Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI

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2 Un triangolo è un insieme di punti del piano costituito da una poligonale chiusa di tre lati e dai suoi punti interni CLASSIFICAZIONE RISPETTO AI LATI: equilatero, isoscele, scaleno CLASSIFICAZIONE RISPETTO AGLI ANGOLI: rettangolo, ottusangolo, acutangolo

3 In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti ad esso; è congruente alla somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso; La somma di due angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto; La somma degli angoli interni di un triangolo qualunque è congruente ad un angolo piatto Un triangolo non può avere due (o più) angoli retti, né due (o più) angoli ottusi, né un angolo retto e uno ottuso: cioè in un triangolo due angoli sono sempre acuti; In ogni triangolo non equilatero, a lato maggiore si oppone angolo maggiore; In ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

4 Se in un triangolo si congiungono i punti medi dei due lati, il segmento che si ottiene è parallelo al terzo lato e congruente alla metà; In ogni triangolo equilatero, ogni angolo è congruente alla terza parte di un angolo piatto; Il triangolo isoscele ha i due angoli alla base congruenti ed acuti; Nel triangolo isoscele, la bisettrice dell angolo al vertice è anche altezza e mediana rispetto alla base; In ogni triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari; In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.

5 ORTOCENTRO: Punto di incontro delle altezze di un triangolo (o i loro prolungamenti). BARICENTRO: Punto di incontro delle mediane di un triangolo. Divide ogni mediana in due parti, tali che quella avente per estremo un vertice è il doppio dell altra. INCENTRO: Punto di incontro delle bisettrici di un triangolo; è il centro della circonferenza inscritta. CIRCOCENTRO: Punto di incontro degli assi di un triangolo; è il centro della circonferenza circoscritta. EXCENTRO: Punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni di un triangolo con la bisettrice dell angolo interno non adiacente ad essi.

6 In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

7 Un poligono è un insieme di punti costituito da una poligonale chiusa non intrecciata e dai suoi punti interni In un poligono convesso di n lati, la somma degli angoli interni è congruente a (n-2) angoli piatti; La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è congruente a un angolo giro;

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9 Un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. Ciascuna diagonale lo divide in due triangoli congruenti; I lati opposti sono congruenti; Gli angoli opposti sono congruenti; Gli angoli adiacenti ad ogni lato sono supplementari; Le diagonali si incontrano nel loro punto medio

10 Un rettangolo è un parallelogramma avente i quattro angoli congruenti. Un rettangolo ha le diagonali congruenti.

11 Un rombo è un parallelogramma avente i quattro lati congruenti. Un rettangolo ha le diagonali che sono perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli.

12 Un quadrato è un parallelogramma avente i quattro lati e i quattro angoli congruenti. Un quadrato ha le diagonali che sono perpendicolari e congruenti tra loro, e bisettrici degli angoli.

13 Un trapezio è un quadrilatero con due soli lati paralleli. I due lati paralleli si chiamano basi (maggiore e minore), i due lati obliqui vengono chiamati lati. CLASSIFICAZIONE: scaleni, isosceli, rettangoli.

14 In un trapezio qualsiasi, il segmento congiungente i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle due basi e congruente alla loro semisomma; In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti ad una delle due basi sono congruenti; In un trapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementari; In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti; In un trapezio rettangolo gli angoli adiacenti al lato obliquo sono complementari.

15 Un luogo geometrico è l insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una certa proprietà, detta proprietà caratteristica del luogo. ASSE DI UN SEGMENTO È il luogo dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento BISETTRICE DI UN ANGOLO È il luogo dei punti equidistanti dai lati dell angolo CIRCONFERENZA È il luogo dei punti di un piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro

16 È il luogo dei punti di un piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro. Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza. È una figura piana formata dai punti di una circonferenza e quelli interni alla circonferenza.

