M. Cerini - R. Fiamenghi - D. Giallongo. Quaderno operativo 2. Trevisini Editore

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1 M. erini - R. Fiamenghi - D. Giallongo Quaderno operativo Trevisini Editore

2 La pubblicazione di un libro è un operazione complessa, che richiede numerosi controlli: sul testo, sulle immagini e sulle relazioni che si stabiliscono tra essi. L esperienza suggerisce che è praticamente impossibile pubblicare un libro privo di errori. Saremo quindi grati ai lettori che vorranno segnalarceli. Nel caso di eventuali errori od omissioni nelle citazioni delle fonti, la asa Editrice provvederà, nella prossima edizione, alle rettifiche che verranno comunicate dagli aventi diritto. Nei casi in cui non è stato possibile reperire chi potesse concedere il permesso di riproduzione, si precisa che la asa Editrice è a disposizione degli aventi diritto. Progetto grafico e impaginazione elettronica: M - Vaprio d dda opertina: reaimmagine - Milano Il contenuto di questo testo rispetta l art. della legge 169 del 0/10/08 e, pertanto, non sarà modificato per anni. PROPRIETÀ LETTERRI RISERVT I diritti di traduzione, riproduzione e di adattamento, totale o parziale, con qualsiasi mezzo, compreso fotocopie in bianco e nero o a colori, sono riservati. 010 asa Editrice Luigi Trevisini S.r.l. Prima edizione: gennaio 010 Edizione: on i tipi della: asa Editrice Luigi Trevisini S.r.l. Via Tito Livio Milano Tel Fax Sito internet: Posta Elettronica:

3 1 I numeri razionali: a esercizi e attivita` per il recupero per il potenziamento Prima cifra soppressa Æ per eccesso Prima cifra soppressa < Æ per difetto Per appossimare si applica la regola PER DIFETTO Il numero approssimato è minore del numero dato PER EESSO Il numero approssimato è maggiore del numero dato Si approssimano NUMERI RZIONLI a Frazioni decimali (il denominatore è potenza di 10) 7,, corrispondono a Numeri decimali limitati Numeri decimali illimitati periodici corrispondono a Frazioni ordinarie (il denominatore non è potenza di 10) 4,,... 7 Periodici semplici (solo periodo),1, 0, Periodici misti (periodo e antiperiodo) 4,7, 1,

4 4 1. I numeri razionali: a recupero Prima di effettuare gli esercizi per il recupero è opportuno che tu riveda la teoria sul libro di testo. 1. ompleta la seguente tabella separando le frazioni decimali da quelle ordinarie ; ; ; 10 ; 40 ; 1000 ; 1 ; ; ; 4 40 ; 180 ; 10. FRZIONI DEIMLI: HNNO PER DENOMINTORE UN POTENZ DI 10 FRZIONI ORDINRIE ; 1 ;. ompleta come negli esempi. ESEMPIO a) Trasforma la frazione 17 in frazione decimale. 0 Dato che 0 = ; è possibile operare la trasformazione; infatti: 0 = 100. Quindi = 0 = b) Trasforma la frazione 1 in frazione decimale. 0 Osserva che 0 = ; quindi non è possibile operare la trasformazione. Infatti non esiste un numero che moltiplicato per 0 lo trasformi in una potenza di 10: 1 è una frazione ordinaria. 0 a) b) 0 0 = =... = c) (osserva che 1= ) d) e) =

5 1. I numeri razionali: a. ompleta come negli esempi. FRZIONE N DEIMLE ORRISPONDENTE 7 : =, : = 4,6 11 : 1 = 0,916 TIPO DI NUMERO DEIMLE n decimale, periodico semplice n decimale, limitato n decimale, periodico misto PERIODO NTIPERIODO / / / ompleta come negli esempi. NUMERO DEIMLE FINITO 1,7 0,6,...,06 10, 0,0 0,08 4,07 FRZIONE DEIMLE nalizzando la fattorizzazione del denominatore delle seguenti frazioni, stabilisci il tipo di numero decimale originato da ciascuna di esse. Procedi come negli esempi. (Ricordati di semplificare le frazioni). 7 ESEMPIO a) 14 7 = 1= la fattorizzazione del denominatore contiene il e un altro fatore; il numero decimale è periodico misto; 41 1 b) 1 = la fattorizzazione del denominatore contiene solo il ; il numero decimale è limitato; 9 c) = 11= 11 la fattorizzazione del denominatore presenta né il né il ; il numero decimale è periodico semplice. 7 9 ; 1 0 ; ; 0 44 ; 6 ; 7 ; 60 ; 18 ; 11 ; 8 ; 6 ; ; 1 1 ; ; 6. Esegui le divisioni indicate dalle frazioni dell esercizio precedente e verifica l esattezza delle tue previsioni. Procedi come è indicato nei seguenti esempi. a) 7 7: 1= 0, 8 1 numero decimale periodico misto; previsione esatta. b) 1 1: = 0, 4687 numero decimale limitato; previsione esatta. 16

