Il simbolo. è è = = = In simboli: Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale. Il radicale. esiste. esiste 0 Il radicale

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1 Radicali 1. Radice n-esima Terminologia Il simbolo è detto radicale. Il numero è detto radicando. Il numero è detto indice del radicale. Il numero è detto coefficiente del radicale. Definizione Sia un numero naturale diverso da zero, la radice n-esima di un numero reale è quel numero reale (se esiste): positivo o nullo che, elevato a n, da come risultato a, se n è pari positivo, negativo o nullo che, elevato a n, da come risultato, se n è dispari In simboli: è è Segno del radicale Sia un numero naturale diverso da zero, il radicale 0.. è h è Condizioni di esistenza del radicale Il radicale esiste 0 Il radicale esiste 1. perché. Anche se esiste la soluzione [ infatti ], si è convenuto di scegliere come radice di indice pari di un numero positivo soltanto la soluzione positiva, perché in matematica ogni operazione deve dar luogo ad un unico risultato. Se si accettassero le due soluzioni + e si perverrebbe al seguente assurdo non esiste perché perché 8 perché 8 5. Le condizioni di esistenza del radicale. Le condizioni di esistenza del radicale sono..: 0 ossia sono..: 7. Le condizioni di esistenza dell espressione letterale irrazionale 8. Le condizioni di esistenza dell espressione letterale irrazionale Infatti: sono..:. sono.. : 7. Matematica 1

2 9. Le condizioni di esistenza del radicale Infatti: > 0 1 < sono.. : 1 < 10. Le condizioni di esistenza dell espressione letterale irrazionale : : 0 < 1 1 < < Infatti: sono: 0 1 Prima proprietà fondamentale 0 è è se 5 0 ossia 5 ( per < 5 il radicale non esiste ) Seconda proprietà fondamentale è è + 0 < perché 1 > perché 1 < < < Matematica

3 < perché + > 0 + perché l indice del radicale è dispari. + perché < 0 Altre proprietà I. II. III. IV. 0 1 V. non ha significato o : 5 o : 5 0 con 0 o : 0 1 con 0 o : 1 o : non ha significato Proprietà invariantiva dei radicali Il valore di un radicale, con radicando positivo o nullo, non cambia moltiplicando o dividendo per uno stesso numero naturale positivo sia l indice del radicale sia l esponente del radicando. In simboli: Dimostrazione Eleviamo i due radicali allo stesso indice : Per la proprietà della potenza di una potenza Per la proprietà fondamentale Per la proprietà della potenza di una potenza ,, Primo membro 1 7 non esiste la condizione di esistenza è 0. Sotto la condizione 0 si ha: : : Secondo membro. il radicale esiste. Per poter applicare la proprietà invariantiva occorre che sia 0. Distinguiamo pertanto i seguenti due casi: se 0 se < 0 In conclusione:. 5. il radicale esiste. Per poter applicare la proprietà invariantiva occorre che sia 0. Distinguiamo pertanto i seguenti due casi: se 0 In conclusione: + 0 < 0 se < 0 Matematica

4 Semplificazione di un radicale Un radicale si dice irriducibile se l indice del radicale e l esponente del radicando sono primi tra loro. Per semplificare un radicale, con radicando positivo o nullo, occorre: 1. dividere l indice del radicale e l esponente del radicando per il loro M.C.D.. verificare le condizioni di esistenza e la concordanza dei segni dei due membri dell uguaglianza. 1. Il radicale esiste. Per poter effettuare la semplificazione occorre che sia 0. Distinguiamo pertanto i seguenti due casi: se 0 se < 0 essendo In conclusione: + 0 < 0. Il radicale esiste. Per poter effettuare la semplificazione occorre che sia 0. Distinguiamo pertanto i seguenti due casi: se 0 se < 0 essendo In conclusione: + 0 < 0 ( > 0 ) ( > 0 ). Il radicale esiste per 0 ossia per 0. Sotto tali condizioni si può effettuare la semplificazione In conclusione: con 0.. Il radicale esiste. Per poter effettuare la semplificazione occorre che sia 0. Distinguiamo i due casi: se 0 Regola pratica se < 0 In conclusione:. Per la semplificazione di un radicale è utile impiegare la seguente regola pratica: utilizzare il valore assoluto quando: aggiungere il C.E. quando:.. : è irriducibile è irriducibile perché C. E. : 0 non esiste, perché 8 < 0 5 perché 7 e... 5; 1 8 la scrittura la scrittura e... ; 1 8 è errata, perché 8 è evidentemente errata. Matematica 0 mentre 8 < 0

5 essendo 1 < a a + 9 a a 1 1 con C. E. : C. E.: perchè 5 < 0 Riduzione di radicali allo stesso indice Per ridurre più radicali allo stesso indice occorre: 1. semplificare i radicali. determinare il m.c.m. degli indici dei radicali. applicare la proprietà invariantiva in modo da trasformare ciascun radicale in uno equivalente avente per indice il m.c.m. degli indici dei radicali. 1. a. 9a ; 5 a ; 8a a... ; 8 a. ; ; ; 5... ; a ; a ; a ; a ; 5 ; a ; con C.E.: 0. 1 ; 5 ; con C.E.: 1 1 Inoltre il radicale cubico 5 cambia segno in tale intervallo. 5 0 per 5 5 < 0 per 1 < 5 Pertanto si hanno i seguenti due casi : Per 5 1 ; + 5 ; Per 1 < 5 1 perché ; 5 5 ; 5 con ; 1 con C.E.: 1 Inoltre cambia segno in tale intervallo. 0 per < 0 per 1 < Pertanto: per + ; 1 Per 1 < ; 1 Confronto di radicali Fra due radicali positivi aventi lo stesso indice, il maggiore è quello che ha il radicando maggiore < 7 7 < 5 e e... ; ; 8 e e 9 81 > 8 < 18 Matematica 5