17 RAGGIO: ogni segmento che ha come estremi il centro e un punto della circonferenza. CORDA: ogni segmento che ha come estremi due punti della circonferenza. DIAMETRO: ogni corda passante per il centro. ARCO: parte di circonferenza compresa fra due sue punti. SEMICIRCONFERENZA: arco i cui estremi sono distinti e appartengono a un diametro. SEMICERCHIO: parte di piano compresa fra una semicirconferenza e un diametro. SETTORE CIRCOLARE: parte di piano compresa fra un arco e i raggi che hanno un estremo negli estremi dell arco. ANGOLO AL CENTRO: angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza. ANGOLO ALLA CIRCONFERENZA: angolo convesso che ha il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza stessa.

18 a) Data una circonferenza, se si verifica una delle seguenti congruenze: fra due angoli al centro; fra due archi; fra due settori circolari; fra due segmenti circolari allora sono congruenti anche le restanti figure corrispondenti e considerate. b) Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.

19 Ogni diametro è maggiore di qualsiasi corda che non passa per il centro; Se in una circonferenza un diametro è perpendicolare ad una corda, allora la corda, l angolo al centro e l arco corrispondenti risultano divisi a metà da tale diametro; Se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda; Corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro, e viceversa. Se due corde non sono congruenti, la corda maggiore ha distanza maggiore dal centro.

20 RETTA SECANTE: la distanza tra retta e centro è minore del raggio. Ha due punti in comune con la circonferenza. RETTA TANGENTE: la distanza tra retta e centro è uguale al raggio. Ha un solo punto in comune con la circonferenza. - È perpendicolare al raggio avente come estremo il punto di tangenza; -Se da un punto P esterno alla circonferenza si conducono le due rette tangenti ad essa, allora i segmenti di tangenza, aventi ciascuno un estremo nel punto P e l altro in un punto in comune con la circonferenza, sono congruenti. RETTA ESTERNA: la distanza tra retta e centro è maggiore del raggio. Non ha nessun punto in comune con la circonferenza.

21 POLIGONI INSCRITTI: Un poligono è inscritto in una circonferenza se ha tutti i vertici sulla circonferenza. -Gli assi dei suoi lati si incontrano al centro della circonferenza. POLIGONI CIRCOSCRITTI: Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. -Le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in uno stesso punto.

22 POLIGONO REGOLARE: poligono avente tutti i lati e gli angoli congruenti. È inscrivibile in una circonferenza e circoscrivibile a un altra; le due circonferenze hanno lo stesso centro. - I vertici dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza dividono in archi congruenti la circonferenza stessa; - I punti di tangenza dei poligoni regolari circoscritti ad una circonferenza dividono in archi congruenti la circonferenza stessa.

23 Un QUADRILATERO inscritto in una circonferenza ha gli angoli opposti supplementari; Un QUADRILATERO circoscritto ad una circonferenza ha la somma di due lati congruente alla somma degli altri due. ROMBI e QUADRATI sono sempre circoscrivibili ad una circonferenza. In un QUADRATO circoscritto ad una circonferenza i punti di contatto coincidono con i punti medi dei lati. Il lato dell ESAGONO REGOLARE inscritto in una circonferenza è congruente al raggio della circonferenza.

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25 Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano un punto del piano stesso. TRASFORMAZIONI PROIETTIVE IDENTITA OMEORFISMI AFFINITA SIMILITUDINE ISOMETRIE

26 Una similitudine è un affinità, nella quale si conserva la forma delle figure, e in particolare la congruenza fra angoli; inoltre, fra i segmenti corrispondenti esiste un rapporto costante.

27 Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti (1 ); due lati ordinatamente in proporzione e l angolo tra essi compreso congruente (2 ); i lati ordinatamente in proporzione(3 ).

28 Sono le trasformazioni che descrivono, in modo astratto, i movimenti che mantengono inalterate le misure degli oggetti, ossia i movimenti rigidi. Sono particolari similitudini che hanno il rapporto di similitudine uguale a 1.

29 Due triangoli sono congruenti se sono sovrapponibili punto a punto. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l angolo tra essi compreso (1 ); un lato e i due angoli ad esso adiacenti (2 ); i tre lati (3 ).

