Prova scritta di STATISTICA. CDL Biotecnologie. (Programma di Massimo Cristallo - A)

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1 Prova scritta di STATISTICA CDL Biotecnologie (Programma di Massimo Cristallo - A) 1. Un associazione di consumatori, allo scopo di esaminare la qualità di tre diverse marche di batterie per automobili, osserva la durata di 70 batterie della marca A, di 85 batterie della marca B e di 63 batterie della marca C. Stabilire se la durata della batteria dipende dalla marca. Marca Bassa Media Alta Totale A B C Totale Si consideri un campione casuale di dimensione 25 proveniente da una popolazione normale con media 120 e varianza 16. SI calcoli la probabilità che la media campionaria assuma un valore maggiore di 122 e il valore superato dal 70% delle medie campionarie. 3. Un urna contiene 15 palline bianche e 8 nere. Si determini la probabilità che in due estrazioni senza ripetizioni si estragga una pallina bianca nella seconda estrazione dato che alla prima estrazione à stata estratta una pallina bianca. 4. Il seguente campione si riferisce a 40 punteggi ottenuti ad un test (1) Determinare la mediana. Sapendo che la media è , analizzare gli indici di posizione del campione. (2) Sapendo che la deviazione standard è 12.05, calcolare l errore della media campionaria. (3) Effettuare una ripartizione in classi del campione casuale e costruire il relativo istogramma.

2 Prova scritta di STATISTICA CDL Biotecnologie (Programma di Massimo Cristallo - B) 1. Il seguente campione casuale si riferisce a 40 rilevazioni di battiti cardiaci in un minuto (a) Determinare i quartili del campione e costruire il box-plot (o diagramma a scatola). (b) Effettuare una ripartizione del campione in classi e costruire l istogramma. (c) Che tipo di analisi è possibile dedurre dai due precedenti grafici? (d) Verificare se il campione proviene da una popolazione gaussiana sapendo che la media campionaria risulta 113,5 e la deviazione standard risulta 15, A due panels costituiti da 10 persone ciascuno è stato chiesto di scegliere tra un deodorante alla fragola ed un deodorante alla menta. I risultati sono riportati in tabella. Deod. Fragola Deod. Menta Totale Panel A Panel B Totale (a) Stabilire con un test se la percentuale di preferenza del deodorante alla fragola è da considerarsi uguale nei due panels. (b) In caso di risposta affermativa al primo quesito verificare che la percentuale di preferenza del deodorante alla fragola è maggiore di quella del deodorante alla menta. (c) Spiegare perché è possibile usare entrambi i campioni per rispondere al quesito (b).

3 Soluzioni compito CRISTALLO A 1. Si tratta di effettuare un test per l indipendenza tra la variabile marca e la variabile durata. La tabella delle frequenze attese risulta essere: Bassa Media Alta Totale A 10, , , B 12, , , C 9, , , La tabella per costruire la statistica test, ossia contenente i valori risulta essere Bassa Media Alta A 0, , ,22086 B 0, , , C 0, , ,44008 Pertanto il valore finale della statistica è 1,56. Il quantile,; rigetta l ipotesi di indipendenza tra le due variabili. vale 9,48 pertanto non si 2. La media campionaria ha legge gaussiana di media 120 e varianza 16 =3,2. Per 25 calcolare >122 è necessario standardizzare ossia calcolare > = >2,5 che vale Per determinare il valore superato dal 70% delle medie campionarie, è necessario calcolare il valore in corrispondenza del quale la funzione di ripartizione di una gaussiana standard vale =0.70 e poi trasformarlo in un valore assunto dalla media campionaria mediante la trasformazione Dalle tavole = pertanto il valore superato dal 70% delle medie campionarie risulta 121, Bisogna calcolare. Poiché dopo aver estratto una pallina bianca alla prima estrazione, nell urna sono rimaste 14 palline bianche ed 8 palline nere, questa probabilità vale 14/ (a) La mediana è quel valore che divide il campione in due sottogruppi di uguale numerosità. Poiché la taglia del campione è pari, tale valore risulta essere al centro tra 50 e 70, ossia vale 60. La media è La distribuzione appare trimodale, quindi il valore della moda non è significativo. Media e mediana sono abbastanza vicini quindi rispetto al centro la distribuzione è bilanciata. (b) L errore della media campionaria è (c) Poiché la taglia è 40, possono essere scelte 6 classi. Il campo di variazione del campione è 78-38=40. Pertanto possiamo scegliere 6 classi di ampiezza 7. Le 6 classi coprono un ampiezza di 42 unità, pertanto poniamo l estremo sinistro della prima classe a 37. La tabella delle frequenze è

4 (37,44] 7 (44,51] 4 (51,58] 4 (58,65] 7 (65,72] 12 (72,79] 6 ed il relativo istogramma risulta (37,44] (44,51] (51,58] (58,65] (65,72] (72,79]

5 Soluzioni compito CRISTALLO B 1. I quartili del campione casuale suddividono il campione casuale in quattro parti. Poiché la taglia è pari, si tratta di determinare il centro tra l elemento che si trova al decimo e all undicesimo posto (primo quartile), tra il ventesimo e il ventunesimo posto (mediana), tra il trentesimo e il trentunesimo posto (terzo quartile). I valori risultano 97, 108 e 119 rispettivamente. Il box plot viene costruito usando questi elementi e il minimo e il massimo del campione casuale, ossia 87 e 129. Il grafico è min q1 med q3 max Per effettuare l istogramma è necessario ripartire il campione in classi. Scegliamo 6 classi e poiché il campo di variazione è 42 fissiamo l ampiezza pari a 7. La tabella delle frequenze risulta Classi (87,94] 8 (94, 101] 6 (101,108] 6 (108,115] 7 (115,122] 6 (122,129] 7 e l istogramma è

6 (87,94] (94, 101] (101,108] (108,115] (115,122] (122,129] Dai due grafici si evince che c è una distribuzione uniforme soggiacente i dati. Per rispondere all ultimo quesito, usiamo la ripartizione in classi impiegata per costruire l istogramma. Ad ogni frequenza osservata va associata la frequenza attesa ottenuta moltiplicando la taglia del campione per la probabilità che un dato del campione cada in quella classe. Classi Freq.attese Stat. Test (87,94] 8 4, , (94, 101] 6 4, , (101,108] 6 5, , (108,115] 7 6, , (115,122] 6 6, , (122,129] 7 11, , Totale ,6585 La statistica test risulta valere 5,65. Va confrontata con il quantile,; che vale 7,81. Pertanto l ipotesi di legge gaussiana non si rigetta. 2. Si tratta di confrontare due percentuali. L ipotesi nulla è : = mentre l ipotesi alternativa è :. La statistica test risulta essere = dove =0.9, = 0.8,= =0.85, = =10. Pertanto il valore di Z risulta essere La regione di accettazione del test risulta essere (-1,95;1,95) pertanto poiché il valore della statistica rientra nella regione di accettazione l ipotesi nulla non si rigetta. Per rispondere al secondo quesito effettuiamo il seguente test: l ipotesi nulla è :=0.5 mentre l ipotesi alternativa è :>0.5 dove p rappresenta la percentuale di preferenza del deodorante alla fragola. La statistica test risulta essere = dove = 17/20,=0.5,=20. Il valore della statistica test risulta essere 4,38. La regione di accettazione è l intervallo a sinistra di 1,64 pertanto si rigetta l ipotesi nulla in favore di quella alternativa. E stato possibile mettere assieme i due campioni perché provenienti da popolazioni indipendenti.