Dalle bische clandestine agli algoritmi stocastici: la vita e gli amori della signorina Fortuna

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1 Dalle bische clandestine agli algoritmi stocastici: la vita e gli amori della signorina Fortuna Fabio Fagnani Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino p.

2 Una lezione sulla probabilità La genesi: una breve introduzione storica. Gli strumenti della probabilità. Alcuni errori comuni. Alcune applicazioni più avanzate. p.

3 La genesi della probabilità Nasce nelle bische clandestine della Francia seicentesca. Ha una data di nascita ufficiale: il Un importante precursore: Cardano, Liber de Ludo Aleae, 1520, pubblicato nel p.

4 Che cosa accadde nel 1654? p.

5 Che cosa accadde nel 1654? Un gioco delle bische parigine: La casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 4 volte un dado, ottenga almeno una volta 6. Questo gioco è favorevole alla casa che in media vince il 52% delle volte. p.

6 Che cosa accadde nel 1654? Un gioco delle bische parigine: La casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 4 volte un dado, ottenga almeno una volta 6. Questo gioco è favorevole alla casa che in media vince il 52% delle volte. Una variante di Antoine Gombauld Chevalier de Méré: la casa scommette alla pari con un giocatore che quest ultimo, lanciando per 24 volte una coppia di dadi, ottenga almeno una volta il doppio 6. p.

7 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: p.

8 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; p.

9 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); p.

10 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); lanciando la coppia di dadi 6 volte di più (24 = 6 4) si dovrebbe controbilanciare l effetto di considerare un evento meno probabile di un fattore 6. p.

11 Che cosa accadde nel 1654? Anche questo gioco, secondo il de Méré, dovrebbe essere leggermente favorevole alla casa: 6 risultati possibili lanciando un dado: la probabilità che esca il 6 è 1/6; 36 risultati possibili lanciando due dadi: la probabilità che esca il doppio 6 è 1/36 (6 volte più bassa); lanciando la coppia di dadi 6 volte di più (24 = 6 4) si dovrebbe controbilanciare l effetto di considerare un evento meno probabile di un fattore si dovrebbe avere quindi la stessa probabilità. p.

12 Che cosa accadde nel 1654? E invece no! Quest ultimo gioco non è favorevole alla casa, ma al giocatore. Ne era consapevole il de Méré, non è chiaro se per averlo provato a sue spese o per qualche intuizione teorica. Decise di parlarne con un brillante francese dell epoca, Blaise Pascal che risolse il problema postogli dal de Méré provando anche che con 25 lanci il gioco sarebbe allora stato favorevole alla casa. p.

13 Lo sviluppo successivo Con Pascal, Fermat, Huygens, Leibnitz, Bernoulli si sviluppa la probabilità. Per la fine del 1600 è già una teoria autonoma. p.

14 Lo sviluppo successivo Con Pascal, Fermat, Huygens, Leibnitz, Bernoulli si sviluppa la probabilità. Per la fine del 1600 è già una teoria autonoma. Altri fondamentali contributi: Laplace, Poisson, De Moivre, Gauss Laplace 1812: E davvero notevole che una scienza nata dall osservazione dei giochi d azzardo sia divenuta l oggetto più importante della umana conoscenza! p.

15 Lo sviluppo successivo Con Pascal, Fermat, Huygens, Leibnitz, Bernoulli si sviluppa la probabilità. Per la fine del 1600 è già una teoria autonoma. Altri fondamentali contributi: Laplace, Poisson, De Moivre, Gauss Laplace 1812: E davvero notevole che una scienza nata dall osservazione dei giochi d azzardo sia divenuta l oggetto più importante della umana conoscenza! Poi, per oltre 100 anni, fino al 1930 la probabilità quasi scompare dai circoli matematici. p.

16 Lo sviluppo successivo Il XX secolo consacra definitivamente la probabilità: Le spettacolari applicazioni alla fisica di Maxwell, Boltzmann, Einstein. Le nuove applicazioni alla genetica, informatica, teoria delle comunicazioni, modelli finanziari. Status di disciplina matematica autonoma. p.

17 Lo sviluppo successivo Il XX secolo consacra definitivamente la probabilità: Le spettacolari applicazioni alla fisica di Maxwell, Boltzmann, Einstein. Le nuove applicazioni alla genetica, informatica, teoria delle comunicazioni, modelli finanziari. Status di disciplina matematica autonoma. Tuttavia, le idee probabilistiche penetrano scarsamente nella cultura comune... p.

18 Quando serve la probabilità? p.

19 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. p.

20 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. p.

21 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati. p.