30 Due superfici che hanno la stessa estensione si dicono equivalenti. Superfici ottenute come somme o differenze di superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti. Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze, sono equivalenti. Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del triangolo. Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a quella del triangolo e la somma delle due basi è congruente alla base del triangolo. Un poligono inscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza.

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32 SISTEMA SESSAGESIMALE: L unità di misura è il grado, ovvero la 360 ma parte di una circonferenza. Il grado si divide in 60 primi, e il primo in 60 secondi, ed eventualmente il secondo si divide in decimi, centesimi ecc. MISURA CIRCOLARE: L unità di misura è il radiante ρ, ovvero l arco che, rettificato, è congruente al raggio della circonferenza alla quale l arco appartiene. ρ : = α : 180

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34 La circonferenza goniometrica è una circonferenza presente nel piano cartesiano xoy, avente il centro nell origine e per raggio il segmento che è stato fissato come unità di misura tra i due assi. La sua equazione è: x 2 +y 2 =1

35 SENO: si dice seno di un angolo α l ordinata del punto associato ad α nella circonferenza goniometrica. COSENO: si dice coseno di un angolo α l ascissa del punto associato ad α nella circonferenza goniometrica.

36 Seno e coseno sono funzioni PERIODICHE con periodo di 360 (2 ): sen (α + 2k ) = sen α cos (α + 2k ) = cos α Essendo seno e coseno rispettivamente ascissa ed ordinata di un punto appartenente alla circonferenza, questi certamente avranno valori maggiori di -1 e minori di 1: -1< sen α < 1-1< cos α < 1 Inoltre sen 2 α + cos 2 α = 1

37 TANGENTE: la tangente di un angolo orientato è l ordinata del punto di intersezione tra il secondo lato dell angolo, o il suo prolungamento, con la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto in cui questa interseca il primo lato dell angolo. COTANGENTE: la cotangente di un angolo orientato è l ascissa del punto di intersezione tra il secondo lato dell angolo, o il suo prolungamento, con la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto in cui questa interseca il semiasse delle ordinate positive.

38 Tangente e cotangente sono funzioni PERIODICHE con periodo di 180 ( ): tg (α + k ) = tg α cotg (α + k ) = cotg α Inoltre tg = sen cos cotg = cos sen cotg = 1 tg

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42 In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto a esso o per il coseno dell angolo acuto ad esso adiacente: b = a senβ b = a cosγ c = a senγ c = a cosβ In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell altro cateto per la tangente dell angolo opposto al primo cateto, oppure per la cotangente dell angolo acuto adiacente al primo cateto: b = c tgβ b = c cotgγ c = b tgγ c = b cotgβ

43 L area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell angolo compreso: S = ½ ab senγ In una circonferenza il rapporto tra una corda e il seno di uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza che insistono su quella corda è uguale al diametro della circonferenza

44 TEOREMA DI CARNOT: In un triangolo qualsiasi, il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell angolo che essi formano: a 2 = b 2 + c 2-2bc cosα b 2 = a 2 + c 2 2ac cosβ c 2 = b 2 + a 2 2ba cosγ

45 TEOREMA DEI SENI: In un triangolo qualsiasi i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti e quindi è costante il rapporto tra ciascun lato e il seno dell angolo opposto, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo: a sen = b senβ = c senγ = 2R (R misura del raggio)

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47 SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO ORTOGONALE (PIANO ORTOGONALE): Piano su cui siano state considerate due rette perpendicolari x e y, su cui sia stato fissato per entrambe un sistema di coordinate ascisse in modo che -il punto O di intersezione delle due rette sia l origine comune dei due sistemi di ascisse, -il verso positivo della retta x sia verso destra e quello della retta y verso l alto, -l unità di misura sia la stessa nei due sistemi fissati sulle rette x e y.

48 Considerando un generico punto P del piano, si osserva che a questi corrisponde biunivocamente una coppia ordinata (x;y) di numeri reali, che prendono il nome di COORDINATE. x è detta ASCISSA, y ORDINATA. I due assi x e y dividono il piano in 4 angoli, chiamati QUADRANTI.