6 6 1. I numeri razionali: a 7. ompleta la seguente tabella. Procedi come nell esempio. FRZIONE DT FRZIONE RIDOTT I MINIMI TERMINI FTTORIZZZIONE DEL DENOMINTORE TIPO DI NUMERO DEIMLE =... 7 = Esegui le divisioni indicate dalle frazioni dell esercizio precedente e verifica l esattezza delle tue previsioni. 9. Determina la frazione generatrice dei seguenti numeri periodici. Segui le indicazioni. a) 4,18 = = b) 7,8 = = c),74 =... d) 10,4 = = e) 1,1 = = f),6 = Determina la frazione generatrice dei seguenti numeri periodici semplici ,; 0,7;,6; 1,; 0,07 11.,1; 0,6; 1,6; 0,7;, ; ; ; ;... Determina la frazione generatrice dei seguenti numeri periodici misti. 1. 1,48; 0,6; 0,4;,076; 1,61 67 ;...; ,08; 1,46; 0,149; 0,14;,01 49 ; ;

7 1. I numeri razionali: a 7 Risolvi le seguenti espressioni seguendo le indicazioni. 14. (,6 0, + 1,6) 0, scrivi la frazione generatrice di ogni numero decimale: esegui i calcoli e le semplificazioni: 4 9 esegui la moltiplicazione e poi l addizione nelle tonde:... semplifica ed esegui l ultima moltiplicazione: , 7 trasforma i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici: 1., - [(0,6) (1,) ] : : completa le trasformazioni e semplifica: 48 9 svolgi le potenze: = 8 7 esegui la moltiplicazione nelle parentesi quadre e poi la divisione:... risolvi la sottrazione e semplifica il risultato: : 7 : Procedendo come negli esercizi precedenti, risolvi le seguenti espressioni. 16. (0,8 + 0, + 0,6) [4] 17. (0,8 + 0,16 + 0,0) : (0,6) (0,9 : 0,8-1,6 :,7) [1] 19. {, - [(0,1 + 0,6) : 0,46 + 0,7] :,} 0. 1, : 11-0,8 : 1,6 + 0,8 : 1,16 8 { } 1. 0, + [( 04, + 06, ): 0, + 1, 0, ]:

8 8 1. I numeri razionali: a. ompleta la seguente tabella effettuando le approssimazioni richieste. NUMERO DEIMLE PPROSSIMZIONE MENO DI 0,1 MENO DI 0,01 MENO DI 0,001 6,48 6, perché si sopprime 6,4 perché si sopprime 6,44 perché si sopprime 8,691 11,984 7,14 8,686. ompleta le seguenti approssimazioni del numero 8,694. ai decimi Æ 8,7 perché... la cifra soppressa è 9 > ai centesimi Æ 8,69 perché... 4 > ai millesimi Æ... perché... = ai decimillesimi Æ pprossima ai decimi i seguenti numeri decimali. 1,9 Æ... 4,1 Æ... 1,871 Æ... 8, Æ...,14 Æ... 1,67 Æ... 86, Æ... 6,471 Æ.... pprossima ai centesimi i seguenti numeri decimali.,781 Æ... 11,786 Æ...,184 Æ... 1,67 Æ... 8,7 Æ... 1,701 Æ... 0,46 Æ... 4,4 Æ Procedi come nell esempio per approssimare ai millesimi i seguenti numeri periodici. ESEMPIO 17,8 = 17, Æ 17,84 perché la prima cifra soppressa è 8 >,67474,67,674 =... Æ... 0,4 =... 16,7 =... Æ... 9,048 =...,106 =... 1,07 = Procedi come nell esempio per approssimare ai centesimi i seguenti numeri periodici: ESEMPIO 4,17 = 4, Æ 4,17 perché la prima cifra soppressa è 1 < 4,6 = 0, Æ 0,7 perché la prima cifra soppressa è 6 > 1,81 = 1, Æ 1,8 perché la prima cifra soppressa è 8 > 7,18 = 7, Æ... 1,71 =... 4,7 = 4, Æ... 7,6 =... 0,84 =...,14 =...

