Statistica 1 A.A. 2015/2016

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1 Corso di Laurea in Economia e Finanza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispondenti a 48 ore di lezione frontale e 24 ore di esercitazione) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 51

2 Introduzione Il Calcolo delle probabilità è una disciplina che ci insegna a controllare la correttezza dei nostri ragionamenti allora che, per carenza d informazione, ci troviamo in condizioni di incertezza. In tal senso essa appare come una logica, e precisamente come la logica del possibile, che amplia, con l introduzione di una valutazione di probabilità basata sull informazione di cui si dispone, la logica del certo. 2 / 51

3 Nozioni di base Definizione Si definisce esperimento aleatorio (casuale) un esperimento i cui possibili esiti non possono essere previsti con certezza. Esempio di esperimenti aleatori sono: 1 lancio di un dado; 2 lancio di una moneta; 3 estrazione di una pallina da un urna; 4 estrazione di una carta da un mazzo di carte; 5 etc. 3 / 51

4 Definizione Si definisce evento aleatorio (casuale) un qualsiasi esito di un esperimento aleatorio. Gli eventi aleatori si distinguono in due gruppi: gli eventi aleatori elementari, indicati con il simbolo ω i, ovvero i singoli risultati di un esperimento aleatorio; gli eventi aleatori composti, ovvero quelli eventi aleatori definiti come unione di due o più eventi elementari. In generale, gli eventi aleatori composti vengono denotati con le lettere maiuscole dell alfabeto, ad esempio A, B,... 4 / 51

5 Esempio: si consideri l esperimento casuale consistente nel lancio di una moneta. In questo caso possiamo definire due possibili eventi elementari, ovvero ω 1 = {uscita della faccia riportante il simbolo testa } ω 2 = {estrazione della faccia riportante il simbolo croce } 5 / 51

6 Esempio: si consideri l esperimento casuale consistente nel lancio di un dado. In questo caso possiamo definire sei possibili eventi elementari, ovvero: L evento aleatorio ω 1 = {estrazione della faccia riportante il valore 1} ω 2 = {estrazione della faccia riportante il valore 2} ω 3 = {estrazione della faccia riportante il valore 3} ω 4 = {estrazione della faccia riportante il valore 4} ω 5 = {estrazione della faccia riportante il valore 5} ω 6 = {estrazione della faccia riportante il valore 6} A = {estrazione di una faccia riportante un valore pari}, è un evento composto dato che è definito come unione degli eventi elementari ω 2, ω 4 e ω 6. 6 / 51

7 Esempio: si consideri l esperimento casuale consistente nel lancio di due monete. In questo caso possiamo definire quattro possibili eventi elementari; ogni evento elementare è una coppia di esiti (il primo è legato al risultato del primo lancio e il secondo è legato al risultato del secondo lancio). Se indiciamo con T l evento elementare uscita della faccia riportante il simbolo testa e con C l evento elementare uscita della faccia riportante il simbolo croce, tutti i possibili eventi elementari possono essere definiti nel seguente modo: ω 1 = {(C, C)} ω 2 = {(C, T )} ω 3 = {(T, C)} ω 4 = {(T, T )} L evento aleatorio E = {estrazione di almeno una faccia riportante il simbolo testa } è un evento composto ottenuto come unione degli eventi elementari ω 2, ω 3 e ω 4. 7 / 51

8 Definizione Si definisce spazio campionario l insieme di tutti i possibili eventi elementari. Lo spazio campionario viene denotato con il simbolo Ω. Utilizzando la definizione di spazio campionari, un generico evento aleatorio (elementare o composto) può anche essere definito come un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario. Se consideriamo l esperimento casuale lancio di due monete lo spazio campionario è definito nel seguente modo: Ω = {(C, C), (C, T ), (T, C), (T, T )}. 8 / 51