49 AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Es. AB = (4 1) 2 + (5 1) 2 = 5 (M x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 ) 2

50 d = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2

51 Equazione retta generica: y=mx+q passante per l origine del sistema: y=mx bisettrice I e III quadrante: y=x bisettrice II e IV quadrante: y=-x

52 parallela all asse x: y=k parallela all asse y: x=k

53 Due rette sono parallele quando non hanno alcun punto in comune, oppure quando coincidono. Due rette tra loro parallele hanno lo stesso COEFFICIENTE ANGOLARE (tangente dell angolo che si forma tra la retta e l asse delle ascisse)

54 Due rette incidenti sono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per un punto del piano passa una e una sola perpendicolare a una retta data. Due rette sono tra loro perpendicolari se tra esse sussiste la seguente relazione: m m = 1 m = 1 m, dove m ed m sono i coefficienti angolari delle due rette.

55 Dicesi parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato FUOCO, e da una retta fissa chiamata DIRETTRICE. y=ax 2 + bx + c (x p) 2 + (y q) 2 = y d a>0 -> concavità verso l'alto a<0 -> concavità verso il basso vertice V b 2a ; 4a asse di simmetria x = b 2a fuoco F b 2a ; 1 4a direttrice y = 1 + 4a

56 Dicesi circonferenza il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso chiamato CENTRO. x 2 +y 2 +ax+by+c=0 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2-2x 0 = a -2y 0 = b x 02 + y 02 r 2 = c

57 Dicesi ellisse il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi detti FUOCHI è costante x 2 a 2 + y2 = 1 (x b2 c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a

58 ELLISSE CON FUOCHI SULL'ASSE x x 2 a 2 + y2 con a>b distanza focale F 1 F 2 = 2c (c<a) asse maggiore A 1 A 2 = 2a asse minore B 1 B 2 = 2b a 2 - c 2 = b 2 = 1 b2 fuoco F ± a 2 b 2 ; 0 vertici A 1 (a;0), A 2 (-a;0) B 1 (0;b), B 2 (0;-b) ELLISSE CON FUOCHI SULL'ASSE y x 2 a 2 + y2 con a<b distanza focale F 1 F 2 = 2c (c<b) asse minore A 1 A 2 = 2a asse maggiore B 1 B 2 = 2b b 2 - c 2 = a 2 = 1 b2 fuoco F 0; ± b 2 a 2 vertici A 1 (a;0), A 2 (-a;0) B 1 (0;b), B 2 (0;-b)

59 Dicesi iperbole il luogo geometrico dei punti del piano la cui differenza delle distanze da due punti fissi detti FUOCHI è costante. x 2 a 2 y2 = 1 b2

60 IPERBOLE (RIFERITA AL CENTRO E AGLI ASSI)* CON FUOCHI SULL'ASSE x IPERBOLE * CON FUOCHI SULL'ASSE y x 2 a 2 y2 = 1 b2 con a>b x 2 a 2 y2 = 1 b2 con a>b c 2 - a 2 = b 2 c 2 - b 2 = a 2 fuoco F ± a 2 + b 2 ; 0 asintoti: y = ± b a x vertici: A 1 (a;0), A 2 (-a;0) fuoco F 0; ± a 2 + b 2 asintoti: y = ± b a x vertici: B 1 (0;b), B 2 (0;-b)

61 IPERBOLE EQUILATERA* CON FUOCHI SULL'ASSE x IPERBOLE EQUILATERA* CON FUOCHI SULL'ASSE y x 2 a 2 y2 = 1 b2 con a>b x 2 a 2 y2 = 1 b2 con a>b c= a 2 c= a 2 fuoco F ±a 2; 0 asintoti: y = ±x vertici: A 1 (a;0), A 2 (-a;0) fuoco F 0; ±a 2 asintoti: y = ±x vertici: A 1 (0;a), A 2 (0;-a)

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