot, si ottiene facilmente che: d(p 1,P 2 )= (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +2(x 2 x 1 )(y 2 y 1 )cosθ Se θ = π 2 cioè le coordinate sono ortogonali, si ha: d(p 1,P 2 )= (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 ESERCIZIO 1.3. Nel piano cartesiano reale scrivere le equazioni di: (a) dell asse x; (b) dell asse y; (c) di una retta parallela all asse x e passante per il punto P (x 0,y 0 ); (d) di una retta parallela all asse y e passante per il punto P (x 0,y 0 ); Soluzione. (a) y =0. (b) x =0. (c) y = y 0. (d) x = x 0. ESERCIZIO 1.4. Sia dato un riferimento cartesiano nello spazio. Siano A(x 1,y 1,z 1 ) e B(x 2,y 2,z 2 ) due punti. Determinare le coordinate del punto P che divide il segmento AB in un dato rapporto k R.

11 11 Soluzione. Dalla formula dell esercizio 1.1 si trae facilmente che P ( x1 + kx 2 1+k, y 1 + ky 2 1+k, z ) 1 + kz 2 1+k ESERCIZIO 1.5. Nello spazio cartesiano determinare le equazioni: (i) dei piani e degli assi coordinati; (ii) dei piani paralleli e ai piani coordinati e delle rette parallele agli assi passanti per P (a, b, c). Soluzione. (i) Piano xy: z =0;pianoxz: { y { =0;pianoyz: x =0. y =0 x =0 Asse x: ; asse y: ; asse z: z =0 z =0 (ii) x = a piano parallelo a yz; y = b piano parallelo a xz; z = c piano parallelo a xy; { x = a retta per P parallela all asse z. y = b { x = a retta per P parallela all asse y. z = c { y = b retta per P parallela all asse x. z = c { x =0 y =0. Lo spazio cartesiano a n-dimensioni ESERCIZIO 1.6. Dimostrare che una retta r di K n può essere scritta nella forma parametrica (1.1) x 1 = a 1 + b 1 t x 2 = a 2 + b 2 t. x n = a n + b n t t R dove (a 1,a 2,...,a n ) (b 1,b 2,...,b n ) (0, 0,..., 0) e viceversa l insieme dei punti di K n che verificano le equazioni (1.1) è una retta.

12 12 Soluzione. Una retta r può essere definita come l insieme delle soluzioni di un sistema di n 1 equazioni lineari linearmente indipendenti: (1.2) a 11 x a 1n x n = c 1. a n 11 x a n 1n x n = c n 1 cioè tale che il rango della matrice A =(a ij ) dei coefficienti di (1.2) è massimo ρ(a) =n 1. Ora è noto dalla teoria dei sistemi lineari che una soluzione di (1.2) è somma di una fissata soluzione di (1.2) con una soluzione del sistema omogeneo associato a (1.2) [Prop ] (1.3) a 11 x a 1n x n =0... a n 11 x a n 1n x n =0 Inoltre dalla regola di Cramer si ricava facilmente che le soluzioni di (1.3) sono del tipo (b 1 t,...,b n t), dove b i =( 1) i+1 d i e d i èilminorediordine n 1 ottenuto da A cancellando la colonna i-esima (si osservi che, se ρ(a) =p, almenound i e quindi un b i è non nullo). Ne segue x 1 = a 1 + b 1 t x 2 = a 2 + b 2 t. x n = a n + b n t Come si voleva. Viceversa, ricavando t da una delle equazioni di (1.1) e sostituendo nelle altre, si ottengono n 1 equazioni che, come si verifica facilmente, sono linearmente indipendenti.

13 Capitolo 2 VETTORI Proprietà algebriche dei vettori ESERCIZIO 2.7. Provare che la definizione di somma di vettori è una buona definizione. Soluzione. Siano u e v due vettori. Occorre provare che, se si rappresentano u e v come u = B A, v = C B oppure u = B A, v = C B, allora i segmenti orientati AC e A C hanno lo stesso modulo, direzione e verso, onde si può definire u + v = C A(= C A ). Si supponga che qualsiansi tre dei punti A, B, C, A non siano allineati (è lasciato al lettore provare l asserto se tale ipotesi non è verificata). Si considerino i triangoli ABC e A B C [Figura 3]. Figura 3. I segmenti AB e A B, BC e B C hanno stessa lunghezza e sono paralleli, onde gli angoli ÂBC e A B C sono uguali e quindi per il primo criterio di uguaglianza sui triangoli, si ha ABC = A B C. Si trae allora che AC e A C sono uguali, paralleli e hanno lo stesso verso. ESERCIZIO 2.8. Provare geometricamente che, se u e v sono vettori, allora u + v u + v e u v u + v. Inoltre se u e v non sono nulli, allora u + v = u + v se e solo se u = λv per uno scalare λ>0. Soluzione. Basta considerare i triangoli (eventualmente degeneri) della figura 4 e osservare che un lato di un triangolo ha lunghezza minore o uguale alla somma delle lunghezze degli altri due. 13