22 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati. Estrazione di una pallina da un urna contenente palline rosse, bianche, nere e gialle: 4 possibili risultati. p.

23 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Lancio di una moneta: 2 possibili risultati T o C. Lancio di un dado: 6 possibili risultati. Estrazione di una pallina da un urna contenente palline rosse, bianche, nere e gialle: 4 possibili risultati. Numero di connessioni ad un server in un giorno. p.

24 p. 1 Quando serve la probabilità? La probabilità interviene ogni volta che effettuiamo, assistiamo ad un esperimento l esito del quale non è completamente determinato a priori e può avere un certo numero di diversi risultati. Il modello probabilistico serve a descrivere la nostra mancanza di informazione, la nostra ignoranza su un fenomeno e prescinde dalla causa di tale ignoranza.

25 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari.

26 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari. L insieme Ω negli esempi precedenti: Lancio di una moneta: Ω = {T, C}. Lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Estrazione dall urna: Ω = {R, B, N, G}. Numero di connessioni: Ω = N = {0, 1, 2, 3,... }.

27 p. 1 Il modello probabilistico Si fissa un insieme che contenga come elementi i possibili esiti dell esperimento sotto considerazione. Questo insieme verrà generalmente indicato con il simbolo Ω e chiamato spazio degli eventi elementari. Ad ogni evento elementare ω Ω si associa un numero p(ω): la probabilità che si verifichi ω. p(ω) 0 ω Ω p(ω) = 1

28 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)?

29 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Ipotesi frequentista. In base ad informazioni statistiche sull esperimento Es.: se l evento ω accade 37 volte su 100, si pone p(ω) = 37/100.

30 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Ipotesi frequentista. In base ad informazioni statistiche sull esperimento Es.: se l evento ω accade 37 volte su 100, si pone p(ω) = 37/100. Ipotesi classica. Ragionamenti di simmetria: tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilità. Se Ω ha N elementi ( Ω = N), si pone p(ω) = 1/N qualunque sia ω Ω.

31 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)?

32 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Moneta Ω = {T, C} p(t) = p(c) = 1/2

33 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Dado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} p(ω) = 1/6, ω = 1, 2,..., 6

34 p. 1 Il modello probabilistico Come si sceglie la probabilità p(ω)? Connessioni Ω = N p(ω) =? ipotesi frequentista,...

35 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità.

36 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. La probabilità di eventi complessi: A Ω p(a) = p(ω) ω A

37 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. Caso di ipotesi classica: p(a) = ω A p(ω) = A Ω = casi favorevoli casi possibili.

38 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. Caso di ipotesi classica: p(a) = ω A p(ω) = A Ω = casi favorevoli casi possibili. Urna Ω = {R, B, N, G}

39 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. Caso di ipotesi classica: p(a) = ω A p(ω) = A Ω = casi favorevoli casi possibili. Urna Ω = {R, B, N, G} Composizione dell urna: 3 palline rosse, 4 bianche, 1 nera, 2 gialle. Totale 10 palline.

40 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. Caso di ipotesi classica: p(a) = ω A p(ω) = A Ω = casi favorevoli casi possibili. Urna Ω = {R, B, N, G} Composizione dell urna: 3 palline rosse, 4 bianche, 1 nera, 2 gialle. Totale 10 palline. p(r) = 3 10, p(b) = 4 10, p(n) = 1 10, p(g) = p. 1

41 p. 1 Il calcolo delle probabilità (Ω, p(ω)) spazio delle probabilità. Regola del complementare: p(a c ) = 1 p(a)

42 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o. Ripetiamo l esperimento k volte e annotiamo in ordine i risultati ottenuti.

43 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o. Ripetiamo l esperimento k volte e annotiamo in ordine i risultati ottenuti. Otteniamo una sequenza ordinata di k elementi di Ω o : (ω 1, ω 2,..., ω k ) dove ω i indica l esito dell i-esimo esperimento.

44 p. 1 Esperimenti ripetuti Esperimento base con risultati nell insieme Ω o. Ripetiamo l esperimento k volte e annotiamo in ordine i risultati ottenuti. Otteniamo una sequenza ordinata di k elementi di Ω o : (ω 1, ω 2,..., ω k ) dove ω i indica l esito dell i-esimo esperimento. NOTAZIONE: Ω = Ω k o = {(ω 1, ω 2,..., ω k ) ω 1,... ω k Ω o } Ω o = N o, Ω k o = N k o.

45 p. 1 Esperimenti ripetuti Che probabilità su Ω k o?

