Equivalenze. Prof. A. Spagnolo IMS P. Villari - Napoli

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1 Equivalenze 12dm 2...mm 2 ; 14037cm 2...m 2 ; 12kg...cg; 12hm 2...m 2 ; 3km/h...m/s; 12,8m/s...km/h; 5,5km/min...m/s; 6700m/h...m/s; 34m/s...m/h; 3,75m/s...km/min; 350kg/m 3...g/cm 3 ; 14,4g/cm 3...kg/m 3 ; 14,4kg/dm 3...kg/m 3 ; 14,4kg/m 3...g/mm 3 ; 234g/mm 3...kg/m 3 ; 3,8kg/dm 3...hg/cm 3 ;

2 Operazioni in notazione scientifica Moltiplicazione e divisione: Essenzialmente si applicano le regole delle potenze: due potenze con ugual base si moltiplicano sommando gli esponenti e si dividono sottraendo gli esponenti Qui possiamo moltiplicare i coefficienti separatamente dalle potenze di 10 e abbiamo (7 4) 10 (-5+42) = (notare che i coefficienti si moltiplicano mentre gli esponenti si sommano) Infine ricordiamo che la scrittura corretta della notazione scientifica prevede che il coefficiente sia un numero compreso tra 1 e 9, quindi dividiamo il coefficiente per 10 e nel contempo moltiplichiamo l'esponenziale per 10. Abbiamo 2, Quest'ultimo passaggio lo chiameremo normalizzazione della notazione scientifica. Per la divisione le regole sono analoghe: : = 0, = Addizione e sottrazione Diverse sono le regole per l'addizione e la sottrazione: due misure in notazione scientifica si possono sommare solo se le potenze di 10 hanno lo stesso esponente: si sommano i coefficienti e si scrive la stessa potenza di 10. Esempio: = = (al solito bisogna sempre normalizzare) = 1, Nel caso in cui le potenze di 10 non hanno lo stesso esponente si riducono allo stesso esponente Es.: = la prima misura si trasforma moltiplicando la potenza di 10 per 10 2 in modo da farla diventare 10 7, però affinché il numero non cambi di valore è necessario nel contempo dividere il coefficiente per 10 2 (cioè spostare la virgola di due posti verso sinistra) per cui diventa 0,04. Allora l'operazione diventa 0, = che adesso si può svolgere ed è uguale a 8, Esercizi Trasformare in notazione scientifica (ipotizza tre cifre significative): m/s - 0, Kg - 0, s m - 0, K - 0,125 A - 0, m Kg s. Eseguire le seguenti operazioni in notazione scientifica: 3, , =... ; 4, , =... ; 3, : 5, =... ; 2, , =... ; 6, , =... ; 3, , =... ; 7, , =... ; 5, , =... ; 9, , =... ; 5, , =... ; 4, , =... ; 4, : 7, =... ; 9, : 3, =... ; 5, , =... ; 6, : 2, =... ;

3 Ricavare dalle operazioni di misurazione diretta il valore più probabile di una grandezza col suo errore SI Ripetendo la misura ottieni sempre lo stesso risultato? NO Il valore della grandezza è la misura trovata con l'errore di sensibilità dello strumento (di solito un'unità sull'ultima cifra) Il valore della grandezza è la media aritmetica delle misure trovate, mentre l'errore si può calcolare con la formula dell'errore massimo oppure (volendo essere più precisi ) con lo scarto quadratico medio Esercizio 1: Ripetendo più volte la misura dello spessore di una lastra d'acciaio ottengo sempre il valore 23,5mm. Qual sarà lo spessore del tavolo? Risposta: Dalla misura data si intuisce che la sensibilità dello strumento è di 1/10 di mm, quindi la lastra sarà spessa (23,5±0,1) mm Esercizio 2: Ripetendo 5 volte la misura del periodo di un pendolo si ottengono i seguenti risultati: 1,45s, 1,35s, 1,48s, 1,62s, 1,14s. Quanto vale il periodo? Risposta A: Usiamo prima il metodo dell'errore massimo. La media aritmetica vale 1,43, mentre l'errore massimo vale: (1,72-1,14)/2= 0,29. Prendendo solo le cifre significative ed approssimando si ha: (1,4±0,3)s Risposta B: Usiamo lo scarto quadratico medio. La media vale sempre 1,43, mentre lo scarto quadratico medio vale 0,24. Prendendo solo le cifre significative ed approssimando si ha: (1,4±0,2)s, con un errore leggermente più piccolo del precedente. Esercizi: 1. La distanza fra i vertici di due tralicci dell alta tensione è misurata più volte, ottenendo i seguenti risultati: 86,8 m, 86,1 m, 85,9 m, 86,4 m. Calcola la loro distanza con l errore. 2. La lunghezza di un tavolo è stata misurata quattro volte, ottenendo i seguenti risultati: 1234 mm, 1235 mm, 1232 mm, 1231 mm. Quanto è lungo il tavolo? 3. Calcola l errore relativo e l errore percentuale della misura dell esercizio precedente. 4. Ripetendo 6 volte la misurazione del peso di un pacco di pasta con una bilancia da cucina (sensibilità 5g) otteniamo sempre 495g. Quanto pesa il pacco?