9 1. I numeri razionali: a 9 Osservazioni sulle regole per trasformare i numeri decimali in frazioni Ricerca della frazione generatrice di un numero decimale limitato Per ottenere la frazione generatrice di un numero decimale limitato si scrive il numero in forma polinomiale e poi si seguono i calcoli. Osserva i seguenti esempi: 1.,1 in forma polinomiale è: ; eseguendo i calcoli si ottiene: = 1 = potenziamento Numero di partenza senza la virgola 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero di partenza 4.,4 in forma polinomiale è: , eseguendo i calcoli si ottiene: = 4 = Più velocemente si possono ottenere gli stessi risultati moltiplicando e dividendo il numero decimale per un opportuna potenza di 10:, , 17 1= = = , , 17 4= = = Ricerca della frazione generatrice di un numero periodico semplice 1. onsideriamo il numero periodico semplice 1,. Moltiplicando per 10 si ha: 1, 10 = 1,... Moltiplicando per 1 si ha: 1, 1 = 1,... Possiamo scrivere: 10 1, - 1 1, = 9 1, ovvero 1, ,... = 1 Quindi: 9 1, = 1 da cui si ottiene: (1 1) numero senza il periodo e la virgola diminuito del numero formato dalle cifre che precedono il periodo 1, = 1 9 Un nove, cioè tanti nove quante sono le cifre che formano il periodo

10 10 1. I numeri razionali: a. onsideriamo il numero periodico semplice 0,. Moltiplicando per 100 si ha: 0, 100 =,... Moltiplicando per 1 si ha: 0, 1 = 0,... Pertanto possiamo scrivere: 100 0, - 1 0, = 99 0, ovvero, ,... = Quindi: 99 0, = da cui si ottiene: 0, = 99 ( 0) numero senza il periodo e la virgola diminuito del numero formato dalle cifre che precedono il periodo Due nove, cioè tanti nove quante sono le cifre che formano il periodo Ricerca della frazione generatrice di un numero periodico misto onsideriamo il numero periodico misto,16. Moltiplicando per 100 si ottiene 16, Moltiplicando per 10 si ottiene 1, Possiamo anche scrivere: 100,16-10,16 = 90,16 ovvero 16, , = 19 Quindi: 90,16 = 19 da cui si ottiene:,16 = Esercizi (16 1) numero senza il periodo e la virgola diminuito del numero formato dalle cifre che precedono il periodo Un nove, cioè tanti nove quante sono le cifre che formano il periodo. Uno zero, cioè tanti zeri quante sono le cifre che formano l antiperiodo Ricerca della frazione generatrice di un numero decimale limitato 1. ompleta procedendo come negli esempi. NUMERO DEIMLE LIMITTO SRITTUR POLINOMILE LOLO , + = = ,6 1,0 Più velocemente: 0, = 0, = = ,7 =... 1,6 =... 1,0 =...

11 1. I numeri razionali: a 11 Ricerca della frazione generatrice di un numero periodico semplice. ompleta inserendo le parti mancanti. a) onsidera il numero periodico semplice,7. Moltiplica,7 per 10: 7, moltiplica,7 per 1:... 10,7-1,7 = 9,7 7, =... quindi 9,7 =... da cui si ottiene: (7 -...)...,7 =... un nove, cioè tanti nove quante sono... b) onsidera il numero periodico semplice,14. Moltiplica,14 per 100: 14, moltiplica,14 per 1=, ,14-1,14 = 99, =... quindi 99,14 =... da cui si ottiene: ( )...,14 =... due nove, cioè tanti nove quante sono.... Procedi come negli esercizi precedenti per ricercare le frazioni generatrici dei numeri periodici semplici: 4,1; 1,; 7,1; 1,81; 0,14 Ricerca della frazione generatrice di un numero periodico misto 4. ompleta inserendo le parti mancanti. onsidera il numero periodico misto 1,1. Moltiplica per 1000 il numero periodico misto 1,1: 11,11... Moltiplica per 10 il numero periodico misto 1,1: ,1-10 1,1 = 990 1,1 11, =... Quindi 990 1,1 =... da cui si ottiene: 1,1 = ( ) due nove, cioè tanti nove quante sono......zero, cioè tanti zero quante sono...