46 p. 1 Esperimenti ripetuti Che probabilità su Ω k o? Se gli eventi in Ω 0 sono equiprobabili e i vari esperimenti sono tra loro indipendenti è logico optare per l ipotesi classica: (N o = Ω o ) p(ω 1,... ω k ) = 1 N k o

47 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6?

48 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6}

49 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6}

50 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili =

51 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 4 volte un dado si ottenga almeno una volta 6? Ω 0 = {1, 2,..., 6}, Ω = Ω 4 0. A = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) almeno un ω i = 6} A c = {(ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 ) ω i 6} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili = p(a) = 1 p(a c ) = p. 1

52 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)?

53 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)}

54 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)}

55 p. 1 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili =

56 Ritorno al 1654 Qual è la probabilità che lanciando per 24 volte una coppia di dadi si ottenga almeno una volta (6, 6)? Ω 0 = {1, 2,..., 6} 2, Ω = Ω A = {(ω 1,..., ω 24 ) almeno un ω i = (6, 6)} A c = {(ω 1,..., ω 24 ) ω i (6, 6)} p(a c ) = casi favorevoli casi possibili = p(a) = 1 p(a c ) = p. 1

57 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré?

58 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte.

59 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( ) 4

60 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( secondo caso: ω = (6, 6), p = 1/36, k = 24. ) 4 p(non accade mai ω) = = ( ) 24

61 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. primo caso: ω = 6, p = 1/6, k = 4. p(non accade mai ω) = = ( ) 4 = (1 p) k secondo caso: ω = (6, 6), p = 1/36, k = 24. p(non accade mai ω) = = ( ) = (1 p) k

62 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. p(non accade mai ω) = (1 p) k

63 p. 2 L errore del De Méré. Era così sbagliato il ragionamento del De Méré? In entrambi i casi si sta aspettando l accadimento di un certo evento ω che ha probabilità p(ω) = p e si ripete l esperimento k volte. p(non accade mai ω) = (1 p) k Per la regola del complementare, p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k

64 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(p) = (1 p) k

65 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(p) = (1 p) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kp

66 p. 2 L errore del De Méré. Consideriamo f(p) = (1 p) k La retta tangente in (0, f(0)) è: y = 1 kp (1 p) k 1 kp per p piccoli

67 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k

68 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk)

69 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) pk

70 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36

71 p. 2 L errore del De Méré. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k 1 (1 pk) Negli esempi: pk p = 1/6, k = 4 p = 1/36, k = 24 4/6 = 24/36 Sono eguali nell approssimazione!...de Méré non aveva sbagliato poi di tanto.

72 p. 2 Allarghiamo lo sguardo. Un esperimento ripetuto k volte. L evento ω ha probabilità p (piccola) di accadere. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k pk

73 p. 2 Allarghiamo lo sguardo. Un esperimento ripetuto k volte. L evento ω ha probabilità p (piccola) di accadere. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k pk Se k è sufficientemente grande (dell ordine di 1/p), questa probabilità sarà significativa.

74 p. 2 Allarghiamo lo sguardo. Un esperimento ripetuto k volte. L evento ω ha probabilità p (piccola) di accadere. p(accade almeno una volta ω) = 1 (1 p) k pk Se k è sufficientemente grande (dell ordine di 1/p), questa probabilità sarà significativa. Prima o poi anche gli eventi improbabili accadono. CASO + TEMPO QUALUNQUE COSA

75 p. 2 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca.

76 p. 2 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca. Supponiamo che il 53 non esca per 17 estrazioni. Possiamo dedurne che a questo punto la sua probabilità di uscita è più alta?

77 p. 2 Un grave errore. La probabilità che esca il 53 nella ruota di Venezia è p = 5 90 = 1 18 Quindi in 18 estrazioni c è buona probabilità che esca. Supponiamo che il 53 non esca per 17 estrazioni. Possiamo dedurne che a questo punto la sua probabilità di uscita è più alta? Assolutamente no! Le estrazioni non hanno memoria. Ogni volta si ricomincia da capo!

78 p. 2 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni.

79 p. 2 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) =

80 p. 2 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) = Un approssimazione: la probabilità che in 182 estrazioni ci sia un numero che non esce mai è circa 90 p 1/400.

81 p. 2 Un grave errore. Il 53 non è uscito nella ruota di Venezia per 182 estrazioni. La probabilità che in 182 estrazioni questo accada è ( p = 1 18) = Un approssimazione: la probabilità che in 182 estrazioni ci sia un numero che non esce mai è circa 90 p 1/400. Quindi, ripetendo l esperimento per circa 400 volte, è probabile che capiti.