4 Errori sulle misurazioni indirette (propagazione degli errori) Spesso le grandezze fisiche si misurano mediante calcoli eseguiti su misure dirette (sono appunto grandezze derivate). Esempi: l'area si misura moltiplicando due lunghezze, il perimetro sommando più lunghezze, la densità dividendo una massa per un volume la velocità dividendo una distanza per un intervallo di tempo Come si calcola l'errore su tali misure? Esempio: calcolo l'area di un'aiuola rettangolare misurando i suoi lati e poi moltiplicandoli. Poiché i lati sono affetti da errore, lo sarà anche l'area, ma quando vale tale errore? Esistono due metodi di stima dell'errore: quello mediante il calcolo dell'errore assoluto (più preciso) e quello mediante l'uso delle cifre significative (meno preciso, ma più agevole da usare). Metodo dell'errore assoluto Somma sottrazione Si sommano gli errori assoluti Si sommano gli errori relativi Metodo delle cifre significative Somma sottrazione 1) si scrivono gli addendi con sole cifre significative 2) si approssimano gli addendi alla cifra che occupa lo stesso posto della cifra incerta più grande 3) si sommano gli addendi ottenuti 1) si scrivono i fattori con sole cifre significative 2) il prodotto avrà tante cifre significative quante sono quelle del fattore con meno cifre significative

5 Esempi di propagazione di errori: Esempio sulla somma: Calcolare il perimetro di un appezzamento di terreno rettangolare, avente i lati di (123,3±0,2)m e (56,76±0,05)m. I metodo: si sommano i lati (123,3+56,76)2=360,12m; si sommano gli errori (0,2+0,05)2=0,5m. Il perimetro vale (360,1±0,5)m II metodo: si scrivono le misure dei lati con sole cifre significative, 123,3 e 56,76; si approssimano ai decimi di metro, cioè 123,3 e 56,8; si sommano i lati: (123,3+56,8)2=360,2m. Esempio sul prodotto: Calcolare l'area di un appezzamento di terreno rettangolare, avente i lati di (80,0±0,2)m e (70,0±0,1)m. I metodo: la formula da usare è A=b h. Si moltiplicano i lati (80,0 70,0)=560,0m 2 ; si calcolano gli errori relativi sui lati: e r (b)=0,2/80,0= 0,0025 e r (h)=0,1/70,0= 0,0014. Poi si sommano ottenendo l'errore relativo sull'area e r (A)= 0, ,0014 = 0,0039. Quindi si ottiene l'errore assoluto moltiplicando per il valore di A, cioè: e(a)=a e r (A)= 560,0 0,0039 = 2m 2. L'area vale (560±2)m 2. II metodo: si scrivono le misure dei lati con sole cifre significative; si moltiplicano i lati lasciando nella somma solo tre cifre significative, perché entrambi i fattori hanno tre cifre significative, (80,0 70,0)=560m 2. L'errore in questo caso è sottostimato. ESERCIZI: 1. Determinare il peso netto della pasta contenuta in una confezione, sapendo che il peso lordo è (505±2)g ed il peso della confezione è (35±2)g. 2. Di un lingotto di ferro vengono misurati il volume, V= 29,8cm 3, e la massa, 235hg. Determinarne la densità in kg/m 3 con il corretto numero di cifre significative. 3. Una busta postale ha dimensioni (43±0,3) mm e (120±0,5) mm. Calcola la superficie della busta con l'errore. 4. Quando è scaldato da 20 C a 200 C, un parallelepipedo di metallo aumenta le sue dimensioni dello 0,1%. Stima l aumento percentuale del suo volume. 5. Una superficie di 40m 2 viene divisa in 1000 parti uguali. Ogni parte ha un'area di (una sola risposta è valida e spiega il perché): 1. 0,04 m 2, 2. 0,04000m 2, 3. 0,0400m ,040m 2? 6. Esegui le operazioni scrivendo il risultato con il numero di cifre significative corretto (spiegando il perché): 4 3,24cm =...; 65,13cm 6,4cm =...; 39,0 : (5cm 3 /g)=...; 32,32kg + 8kg =

6 ALTRI ESERCIZI 1. Fornire le seguenti definizioni: grandezza fisica, notazione decimale, definizione operativa, errore casuale, errore sistematico, ordine di grandezza, cifre significative, Sistema internazionale, metro, secondo, chilogrammo, legge di diretta proporzionalità, legge di inversa proporzionalità, legge di proporzionalità quadratica, legge di proporzionalità quadratica inversa, legge lineare, sensibilità, portata, prontezza. 2. Ordina le seguenti misure in ordine decrescente di precisione (dalla più precisa alla meno precisa): (8,70±0,02)Km (23,24±0,09)g (137,5±0,2)cm.

7 Esercizi sulle leggi fisiche Per i dati di ciascuna tabella individua il tipo di relazione che li lega (es. legge di diretta proporzionalità), quindi scrivine l'espressione matematica (es.: =54 ) , , , , , ,25 3 1,67 2 2,5 1,5 3, ,5-8,5 5,5-14, ,9 2 19,6 3 44,1 4 78, ,5 Esercizio guida: 3 1,11 6 0,28 9 0, , ,05 Dai dati in tabella si osserva preliminarmente che mentre i valori di crescono, quelli di decrescono, quindi escludiamo dall'analisi sicuramente le proporzionalità diretta e quadratica nonché la relazione lineare. Rimangono da analizzare le due proporzionalità inverse. Compilando le due colonne * ed * 2, si vede che la colonna meno variabile è l'ultima, per cui concludiamo che i dati seguono una legge di proporzionalità quadratica inversa, data da (approssimando k ad una sola cifra) = 10 2 * * 2 3 1,11 3,33 9,99 6 0,28 1,68 10,08 9 0,12 1,08 9, ,07 0,84 10, ,05 0,7 9,8