9 Diagrammi di Venn I diagrammi di Venn consentono di ottenere una rappresentazione grafica semplificata dello spazio campionario e degli eventi aleatori (elementari o complessi). ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 Ω 9 / 51

10 Operazioni logiche sugli eventi Definizione Dato un evento E si definisce negato dell evento E (denotato con Ē) l evento il cui valore logico è l opposto di quello di E. Esempio: Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e l evento E descritto dall enunciato uscita della faccia con il numero due. Il negato dell evento E, denotato con Ē, è l evento descritto dall enunciato uscita della faccia con un numero diverso da due. Esempio: Si consideri l esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor e l evento E descrito dall enunciato il tempo di vita di un transistor non è superiore a 5 ore. In questo caso E = { x : 0 x 5}. Dalla descrizione dell evento E si ricava che l evento negato Ē è descritto dall enunciato il tempo di vita di un transistor è superiore a 5 ore, ovvero E = { x : x > 5}. 10 / 51

11 Unione o Somma logica Dati due eventi aleatori E 1 ed E 2, definiamo unione o somma logica degli eventi E 1, E 2, l evento aleatorio, denotato con E 1 E 2, che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi che lo compongono Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { esce la faccia con il numero 1 }; E 2 = { esce la faccia con il numero 2 }. Definire l evento unione E 1 E 2. Dalla descrizione degli eventi E 1 ed E 2 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero inferiore o uguale a / 51

12 Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { faccia 2 } E 2 = { faccia 4 } E 3 = { faccia 6 }. Definire l evento unione E 1 E 2 E 3. Dalla descrizione degli eventi E 1, E 2 ed E 3 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero pari. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e i singoli eventi aleatori E 1 = { faccia 1 } E 2 = { faccia 3 } E 3 = { faccia 5 }. Definire l evento unione E 1 E 2 E 3. Dalla descrizione degli eventi E 1, E 2 ed E 3 si deduce che l evento unione è descritto dall enunciato esce un numero dispari. 12 / 51

13 Intersezione o Prodotto logico Dati due eventi aleatori E 1 ed E 2, definiamo intersezione o prodotto logico degli eventi E 1 ed E 2, l evento aleatorio, denotato con E 1 E 2, che si verifica quando si verificano contemporaneamente gli eventi che lo compongono. Si consideri l esperimento casuale lancio di un dado e gli eventi aleatori descritti dagli enunciati E 1 = { uscita di un numero inferiore a 4 } E 2 = { uscita di un numero dispari } Definire l evento unione E 1 E 2. Dalla descrizione degli eventi si ricava che E 1 = {ω 1, ω 2, ω 3 }, E 2 = {ω 1, ω 3, ω 5 }. da cui discende che l evento intersezione è definito nel seguente modo E 1 E 2 = {ω 1, ω 3 } 13 / 51

14 Con riferimento all esperimento casuale consistente nel misurare il tempo di vita di un transistor, si considerino gli eventi casuali descritti dagli enunciati E 1 = { il tempo di vita è inferiore a 4 ore } E 2 = { il tempo di vita è superiore a 5 ore } E 3 = { il tempo di vita è compreso tra 2 e 7 ore } Definire gli eventi E 1 E 2, E 2 E 3. Soluzione Dalla descrizione degli eventi si ricava che E 1 E 2 = (evento impossibile) E 2 E 3 = {x : 5 < x < 7} 14 / 51

15 Le operazioni logiche tra gli eventi, introdotte in precedenza, possono essere rappresentate graficamente mediante l utilizzo dei diagrammi di Venn. L area ombreggiata identifica l evento A B 15 / 51