12 1 1. I numeri razionali: a. Procedi come nell esercizio precedente per ricercare la frazione generatrice dei numeri periodici misti 0,147 e,4. Scrivi le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali. 6. 0,; 4,68; 11,1; 90,; 1, ,; 0,7;,6; 1,; 0, ,016; 0,87;,7; 1,06; 0,84. 9.,64; 0,7;,6; 0,10; 0, ; ;... 4 ; ; ; ; ; ;... Risolvi le espressioni con numeri razionali. 10. [(0,1 + 0,09 10) (0, + 0,7) + 1 : ] (0,8 + 0, + 1). [14] 11. [1,16 : (0,8 + 0,) + 0,6 : 0,6] : {[0,8 : (1 + 0,1) + 0,6] 1,7}. 1. [(0,4-0,04-0,04) : 1,97 + 0,81] : [(,64 -,8) : 1,6 + 0,] 1,8-0, ,6-0, [0,7 : 0,46 - (0, + 1, : 0,) : ] - (0,7-0,16 + 0,416) : 6,. 14. [(,4 : 17,1 + 0,7) : 0,97] : {[1,1 : (1 + 0,1)] 1, + 0,} (0,4-0,16-0,04) ( 0, 6, + 16, ) 0, ,. 18, + 0, 1+ 0, 0 8: 0, ( 06, 0, ):( 0, ) 07, ( 0, ) + 0, 87 (, 1 1) : 0, 0, [] ( 0, 7+ 0,, 6): 0, + ( 1 0, ) 06, + 0, 08, ( 1 0, ) 0, 6+ 1 ( 008, + 17, ): 1, 07, 00, : 01, 1, :. 1, : 0, + 14, 0, 7 1, +, , 0, : ( +, ):, + 14, : 07, 0,. 04, 016, 1+ 0, , 1, ( 06, + 018, ): 07, 0, 04, (, 1+, 6) 0, 0

13 La radice quadrata 1 esercizi e attivita` per il recupero per il potenziamento Scomporre in fattori primi Utilizzare un algoritmo onsultare le tavole numeriche a b = a b per calcolarla si può a: b = a: b a n = a n gode di proprietà L RDIE QUDRT a è Una operazione inversa dell elevamento a potenza a b = a b può essere Un numero razionale Un numero irrazionale in particolare è cioè Un numero intero Un numero decimale illimitato non periodico se il radicando è un Quadrato perfetto

14 14. La radice quadrata recupero Prima di effettuare gli esercizi per il recupero è opportuno che tu riveda la teoria sul libro di testo. 1. Stabilisci quali delle seguenti scomposizioni appartengono a dei quadrati perfetti ed estrai la loro radice quadrata. ESEMPIO a) 4 non è un quadrato perfetto perché un esponente () è dispari b) è un quadrato perfetto perché tutti gli esponenti sono pari, allora: 6 4 6: : 4: 7 11 = 7 11 = SI NO 4 = SI NO... 8 SI NO SI NO SI NO SI NO.... Osserva il primo schema e completa il secondo. = 7,41 19 = 4,. ompleta le seguenti frasi. a) Se nell estrazione di radice quadrata l approssimazione richiesta è 0,1 nel risultato ci deve essere... cifra decimale b) Se nell estrazione di radice quadrata l approssimazione richiesta è 0,01 nel risultato ci devono essere... cifre decimali c) Se nell estrazione di radice quadrata l approssimazione richiesta è 0, Utilizzando le tavole numeriche determina la radice quadrata dei seguenti numeri interi minori di 1000 (fai attenzione alle approssimazioni richieste). erca il radicando nella colonna intestata n e la radice quadrata nella colonna n , 784 = = , 7 0, ,01 si richiede l approssimazione ai centesimi radice radicando quadrata , =... 0 = = =... 0, 001 = =... 7 =... 4 = , 0, 001 0,1... = =... 01, 001, 0, 001

