1. L'INSIEME DEI NUMERI REALI

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1 . L'INSIEME DEI NUMERI REALI. I pricipli isiemi di umeri Ripredimo i pricipli isiemi umerici N, l'isieme dei umeri turli 0; ; ; ; ;... L'ide ituitiv di umero turle è ssocit l prolem di cotre e ordire gli elemeti di u isieme. Questi due prolemi soo strettmete legti fr loro iftti, cotdo gli oggetti di u isieme, utomticmete li ordiimo. Z, l'isieme dei umeri iteri...; -; -; -; 0; ; ; ; ;... L'itroduzioe dei umeri egtivi, rislete gli idii (c. VII secolo d.c.), che li usvo per rppresetre i deiti, pose grossi prolemi i mtemtici europei dl '00 fio l '00. E' solo d circ u secolo e mezzo che i umeri egtivi soo cosiderti umeri pieo diritto. Il loro impiego rricchisce l struttur lgeric molto pover di N. Q, l'isieme dei umeri rzioli. rolemi prtici, quli d esempio l misurzioe di u grdezz, portroo ll'itroduzioe delle frzioi. Il termie frzioe sigific rpporto e i umeri rzioli vegoo detti così proprio perché soo esprimiili come rpporto di due umeri iteri. I umeri rzioli possoo essere scritti i diversi modi come frzioe... i form mist... i form decimle... Le frzioi si possoo scrivere i form decimle semplicemete eseguedo l divisioe tr il umertore e il deomitore. Si ottegoo due tipi di umeri decimli i umeri decimli fiiti (d es....); i umeri decimli periodici ( d es....). Domd Ci soo dei umeri decimli o fiiti e o periodici? er rispodere quest domd doimo provre cercre degli esempi Esempi

2 Questi umeri o soo elemeti di Q. I umeri decimli o fiiti e o periodici si chimo umeri... Il loro isieme viee idicto co I. L isieme dei umeri reli R è formto d umeri rzioli e d umeri irrzioli; i simoli R Q I. Tr i umeri irrzioli ce e soo lcui fmosi che già coosci, come d esempio π. π, Altri esempi,..., ESERCIZI Costruisci co rig e compsso u segmeto di lughezz poi uo lugo e misur l loro lughezz otdol Scrivi i form di frzioe ; ; ; ; ; Scrivi, se puoi, come umero misto ; ; ; 0 ; ;

3 . Tr i umeri decimli rzioli, possimo distiguere RAZIONALI FINITI ERIODICI ERIODICI SEMLICI ERIODICI MISTI, CON ERIODO E ANTIERIODO ) trsform le segueti frzioi i umeri decimli ; ; 9 ; 9 ; 900 ) trsform i segueti umeri decimli fiiti i frzioi ridotte i miimi termii 0,; 0,; 0,; 0,; 0,;,;,; c) trsform i segueti umeri decimli periodici semplici i frzioi 0,; 0,; 0,; 0,0; 0,; 0,9 ;,;,; 6, ;. roprietà delle operzioi ell isieme dei umeri reli Sio,, c elemeti di R. Le segueti proprietà vlgoo per tutti gli,, c pprteeti d R. roprietà dell ddizioe. Iter e ovuque defiit L somm di due elemeti di R é cor u elemeto di R. Associtiv ( c ) ( ) c Commuttiv Esiste l elemeto eutro é lo 0, tle che 0 0 Esiste l iverso di ogi umero l iverso di rispetto ll ddizioe é -, tle (opposto) che ( ) ( ) 0 (R; ) vedo queste crtteristiche h l struttur di gruppo commuttivo. Esercizio le proprietà che vlgoo per l ddizioe di umeri reli, vlgoo che per l sottrzioe?

