Appunti sul moto circolare uniforme e sul moto armonico- Fabbri Mariagrazia

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1 Moto circolare uniforme Il moto circolare uniforme è il moto di un corpo che si muove con velocità di modulo costante lungo una traiettoria circolare di raggio R. Il tempo impiegato dal corpo per compiere un giro completo è chiamato periodo T. La frequenza è il numero di giri compiuti nell unità di tempo f=1/t. Essa si misura in giri al secondo s -1 ) o Hertz. Nel caso di moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante e il corpo percorre archi uguali in tempi uguali v = 2πR T La velocità è direttamente proporzionale al raggio. La direzione della velocità è in ogni istante tangente alla traiettoria e quindi, anche se il modulo della velocità è costante, la direzione e il verso della velocità variano in continuazione. Si tratta di un moto accelerato con accelerazione istantanea diretta verso il centro della traiettoria. Il modulo dell accelerazione si calcola a c = v2 R (per la dimostrazione rivedi gli appunti di lezione). Pertanto il moto circolare uniforme è un moto accelerato La velocità angolare La velocità angolare media è il rapporto tra lo spostamento angolare del corpo e l intervallo di tempo impiegato a compiere tale spostamento. Nel caso del moto circolare uniforme la velocità angolare è costante ω = θ t La velocità angolare si misura in rad/s. Essendo il radiante un numero puro, la dimensione della velocità angolare è s 1. In un intervallo di tempo uguale al periodo T il corpo percorre un intera circonferenza pari a 2π radianti, quindi la velocità angolare per un moto circolare uniforme si calcola 1 ω = 2π T Da tale relazione si nota che la velocità angolare, a differenza della velocità tangenziale, non dipende dal raggio della circonferenza. Dal disegno sotto si osserva che corpi che descrivono angoli al centro uguali in intervalli di tempo

2 uguali hanno la stessa velocità angolare, ma percorrono archi di circonferenza diversi a seconda della loro distanza dal centro della circonferenza, e quindi hanno velocità tangenziali diverse. La relazione fra le due velocità, angolare e tangenziale è: v = ωr L accelerazione centripeta si può esprimere come a c = ω 2 R Moto armonico semplice Il moto armonico semplice può essere definito come la proiezione di un moto circolare uniforme su di un diametro (1 definizione di moto armonico) Consideriamo un punto Q che si muove con una velocità di modulo costante lungo una circonferenza di raggio R. Sia θ l angolo formato dal raggio OQ con il verso positivo dell'asse x e ω la velocità angolare costante con cui Q si muove lungo la circonferenza. Poiché la velocità angolare è costante, l'angolo θ è una aumenta linearmente con il tempo t, infatti se poniamo t 0 = 0 e θ 0 = 0 ω = θ t = θ t θ = ωt Proiettando il la posizione di Q sull asse delle ascisse, otteniamo: x(t) = Rcos ωt Proiettando lungo l asse delle ordinate y t = Rsen ωt 2

3 Le espressioni della velocità e dell'accelerazione del moto armonico si ricavano proiettando lungo l'ascissa la velocità e l'accelerazione del punto Q nel suo moto circolare uniforme. v t = v circolare cos ωt + π 2 = ωrsen ωt a t = a centripeta cos ωt + π = ω 2 Rcos ωt Oppure proiettando lungo l'asse delle ordinate la velocità e l'accelerazione del punto Q nel suo moto circolare uniforme. v t = v circolare sen ωt + π 2 = ωrcos ωt a t = a centripeta sen ωt + π = ω 2 Rsen ωt la velocità del moto armonico varia con legge sinusoidale ed è sfasata (traslata) di π rispetto allo spostamento 2 l'accelerazione varia ancora con legge cosi sinusoidale come lo spostamento agli estremi dell oscillazione la velocità si annulla mentre il modulo dell'accelerazione risulta massimo nel centro O dell oscillazione il modulo della velocità risulta massimo, mentre l'accelerazione si annulla Il raggio R del moto circolare uniforme dal quale deriva il moto armonico prende il nome di elongazione massima e viene abitualmente indicata con A. La velocità angolare ω del moto circolare uniforme prende invece il nome di pulsazione del moto armonico. Nella realtà fisica il moto armonico non e' legato necessariamente ad un corrispondente moto circolare uniforme: questo ha costituito per noi soltanto un comodo modello matematico cui e' possibile ricorrere per studiare le caratteristiche del moto. Per trovare quando nella realtà ritroviamo un moto armonico, determiniamo la forza che lo provoca a partire dal II Principio della Dinamica F = ma 3