16 L area ombreggiata identifica l evento A B 16 / 51

17 L area ombreggiata identifica l evento Ē 17 / 51

18 Le operazioni di unione logica ed intersezione logica soddisfano le seguenti proprietà Commutativa Associativa E 1 E 2 = E 2 E 1 E 1 E 2 = E 2 E 1 (E 1 E 2 ) E 3 = E 1 (E 2 E 3 ) = E 1 E 2 E 3 (E 1 E 2 ) E 3 = E 1 (E 2 E 3 ) = E 1 E 2 E 3 Distributiva E 1 (E 2 E 3 ) = (E 1 E 2 ) (E 1 E 3 ) E 1 (E 2 E 3 ) = (E 1 E 2 ) (E 1 E 3 ) 18 / 51

19 Con riferimento ad un certo stato d informazione, un evento si dice certo, rispettivamente impossibile, quando dai dati è possibile dedurre logicamente la verità, rispettivamente la falsità, dell evento. L evento certo è denotato con il simbolo Ω mentre l evento impossibili è denotato con il simbolo. Definizione Due eventi si dicono incompatibili quando la loro intersezione logica è uguale all evento impossibile, ovvero E 1 E 2 =. In altri termini, E 1 ed E 2 sono incompatibili quando il verificarsi di uno di essi implica il non verificarsi dell altro. Due eventi che non sono incompatibili si dicono compatibili. Si considerino l esperimento casuale lancio di due dadi e gli eventi definiti dagli enunciati: E 1 = { al primo e al secondo lancio di un dado esce un punto pari }, E 2 = { la somma dei punti realizzati col primo e il secondo lancio di un dado è dispari }. I due eventi definiti in precedenza sono chiaramente incompatibili. 19 / 51

20 Evoluzione storica della definizione di probabilità Come ottenere una valutazione di probabilità degli eventi? Per rispondere a questa domanda è necessario considerare lo sviluppo storico del concetto di probabilità. Storicamente il calcolo delle probabilità nasce con lo studio del gioco di azzardo. Le prime valutazioni di probabilità sono rivolte ad un ristretto campo di applicazione dove la schematizzazione dei fenomeni si ottiene con l enumerazione di un ridotto numero di casi, assunti tutti ugualmente possibili. 20 / 51

21 Definizione classica di probabilità Definizione La probabilità di un evento aleatorio E Ω, denotata con P(E), è il rapporto tra il numero di casi favorevoli al verificarsi dell evento E e il numero di casi possibili, supposti tutti ugualmente possibili. Da un punti di vista applicativo, secondo la definizione classica la probabilità di un generico evento aleatorio E è ottenuta come rapporto del numero degli eventi elementari che compongono l evento E sul numero di eventi elementari che appartengono lo spazio campionario Ω, ovvero P(E) = numero di eventi elementari in E numero di eventi elementari in Ω. 21 / 51

22 Esempio: si consideri l esperimento casuale lancio di un dado. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi casuali: E 1 = {si ottiene la faccia con il numero 3}; E 2 = {si ottiene una faccia con un numero pari}; E 3 = {si ottiene un faccia con un valore inferiore o uguale a 4}. Soluzione: lo spazio campionario Ω è l insieme Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6 }, dove l i-esimo evento aleatorio elementare è definito come ω i = {uscita della faccia riportante il valore i-esimo}. 22 / 51

23 Osservando che E 1 = {ω 3 } E 2 = {ω 2, ω 4, ω 6 } E 3 = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } dalla definizione classica di probabilità si ricava che P(E 1 ) = 1 6 P(E 2 ) = 3 6 = 0.5 P(E 3) = / 51

24 Esempio: si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Determinare la probabilità che il punteggio ottenuto sia 9. Determinare il punteggio più probabile. Soluzione: in questo caso lo spazio campionario è costituito da tutte le possibili coppie di facce, quindi avremo in totale 6 6 = 36 eventi elementari che compongono Ω. Gli eventi elementari che compongono l evento aleatorio E sono: (faccia 3, faccia 6) (faccia 4, faccia 5) (faccia 5, faccia 4) (faccia 6, faccia 3) da cui si ricava, applicando la definizione classica di probabilità, che P(E) = 4 36 = / 51