15 . La radice quadrata 1. Utilizzando le tavole numeriche determina la radice quadrata dei seguenti numeri interi maggiori di erca il radicando nella colonna intestata n e prendi, come radice quadrata, il numero corrispondente nella colonna n. ESEMPIO 0 = = = = = = = = = = = = = Utilizzando le tavole numeriche determina la radice quadrata dei seguenti numeri decimali. erca il radicando, privato della virgola, nella colonna intestata n e prendi come radice quadrata il numero corrispondente nella colonna n; metti poi la virgola nel risultato. ESEMPIO 67, 4 Æ cerca sulle tavole 674 nella colonna n, prendi come radice 8 e separa una cifra decimale; quindi: 67, 4 = 8, 01, 01, 16, =... 70, 6 = , =... 10, 89 =... 01, 01, 01, 01, 0, 41=... 70, 6 =... 76, =... 4, 01=... 01, 01, 01, 01, 10, 01=... 0, =... 10, 1= , =... 01, 01, 01, 016, =... 01, 001, 009, =..., 7 = , 0, 04 = , 001, 0, 1444 =... 14, 161= ompleta le seguenti frasi, scegliendo tra i termini indicati sotto (non tutti saranno utilizzati): decimali, aggiungendo, tre, togliendo, periodiche, zeri, uno, moltiplicando, due, sottraendo a) Per avere una cifra decimale nel risultato, nel radicando ci devono essere... cifre decimali. b) Per avere... cifre... nel risultato, nel radicando ci devono essere quattro cifre decimali. c) Se nel radicando le cifre decimali sono in numero..., devi pareggiare il numero delle...

16 16. La radice quadrata 8. Determina le radici quadrate dei seguenti numeri (fai attenzione agli zeri da aggiungere e alle approssimazioni richieste). ggiungi uno o tre zeri; cerca il numero sulle tavole nella colonna n (cerca quello che gli si avvicina di più), prendi il numero corrispondente nella colonna n, sistema le cifre decimali. ESEMPIO 01, 7, , 80 ; cerca 780, il quadrato perfetto che lo precede è 704 la cui radice quadrata è ; sistema poi la virgola; quindi: 01, 7, 8 =, 01, 71,... =... 10, 4... =... 46,... =... 1, 8... =... 8,... =... 6,... = , 01, 1,... =... 18,... =... 6, 4... = , 01, 01, 001, 001, 4111,... = ,... =... 66, 9... =... 01, 001, 001, 001, Logaritmo di un numero potenziamento Oltre l estrazione di radice quadrata, esiste un altra operazione inversa dell elevamento a potenza: il logaritmo, il cui simbolo è log. Questa operazione ci permette di trovare l esponente, conoscendo la base e il valore della potenza. Indicando con a la base e con b il valore della potenza, possiamo scrivere: log a b = x che si legge il logaritmo in base a di b è uguale a x. Il logaritmo di un numero è l operazione che consente di trovare l esponente, conoscendo la base e il valore della potenza. ESEMPIO log 81 = x Dobbiamo trovare l esponente da dare a per ottenere 81, cioè risolvere la seguente situazione: x = 81 Poiché 4 = 81 allora log 81 = 4 e si legge logaritmo in base di 81 uguale 4.

17 Esercizi 1. ompleta.. La radice quadrata 17 LOLO LOGRITMO RISULTTO DEL LOGRITMO DELL INOGNIT X log 7 49 = x 7 x = 49 quindi x = log 7 49 = log = x 10 x = 1000 quindi x =... log =... log 8 = x x = 8 quindi x = log 6 6 = x log 4 64 = x ompleta la frase. Il logaritmo è una delle due operazioni... dell elevamento... e permette di trovare... conoscendo... Metti al posto dei puntini il numero opportuno.. log 9 =... log 8 =... log 4 =... log 4 6 = log =... log 18 =... log 6 6 =... log 9 81 =.... log =... log =... log =... log 6 = = log =... log =... log =... log 7 4 = log =... log 6 =... log 4 =... log 1 =... ESEMPIO La scrittura 6... = 16 sotto forma di logaritmo si esprime nel seguente modo: log 6 16 =... Esprimi le seguenti scritture sotto forma di logaritmo = 1... = = = = 1... = = = 196 Risolvi le seguenti espressioni : : [0] 1 0

18 18. La radice quadrata : : : : : + 1 : 1 : 4 ( 1+ 0, ) : 0, , +, :, :, 8 0, : : : x : , : : , 01, : : : , 9 01, [] [1] [] [0] [0,9] [,] [0,86] [1,] [1,1]. Ecco un esempio di come si possa costruire un numero decimale illimitato non periodico (ossia un numero irrazionale) 1, Sapresti aggiungere altre cifre al numero seguendo la legge con cui sono state scritte le cifre decimali?. ostruisci almeno numeri irrazionali in base ad una legge che non consenta il formarsi di un periodo.

