LE DISEQUAZIONI LINEARI

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1 Risolvi le seguenti disequazioni LE DISEQUAZIONI LINEARI x + ( x 5) < 7 x + 4 ( x + ) [ ( x ) < x( x 5) ( x )( x + ) + 4x [ impossibile ] ( 5x 1)( x ) + ( x 1) > ( x) 6x + ( x ) ( 1 x) ( x )( x ) x + x < 0 5 x > x 5 1 < x < 4 4 x < 0; x x > 0; x [ < x < ] [ x < 0 x > ] Risolvi i seguenti problemi mediante disequazioni lineari Un triangolo acutangolo ha due angoli acuti che misurano in gradi 4x + 1 e x + 4. Quale valore massimo può avere x? 17 [ ] I lati di un triangolo misurano in centimetri rispettivamente x, x + 1 e x +. Per quali valori di x il triangolo ha il perimetro maggiore o uguale a 8 cm? [ x 4] 1

2 LA RETTA Scrivi l equazione della retta passante per l origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta trovata. Disegna il grafico della retta, il punto A e il punto B. A( ; 18 ), B 1 ;. [ y = 6 x; sì] Scrivi l equazione delle rette passanti per l origine aventi i coefficienti angolari indicati e disegnale nel piano cartesiano. 1 m =, m = 4. 1 y = x ; y = 4 x Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni. y = x 5; y =. 5 Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e il termine noto. Disegnane, infine, i grafici. x y + 1 = 0, y + = 0, x + y + 1 = y = x + ; y = ; y = x 1 Scrivi l equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico. [ y = x + 4]

3 I SISTEMI LINEARI Risolvi il sistema usando il metodo di sostituzione y x 5y 7 x = x y 5 + = 7 5 ( 1; 1) Determina le coordinate del punto di intersezione della seguente coppia di rette. x + y 5 = 0; y = x +. [(; 1)] Risolvi i seguenti sistemi lineari con il metodo che preferisci, dopo aver stabilito se sono determinati, impossibili o indeterminati. ( ) ( ) ( ) ( )( ) y x 1 x = x + 1 x 4 + 5x 6 x y + 11 = 0 ( ; 5) 6x 7 x y 7 = x y 4 x y = ; x y + 1 x + y = 4 1 x ( 4y + 1) x + y = ; 5 Risolvi i seguenti sistemi numerici fratti. x + x = x y y = x 1 4 ; 5 15 y 1 1 = x 1 6 ( y x) 1 = x 1 4; 1

4 Sistemi lineari e problemi Aggiungendo alla semisomma di due numeri i 4 della differenza tra il maggiore e il minore si ottiene 17. Il rapporto tra il maggiore e il triplo del minore vale 5. 7 [15; 7] Determina i due numeri. Calcola l area di un rombo sapendo che la somma di 1 6 della diagonale maggiore con 1 della minore è di 14 cm e che la differenza fra il doppio della minore e la maggiore è di 1 cm. 4 cm Dal fruttivendolo ho acquistato, per un totale di 6,45, tre diversi tipi di arance dal costo al kilogrammo rispettivamente di 1,0, e,10. La quantità acquistata del secondo tipo è i della quantità acquistata del terzo tipo, mentre la somma delle quantità del secondo e del terzo tipo è i 5 della quantità del primo tipo. Determina quanti kilogrammi di arance ho acquistato di ciascun tipo. [1 kg; 1 kg; 1,5 kg] 4

5 I RADICALI Completa, determinando il radicale equivalente. 9 5 =...; 5 ab 4 = 0...; 4 ( x + 1 ) y = 16...; m 4 k a b =.... Semplifica i seguenti radicali 10 4; 6 1 x y ; 4 4x 4xy 6 y ; n + + ( ) n x y. n ( x ) 4 ; xy ; x + y ; y Esegui la seguente moltiplicazione fra radicali e semplifica il risultato. x + xy + y x 1 x 1 x + y 4 1 ( x + y) ( x + 1) 4 ( x 1) Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili. ( a + b + ab) 50; x y a + b 5 10; x y Semplifica l espressione. x + x + x x 4 x 4 6 : + x ( x + ) 4 Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi. ( a ) 1 ; 9 a + ; a [ ] 9; a 9 5