25 Analogamente a quanto fatto in precedenza si ricava Somma dei Probabilità valori osservati 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/ / / /36 Da cui si ricava che 7 è il punteggio più probabile. 25 / 51

26 Esempio: si consideri l esperimento casuale lancio di tre dadi. Determinare la probabilità dell evento E = {la somma dei valori osservati è uguale a 4}. Soluzione: in questo caso lo spazio campionario Ω è costituito da tutte le possibile terne di facce, quindi in totale avremo 6 3 = 216 eventi elementari che compongono Ω. Gli eventi elementari che compongono l evento E sono: {faccia 1, faccia 1, faccia 2} {faccia 1, faccia 2, faccia 1} {faccia 2, faccia 1, faccia 1} quindi, applicando la definizione classica di probabilità, si ricava che P(E) = / 51

27 Esempio: da un mazzo di 52 carte vengono estratte successivamente due carte, senza che la prima venga reinserita. Calcolare la probabilità che le due carte estratte siano due assi. Soluzione: gli eventi elementari sono tutti le possibili coppie estraibili da un mazzo di 52 carte in cui la prima carta estratta non e reinserita nel mazzo. Si deduce che il numero di eventi elementari è = La probabilità di estrarre una 1 data coppia è Poiché esistono 4 3 = 12 possibili coppie ordinate di assi, la probabilità di estrarre una coppia di assi è uguale a Calcolare la probabilità richiesta in precedenza assumendo che la prima carta venga reinserita nel mazzo. 27 / 51

28 Esercizi. Si consideri un mazzo di 52 carte (13 carte per 4 semi). Il candidato calcoli: i. la probabilità di estrarre un 8 di picche da un mazzo di 52 carte; ii. la probabilità di estrarre una figura di fiori o picche o quadri; iii. la probabilità di estrarre una carta di fiori; iv. la probabilità di estrarre una carta rappresentante un numero pari. 28 / 51

29 Definizione assiomatica di probabilità L impostazione assiomatica si differenzia dalla precedente definizione dato che non fonda la definizione di probabilità ne sul significato di probabilità ne su quello di evento. Si consideri un generico esperimento casuale E e si indichi con Ω lo spazio campionario. Come visto in precedenza lo spazio campionario contiene i soli eventi elementari (indicati con ω i ), ma dagli esempi precedenti abbiamo visto che esistono eventi aleatori generici che non sono contenuti in Ω. Nell esempio del lancio di un dato lo spazio campionario contiene solamente 6 possibili eventi elementari (ognuno dei quali si riferisce ad una determinata faccia); l evento aleatorio E = {uscita di una faccia riportante un valore pari}, è definito come unione di tre eventi elementari ma non è un elemento di Ω. 29 / 51

30 L esempio mostra che è necessario definire un insieme che contenga tutti i possibili eventi aleatori associati ad un dato esperimento casuale. Definizione Si definisce spazio del eventi l insieme di tutti i possibili eventi aleatori associati ad un determinato esperimento casuale. Lo spazio degli eventi è denotato con il simbolo E. Note: dalla definizione di spazio degli eventi si deduce che E contiene l evento impossibile e l evento certo Ω. 30 / 51

31 Esempio: si consideri l esperimento casuale consistente nel lancio di due monete. Se indichiamo con C l evento aleatorio uscita della faccia croce e con T l evento uscita della faccia testa, lo spazio campionario è definito nel seguente modo: Ω = {(C, C), (C, T ), (T, C), (T, T )}. Lo spazio degli eventi è definito nel seguente modo, {(C, C)}, {(C, T )}, {(T, C)}, {(T, T )}, {(C, C), (C, T )}, {(C, C), (T, C)}, {(C, C), (T, T )}, E = {(C, T ), (T, C)}, {(C, T ), (T, T )}, {(T, C), (T, T )}, {(C, C), (C, T ), (T, C)}, {(C, C), (C, T ), (T, T )}, {(C, C), (T, C), (T, T )}, {(C, T ), (T, C), (T, T )}, Ω Note: in generale, se lo spazio campionario contiene k eventi elementari, lo spazio degli eventi E conterrà 2 k eventi aleatori. 31 / 51