82 p. 2 Un grave errore. In altre parole, in = estrazioni, è altamente probabile che ci sia l assenza di un numero per 182 estrazioni consecutive.

83 p. 2 Un grave errore. In altre parole, in = estrazioni, è altamente probabile che ci sia l assenza di un numero per 182 estrazioni consecutive. Se si considerano le estrazioni fatte in Italia in oltre 130 anni di lotto, si vede che ci si va abbastanza vicini.

84 p. 2 Dal sito tutti i grandi giochi, il Lotto ha molte anime: se è vero, infatti, che è semplicissimo fare una giocata, è altrettanto vero che le possibilità di gioco sono moltissime: approfondendo la conoscenza del Gioco del Lotto si entra in un mondo complesso, affascinante, dalle mille sfumature.... Come negli Scacchi o nei giochi di strategia, insomma, le regole necessarie per iniziare sono poche e alla portata di tutti, ma le possibili evoluzioni, le tecniche, le filosofie, le meccaniche avanzate sono innumerevoli.

85 p. 2 Il caso può generare qualunque cosa. Il prezzo sono i tempi necessari. E davvero sempre così?

86 p. 2 L appuntamento 100 persone (agenti) sono sparse in un territorio e si vogliono incontrare (rendez-vous). Ciascuno ha a disposizione un GPS, un cellulare, la lista dei numeri telefonici degli altri. Quale è la strategia per incontrarsi tutti il più velocemente possibile?

87 p. 3 L appuntamento: strategia I Agenti etichettati con un numero i = 1, 2,..., 100. (x i, y i ) posizione dell agente i al tempo iniziale. Ciascuno spedisce la propria posizione a tutti gli altri. Ciascuno media la propria posizione con quelle di tutti gli altri: x A = (x 1 + x x 100 ) y A = (y 1 + y y 100 ) Ciascuno si muove verso la posizione (x A, y A ).

88 L appuntamento: strategia I Vantaggi: Il punto d incontro (baricentro) è quello che rende minimo gli spostamenti globali. In un solo colpo si arriva al rendez-vous. Svantaggi: 99 trasmissioni ciascuno per un totale di 9900 trasmissioni. 100 operazioni ciascuno per un totale di operazioni. La complessità di calcolo e di trasmissione cresce quadraticamente nel numero degli agenti! p. 3

89 p. 3 L appuntamento: strategia II (x i, y i ) posizione dell agente i al tempo iniziale. 1. L agente i spedisce la propria posizione all agente i + 1 (100 la spedisce ad 1). 2. L agente i media la propria posizione con quella che ha ricevuto da i 1: x + i = 1 2 (x i + x i 1 ) y + i = 1 2 (y i + y i 1 ) 3. L agente i si muove in (x + i, y+ i ). 4. GOTO 1. Si ipotizza che gli agenti siano sincronizzati.

90 p. 3 L appuntamento: strategia II (x i (t), y i (t)) posizione dell agente i dopo t iterazioni. Vantaggi: (x i (t), y i (t)) converge a (x A, y A ). In ogni iterazione ci sono solo 100 trasmissioni e 200 operazioni complessive. Svantaggi: Velocità di convergenza

91 p. 3 Strategia II: l analisi teorica Una misura di distanza dal rendez-vous (t) = 100 i=1 [(x i (t) x A ) 2 + (y i (t) y A ) 2 ]. Fattore di contrazione: ( (t + 1) ρ (t)) ρ = π 2 cos

92 p. 3 Strategia II: l analisi teorica Una misura di distanza dal rendez-vous (t) = 100 i=1 [(x i (t) x A ) 2 + (y i (t) y A ) 2 ]. Fattore di contrazione: ( (t + 1) ρ (t)) ρ = π 2 cos Tempo di dimezzamento: ( (τ) 1/2 (0)) τ = log 2 log ρ 690,

93 p. 3 Strategia II: l analisi teorica Una misura di distanza dal rendez-vous (t) = 100 i=1 [(x i (t) x A ) 2 + (y i (t) y A ) 2 ]. Fattore di contrazione: ( (t + 1) ρ (t)) ρ = π 2 cos Tempo di dimezzamento: ( (τ) 1/2 (0)) τ = log 2 log ρ 690, Numero trasmissioni: = 69000!

94 p. 3 Strategia II: l analisi teorica Il caso generale 100 N: Fattore di contrazione: ρ = cos 2π N 1 π2 N 2. Tempo di dimezzamento: τ = log 2 log ρ CN2, Numero trasmissioni: τ N = CN 3!! La complessità di calcolo e di trasmissione cresce con il cubo del numero degli agenti!