6 Calcola le seguenti somme algebriche di radicali ( b + ) 4b + 8 9b + 18 ( b ) b + Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l espressione. ( x y ) ( x y ) ( x y ) y ( y x ) x xy Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni. ; 6 x ; xy ; a 4. a + 6 x xy 7 5 ; ; ; a y Risolvi l equazione. x x x 1 = 1 Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale. ( ) a 4 b ; 7x y 9 c a b ; c 9x y 4 6

7 Risolvi le seguenti equazioni. LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO x + 10x + 1 = 0 [ 7; ] x 7x 15 = x x = x 4 5x + 5 = 0 ( x) ( x) ; 5 ; 8 5 5; + = ; ( x ) ( 1+ x) + 9 x 0 + = x + 1 0; 9 7 x 4x x x 4 x x + + = 0 1 1; I problemi di secondo grado Sommando al triplo di un numero intero il quadrato del suo consecutivo si ottiene 67. Qual è il numero? 19; 14 [ ] Determina l area di un rettangolo il cui perimetro è di 56 cm, sapendo che esso è inscritto in una circonferenza di raggio 10 cm. 19 cm In un triangolo rettangolo l ipotenusa è 0 cm più lunga di un cateto e questo è 5 proiezione sull ipotenusa stessa. Determina il perimetro del triangolo. della sua [10 cm] Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 7 cm più dell altro e il perimetro di 0 cm. Calcolane l area. 0 cm Risolvi l equazione fratta di secondo grado nell incognita x. 7x 5 x 4 5 9x + 4x + 8 x x x + 1 x x + 4 x + 4x + + : + = ( ) [, non accettabile; 7] 7

8 Le equazioni di grado superiore al secondo 8x + 10x 7x = ; 0; 4 x 7x + 4x + 4 = 0 x + 19 = 0 x 7x 18 = 0 4 ; ; 1 [ 4] [ ± ] 4 x 19x + 9 = 0 ± ; ± 8

9 PROBABILITA Ripasso Dato uno spazio campionario S la probabilità P(A) di un evento A è un numero reale tale che: P(A) 0 Lancio di una moneta qual è la probabilità che esca testa? [0.5] P(S) =1 Lancio di un dado, qual è la probabilità che esca un numero minore di 7? [1] P(Ø) = 0 Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero maggiore di 6? [0] Si conclude che 0 P(A) 1 Evento contrario P(Ā) = P(NON A) = 1- P(A) Lancio di un dado,qual è la probabilità che non esca un numero multiplo di? [1-/6 = 4/6] P(A 1 A ) significa la probabilità che si verifica A 1 e A, cioè che si verifichino entrambi gli eventi. Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 e un multiplo di? [1/6] Se P(A 1 A )=0 gli eventi sono incompatibili (in caso contrario si dicono compatibili) Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore e maggiore di 4? [0] P(A 1 U A ) significa la probabilità che si verifica A 1 o A, cioè che si verifichino o un evento o l altro o entrambi Lancio di un dado, qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un multiplo di? [Gli eventi favorevoli sono: 1,,,6...] [/] P(A 1 U A ) = P(A 1 )+ P(A )- P(A 1 A ) se A 1 A sono eventi compatibili Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un multiplo di? [/6+/6-1/6] P(A 1 U A ) = P(A 1 )+ P(A ) se A 1 A sono eventi incompatibili Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un maggiore di 4? [/6+/6] P(A 1 A ) = P(A 1 )* P(A A 1 ) se A 1 A sono eventi dipendenti Un urna contiene palline rosse e verdi. Estraggo una pallina e senza rimetterla nell urna ne estraggo una seconda. Qual è la probabilità di estrarre la prima rossa e la seconda verde? [/5*/4] P(A 1 A ) = P(A 1 )* P(A ) se A 1 A sono eventi indipendenti Un urna contiene palline rosse e verdi. Estraggo una pallina e dopo aver rimesso la pallina estratta nell urna ne estraggo una seconda. Qual è la probabilità di estrarre la prima rossa e la seconda verde? [/5*/5] 9

