Osservazioni sul baricentro

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1 Osservazioni sul baricentro ( 1 dicembre 1 La prima volta che si introduce una definizione di baricentro è di norma nella geometria del triangolo dove il baricentro è definito come punto di intersezione delle tre mediane Successivamente la stessa denominazione è introdotta in fisica dove il baricentro è definito come il punto ottenuto facendo la media pesata di un insieme di punti materiali Purtroppo anche nel semplice caso di triangoli i due concetti non sempre coincidono e bisogna dunque prestare la massima attenzione Qualche ulteriore difficoltà collegata al concetto di baricentro si incontra nel passaggio dalle linee alle superfici ai volumi Scopo di questo articolo è di mettere in luce questi fatti al fine di prevenire grossolani errori Indice Premessa 1 1 efinizioni 1 Il caso dei triangoli sta e settore circolare 6 4 riangolo e settore conico 9 Premessa Queste pagine servono anche come esercizio relativamente agli integrali doppi tripli curvilinei e superficiali Per questo motivo a volte i calcoli sono molto dettagliati anche quando il risultato potrebbe essere dedotto per via elementare 1 efinizioni efinizione 1 (Baricentro di un triangolo ato un triangolo BC si definisce baricentro (geometrico del triangolo il punto G di intersezione delle tre mediane dei lati Naturalmente per poter dare questa definizione occorre avere preventivamente dimostrato che le tre mediane si incontrano in uno stesso punto 1

2 Osservazioni sul baricentro In questa definizione si può pensare al triangolo sia come una terna di punti sia come una poligonale chiusa con tre lati sia come la superficie racchiusa dalla poligonale stessa Se si è introdotto un sistema di coordinate cartesiane Oxyz nello spazio (1 non è difficile provare che le coordinate del baricentro così definito sono la media delle coordinate dei tre vertici (1 x G x + x B + x C y G y + y B + y C z G z + z B + z C efinizione (Centro di massa di un sistema di punti Siano 1 n n punti di masse rispettive m 1 m m n e sia O un punto dello spazio Si chiama baricentro (fisico o centro di massa degli n punti il punto G individuato da ( OG i1 m i Oi m i i1 ovvero ( m i OG i1 i1 m i Oi Si dimostra che il punto G non dipende dalla scelta di O Se nello spazio è stato introdotto un sistema di coordinate cartesiane Oxyz le coordinate di G si trovano facendo la media pesata delle coordinate (x i y i z i degli i con pesi uguali alle masse dei punti i : ( ( ( ( m i x G m i x i m i y G m i y i m i z G m i z i i1 i1 i1 È chiaro che le ( si riducono alle (1 nel caso di punti con massa identica Per i corpi continui la definizione andrà adeguatamente modificata sostituendo le masse con le densità di massa e le somme con gli opportuni integrali Riportiamo in dettaglio le definizioni per i vari casi di interesse anche se nella sostanza si tratta solo di riscritture di un unica definizione Sbarre rettilinee etti e B gli estremi della sbarra e scelto un sistema di coordinate cartesiane Ox sulla retta a cui la sbarra appartiene indichiamo con a e b le ascisse di e B rispettivamente Sia poi µ(x la densità (lineare di massa Si ha allora i1 i1 i1 (4 ( b a µ(x dx x G b a xµ(x dx e formule analoghe per le coordinate y e z Lamine piane Sia (normalmente la chiusura di un aperto connesso la regione occupata dalla lamina nel piano in cui è stato introdotto un sistema di coordinate cartesiane Oxy Se µ(x y è la densità di massa si ha ( (5 µ(x y dx dy x G xµ(x y dx dy e formule analoghe per le coordinate y e z 1 Poiché tre punti stanno sempre su uno stesso piano ci si potrebbe limitare a un sistema di coordinate cartesiane Oxy in un piano per i tre punti; abbiamo preferito pensare a un sistema nello spazio in vista delle estensioni successive www batmath it