95 p. 3 L appuntamento: una variante L architettura di comunicazione toroidale: ρ 1 C N, τ N, Numero trasmissioni: N 2.

96 p. 3 L appuntamento: strategia III 1. L agente i sceglie a caso, dalla lista, un agente j e gli spedisce la propria posizione. 2. L agente j media la propria posizione con quella che ha ricevuto da i: x + j = 1 2 (x j + x i ) y + j = 1 2 (y j + y i ) 3. L agente j si muove in (x + j, y+ j ). 1. GOTO 1. Si ipotizza che gli agenti siano sincronizzati.

97 p. 3 L appuntamento: strategia III Ecco come si comporta: gossip gossip Vantaggi: In ogni iterazione ci sono solo 100 trasmissioni e 300 operazioni complessive. E veloce: ρ 1/2 (indipendentemente dal numero di agenti)! Svantaggi: Non converge a (x A, y A ).

98 p. 3 Confronto quantitativo Completo : ρ = 0 τ = 1 Trasmiss. N 2 Ciclo : ρ 1 C N 2 τ N 2 Trasmiss. N 3 Toro : ρ 1 C N τ N Trasmiss. N 2 Gossip : ρ 1 2 τ = 1 Trasmiss. N

99 p. 3 Confronto quantitativo Completo : ρ = 0 τ = 1 Trasmiss. N 2 Ciclo : ρ 1 C N 2 τ N 2 Trasmiss. N 3 Toro : ρ 1 C N τ N Trasmiss. N 2 Gossip : ρ 1 2 τ = 1 Trasmiss. N Gossip: Distanza dal baricentro: 1 N 2!

100 Ma è un vero problema? p. 4

101 p. 4 Ma è un vero problema? Multi-vehicle system: Gli agenti sono robot che si devono incontrare in un punto, coordinandosi tra loro, senza un leader, senza un supervisore.

102 p. 4 Ma è un vero problema? Multi-vehicle system: Gli agenti sono robot che si devono incontrare in un punto, coordinandosi tra loro, senza un leader, senza un supervisore. Computer network: Gli agenti sono processori/computer che si scambiano lavori da eseguire in modo da equilibrare le code e massimizzare le prestazioni.

103 p. 4 Ma è un vero problema? Multi-vehicle system: Gli agenti sono robot che si devono incontrare in un punto, coordinandosi tra loro, senza un leader, senza un supervisore. Computer network: Gli agenti sono processori/computer che si scambiano lavori da eseguire in modo da equilibrare le code e massimizzare le prestazioni. Sensor network: Gli agenti sono sensori buttati a caso in una zona e devono mediare le misure che hanno fatto per aggregare i dati e filtrare il rumore

104 p. 4 Ma è un vero problema? Controllo coordinato di un multi-vehicle system.

105 p. 4 Ma è un vero problema? Controllo coordinato di un multi-vehicle system. Molti agenti (robot)

106 p. 4 Ma è un vero problema? Controllo coordinato di un multi-vehicle system. Molti agenti (robot) Obbiettivo comune: incontro, muoversi con la stessa velocità,...

107 p. 4 Ma è un vero problema? Controllo coordinato di un multi-vehicle system. Molti agenti (robot) Obbiettivo comune: incontro, muoversi con la stessa velocità,... Comunicazioni ridotte

108 p. 4 Ma è un vero problema? Controllo coordinato di un multi-vehicle system. Molti agenti (robot) Obbiettivo comune: incontro, muoversi con la stessa velocità,... Comunicazioni ridotte Mancanza di un leader nel gruppo.

109 p. 4 Ma è un vero problema? Controllo coordinato di un multi-vehicle system. Molti agenti (robot) Obbiettivo comune: incontro, muoversi con la stessa velocità,... Comunicazioni ridotte Mancanza di un leader nel gruppo. Si cerca di riprodurre fenomeni presenti nel comportamento degli animali in gruppo.

110 I comportamenti coordinati p. 4

111 I comportamenti coordinati p. 4

112 I comportamenti coordinati p. 4

113 I comportamenti coordinati p. 4

114 I comportamenti coordinati p. 4

115 p. 4 Il gruppo di ricerca Giacomo Como, Paolo Frasca, Federica Garin, Valentina Martina, Chiara Ravazzi (Laurea e Dottorato Ingegneria Matematica PoliTO) Sophie Fosson (Perfezionamento SNS) Gli argomenti di ricerca: Algoritmi stocastici gossip, controllo coordinato. Teoria dell informazione, teoria dei codici. fabio.fagnani@polito.it fagnani/