19 Rapporti e proporzioni 19 esercizi e attivita` per il recupero per il potenziamento godono della proprietà TENE DI RPPORTI UGULI a : b = c : d = e : f OMPORRE GLI NTEEDENTI E I ONSEGUENTI a : b (a + c + e) : (b + d + f) = c : d e : f antecedente a conseguente b i termini si chiamano uguaglianze tra due rapporti uguaglianze tra tre o più rapporti RPPORTI a : b = r a 1 antecedente c antecedente b 1 conseguente d conseguente b, c medi i termini si chiamano INVERTIRE b : a = d : c PROPORZIONI a : b = c : d godono delle seguenti proprietà PERMUTRE SOMPORRE (a b) : a = (c d) : c oppure (a b) : b = (c d) : d OMPORRE (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d FONDMENTLE b c = a d a, d estremi MEDI a : c = b : d ESTREMI d : b = c : a

20 0. Rapporti e proporzioni recupero Prima di effettuare gli esercizi per il recupero è opportuno che tu riveda la teoria sul libro di testo. 1. onsidera la proporzione seguente e completa le frasi. 1 : 0 = 18 : 0 I medi sono... 1 e 0 sono gli.... Data la seguente proporzione continua, completa le frasi. 49 : 14 = 14 : 4 Gli estremi sono... I due medi (14 e 14) sono uguali e si chiamano... proporzionale.. ompleta le frasi inserendo i termini esatti scelti tra quelli assegnati (non tutti andranno utilizzati). costanti; incognite; prodotto degli estremi; commutativa; continue; quoziente degli estremi; fondamentale; rapporti a) Una proporzione è un uguaglianza tra due... b) Per le proporzioni vale la proprietà... c) In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al... d) Le proporzioni con i due medi uguali si chiamano Risolvi le seguenti proporzioni seguendo le indicazioni. a) x : 8 = 81 : 4 l incognita x è un estremo; per trovare il suo valore devi dividere il prodotto dei medi per l estremo conosciuto. Quindi: x = =... 4 Verifica se il tuo calcolo è esatto: prodotto dei medi: 8 81 =... prodotto degli estremi:... 4 =... se i due prodotti sono uguali a 648, il tuo calcolo è esatto; (in caso contrario, cerca l errore). b) 8 : 6 = x : 6 l incognita è un medio; per trovare il suo valore devi dividere il prodotto degli estremi per il medio conosciuto. Quindi: 6 8 x = 6 = Verifica se il tuo calcolo è esatto: prodotto degli estremi: 8 6 =... prodotto dei medi:...

21 . Rapporti e proporzioni 1 c) 8 : x = x : 18 la proporzione è continua; per calcolare il valore del medio proporzionale devi estrarre la radice quadrata del prodotto degli estremi. Quindi: x = 8 18 =... =... se il tuo calcolo è esatto il valore di x è 1. pplicando le regole, risolvi le seguenti proporzioni e verifica l esattezza dei tuoi calcoli.. x : 1 = 10 : 0 [] 7 : 8 = x : 7 [6] : 1 = x : 6 [4] 10 : 16 = 1 : x [4] 7. x : 70 = 1 : 7 [14] 18 : x = 4 : 16 [1] 8. : x = x : 7 [9] 7 : x = x : 8 [14] : x = x : 9 [1] 7 : x = x : [1] 10. Risolvi le seguenti proporzioni con le frazioni, seguendo le indicazioni. a) x : = : x è un estremo; si devono moltiplicare i medi e dividere il prodotto per l estremo conosciuto. Quindi: x = : = = verifica l esattezza dei tuoi calcoli: prodotto dei medi: 6 1 = 1 prodotto degli estremi:... b) 6 : 1 x = 8 : 4 x è un medio; si devono moltiplicare gli estremi e dividere il prodotto per il medio conosciuto. Quindi: 1... x = : = = verifica: prodotto degli estremi:... prodotto dei medi:... c) 1 x: = : x 4 6 la proporzione è continua; per calcolare il valore di ciascun estremo si deve estrarre la radice quadrata del prodotto dei medi. Quindi: 1 x = = = se il tuo calcolo è esatto il valore della x è. 1