14 14 Per le proprietà dei triangoli le due relazioni sono dimostrate. Si provi l ultima equivalenza. ) u+v = λv+v = v(λ+1) =(λ+1) v = λ v + v = u + v. ) Se è vera l ipotesi, il triangolo u, v, u + v dev essere degenere u v u = λv (ovviamente λ 0perché λ =0 u = 0). Si osservi che: u + v = λv + v = (λ +1)v = λ +1 v e u + v = λv + v =( λ +1) v Quindi si ha λ +1 = λ +1,dacuiλ 0(provarlo). Figura 4. Dipendenza lineare. Basi. Componenti ESERCIZIO 2.9. Siano u e v vettori tali che u v e u v. Dimostrare che non esistono scalari λ tali che u + λv = 0 e λu + v = 0. Soluzione. Si supponga per assurdo che esista un tale λ : u + λv = 0. Segue u = λv. Tenendo conto che λu + v = 0, risulta λ 2 v + v = 0 ovvero v(1 λ 2 )=0. Questo comporta che sia 1 λ 2 = 0 oppure v = 0. Se 1 λ 2 = 0, allora λ = ±1, cioè u = v o u = v, contro l ipotesi. Se v = 0, allora u = v = 0, contro l ipotesi. ESERCIZIO Sia u un vettore di modulo 2. Determinare i vettori di modulo 3 paralleli ad u. Soluzione. Affinché v sia parallelo a u, dev essere proporzionale ad esso secondo uno scalare λ, cioè v = λu. Allora dev essere 3 = v = λ u = λ 2, da cui λ = 3 2. Quindi i vettori v paralleli a u e di modulo 3 sono i vettori v = ± 3 2 u

15 15 ESERCIZIO Si fissi un vettore u. Determinare i vettori x e y tali che x 2y = u e 2x 3y = 0. Soluzione. Si risolva il sistema { x 2y = u 2x 3y = 0 Si ha: { x =2y + u { x = 3u 4y +2u 3y = 0 y = 2u ESERCIZIO Sia {e 1, e 2 } una base per i vettori del piano. Considerati i vettori e 1 + λe 2 e λe 1 + e 2, dire per quali valori di λ essi costituiscono una base. Soluzione. Si consideri la combinazione lineare μ(e 1 + λe 2 )+ν(λe 1 + e 2 )=0 Si ha: μe 1 + μλe 2 + νλe 1 + νe 2 = 0 e 1 (μ + νλ)+e 2 (μλ + ν) =0 Poiché {e 1, e 2 } è una base, dev essere che equivale a { μ + νλ =0 μλ + ν =0 { μ = λν { μ = λν νλ 2 + ν =0 ν(1 λ 2 )=0 1 o caso: se 1 λ 2 0,cioè λ ±1, allora ν =0eμ = 0; quindi i due vettori considerati sono una base. 2 o caso: se 1 λ 2 =0,cioè λ = ±1, allora i due vettori sono paralleli. Quindi e 1 + λe 2 e λe 1 + e 2 costituiscono una base se e solo se λ ±1. ESERCIZIO Se {e 1, e 2, e 3 } è una base provare che anche {e 1 + e 2, e 1 + e 3, e 2 + e 3 } è una base.

16 16 Soluzione. Si deve considerare una combinazione lineare di e 1 +e 2, e 1 +e 3, e 2 + e 3 e mostrare che i coefficienti di essa devono essere nulli. Si ha: λ(e 1 + e 2 )+μ(e 1 + e 3 )+ν(e 2 + e 3 )=0 λe 1 + λe 2 + μe 1 + μe 3 + νe 2 + νe 3 = 0 e 1 (λ + μ)+e 2 (λ + ν)+e 3 (μ + ν) =0 Poiché {e 1, e 2, e 3 } è una base, dev essere: λ + μ =0 λ + ν =0 μ + ν =0 cioè μ = λ μ =0 ν = λ ν =0 2λ =0 λ =0 Quindi {e 1 + e 2, e 1 + e 3, e 2 + e 3 } è una base. ESERCIZIO Sia {e 1, e 2, e 3 } una base dello spazio R 3. Si considerino i vettori u = 2e 1 +3e 2 + e 3, v = 4e 1 3e 2 +2e 3, w = 5e 1 +3e e 3. Determinare: a) u + w; b) 5v 7w; c) u + v; d) 11(5u 7v); e) 3 2 v +7w; f) πv (u + w). Soluzione. a) u + w =2e 1 +3e 2 + e 3 +5e 1 +3e e 3 = =7e 1 +6e e 3 b) 5v 7w =(20e 1 15e 2 +10e 3 ) (35e 1 +21e e 3)= = 15e 1 36e e 3