10 Risolvi i seguenti problemi 1] Tre libri A, B, C vengono disposti in uno scaffale uno di fianco all altro. Costruisci il diagramma ad albero con tutti i possibili modi per disporre i libri. Qual è la probabilità che il libro B stia agli estremi? [/] ] Lanciando un dado due volte, quanti sono i possibili risultati (eventi elementari) [6] qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia? [0.06] qual è la probabilità che entrambi i numeri siano pari? [0.5] qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti non sia? [0.94] qual è la probabilità che il primo numero uscito superi il secondo di un unità? [5/6] qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia oppure che il primo numero superi il secondo di un unità? [1/6] qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia oppure che entrambe i numeri siano pari? [11/6] ] Un fiorista mette in svendita 00 fiori, in parte rose e in parte tulipani. Sia le rose sia i tulipani sono di due tipi: o di colore rosso o di colore giallo. Il 60% dei fiori in offerta sono rossi e il 5% sono tulipani. Inoltre le rose rosse sono 70. Completa la tabella colore Rose Rosso Giallo Totale specie Tulipani Totale 00 Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia un giacinto? [0%] Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia una rosa? [65%] Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia una rosa gialla? [0%] Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che non sia una rosa gialla? [70%] Viene estratto casualmente un fiore, sapendo che è una rosa, quale è la probabilità che sia gialla?... [46%] 4] Un contadino decide di fare un impianto di more. E noto che il 5% delle piantine sono malate e non sopravvivono oltre la prima settimana. La piantina malata ha la probabilità di essere identificata e scartata pari al 70%. Scegliendo a caso una piantina qual è la probabilità che sia malata e che venga scartata? [,5%] 10

11 La risoluzione algebrica di problemi geometrici Determina le lunghezze dei tre segmenti sapendo che la loro somma è 60 cm, il quadruplo del primo meno il secondo è uguale al terzo e che il secondo è 5 del terzo. [1 cm; 18 cm; 0 cm] Determina le misure dei lati del triangolo in figura (le misure sono rispetto al centimetro). [ x = ] Il perimetro di un triangolo isoscele è 100 dm. La base è 16 del lato obliquo. Calcola l area del 17 triangolo. [480 dm ] In un triangolo rettangolo il rapporto fra un cateto e la sua proiezione sull ipotenusa è 5. La proiezione dell altro cateto sull ipotenusa è cm. Calcola il perimetro e l area del triangolo cm; 600 cm In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui e il piede dell altezza divide la base maggiore in due segmenti il cui rapporto è determina il perimetro e l area del trapezio. Sapendo che l altezza è 4 cm, 14 cm; 768 cm Il perimetro di un triangolo rettangolo isoscele è di 6( + ) cm. Determina l area del triangolo. 18 cm Un trapezio scaleno ha gli angoli adiacenti alla base maggiore di 0 e di 60. Sapendo che l altezza è di 1 cm e che la base maggiore è doppia della minore, determina il perimetro del trapezio. ( ) cm L area di un rombo è 480 cm e il lato misura 6 cm. Calcola la misura delle diagonali del rombo. [0 cm; 48 cm] 11

12 In un trapezio rettangolo l altezza è 1a e la base minore è della maggiore. Sapendo che l angolo acuto adiacente alla base maggiore è 45, calcola il perimetro e l area del trapezio. ( ) a ; 60a In un parallelogramma i cui angoli acuti sono di 0 il lato maggiore è quadruplo del minore e l area misura 7m. Calcola la lunghezza della proiezione del lato minore su quello maggiore e delle altezze del parallelogramma. m; m; 1m 5 In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, che misurano 4 dell altezza, e la base maggiore è di 5 cm. Prolungando i lati obliqui si ottiene un triangolo 65 isoscele avente per base la base maggiore del trapezio. Calcola l area del triangolo. cm Disegna un trapezio rettangolo ABCD in cui l altezza AB è 4 5 della base maggiore BC, AD è di BC e il perimetro è 50a. Prolunga l altezza AB dalla parte di A e il lato obliquo CD dalla parte di D fino a farli incontrare nel punto E. Da A conduci la perpendicolare a DE e indica con H il 70 piede di tale perpendicolare. Calcola il perimetro del triangolo AHE. 1 a 1

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