22 . Rapporti e proporzioni Risolvi le seguenti proporzioni e verifica l esattezza dei tuoi calcoli : = x : x : = : ; : = x 7 : : = : x ; : x = x: : x = x: ; 1 7 pplica la proprietà del comporre o quella dello scomporre per risolvere i seguenti esercizi (segui le indicazioni) : 18 = (4 + x) : x applica la proprietà dello scomporre: (4 18) : 18 = (4 + x x) : x risolvi i calcoli nelle tonde e determina il valore di x: : 18 =... : x quindi x = = se i tuoi calcoli sono esatti il valore di x è : 1 = (4 x) : x applica la proprietà del comporre: (6 +...) :... = (4 x + x) : x risolvi i calcoli nelle tonde e determina il valore di x:... :... = 4 : x quindi il valore di x è 6. Procedendo come negli esercizi precedenti, risolvi. 16. (0 + x) : x = 90 : 40 [4] 19. : = (40 x) : x [1] 17. (6 x) : x = : 1 [0] 0. (6 x) : x = 10 : 18 [6] : 8 = (1 + x) : x [6] 1. (7 x) : x = 1 : 7 pplica la proprietà del comporre o quella dello scomporre per risolvere i seguenti problemi con due incognite (segui le indicazioni).. La differenza tra le diagonali di un rombo misura 40 cm e il loro rapporto è 9 ; calcola l area del rombo. onoscendo il rapporto tra le diagonali, si può impostare la seguente proporzione: : D = 9 : conoscendo la differenza delle diagonali, si applica la proprietà dello scomporre: ( D) : D = (...) : D = (D) =? D 40 : D =... : calcola la misura della diagonale D: = 9 D D = = x = =... 48

23 . Rapporti e proporzioni applica ora la proprietà dello scomporre per calcolare la misura della diagonale : ( D) : = (9 ) : = = applica ora la formula per calcolare l area del rombo: ( D) D = = [0 cm ]. Dividi il numero 1 in due parti tali che una sia i dell altra. 7 x = 1 a parte del numero y = a parte del numero x =? x + y = 1 x = y y =? 7 conoscendo il rapporto tra le due parti, puoi impostare una proporzione: x : y =... :... conoscendo la somma delle due parti, applica la proprietà del comporre: (x + y) :... = ( ) : 1 :... =... calcola il valore della prima parte x: x = = applica ora la proprietà del comporre per calcolare il valore della seconda parte y: (x + y) : y = ( ) : y =... verifica che la somma di x e y dia 1: x + y = =... pplica le proprietà del comporre o dello scomporre per risolvere i seguenti esercizi e problemi con due incognite x + y = 40 x = y [4; 16] 7 1. x y = 80 x = y [600; 0] 8 6. La somma di base e altezza di un parallelogramma è 100 m e il loro rapporto è 7. alcola l area del parallelogramma. 1 [7 m ] 7. nna è più alta di hiara di 4 cm; sapendo che il rapporto tra le altezze delle due ragazze è 17, calcola le misure delle due altezze in metri. 0 [1,6 m; 1,60 m]

24 4. Rapporti e proporzioni potenziamento Determinare due numeri conoscendo il loro prodotto e il loro rapporto. Determina il valore di x e y sapendo che il loro rapporto è e che x y = 4. Si imposta la proporzione: x : y = : si moltiplicano i termini del primo rapporto per x (applicando la proprietà invariantiva dei rapporti): (x x) : (x y) = : essendo x y = 4 si ha: x : 4 = : da cui: 4 x = = 6 = 6 si sostituisce il valore di x nella proporzione di partenza e si determina il valore di y: 6 : y = : da cui: 6 y = = 4 alcolo di due numeri conoscendo la somma (o la differenza) dei loro quadrati e il loro rapporto. Determina due numeri x e y sapendo che il loro rapporto è e che x + y = Si imposta la proporzione: x : y = : 6 si elevano al quadrato i termini della proporzione: x : y = : 6 si applica la proprietà del comporre: (x + y ) : x = ( + 6 ) : essendo x + y = 49 si ottiene: 49 : x = ( + 6) : 49 : x = 61 : da cui: 49 x = = = 1 61 si sostituisce il valore di x nella proporzione di partenza e si calcola il valore di y: : y = : 6 da cui y = = 18 Nel caso in cui si conosca il rapporto tra due numeri e la differenza dei loro quadrati, si procede come nel caso precedente, ma applicando la proprietà dello scomporre.