17 17 c) u + v = 2e 1 3e 2 e 3 +4e 1 3e 2 +2e 3 = =2e 1 6e 2 + e 3 d) 11(5u 7v) = 11( 18e 1 +36e 2 9e 3 )= = 198e e 2 99e 3 e) 3 2 v +7w = ( 6e e 2 3e 3 ) +35e 1 +21e e 3 = =29e e e 3 f) ( πv (u + w) =(4πe 1 3πe 2 +2πe 3 ) 7e 1 +6e ) 3 e 3 ( =(4π 7)e 1 (3π +6)e 2 + 2π 1 ) e 3 3 Vettori nel piano e nello spazio cartesiano ESERCIZIO Determinare le componenti del vettore che ha origine in P ed estremo in Q, dove: a) P (1, 2), Q(3, 4); b) P (5, 1), Q(1, 1); c) P (7, 4, 1), Q(4, 7, 5); d) P (4, 3, 2), Q(0, 0, 0). Soluzione. a) Q P =(3 1, 4 2) = (2, 2). b) Q P =(1 5, 1+1)=( 4, 2). c) Q P =(4 7, 7 4, 5 1) = ( 3, 3, 4). d) Q P =(0 4, 0 3, 0 2) = ( 4, 3, 2). ESERCIZIO Sia P (2, 3, 1). Determinare Q tale che il vettore Q P abbia modulo 2 e sia parallelo, ma di verso opposto, al vettore v =(4, 5, 7).

18 18 Soluzione. Se Q(x, y, z), si ha: e Q P =(x 2,y 3,z+1)=λ(4, 5, 7) = (4λ, 5λ, 7λ) 2= Q P = 16λ 2 +25λ 2 +49λ 2 = 90λ 2 =3 10 λ onde λ = ± = ± 15 Ma poiché Q P ha verso opposto a (4, 5, 7), si ha λ < 0 e quindi λ = 10 15, onde 10 x 2= y 3= z +1= 15 ( 7) e ( Q , , ESERCIZIO Siano u =( 1, 0, 2), v =(3, 2, 1), w =(4, 7, 1). Determinare le componenti di: a) u +2w; b) 3v +5w; c) 7(v +5w); d) (3u +5w) v. Soluzione. a) u +2w =( 1+8, 0+14, 2 + 2) = (7, 14, 4). b) 3v +5w =(9+20, 6+35, 3 + 5) = (29, 29, 8). c) 7(v +5w) = 7(23, 33, 6) = (161, 231, 42). d) (3u+5w) v =[( 3+20) 3, (0+35)+2, (6+5) 1] = (14, 37, 10). 1 )

19 Capitolo 3 EQUAZIONI DI RETTE E PIANI Rappresentazione di una retta nel piano cartesiano ESERCIZIO Dire quali tra i seguenti punti A(1, 1), B(4, 4), C(6, 6), D( 3, 2) sono allineati. Soluzione. Tre punti P 1 (x 1,y 1 ), P 2 (x 2,y 2 ), P 3 (x 3,y 3 ) sono allineati se e solo se appartengono alla stessa retta, cioè x 3 x 1 y 3 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1 =(x 3 x 1 )(y 2 y 1 ) (x 2 x 1 )(y 3 y 1 )=0 Allora = =0 onde A, B, C sono allineati, e = = 15 0 e D non è allineato con A, B, C. ESERCIZIO Dimostrare che: r 1 : { x =2 3t y = 1+2t, r 2 : { x =5 6t y = 3+4t sono rappresentazioni parametriche della stessa retta. Soluzione. Siano u 1 e u 2 vettori direzionali rispettivamente di r 1 e r 2 : u 1 =( 3, 2), u 2 =( 6, 4) Perché r 1 e r 2 siano rappresentazioni della stessa retta, dev essere: u 1 u 2 u 1 = λu 2 19

20 20 cioè { 3= 6λ λ = 1 2 2=4λ λ = 1 2 Quindi r 1 r 2. Per dimostrare che sono coincidenti, basta verificare che il punto P (2, 1), che appartiene a r 1, appartiene anche a r 2.Siha: { 2=5 6t t = 1 1 = 3+4t 2 t = 1 2 come si voleva. ESERCIZIO Siadatalaretta r : { x =2+3t y =4 5t Determinare un altra rappresentazione parametrica di r tale che, per t = 2, siottengailpuntop (5, 1). Soluzione. Altri vettori direzionali di r sono (3λ, 5λ). Si determini λ in modo tale che, per t = 2, si abbia: { 5=2+3λ( 2) λ = 1 1 =4 5λ( 2) 2 λ = 1 2 Il vettore direzionale di r cercato è ( u = 3 2, 5 ) 2 La nuova rappresentazione di r è: x =2 3 2 t y = t ESERCIZIO Scrivere l equazione cartesiana della retta passante per P (1, 2) ed avente vettore direzionale ( 3, 2).