6 . Moltiplicazione e divisione di radicali Moltiplicazione di radicali Nell ipotesi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali, il prodotto di due radicali aventi lo stesso indice è uguale al radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi. In simboli: con 0 0 è un uguaglianza errata. Perché? 8. con C.E.: 0 0 ossia. 9. Trasformare il radicale nel prodotto di due radicali. C.E.: 0 ; Pertanto per 0 si ha 0 oppure si può scrivere: C.E.: 0 Divisione di radicali Nell ipotesi che siano verificate le condizioni di esistenza dei radicali, il quoziente dei due radicali aventi lo stesso indice è uguale al radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi. In simboli: > : : con C.E.: 0 > 0 ossia >. Matematica

7 . Trasporto sotto e fuori dal segno di radice Trasporto di un fattore dentro al segno di radice di indice dispari Per trasportare un fattore esterno sotto il segno di radice di indice dispari, come fattore del radicando, occorre elevarlo all indice del radicale. In simboli: Dimostrazione, Per la proprietà fondamentale dei radicali aritmetici si ha: Sostituendo tale relazione in: si ottiene: Trasporto di un fattore dentro al segno di radice di indice pari Se l indice del radicale è un numero pari è possibile portare sotto il segno di radice solo fattori positivi. In simboli:, La scrittura: è, evidentemente, errata. Infatti 5 è un numero negativo, mentre 80 è un numero positivo.. evidentemente, errata. Infatti La scrittura: è un numero negativo, mentre è, è un numero positivo Essendo 7 un numero negativo non lo si può portare sotto il segno di radice. Ma riscrivendolo sotto la forma: 7 si può portare sotto il segno di radice il fattore positivo 7 Si ottiene: 7 7 Matematica 7

8 . 1 5 Essendo 1 5 un numero negativo non lo si può portare sotto il segno di radice. Ma riscrivendolo sotto la forma: 5 1 si può portare sotto il segno di radice il fattore positivo 5 1 Si ottiene: Essendo una variabile di cui non si conosce il segno, occorre distinguere due casi: se 0 si ha che: se < 0 riscrivendo si può portare sotto la radice il fattore positivo 0 sintetizzando il ragionamento si può scrivere: + 0 < 0 8. Essendo a una variabile di cui non si conosce il segno, occorre distinguere due casi: se 0 si ha che: se < 0 riscrivendo si può portare sotto la radice il fattore positivo 0 sintetizzando il ragionamento si può scrivere: 9. + < 0 + è è < 0 < < 0 è è < Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice Se sotto il segno di radice compare un fattore con esponente maggiore o uguale all indice del radicale, si può trasportare il fattore fuori dal segno di radice mediante il seguente procedimento: 1. si riscrive il radicale come prodotto di due radicali con lo stesso indice del radicale originario e aventi: come I radicando, il fattore originario elevato al multiplo più grande dell indice, inferiore all esponente del radicando come II radicando, il fattore originario elevato al resto della divisione fra l esponente del radicando e l indice del radicale. si effettua la semplificazione del I radicale (vedi semplificazione di un radicale a pag. ) Matematica 8

9 a con C.E.: con C.E.: Il radicale esiste per 0 ossia per 0 con 0. Il radicale esiste per 0 ossia per 0 con 0. Il radicale esiste per 0 ossia per 0 con C.E.: con C.E.: 0 C.E.: 0. Se sono soddisfatte le C.E., 0. Pertanto: con con 0 7. oppure si può scrivere: + con C.E.: 0 0. Addizione e sottrazione di radicali Definizione Due radicali irriducibili si dicono simili quando hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. 7 a b e 7 e 7a b Addizione e sottrazione di radicali sono simili sono simili La somma algebrica di due o più radicali simili è uguale ad un radicale, simile ai dati, che ha come coefficiente, la somma algebrica dei coefficienti dei radicali Osservazione importante + + o : o : 9 9 Matematica 9

10 5. Potenza e radice di un radicale Potenza di un radicale La potenza k-esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza k-esima del radicando. In simboli: o con Radice di un radicale La radice k-esima di un radicale è un radicale che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando. In simboli: o con. Razionalizzazione di un radicale La razionalizzazione è la trasformazione di una frazione contenente radicali al denominatore in un altra equivalente priva di radicali al denominatore. Per razionalizzare il denominatore di una frazione occorre distinguere vari casi: I caso a denominatore compare un radicale quadratico Occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale quadratico che figura a denominatore Matematica 10

11 II caso a denominatore compare un radicale non quadratico Occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale 1.. III caso a denominatore compare la somma o la differenza di due radicali quadratici Occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato ± III caso a denominatore compare la somma algebrica di tre radicali quadratici Occorre applicare due volte il metodo utilizzato nel II caso. o IV caso a denominatore compare la somma o la differenza di due radicali cubici Occorre moltiplicare numeratore e denominatore per il fattore ± Matematica 11

12 7. Radicale quadratico doppio Un espressione del tipo + oppure è detto radicale quadratico doppio. Se l espressione è un quadrato perfetto il radicale doppio può essere trasformato nella somma di due radicali semplici con le seguenti formule: essendo 5 1 il radicale doppio si può semplificare essendo si può semplificare Potenza ad esponente frazionario La potenza di un numero reale positivo con esponente frazionario è uguale al radicale che ha per indice il denominatore della frazione e per esponente del radicando il numeratore della frazione. In simboli: infatti Matematica 1

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

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