3 Osservazioni sul baricentro Continui tridimensionali Sia V (normalmente la chiusura di un aperto connesso la regione occupata dal corpo continuo nello spazio in cui è stato introdotto un sistema di coordinate cartesiane Oxyz Se µ(x y z è la densità di massa si ha ( (6 µ(x y z dx dy dz x G xµ(x y z dx dy dz V e formule analoghe per le coordinate y e z V Sbarre non rettilinee Sia γ una qualunque curva avente per sostegno la sbarra Se µ(x y z è la densità di massa si ha ( (7 µ(x y z ds x G xµ(x y z ds γ e formule analoghe per le coordinate y e z Se la sbarra è piana ci si può naturalmente limitare a considerare curve piane Lamine non piane Sia σ una qualunque superficie avente per sostegno la lamina Se µ(x y z è la densità di massa si ha ( (8 µ(x y z dσ x G xµ(x y z dσ σ σ e formule analoghe per le coordinate y e z Il caso dei triangoli Come già osservato se B C sono i tre vertici di un triangolo su cui sono posti tre punti con masse identiche il baricentro fisico dei tre punti coincide con il baricentro geometrico nche per le lamine triangolari omogenee si ha coincidenza tra i due punti Lo proviamo usando solo la definizione per una lamina a forma di triangolo acutangolo posizionato come nella figura 1 γ C H B Figura 1 Lamina triangolare omogenea La lamina triangolare (che costituisce il dominio di integrazione può essere pensata come l unione di due domini normali rispetto all asse x 1 e costituiti rispettivamente dai triangoli HC e CHB obbiamo applicare la formula (5 La densità (superficiale di massa può essere trascurata in quanto essendo costante può essere portata fuori sia dall integrale di sinistra che da quello di destra e semplificata questo punto l integrale di sinistra della (5 fornisce semplicimente l area del triangolo www batmath it

4 Osservazioni sul baricentro 4 Se ( B (x B e C (x C y C sono le coordinate dei tre punti le rette C e BC hanno equazione rispettivamente y y C x C x e y y C x C x B (x x B mentre l area vale x By C Non ci resta che calcolare l integrale di destra della (5 ( xc y C xc x ( xb y C x dx dy x dy dx + x 1 x C Si ha dunque xc y xb C x dx + x C x C x C x B (x x B y C x C x B (x xx B dx [ yc x ] xc [ y C x + x C x C x B x x B x B y C x B + x C 6 x B y C x G x B y C x B + x C 6 ] xc x B dy dx da cui x G x B + x C x + x B + x C dove abbiamo tenuto conto nell ultimo passaggio che x è iscorso analogo per le altre due coordinate Lo stesso discorso non vale per un telaio triangolare omogeneo come mostreremo ora con riferimento alla figura dove manteniamo tutte le stesse notazioni della figura 1 C B Figura elaio triangolare omogeneo Il calcolo si potrebbe fare in via elementare trovando il baricentro di ciascuna delle tre aste del telaio e poi il baricentro dei tre baricentri ma preferiamo impostare il calcolo diretto come utile esercizio di applicazione della formula (7 Scriviamo dunque una parametrizzazione dei tre lati del triangolo e determiniamo la norma dei tre vettori tangenti La parametrizzazione di un segmento (in generale dello spazio si può fare in molti modi: qui scegliamo la via standard (anche se ovviamente non sempre è la più veloce etti P (x y z www batmath it