4 roprietà dell moltipliczioe. Iter e ovuque defiit Il prodotto di due elemeti di R é cor u elemeto di R. Associtiv ( c ) ( ) c Commuttiv Esiste l elemeto eutro é il umero, tle che Esiste l iverso di ogi umero l iverso di rispetto ll moltipliczioe é, (simmetrico) tle che esiste solo se 0) (l iverso (R; ) vedo queste crtteristiche h l struttur di gruppo commuttivo. Esercizio queste proprietà vlgoo che per l divisioe? roprietà dell ddizioe e dell moltipliczioe Distriutiv dell moltipliczioe rispetto ll ddizioe c c Essedo (R; ) e (R; ) dei gruppi commuttivi e vledo che quest ultim importte proprietà, (R; ; ) h l struttur di corpo commuttivo. Osservzioi i) Ogi sottrzioe può essere scritt come ddizioe dell opposto esempio ii) Ogi divisioe può essere scritt come moltipliczioe del simmetrico ( co 0 )esempio Esercizio Complet l seguete tell. iverso rispetto l iverso rispetto l 9

5 Alcue preciszioi sul clcolo co le frzioi ) ttezioe lle scritture migue, idicre sempre l lie di frzioe priciple c ) o h sigificto per ogi 0. 0 c) 0 0 per ogi 0. d) 0 è u form idetermit. 0 e) co, dove, soo umeri iteri e 0, si idico le frzioi, le cui pricipli regole di clcolo soo c c c d d d Nell prtic, prim di sommre o sottrrre è utile ricordrsi di ridurre le frzioi i miimi termii e di scegliere tr i deomitori comui, quello pi piccolo (che è il m.c.m. tr i deomitori). Ecco lcui esempi di ddizioi/sottrzioi co le frzioi rim di moltiplicre è ivece utile ricordrsi di semplificre; vedimo che qui lcui esempi Le poteze co espoete turle. Defiizioe Si u umero rele e u umero turle volte

6 roprietà del clcolo co le poteze Sio e umeri reli e m, umeri turli. (Si esclude l divisioe per 0.) m m m m m Osservzioi i) 0 0 o é defiito. ii) 0 0 per ogi > 0. iii) iv) ; Esercizi. Clcol il vlore delle segueti poteze. ) (-) 0 ) (-) c) (-) d) (-) e) (-) - f) (-) - h) (-) -. Risolvi le segueti espressioi [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] 0, ) f e) d) c) 6 ) 0 )

7 . L otzioe scietific. er rppresetre dei umeri molto grdi o molto piccoli i mtemtic si uso le poteze di dieci. Vedimo lcui esempi. ''000'000 ' 0 6, 0 9, 0 0 Tr i diversi modi di scrivere il umero ''000'000 utilizzdo le poteze di dieci, l ultimo è quello che viee chimto otzioe scietific si distigue di precedeti perché h u sol cifr divers d zero dvti ll virgol. rov scrivere i segueti umeri i otzioe scietific ''000'000'000 '0'000 ''00 '000'000'000'000'000'000 Qudo esegui dei clcoli co umeri grdi sull clcoltrice, sul visore ppioo i risultti ell form scritt sotto. Scrivi ccto il sigificto estto di quto ppre sul visore.,6,6 6,, -, - Negli ultimi due csi i umeri rppresetti soo dei umeri molto piccoli e soo stte utilizzte le poteze di dieci co espoete egtivo. Vedimo più d vicio il loro sigificto Scrivi i segueti umeri i otzioe scietific 0,00 0,006 0,000'00 0,000'000'000'000'000'000'00

8 AROFONDIMENTO potree essere u umero rziole? I tl cso ci sreero due umeri p Z e q Z*, e potremmo scrivere p q dove l frzioe p q é ridott i miimi termii. Questo vuole che dire che p e q o ho dei divisori i comue. L'ugugliz rime ver se mettimo l qudrto si il termie di siistr che il termie di destr, cioè p q p q, cioè p p. q q Iterpretimo or questo risultto ci soo due umeri iteri p e q che soddisfo l'ultim ugugliz? Visto che p e q o ho dei divisori i comue, il resto dell divisioe euclide o potrà mi essere ullo e quidi l'ultim ugugliz o é verifict d essu p e essu q presi tr i umeri iteri. Di coseguez, o essedoci questi p e q o é possiile scrivere come frzioe.

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