32 Definizione Si definisce funzione di probabilità, e verrà indicata con P( ), una qualsiasi funzione definita sullo spazio degli eventi E che soddisfa i seguenti assiomi: i. P(E) 0 per ogni evento E E (assioma di non negatività); ii. P(Ω) = 1 (assioma di normalizzazione); iii. comunque presi due eventi aleatori incompatibili, diciamo E 1 E 2 =, allora la probabilità dell unione di E 1 ed E 2 è uguale alla somma delle singole probabilità: P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ). Note: il terzo assioma è noto come teorema delle probabilità totali per eventi incompatibili; dal primo e dal secondo assioma discende che la probabilità è un valore certamente compreso tra 0 ed 1! In altri termini, la funzione di probabilità è definita dallo spazio campionario a valori nell intervallo [0, 1]! 32 / 51

33 Utilizzando i tre assiomi è possibile dimostrare i seguenti teoremi. Teorema La probabilità dell evento impossibile è zero, in altri termini P( ) = 0. Dimostrazione Osserviamo che lo spazio degli eventi elementari può essere definito come Ω = Ω, da cui discende che 1 = P(Ω) = P(Ω ). Dato che Ω e sono incompatibili, per il terzo assioma si ricava da cui si deduce che P( ) = 0. 1 = P(Ω) = P(Ω ) = P(Ω) + P( ) = 1 + P( ), 33 / 51

34 Teorema Sia E un evento ed Ē il suo negato. La probabilità di Ē è il complemento ad uno della probabilità di E, in altri termini P(Ē) = 1 P(E). Dimostrazione Osserviamo che sono verificate le relazioni Ω = E Ē e E Ē =. Attraverso l utilizzo degli assiomi introdotti in precedenza si ricava da cui si ricava che P(Ē) = 1 P(E). 1 = P(Ω) = P(E Ē) = P(E) + P(Ē), 34 / 51

35 Il teorema che segue è una generalizzazione dell assioma iii. e prende il nome di teorema della probabilità totale per eventi qualsiasi. Teorema delle probabilità totali Siano E 1 ed E 2 due eventi. Si dimostra che P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) P(E 1 E 2 ). 35 / 51

36 Esempio: uno studente ha programmato di sostenere gli esami A e B in una determinata sessione. In base alla sua preparazione ritiene che la probabilità di superare l esame A sia pari a 0.7, la probabilità di superare l esame B sia 0.5, mentre la probabilità di superarli entrambi sia 0.4. Qual è la probabilità che lo studente superi almeno uno dei due esami? 36 / 51

37 Esempio: Si consideri un mazzo di 52 carte (13 carte per seme) e si estragga una carta dal mazzo. Calcolare la probabilità di estrarre un re oppure una carta di picche. Soluzione: Definiamo gli eventi A 1 e A 2 nel seguente modo: A 1 = {estrazione di un re} A 2 = {estrazione di una carta di picche} I due eventi aleatori definiti in precedenza sono chiaramente compatibili dato che A 1 A 2 = estrazione del re di picche. Facendo ricorso al teorema delle probabilità per due eventi aleatori generici si ricava che P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) = = / 51

38 Probabilità condizionata e stocastica indipendenza Spesso si è interessati alla determinazione della probabilità di un evento quando disponiamo di qualche informazione parziale sull esito dell esperimento. esempio: si consideri l esperimento casuale consistente nel lancio di due dadi a sei facce. In questo caso lo spazio campionari è definito come l insieme (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) Ω = (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Supponiamo di essere interessati al calcolo della probabilità dell evento aleatorio A = {la somma dei valori osservati sia uguale a 10}. 38 / 51