5 Osservazioni sul baricentro 5 e P 1 (x 1 y 1 z 1 gli estremi del segmento ( si hanno le seguenti formule: x x + (x 1 x t (9 γ : y y + (y 1 y t t 1 z z + (z 1 z t Nel caso di nostro interesse si ottiene quanto segue B : C : { x xb t y { x xc t y y C t t 1 B (x B t 1 C (x C y C x B ; x C + y C ; BC : { x xb + (x B x C t y y C t t 1 BC (x C x B y C (x C x B + y C Osserviamo che la norma dei tre vettori tangenti coincide con la lunghezza dei rispettivi lati del triangolo ovremo dividere l integrale di sinistra e destra della (7 in tre parti per ciascuno dei tre lati del triangolo nche ora come nel caso della lamina triangolare la densità (lineare di massa può essere trascurata in quanto essendo costante può essere portata fuori dagli integrali e semplificata Il membro di sinistra dell equazione (7 fornisce allora semplicemente mentre per il membro di destra si ha (l B + l C + l BC x G x B t x B dt + x C t x C + yc dt + ( xb + (x C x B t (x C x B + yc dt x B t l B dt + x C t l C dt + ( xb + (x C x B t l BC dt a qui si deduce subito che x B l B + x C l C + (x B + x C l BC x G x B l B + x C l C + (x B + x C l BC ( l B + l C + l BC formula che non fornisce la media delle coordinate degli estremi Solo se il triangolo è equilatero ovvero se si ha l B l C l BC l allora dalla formula precedente si ricava x G x B l + x C l + (x B + x C l ( l x B + x C x + x B + x C Negli integrali che stiamo considerando (integrali di campi scalari o ai differenziali d arco non conta l orientamento; negli integrali di campi vettoriali (integrali ai differenziali delle coordinate conterebbe anche l orientamento: seguendo la procedura indicata si tiene facilmente conto anche dell orientamento se P indica il primo punto e P 1 il secondo www batmath it

6 Osservazioni sul baricentro 6 dove per l ultima uguaglianza abbiamo sempre tenuto conto del fatto che x nalogo risultato si trova per la coordinata y del baricentro Questo risultato in apparenza strano si può capire facilmente se si pensa a un triangolo isoscele BC di base B molto piccola rispetto ai lati obliqui Il baricentro dei tre lati si trova a metà di ciascun lato: siano M 1 ed M quelli dei due lati obliqui ed M quello della base Il baricentro complessivo M dei due lati obliqui si trova nel punto medio di M 1 ed M Per avere il baricentro del telaio triangolare si deve ora trovare il baricentro dei due punti M e M : poiché M ha massa molto più grande che non M (in M è concentrata la massa dei due lati obliqui in M solo quella della base il baricentro complessivo G sarà molto vicino ad M anzi tanto più vicino a M quanto più la base è piccola unque al tendere a zero della base il baricentro fisico del triangolo tenderà al punto medio dell altezza mentre il baricentro geometrico è sempre situato a distanza dalla base pari a un terzo dell altezza sta e settore circolare Un asta O omogenea e di lunghezza l ha il baricentro nel centro dell asta Se facciamo ruotare di un angolo α l asta attorno ad O in un piano otteniamo un settore circolare O Se immaginiamo che anche questa lamina abbia densità omogenea possiamo facilmente trovarne il baricentro Fissiamo per questo un sistema di coordinate come indicato nella figura O Figura Settore circolare obbiamo applicare la formula (5 ncora una volta la densità è ininfluente ai fini del calcolo in quanto essendo costante può essere portata fuori dall integrale sia a sinistra che a destra e semplificata Il membro di sinistra diventa semplicemente x G l α x G ove indica l area del settore Calcoliamo il membro di destra Indicato con il settore circolare si ha passando in polari x dx dy ϱ cos ϑϱ dϱ dϑ a qui e dalla formula precedente si ricava subito x G l ( l sin α α Procediamo in maniera analoga al calcolo di y G Si ottiene: y dx dy ϱ sin ϑϱ dϱ dϑ l ( ϱ cos ϑ dϑ dϱ l sin α ϱ sin ϑ dϑ dϱ l (1 cos α www batmath it