4 Poiché nel moto armonico a t = ω 2 Acos ωt e x(t) = Acos ωt osserviamo che F = ma = mω 2 Acos ωt = mω 2 x(t) Possiamo riscrivere F armonica = kx dove k = mω 2 cioè la forza che provoca un moto armonico è direttamente proporzionale allo spostamento: si tratta quindi di una forza elastica. Per esempio un corpo di massa m collegato ad una molla di costante elastica k se allontanato dalla sua posizione di equilibrio di un tratto A risente di una forza di richiamo F = kx e quindi si muove di moto armonico ed oscilla avanti e indietro di moto armonico con pulsazione ω = k m ed elongazione massima A. Anche una molla fissata al soffitto oscilla in su ed in giù con moto armonico. Spesso se si considera il moto dell estremo di una molla si pone l origine del sistema di riferimento nella posizione in cui la molla è a riposo. In questo caso la posizione iniziale (a t=0) corrisponderà a s(0) = A, e la corretta equazione del moto è x(t) = Acos ωt A questo punto possiamo fornire tre definizioni equivalenti di moto armonico: Il moto armonico semplice può essere definito come la proiezione di un moto circolare uniforme su di un diametro (1 definizione di moto armonico) Il moto armonico semplice può essere definito come un moto in cui lo spostamento è direttamente proporzionale all accelerazione (2 definizione di moto armonico) Il moto armonico semplice può essere definito come un moto in cui lo spostamento varia nel tempo con legge sinusoidale (o cosinusoidale) (3 definizione di moto armonico) E consigliata la visione del film del PSSC: https://www.youtube.com/watch?v=m-k2uhfyy0w 4

5 https://www.youtube.com/watch?v=si1i4_ucglu Esercizi 1. Un oscillatore armonico possiede una pulsazione rad/s; calcola il periodo e la frequenza dell oscillazione. [6.0 s; 0,17 Hz] 2. Una massa attaccata a una molla che si muove orizzontalmente senza attrito di moto armonico ha, in un certo istante, una velocità di 2.0 m/s; sapendo che l ampiezza massima di oscillazione è 0,50 m e che la frequenza è 0,75 Hz, determina a quale distanza dalla posizione di equilibrio si trova la massa in quell istante. [26 cm] 3. Una massa di kg attaccata ad una molla oscilla con un ampiezza di 7.5 cm e con velocità massima di modulo m/s. Determina a) La costante elastica [5.86 N/m] b) Il periodo del moto [0.899 s] c) La legge oraria del moto d) La sua posizione s dal momento in cui inizia l oscillazione. 4. Determina quale massa deve avere un corpo attaccato ad una molla di costante elastica di 14 N/m, che oscilla orizzontalmente senza attrito con una frequenza di 5,6 Hz. [11 g] 5. Quando una massa di kg viene collegata ad una molla, oscilla con periodo di s. Se una seconda massa m 2 è collegata alla stessa molla, oscilla con un periodo di s. Trova la costante elastica della molla e la massa m 2. [135 N/m; 1.68 kg] 6. Determina l accelerazione massima che può avere un oscillatore armonico di periodo 3 s e ampiezza 25 cm. [1,1 m/s 2 ] 7. Determina la costante elastica di una molla, sapendo che ad essa è collegato un corpo di massa 0,70 kg ed oscilla con una frequenza di 3,2 Hz. [283 N/m] 8. Determina l ampiezza di un oscillatore armonico che possiede una velocità massima pari a 5 m/s e periodo 2,5 s. [1,99 m] 9. Un pendolo oscilla con frequenza di 2,3 Hz; calcola l ampiezza dell oscillazione sapendo che esso raggiunge una velocità massima pari a 8,3 m/s. [0,57 m] 10. La frequenza delle piccole oscillazioni di un pendolo è pari a 1,2 Hz. Determinare la lunghezza. [17 cm] 11. A una certa latitudine sulla superficie terrestre, un pendolo di lunghezza 5 m oscilla con periodo di 4,53 s. Calcola il valore dell accelerazione di gravità in quel punto. [9,6 m/s 2 ] 5

6 12. Un pendolo è costruito con un filo di lunghezza 62.7 cm al quale è attaccata una massa di 250 g. Quando viene messo in moto il pendolo compie un oscillazione completa ogni 1.59 s. 13. a) Qual è il valore dell accelerazione di gravità? [9.79 m/s 2 ] b) Se fermi il pendolo e tagli la corda, quanto tempo occorre perché la massa cada di 1.00 m? [0.452 s] c) Se la massa impiega s a cadere di 1.00 m, quanto valgono, in quel luogo, l accelerazione di gravità e il periodo d oscillazione di un pendolo di lunghezza 50.0 cm? 6

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