39 La probabilità richiesta può essere calcolata facilmente utilizzando la definizione classi di probabilità, ovvero P(A) = , dato che esistono solamente tre possibili coppie la cui somma fornisce valore 10, ovvero (4, 6), (5, 5) e (6, 4). Supponiamo che si disponga di un informazione aggiuntiva sull esperimento casuale, ovvero al primo lancio si osserva il valore 4. In termini probabilistici al primo lancio si è verificato l evento B = {estrazione della faccia con valore 4}. 39 / 51

40 L effetto che deriva dall informazione aggiuntiva è una riduzione della dimensione dello spazio campionario; in altri termini, dato che sappiano che si è verificato l evento B, l insieme di tutte le possibili coppie si riduce nel seguente modo: {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}. Se applichiamo la definizione classica di probabilità, utilizzando lo spazio campionario ridotto si ricava che la probabilità dell evento A (somma dei valori osservati è uguale a 4) dato che al primo lancio si è osservato il valore 4 (ovvero si è verificato l evento B) è pari a 1/ La probabilità calcolata in precedenza viene definita probabilità condizionata dell evento A dato che si è verificato l evento B. La definizione deriva dal fatto che stiamo valutando la probabilità dell evento aleatorio A condizionatamente al fatto che si è verificato l evento aleatorio B. 40 / 51

41 Definizione La probabilità di A condizionatamente a B, detta anche probabilità di A dato B, denotata con P(A B), consiste nella valutazione della probabilità di un evento A valutato subordinatamente allo spazio campionario generato dall evento B. La probabilità di A dato B viene calcolata tramite la seguente formula: P(A B) = P(A B), P(B) ovvero il rapporto tra la probabilità dell evento intersezione (probabilità congiunta) e la probabilità dell evento condizionante. Note: dalla precedente formula discende che P(A B) = P(A B) P(B), (1) la quale è nota come legge delle probabilità composte o regola moltiplicativa per il calcolo della probabilità congiunta. 41 / 51

42 Esercizio. Si consideri l esperimento casuale lancio di due dadi. Si calcoli la probabilità che la somma dei valore ottenuti sia uguale a 3 sapendo che il primo dado lanciato ha fornito il valore 1. Come cambia la probabilità calcolata in precedenza se al primo lancio si ottiene il valore 3? 42 / 51

43 Esercizio. Da un mazzo di 52 carte vengono estratte 3 carte senza reinserimento. Calcolare la probabilità di estrarre tre assi. Soluzione: sebbene la probabilità richiesta possa essere calcolata mediante la nozione classica di probabilità, risulta più agevole il calcolo attraverso la nozione di probabilità condizionata. Consideriamo i tre eventi E 1 = {la prima carta estratta è un asso} E 2 = {la seconda carta estratta è un asso} E 3 = {la terza carta estratta è un asso} 43 / 51

44 La probabilità richiesta può essere espressa come P(E 3 E 2 E 1 ), la quale, applicando le formule precedenti si ricava che P(E 3 E 2 E 1 ) = P(E 3 E 2 E 1 ) P(E 2 E 1 ) = = P(E 3 E 2 E 1 ) P(E 2 E 1 ) P(E 1 ) Applicando la nozione classica di probabilità si ricava P(E 1 ) = 4 52 P(E 2 E 1 ) = 3 51 P(E 3 E 2 E 1 ) = 2 50 quindi P(E 3 E 2 E 1 ) = / 51

45 Stocastica indipendenza Tramite la legge delle probabilità composte è possibile introdurre il concetto di stocastica indipendenza tra due eventi aleatori. Definizione Diremo che l evento A è stocasticamente indipendente dall evento B quando il verificarsi di B non influenza la probabilità dell evento A, ovvero: P(A B) = P(A). 45 / 51