7 Osservazioni sul baricentro 7 enendo conto che quest ultimo valore deve essere y G si ricava subito y G ovvero che il baricentro ha coordinate ( l sin α G α l(1 cos α α l(1 cos α α La figura 4 rappresenta la curva descritta da questo baricentro al variare di α tra e π L andamento della curva è abbastanza prevedibile: all aumentare dell angolo α il baricentro si avvicina sempre più al centro del cerchio cui il settore circolare appartiene per andare a coincidere proprio con il centro quando il settore stesso diventa l intero cerchio O Figura 4 Curva descritta dal baricentro di un settore circolare La cosa interessante di questa curva è però il fatto che il limite per α tendente a non fornisce il baricentro dell asta ma il punto ( l G 1 È immediato provare che G 1 è il baricentro di un asta di lunghezza l come quella dell esempio considerato ma di densità non costante e variabile linearmente con x: µ ax Per un asta con densità come questa si ha infatti ax dx x G al x G 1 ax x dx al da cui x G l nche questo fatto ha una semplice ed intuitiva spiegazione fisica come illustrato nella figura 5 Se consideriamo un piccolo segmento di corona circolare di raggio interno x e raggio esterno x + dx la sua massa nell ipotesi di densità costante è chiaramente proporzionale alla distanza dal centro del cerchio qualunque sia l apertura α del settore: dm µαx dx: dobbiamo dunque ritenere per ragioni di continuità che questa caratteristica si mantenga anche al tendere a zero di α ovvero quando il settore si riduce ad un asta rettilinea Questo spiega perché al tendere di α a zero il baricentro tenda ad una posizione a distanza l / dall origine O x Figura 5 Massa in funzione della distanza in un settore circolare www batmath it

8 Osservazioni sul baricentro 8 Per una ulteriore conferma di questo fatto proviamo a calcolare il baricentro di un telaio omogeneo costituito dal profilo del bordo del settore circolare precedente obbiamo però tenere conto che nel caso precedente all aumentare dell angolo α il baricentro tendeva al centro del cerchio (come era prevedibile mentre ora non sarà più così: il telaio corrispondente ad un angolo di π sarà costituito dall intera circonferenza più due barre sovrapposte Ci interessa però il limite al tendere a dell angolo α: la situazione fisica corrispondente sarà quella di due barre sovrapposte con densità costante e quindi ancora una barra con densità costante per cui dobbiamo aspettarci che la posizione del baricentro tenda al centro della barra stessa nche in questo caso i calcoli potrebbero essere fatti in maniera elementare almeno per i due lati rettilinei del telaio ma preferiamo usare la definizione come utile esercizio obbiamo dunque parametrizzare i tre lati del telaio La parametrizzazione dei lati rettilinei si fa come già indicato quella dell arco di cerchio si fa invece con le funzioni seno e coseno O Figura 6 elaio a forma di bordo di un settore circolare enendo conto che con riferimento alla figura 6 O ( (l (l cos α l sin α otteniamo quanto segue O: { x lt y t 1 l : { x l cos t y l sin t t α l O : { x l cos(α t y l sin(α t t 1 l Il membro di sinistra della formula (7 si calcola facilmente in quanto l integrale che vi compare (dopo avere semplificato al solito la densità costante µ fornisce la lunghezza del nostro telaio: l + lα + l l + lα Calcoliamo il membro di destra prima per la x poi per la y γ γ x ds y ds Si ottiene dunque lt l dt + l dt + l cos(t l dt + l sin(t l dt + l cos(αt l dt l + l sin α + l cos α ; l sin(αt l dt l ( cos α l sin α x G l + l sin α + l cos α 4 + α y G l(1 cos α + l sin α 4 + α www batmath it