25 Esercizi Risolvi i seguenti esercizi.. Rapporti e proporzioni 1. x x y = 4 y = 16 x y = 1 6 x y = 17 [48 e 9; 6, e 18]. x x y = 704 y = 11 x 4 y = x y = 1 [44 e 16; 9 e 1]. x x y = 960 y = 1 x 16 y = 9 10 x y = 1440 [0 e ; 6 e 40] 4. x x y = 700 y = x 4 y = x y = 84 [4 e 60; 4 e 16] Risolvi i seguenti problemi.. Il rapporto tra le dimensioni di un rettangolo è : 19 e l area è 90 m. Determina le misure delle dimensioni. [10 m; 9 m] 6. L area di un rombo è di 90 cm e il rapporto tra le diagonali è ; determina le loro misure. 4 [1 cm; 1 cm] 7. L area di un triangolo è di 60 dm e la base è i 10 dell altezza; determina le loro misure. [0 dm; 6 dm] 8. L area di un triangolo è di 110 cm e l altezza è della base; determina le loro misure. 7 [40 cm; 6 cm] Risolvi i seguenti esercizi. 9. x + y = 676 x x + y = x : y = 4 : 18. [10 e 4; 14 e 6] y = x + y = 77 x : y = 7 : 1 x + y = 1 x [19 e 4; 1 e 8] y = Determina due numeri x e y tali che il loro rapporto sia 1 e la differenza tra i loro quadrati sia 86. (Risolvi seguendo le indicazioni). 4 La proporzione risolutiva è: x : y = 1 : 4 eleva al quadrato i termini della proporzione: x : y =... :... applica la proprietà dello scomporre: (x y ) : x = (......) :... sostituisci la differenza dei quadrati:... : x = (......) : :... =... :...

26 6. Rapporti e proporzioni da cui: x = = 900 = sostituisci il valore di x nella proporzione di partenza e calcola y:... : y = 1 : 4 da cui: y = = Determina x e y, sapendo che: 1. x : y = 18 : 10 x y = 04; x y = 4 14 y x = 0. [7 e 1; 14 e 49] (nel secondo caso, prima di applicare la proprietà dello scomporre, devi applicare quella...). 1. x : y = 11 : 7 x y = 1800; x y = 9 10 y x = 684. [ e ; 4 e 60] 14. x : y = 1 : 7 x y = 744,8; x y = x y = 1479,87. [,6 e 19,6; 48,6 e 9,7] 1. x x + y = 989; y = x 6 y = 7 10 x + y = 96 [ e 4; 14 e 0] Risolvi i seguenti problemi. 16. L idrogeno (H) e l ossigeno (O) combinandosi nel rapporto 1 a 8 danno origine all acqua. Determina i pesi dell idrogeno e dell ossigeno in 4, kg di acqua. [0, kg e 4 kg] 17. L azoto (N) e l ossigeno (O) combinandosi nel rapporto di 7 a 8 danno origine ad un composto chiamato ossido di azoto (NO ). Determina i pesi dell azoto e dell ossigeno presenti in 9 kg di ossido di azoto. [4, kg; 4,8 kg] 18. Un oggetto è costituito di una lega metallica rame-argento. Determina quanti grammi di rame e quanti di argento ci sono nell oggetto, sapendo che il suo peso è di 1 g e che il rapporto tra la quantità di rame e di argento è 1. [4 g; 90 g]

27 4 La proporzionalità 7 esercizi e attivita` per il recupero per il potenziamento y = k x y h = x Diretta Inversa può essere PROPORZIONLITÀ si applica per risolvere problemi del semplice del composto di ripartizione semplice Matematica finanziaria Diretto Inverso Diretta Inversa Percentuale P : r = N : 100

28 8 4. La proporzionaliltà recupero Prima di effettuare gli esercizi per il recupero è opportuno che tu riveda la teoria sul libro di testo. Rappresenta le seguenti leggi, utilizzando le indicazioni fornite. 1. y = x ompleta la tabella per calcolare i valori di y in funzione di x: x y = x 0 0 = = = = =... Individua i punti che hanno come coordinate i valori delle coppie (x; y) della tabella. ongiungi poi i punti ottenuti.il grafico è una semiretta uscente dall origine (0; 0); quindi la legge è di proporzionalità... y u O x. y = x 6 In questo caso, conviene assegnare alla x dei valori numerici che siano multipli di 6: y 1 u x y = x = = = = O x Individua i punti che hanno come coordinate i valori delle coppie (x; y) della tabella. ongiungi poi i punti ottenuti. nche in questo caso il grafico è una... uscente dall origine; quindi la legge è di...

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