46 La stocastica indipendenza è un concetto simmetrico, ovvero se A è stocasticamente indipendente da B allora anche B è stocasticamente indipendente da A. Infatti P(B A) = P(A B) P(A) = P(A B)P(B). P(A) Dalla definizione di stocastica indipendenza di A da B, ovvero P(A B) = P(A), si ricava P(B A) = P(A B) P(A) = P(A B)P(B) P(A) = P(A)P(B) P(A) ovvero, per definizione B è stocasticamente indipendente da A. = P(B), La legge delle probabilità composte si semplifica quando si considerano eventi stocasticamente indipendenti, infatti si ottiene dalla (1) che P(A B) = P(A) P(B), ovvero la probabilità congiunta di due eventi stocasticamente indipendenti è uguale al prodotto delle singole probabilità. 46 / 51

47 Esempio. Si consideri un urna contenente 8 palline bianche e 2 palline nere. Si consideri l esperimento casuale consistente nell estrazione di due palline con reinserimento, ovvero viene inizialmente estratta una pallina dall urna, osservato il corrispondente colore e poi reinserita nell urna. Qual è la probabilità di osservare la sequenza di colori: Bianco, Nero?. Esempio. Definiamo gli eventi A = {estrazione di una pallina bianca} e B = {estrazione di una pallina nera}. Utilizzando gli eventi definiti in precedenza, dire che siamo interessati a valutare la probabilità di osservare la sequenza di colori Bianco, Nero equivale a valutare la probabilità dell evento intersezione A B. Osserviamo inoltre che la probabilità dell evento B è pari a 2/10 (definizione classica di probabilità) e, dato che la prima pallina estratta viene reinserita nell urna, questa probabilità non dipende da cosa accade alla prima estrazione (se A si verifica o meno). Questo vuol dire che gli eventi aleatori A e B sono stocasticamente indipendenti, quindi tramite la legge delle probabilità composte si ricava che P(A B) = P(A) P(B) = = / 51

48 Esercizi Riepilogativi Esercizio. La roulette consiste in un disco diviso in 37 settori numerati da 0 a 36 e colorati alternativamente in rosso e nero, mentre lo zero è normalmente colorato di verde. 1 Supponendo che il croupier ripeta il lancio della pallina cinque volte, si calcoli la probabilità di ottenere la seguente sequenza di colori: rosso, verde, rosso, rosso, nero. 2 Supponendo che il croupier ripeta il lancio della pallina due volte, si calcoli la probabilità che la somma dei valori ottenuti sia uguale a tre. 48 / 51

49 Esercizio. Una scatola contiene 200 dadi per giochi di società di diversa tipologia e ripartiti nel seguente modo. Il 20% dei dati ha 4 facce, il 40% ha 6 facce, il 30% ha 8 facce e la parte restante è costituita da dadi a 10 facce. 1 Il candidato calcoli la probabilità di estrarre un dado con 6 o 8 facce. 2 Si consideri l esperimento casuale consistente nell estrazione senza reinserimento di 5 dadi. Calcolare la probabilità di osservare la seguente sequenza: 8 facce, 8 facce, 6 facce, 4 facce, 6 facce. 49 / 51

50 Esercizio. Si consideri una slot-machine costituita da cinque rulli i quali forniscono risultati stocasticamente indipendenti tra loro. Ogni rullo è costituito da dieci settori raffiguranti gli interi da uno a dieci. Utilizzando un volta soltanto la slot-machine, il candidato calcoli la probabilità che la slot-machine visualizzi la sequenza / 51

51 Esercizio. Un urna contiene 15 palline bianche, 20 palline nere, 35 palline rosse e 30 palline gialle. i. Calcolare la probabilità che, estraendo una pallina dall urna, la pallina estratta sia di colore rosso. ii. Calcolare la probabilità che, estraendo una pallina dall urna, la pallina estratta sia di un colore diverso dal bianco. iii. Considerando l estrazione senza reinserimento di cinque palline dall urna, calcolare la probabilità di ottenere la sequenza: bianca, bianca, nera, rossa, gialla. 51 / 51