9 Osservazioni sul baricentro 9 È immediato che il limite per α fornisce il punto G 1 ( l / cioè esattamente il baricentro della barra singola ( Per contro come già segnalato al tendere di α a π il baricentro non tenderà all origine in quanto il telaio risulta costituito da un intera circonferenza più due barre sovrapposte sull asse delle ascisse: il punto limite è indicato con G nella figura 7 G G 1 Figura 7 Curva descritta dal baricentro di un telaio a forma di bordo di un settore circolare 4 riangolo e settore conico Una lamina omogenea a forma di triangolo rettangolo e isoscele ha il baricentro coincidente con il baricentro geometrico del triangolo Facendo ruotare di un angolo α questo triangolo attorno a uno dei due cateti si ottiene un solido che ha la forma di un settore conico Vogliamo calcolare il baricentro di questo settore conico e di una lamina che ha la forma della sua superficie totale Come nel caso dell asta siamo interessati a valutare il limite del baricentro del solido o della lamina al tendere a zero di α Ritroveremo le stesse difficoltà già trattate nel caso della rotazione di un asta Con riferimento alla figura 8 supponiamo di piazzare la lamina nel piano Oxz di un sistema cartesiano ortogonale Oxyz; sia inoltre l la lunghezza comune dei due cateti z z C C y B B x B x Figura 8 Lamina triangolare e settore conico In realtà al tendere di α a si ottengono due barre sovrapposte; essendo però omogenee il baricentro è comunque nel punto medio www batmath it

10 Osservazioni sul baricentro 1 Il baricentro G 1 della lamina triangolare si trova sull altezza del triangolo relativa alla base BC in modo che G 1 sia / di quell altezza unque si ha ( l G 1 l Per calcolare il baricentro del settore conico dobbiamo applicare la formula (6 dove ancora una volta possiamo trascurare la densità in quanto costante L integrale che compare a primo membro della (6 rappresenta semplicemente il volume del settore conico che si può calcolare per via diretta: V 1 base altezza 1 αl l αl 6 Calcoliamo comunque anche direttamente l integrale L equazione della retta BC nel piano Oxz è z x + l; pertanto l equazione della superficie conica ottenuta per rotazione della semiretta situata nel semipiano delle x positive è z x + y + l etto il settore circolare BB del piano Oxy il volume V risulta un dominio normale rispetto all asse z con (x y z x + y + l L integrale si può dunque calcolare mediante una riduzione per corde e successivo passaggio in coordinate polari ( x +y +l ( dx dy dz dz dx dy x + y + l dx dy V ( ϱ + lϱ dϱ dϑ ( ϱ + lϱ dϱ dϑ αl 6 Calcoliamo ora l integrale a secondo membro della (6 rispettivamente per la x la y e la z ( x +y +l ( x dx dy dz x dz dx dy x x + y + l dx dy V ϱ cos ϑ( ϱ + lϱ dϱ dϑ cos ϑ ( ϱ + lϱ dϱ dϑ αl4 1 sin α V y dx dy dz ( x +y +l y dz dx dy ( x x + y + l dx dy αl4 1 ϱ sin ϑ( ϱ + lϱ dϱ dϑ (1 cos α sin ϑ ( ϱ + lϱ dϱ dϑ V z dx dy dz ( x +y +l z dz dx dy ( x + y + l dx dy www batmath it

11 Osservazioni sul baricentro 11 Se ne deduce che (l ϱ ϱ dϱ dϑ ( l sin α G α ( (l ϱ l(1 cos α α ϱ dϱ dϑ l4 α 4 l 4 ra l altro nella formula precedente si ritrova la ben nota proprietà del baricentro di un tetraedro (4 di essere a quota 1 /4 rispetto alla base Come già per il caso del settore circolare la posizione limite del baricentro appena trovato al tendere a dell angolo α non coincide con la posizione del baricentro della lamina triangolare di partenza in quanto si ottiene il punto ( l l 4 Passiamo ora al calcolo del baricentro della lamina che costituisce la buccia del settore conico appena considerato ovremo usare la formula (8 Semplificando al solito la densità di massa che supponiamo costante l integrale a primo membro fornisce l area di questa buccia Si tratta di due triangoli rettangoli isosceli (che indichiamo con Σ 1 e Σ di un settore circolare (la base che indichiamo con Σ e di una porzione della superficie laterale del cono (che indichiamo con Σ 4 utte queste aree possono essere calcolate per via elementare (5 Σ : l + l + αl + αl l + αl + αl Come utile esercizio calcoleremo comunque l ultima area con un integrale di superficie Il contributo all integrale a secondo membro dato da Σ 1 Σ e Σ è elementare ma faremo ugualmente i calcoli con gli integrali di superficie Per questo scriviamo la parametrizzazione sia di queste tre che della quarta delle parti di cui è costituita la buccia del settore conico Le superfici Σ e Σ 4 sono grafici cartesiani quindi si parametrizzano in maniera naturale: x u y v z (u v ; Σ 4 : x u y v z l u + v (u v Per quanto riguarda Σ 1 e Σ si tratta di due parti di piano di cui è ben noto come si possono scrivere le equazioni parametriche: basta trovare due vettori di giacitura e un punto (6 Per il primo i vettori di giacitura sono per esempio i versori dell asse x (1 e dell asse z ( 1 il punto è l origine Per il secondo i vettori di giacitura sono per esempio il versore dell asse z ( 1 e il versore (7 di O cioè (cos α sin α il punto è sempre l origine Si ha dunque: Σ 1 : Σ : x u y z v x u cos α y u sin α z v (u v : u l v u + l ; (u v : u l v u + l 4 nche se il volume qui considerato è un settore conico la situazione di un tetraedro è identica 5 L ultima in particolare è data da arco di base apotema/ 6 Ribadiamo che pur essendo questo problema elementare lo vogliamo trattare in dettaglio visti gli scopi didattici di questo articolo 7 Si poteva anche prendere il vettore O : abbiamo preso il versore in modo che il parametro u su Σ vari tra ed l come su Σ 1 www batmath it

12 Osservazioni sul baricentro 1 Ci servono ancora le norme dei vettori normali alle quattro superfici i j k N 1 x u y u z u x v y v z v i j k 1 1 ( 1 N 1 1; i j k N x u y u z u x v y v z v i j k cos α sin α 1 (sin α cos α N 1; i j k N x u y u z u x v y v z v i j k 1 1 ( 1 N 1; i j k i j k u ( N 4 x u y u z u x v y v z v 1 u + v u v u + v v u + v 1 1 u + v N 4 Possiamo ora ricalcolare con un integrale l area di Σ 4 già ottenuta prima per via elementare dσ Σ 4 N 4 du dv du dv ϱ dϱ dϑ ϱ dϱ dϑ αl Non ci resta infine che procedere con il calcolo dell integrale a secondo membro della (8 per ciascuna delle tre coordinate del baricentro x dσ u du dv + u cos α du dv + u du dv + u du dv Σ u du dv + u cos α du dv + ϱ cos ϑϱ dϱ dϑ + ϱ cos ϑ ϱ dϱ dϑ l ( u+l l 6 + l cos α 6 u dv du l sin α l ( u+l u cos α dv du+ ϱ cos ϑ dϱ dϑ + + l sin α ϱ cos ϑ dϱ dϑ Σ y dσ du dv + u sin α du dv + v du dv + v du dv www batmath it

13 Osservazioni sul baricentro 1 u sin α du dv + ϱ sin ϑϱ dϱ dϑ + ϱ sin ϑ ϱ dϱ dϑ l ( u+l l sin α 6 u sin α dv du + + l (1 cos α + l (1 cos α ϱ sin ϑ dϱ dϑ + ϱ sin ϑ dϱ dϑ Σ z dσ v du dv + v cos α du dv + du dv + (l u + v du dv v du dv + (l ϱ ϱ dϱ dϑ l ( u+l v dv du + (l ϱ ϱ dϱ dϑ l + l α 6 Si ricavano dunque le seguenti coordinate per il baricentro: ( l + l cos α + l sin α + l sin α G ( + α + α l sin α + (l + l (1 cos α ( + α + α l + lα ( + α + α Questa volta al tendere a dell angolo α si ottiene esattamente il baricentro della singola lamina triangolare (in realtà si hanno fisicamente due lamine sovrapposte ma questo non modifica la posizione del baricentro www batmath it